Løsninger. Innhold. Algebra S1, Løsninger

Transkript

1 Løsninger Innhold Innhold Potenser og kvadratrøtter... Regneregler for potenser... Tierpotenser og tall på standardform... 7 Tall på standardform i GeoGebra... 9 Kvadratrøtter Algebraiske uttrykk Å utvide og forkorte brøker Addisjon og subtraksjon av brøker Multiplikasjon og divisjon med brøker Brudden brøk Bokstavregning Kvadratsetningene Faktorisering... Forenkling av rasjonale uttrykk Likninger... 6 Formelregning... 4 Likningssett Andregradslikninger Likningssett med likninger av første og andre grad Å faktorisere andregradsuttrykk ved nullpunktmetoden Mer om forenkling av rasjonale uttrykk Rasjonale likninger Ulikheter Ulikheter av første grad Ulikheter av andre grad Logaritmer Forenkling av logaritmeuttrykk... 9 Eksponentiallikninger

2 Logaritmelikninger Implikasjon og ekvivalens Matematiske bevis Bildeliste

3 1.1 Potenser og kvadratrøtter Regneregler for potenser Bruk potensreglene og regn ut. 5 a) b) c) 6 6 d) 94 6 e) 4 16 f) 4 g) h)

4 1.1. Bruk potensreglene og regn ut. a) 5 b) 4 4 c) b b b b b b d) y y y y y y 1 e) ab a a b a a b a b 4 f) y 4 y 4 4 y y y y y g) ab ab a b a b a b a b a b ab h) y y y y 4 y 8 y 48 y y 1.1. Bruk potensreglene og regn ut. a) a a 4a b) ab a b 7a b c) d) y y y y 6y y 4

5 1.1.4 Bruk potensreglene og regn ut. a) b) ab ab a b a b a b a b 1 b b c) a b a a ab a b a b b 4 a d) 4 8 e) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra Regn ut og skriv svaret med positiv eksponent. 1 1 a) 4 b) c) d) y y 5 1 y 5 y y 5

6 6

7 1.1.6 Bruk potensreglene og regn ut. a 1a 1 a 1a a a) 6 6 b) y ( y ) y 4 0 y y 1 y y c) ( b ) a b( b ) b a a bb b a b a b 4 11 d) y z y z y z z y z y z 4 y z y Tierpotenser og tall på standardform Skriv disse tallene som tierpotenser. a) b) 0, c) 0, d) Skriv disse tallene på standardform. a) c) b) , ,4 10 d) ,4 10 7

8 1.1.9 Skriv disse tallene på standardform. a) 0,00 c) 0, b) 0,000 0, ,6 10 d) 0, , Regn ut og skriv svaret både på standardform og vanlig form. a) 5,510 6, ,5 6, ,0 10 1, b) 5 9, , , 10 18,4 10 1, c) 7,510, ,5 10 0, d) , e),510 6, ,510 5, , , ,5 10 f) 510 1, g) , ,10 0, ,5 10 h) ,

9 Tall på standardform i GeoGebra I GeoGebra bruker vi kommandoen «Standardform[ <Tall> ]» eller «Standardform[ <Tall>, <Gjeldende siffer> ]» for å skrive et tall eller regneuttrykk på standardform. I GeoGebra benyttes også bokstaven «E» for tierpotens Når vi snakker om avstander i universet, bruker vi ofte betegnelsen lysår. Et lysår er den avstanden lyset tilbakelegger i løpet av ett år. Lyset har en fart på km/s. a) Hvor mange kilometer er et lysår? 1 1 lysår 9,5 10 km Lyset bruker 4 timer og 5 minutter mellom jorda og dvergplaneten Pluto. b) Hva er avstanden mellom jorda og Pluto? Avstand km/s s 9 4,810 km Solsystemet. Nærmest sola finner vi først Merkur og så Venus, Jorda og Mars. Lenger ute har vi Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun og Pluto. Mellom Mars og Jupiter ser du et belte av små planeter (asteroider). Her kan du finne mer om avstanden til Pluto. 9

10 1.1.1 I oktober 008 produserte Norge, millioner fat råolje daglig. Vi regner med en pris på råolje på 400 kroner/fat. a) Hvor mange milliarder kroner var verdien av oljeproduksjonen på denne måneden? Verdien av oljeproduksjonen var 400 kroner/fat,10 fat ,710 kroner 710 kroner 7 milliarder kroner 6 Oseberg, Nordsjøen I internasjonal oljeomsetning svarer et fat til 4 US Gallons eller 158,987 L. b) Hvor mange liter råolje produserte Norge denne måneden? Gi svaret på standardform. Produksjonen var på ,987L/fat,10 fat1 1,08 10 L Det blir hevdet at råoljereservene på norsk sokkel i 008 var på 919 millioner kubikkmeter råolje. c) Hvor mange fat olje svarer dette til? Det svarer til 9 5,8 10 fat 10

11 Regn med samme oljeproduksjon som i oktober 008. d) Hvor lenge vil oljereservene vare? 9,1910 L De vil vare i 7,06 år 10 1, L/måned1måned/år 11 Kvadratrøtter Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at a) 8 8 b) c) d) 18a a 18a a a e)

12 Regn ut uten bruk av tekniske hjelpemidler. a) b) c) d) e) Skriv uten kvadratrot i nevner. a) b) 6 6 c) a a a a a a a a a a d) 1 1

13 Skriv enklest mulig uten bruk av tekniske hjelpemidler. a) b) c) d)

14 1. Algebraiske uttrykk Du skal først løse alle oppgavene uten bruk av tekniske hjelpemidler. Deretter kan du bruke et digitalt hjelpemiddel for å kontrollere svarene. Å utvide og forkorte brøker 1..1 Utvid brøkene slik at de får like nevnere Fellesnevneren er 6. Utvider brøkene slik at alle brøkene får 6 i nevner a) Forkort brøkene : 6 1 1: 6 0: : : 7 : 6: 9: :6 14 6: : 6: 18: 6 40: 10: 105: : 19: 96: 48: 4: 8 56: 18: 64: : 16: 8 b) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å kontrollere svarene du fikk i a). 14

15 Addisjon og subtraksjon av brøker 1.. Trekk sammen. a) b) c) : : 1 Multiplikasjon og divisjon med brøker 1..4 Regn ut. a) b) c) : d) :

16 Brudden brøk 1..5 Regn ut. a) b) c) d) e)

17 Bokstavregning 1..6 Regn ut. a) a b 5a a 7b 4a 4b b) a 4y 6 14a 4 4 4y 17a 7 c) ab 1d 5ba 4d 11d ab d) e) a 4a a a f) 5ab bc ab cb4 5ab bc ab 4bc ab 7bc Regn ut. a) bb 4 b b 1 5b 1 b) c) 5a a 6 5a 1 5a 6a 1 5a 5 5a 6a 1 5a 5 16a 7 d) ba b 4aa 1 b a 17

18 6ab b 4a 4a b a 6ab b 4a 4a b a 4a 6a 6ab b e) 5 ( 1) ( ) f) a b a b a ab 6 b a ab a ab 6 b a ab b Regn ut verdiene av følgende uttrykk når og y. a) y y b) y y c) y

19 Kvadratsetningene 1..9 Regn ut. a) b) 4 a4 aa a 16 a a 4a 4 a 4a 4 16 a a 4a 4 a 4a 4 a a 8 16 c)

20 d) a a a 1 9 a 1 4 a a a 1 9a a a a 4a 9a a 9 4 a a 4a 9a 6a 1 e) 1a a 1 1 a 1 a 1 a 4 a 1 4a 1 a 4a 4 4a a 4 8a a 4a 4 4a 4a 1 f) a a a 4a 4a 1 4a a a a a a g) a a 1 a 1a 1 0

21 h) i) Regn ut ved hjelp av konjugatsetningen: a) b) c) d)

22 Faktorisering Faktoriser uttrykkene. a) b) 18a b 4a aabb b a aa a a a 1 c) a6a a1 a d) e) f) 9 18 g) Forenkling av rasjonale uttrykk 1..1 Forkort brøkene. a) b) a 50 18a 90 a 5 a 5 18 a 5 9 a 5 a 5 a 5 9a 5 a 5 9 c) 8 4

23 d) e) f) g) ( 1 ) 1 1 h) 1 ( 1 ) 1 ( 1) ( 1) 1 i) ( 1) Trekk sammen. a)

24 b) c) ( ) ( ) ( ) d) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 4 ( 5) 4

25 1..14 Løs 1..1 c og d digitalt Trekk sammen 4 10 c) d)

26 1. Likninger 1..1 Løs likningene. Bruk hoderegning og sjekk svarene. a) b) c) d) e) Ingen løsning f)

27 1.. Løs likningene. a),5 1,5,5 1,5 1,5 4,5 4,5,0 1,5 b) 0, 1,4 1,18 1,58 0, 1,18 1, 58 1, 4 1,50,00,00,00 1,50 c) 0,5( ) 0,1 0,1 0, 51, 5 0,1 0,1 0, 5 0,1 0,1 1, 5 d) t 0, 4 1,6 1,6 4,0 0,4 t 6 t t t t 6 t 8 t 8 e) s s 1 1 s s s 1 s s s s 1 s s 7

28 1.. Løs likningene. a) b) c) d)

29 e) Løs likningene. a) b) c) t 0 4 d) t 9

30 1 t t 0 1 t t 0 t 1 4t 0 7t 4 t y y y y 18y y y 54y 54 y e) y y 1 y 1 46y y y Per, Pål og Espen er til sammen 66 år. Per er dobbelt så gammel som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de er. Setter Espens alder som. Pål sin alder blir da 6 og Pers alder blir. ( 6) Espen er 15 år, Pål er 1 år og Per er 0 år. 0

31 1..6 Kristin, Anette og Ellen har til sammen 1100 kr. Ellen har dobbelt så mye som Anette, og Kristin har 100 kr mindre enn Ellen. Sett opp en likning og finn ut hvor mye hver av dem har. Setter Anettes beløp som. Ellens blir og Kristins beløp blir 100. Anette har 40 kr, Ellen har 480 kr og Kristin har 80 kr Stian, Erik og Øyvind delte en pizza. Stian spiste en tredel, Erik spiste to femtedeler, og Øyvind spiste resten. Sett opp en likning og finn ut hvor stor del av pizzaen Øyvind spiste. Vi setter Øyvinds del lik, og vi kan sette opp og løse likningen Øyvind spiste 4 15 av pizzaen. Et pizzastykke fra Braz Pizzeria i Sao Paulo. I Brasils største by selger over 6000 pizzarestauranter til sammen nesten én million pizzastykker hver dag! 1

32 1..8 På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 % av elevene fotball. En tredel valgte volleyball. De siste 1 elevene hadde fått fritak. Sett opp en likning og finn ut hvor mange elever det er ved skolen. La være antall elever ved skolen Det er 180 elever ved skolen. Aktivitetsdag ved Natur videregående skole i Oslo. NM i støvelkasting! 1..9 Ari, Anette og far er til sammen 54 år. Anette er dobbelt så gammel som Ari og far er tre ganger så gammel som Anette. Hvor gamle er Ari, Anette og far? La være alderen til Ari. Da er Anettes alder og fars alder Ari er seks år, Anette tolv år og far trettiseks år Far er tre ganger så gammel som Per og bestefar er dobbelt så gammel som far. Til sammen er de 10 år. Bestem alderen deres. La være alderen til Per. Da er fars alder og bestefars alder Per er 1 år, far 6år og bestefar 7 år.

33 1..11 Mormor var år da mor ble født. I dag er hun dobbelt så gammel som mor. Hvor gamle er de? La være alderen til mor. Da er mormors alder Mor er år og mormor 44 år. (Det hadde vi kanskje ikke trengt likning for å finne ut) 1..1 Far er tre ganger så gammel som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til sammen er de tre 9 år. Hvor gamle er hver av dem? La være alderen til Camilla. Da er fars alder og onkel Kåres 6. Camilla er 14 år, far er 4 år og onkel Kåre er 6 år.

34 Formelregning 1..1 Gitt formelen s v t der s står for strekning, v for fart og t for tid. Løs formelen med hensyn på a) farten s v t s v t b) tiden s v t s t v a) Arealet av en sirkel er gitt ved formelen Løs formelen med hensyn på r. A r. A r r A r A b) Volumet av en terning er gitt ved formelen V s. Løs formelen med hensyn på s. V s s V 1 s V V c) Volumet av en sylinder er gitt ved V r h. 1. Løs formelen med hensyn på h. V r h V h r. Løs formelen med hensyn på r. V r h V r r h V h 4

35 d) Volumet av en kjegle er gitt ved V rh. 1. Løs formelen med hensyn på h. rh V V V r h h r. Løs formelen med hensyn på r. V V r rh r h V V r h h 4 r e) Volumet av en kule er gitt ved V. Løs formelen med hensyn på r. 4 r V V 4 r r V V r Fra fysikken har vi disse formlene. Løs formlene med hensyn på t. 1 a) s at s at t s s t a a b) v v0 at 5

36 6 0 0 at v v v v t a c) 0 v v t s 0 0 s v v t s t v v

37 1..16 For å si noe om en person er undervektig, har normal vekt eller er overvektig, kan vi regne ut personens Body Mass Inde, BMI. (Merk at BMI ikke forteller noe om fordelingen mellom fett og muskler. En veltrent muskuløs person vil derfor ha en høy BMI. ) v BMI-verdien er gitt ved formelen b der v kilogram h er vekten til personen og h meter er høyden. BMI kategorier, 18,5 18,5, 5 5, 0 0, Undervektig Normal kroppsvekt Overvektig Fedme a) Løs formelen med hensyn på vekten v. b) Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 180 cm høy og har en BMI-verdi på 4. Personen veier ca. 78 kg. c) Løs formelen med hensyn på h og bruk formelen til å finne høyden til en person som har en BMIverdi på 0 og veier 60,0 kg. Personen er ca. 17 cm. 7

38 1..17 Sammenhengen mellom fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved formelen 9 F C 5 Her står C for temperaturen målt i celsiusgrader og F for temperaturen målt i fahrenheitgrader. a) Gradestokken viser en dag 0 C. Hvor mange grader fahrenheit tilsvarer dette? 9 9 F C En temperatur på 0 C tilsvarer F. Hvor mange grader Fahrenheit? b) Løs formelen med hensyn på C. c) Gradestokken viser 65 F. Hvor mange grader celsius tilsvarer dette? En temperatur på 65 F tilsvarer ca. 18, C. 8

39 1..18 Et telefonabonnement koster 49 kroner i fast månedspris og 0,85 kroner per minutt for samtaler. Et annet abonnement koster 99 kroner i fast månedspris og 0,59 kroner per minutt for samtaler. Ved hvor mange minutter ringetid er de to abonnementene likeverdige i pris? Vi finner et uttrykk for prisen for hvert av abonnementene og setter disse lik hverandre. Ved en ringetid på 19 minutter er abonnementene likeverdige i pris Utfordring! Vinkelsummen i en trekant 180, i en firkant 60, i en femkant 540. a) Lag en formel som viser vinkelsummen i en mangekant med n antall sider. Vinkelsummen av en n kant kan skrives som v n 180 I en regulær mangekant er vinklene like store, For eksempel er vinklene i en regulær trekant 60, i en regulær firkant 90 og i en regulær femkant er vinklene 108. b) Finn en formel som viser vinkelen i en regulær n-kant. Vinkelen v i en regulær n-kant kan skrives som 60 v 180 n 9

40 Likningssett 1..0 Løs likningssettene ved regning. a) y y6 y y 6 y 4 y y 6 5y 10 y 0 b) 6y8 y6 y 6 y y 6 c) 5y 4 y6 6 y y 5 y y yy 4 19 y 19 y 0 40

41 d) 4 y y48 y y e) y 6 4y 4 y Ingen løsning 41

42 1..1 Løs likningssettene grafisk a) y1 y Løsning 5 y 4 b) 5 y 1 y Løsning 1 y 4

43 c) 60 80y 40 y Løsning y d) y 6 5 y440 Løsning 10 y 0 4

44 1.. kg torskefilet og 1,5 kg ulkefilet koster til sammen 85 kr. kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 15 kr. Hva blir kilo prisen for torske- og ulkefileten? Setter opp to likninger der pris per kg torskefilet settes som og pris per kg ulkefilet som y. 1,5y85 0,5y15 0,5y15 y , y Torskefileten koster 80 kr per kg og ulkefileten koster 150 kr per kg. 1.. Ved skolens kantine ble det en dag solgt 115 epler og pærer til sammen. Dette utgjorde 415 kr av omsetningen den dagen. Eplene kostet kr og pærene kostet 4 kr. Hvor mange epler og hvor mange pærer ble det solgt den dagen? Setter opp to likninger der antall epler settes som og antall pærer som y. y115 4y y 115 y 4y y 4y 415 y Det ble solgt 45 epler og 70 pærer den dagen. 44

45 1..4 Løs likningssettene ved hjelp av et digitalt verktøy. a) y y 4 Løsning i GeoGebra Vi får løsningen 9 y 4 8 0,1s t,4 0,4t1,6s,8 Løsning i GeoGebra Vi får løsningen, y1,8 45

46 1.4 Andregradslikninger Løs likningene ved regning. a) eller eller 1 b) eller eller 4 0 eller 4 c) eller eller Løs likningene ved regning. a) eller 4 eller b) 1 1 eller 1 1 eller 1 46

47 c) Ingen løsning d) eller eller Løs likningene ved å bruke abc-formelen. a) eller 6 b) eller 47

48 c) eller Løs likningene ved å bruke abc-formelen. a) 6 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får eller 1 b) c) 4 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med - for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får eller Her er det lurt å dividere alle ledd med

49 Vi får eller d) 8 6 Her er det lurt å dividere alle ledd med -1. Vi får eller 4 e) 1 1 Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får f) 49

50 Ingen reelle løsninger (negativt tall under rottegnet) Løs likningene ved regning. a) eller /70 b) / 90 c) 0, 0, 0, 0, 0, 0, Ingen løsning (negativt tall under rottegnet). d) 0,00 0,00 0,00 50

51 0,00 0,00 0, Ingen reelle løsninger (negativt tall under rottegnet) Løs likningene ved regning. a) eller eller eller b) eller c)

52 eller 1 eller d) eller e) eller =

53 1.4.7 Figuren under viser grunnflaten til et hus. Sett opp en andregradslikning og finn sidelengdene til huset ved regning. Setter opp en likning eller 1 Her bruker vi bare den positive løsningen. Sidelengdene blir 8 m og 1 m. 5

54 1.4.8 Figuren under viser grunnflaten til et hus. Sett opp en andregradslikning og finn sidelengdene til huset ved regning. Setter opp en likning eller 9 Her bruker vi kun den positive løsningen. Sidelengdene blir 14 m og 9 m. 54

55 1.4.9 Figuren under viser grunnflaten til en garasje. Sett opp en andregradslikning og finn sidelengdene til garasjen ved regning. Setter opp en likning Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får da eller 8 Her bruker vi kun den positive løsningen. Sidelengdene blir 6 m og 8 m. 55

56 Figuren under viser ei tomt. Finn arealet til tomta ved regning. Setter opp en likning ( 10) Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får da eller 40 Her bruker vi kun den positive løsningen. Sidelengdene blir 0 m og 40 m. 56

57 a) Gitt andregradslikningen a Bruk abc-formelen og finn hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning a4 a a a 4 4 1a a 1a a Vi ser på uttrykket under rottegnet 1 a. Dersom a 1 vil uttrykket under rottegnet bli negativt og vi har da ingen løsning. Dersom a 1 vil uttrykket under rottegnet bli null og vi får en løsning; 1 Dersom a 1 vil uttrykket under rottegnet bli positivt og vi har da to løsninger. b) Gitt andregradslikningen b 4 0 Bruk abc-formelen og finn hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning. b b b b 16 Vi ser på uttrykket under rottegnet b 16. Dersom b 16 vil uttrykket under rottegnet bli negativt og vi har da ingen løsning. Dette vil skje når b ligger mellom -4 og 4. Dersom b 16, dvs når b 4 eller b 4 vil uttrykket under rottegnet bli null og vi får en 4 4 løsning; eller Dersom b 16, dvs når b 4 eller b 4, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har da to løsninger. 57

58 1.4.1 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket h 14,5t 4,9t 1,8. a) Når er ballen 10 m over bakken? Vi setter inn 10 m for høyden h og får: 10 14,5t 4,9t 1,8 Vi løser likningen i GeoGebra t 0,76 eller t, 1 Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter, s (på vei ned). b) Når treffer ballen bakken? Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m. Vi setter inn 0 m for høyden h og får 0 14,5t 4,9t 1,8 Vi løser likningen i GeoGebra t 0,1 eller t,08 Vi kan bare bruke den positive løsningen. Ballen treffer bakken etter,08 s. c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får? Vi setter inn 15 m for høyden h og får 15 14,5t 4,9t 1,8 Vi løser likningen i GeoGebra Ingen løsning. Ballen når aldri en høyde på 15 m over bakken. 58

59 1.4.1 Overflaten til en brusboks med topp og bunn er gitt ved O r rh. Hva er radius til en brusboks med overflate 50 cm og høyde 5 cm? Vi setter inn i formelen og får 50 r r 5 50 r 10r Vi løser likningen i GeoGebra Kamp om markedet. r 4,9 eller r 9,9 1 Vi kan bare bruke den positive løsningen. Brusboksen har en radius på 4,9 cm. 59

60 Likningssett med likninger av første og andre grad Løs likningssettene ved regning. a) y4 y16 4 y 4 y y y y y 16 0 y 9y 0 y y9 0 y 0 eller y 9 0 y 0 eller y 9 y 0 gir y 9 gir Likningssettet har to løsninger 4 og y 0 5 og y 9 60

61 b) y y 1 1 y 1 y y y y y y 1 1 y eller y y eller y 1 y gir 1 1 y 1 gir 1 1 Likningssettet har to løsninger 1 og y og y 1 c) y 4 y y y y 4 4 4y y y 4 y 4y 0 y y 0 y 0 eller y 0 y 0 eller y y 0 gir 0 y gir 0 Likningssettet har to løsninger og y 0 0 og y 61

62 d) Differensen mellom to tall er. Differensen mellom kvadratene til tallene er 57. Hvilke to tall er dette? Setter opp to likninger. Kaller det ene tallet for og det andre for y. y y 57 y y y y y y y 57 6y y 48 y 8 y 8 11 Det ene tallet er 8 og det andre 11. e) Kvotienten mellom to tall er. Produktet av de to tallene er 7. Hvilke to tall er dette? Setter opp to likninger. Kaller det ene tallet for og det andre for y. y y 7 y y y y 7 y 9 y eller y=- 9 eller y= (-)= -9 De to tallene er enten og 9 eller - og -9. 6

63 a) To kvadrater har en omkrets på til sammen 56 cm. Samlet areal av kvadratene er 100 cm. Sett opp to likninger og finn sidene i kvadratene. Vi kaller sidelengdene i de to kvadratene for henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. 44y56 y 100 Løser likningssettet ved hjelp av GeoGebra. Det ene kvadratet har sidelengde 6 cm og det andre 8 cm, eller motsatt. b) To tall er til sammen 169. Kvadrerer du tallene og legger de sammen er summen Sett opp to likninger og finn hvilke to tall er dette? Vi kaller de to tallene henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. y169 y Løser likningssettet i GeoGebra Det ene tallet er 10 og det andre 67. 6

64 Å faktorisere andregradsuttrykk ved nullpunktmetoden Faktoriser utrykkene ved hjelp av nullpunktmetoden. a) Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen eller 1 Da er b) 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen eller 1 Da er

65 c) 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen eller 1 Da er d) 9 6 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen Her er det lurt å dividere alle ledd med - for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får da eller 1 Da er

66 e) 4a 6a 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen. 4a 6a 4 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med - for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen. Vi får da a a 0 a 4 5 a a eller a 4 4 Da er 1 4a 6a 4 4 a a 4a a Faktoriser uttrykkene ved regning. a) 6 9 Setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Finner løsningene til likningen ved å kvadrere Løsningene og har samme verdi; Da er

67 b) 16 Finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen c) 18 Finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen d) 4 8 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen Ingen løsning Uttrykket kan ikke faktoriseres e) Setter uttrykket i parentesen lik 0 og får en andregradslikning. Finner løsningene til likningen ved å bruke abc-formelen eller 1 Faktoriseringsformelen gir: 1 Dette betyr videre at 1 67

68 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av et digitalt verktøy. a) 0,6,16 Vi bruker GeoGebra b) 1,5 10,5 17,64 Vi bruker GeoGebra c) 6 9 Vi bruker GeoGebra d) t 6t 7 Vi bruker GeoGebra 68

69 e) Vi bruker GeoGebra 69

70 Mer om forenkling av rasjonale uttrykk Forkort brøkene. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra. a) 1 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren har nullpunktene 1 1 og. Da er b) 6 4 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren 6 har nullpunktene 1 og. Da er

71 c) Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av andre kvadratsetning. Telleren har nullpunkt 1 1. Da er d) 1 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren har nullpunktene 1 og 1. Da er 1. Deretter faktoriserer vi nevneren ved hjelp av andre kvadratsetning. Nevneren 1 har nullpunkt Dermed er

72 e) 5 4 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. 1 Telleren 5 har nullpunktene 1 og. 1 Da er Finn fellesnevner og trekk sammen. a) 1 Fellesnevneren er 1 Vi får b) 1 Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er 1 Fellesnevneren blir da 1 har nullpunktene 1 og. 7

73 Vi får c) 1 Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er 1 Fellesnevneren blir da 1 har nullpunktene og 1. Vi får d) Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er 1 Fellesnevneren blir da 1 har nullpunktene 1 og. Vi får 7

74 Bestem a slik at brøken kan forkortes. a 68 Først faktoriserer vi nevneren. Nevneren 6 8 har nullpunktene og 4. Dermed er Skal brøken kunne forkortes må a enten være eller 4. 74

75 Rasjonale likninger 1.4. Løs likningene. a) Verdien av gir ikke null i nevner. Løsning er derfor gyldig. 1 b) Verdien av gir ikke null i nevner. Løsning er derfor gyldig. 75

76 1 c) Her fikk vi som eneste løsning en verdi for som gir null i nevner. Løsningen kan derfor ikke aksepteres, og likningen har ingen løsning Sjekk løsningen på 1.4.c med CAS i GeoGebra Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. 76

77 1.5 Ulikheter Undersøk om ulikhetene stemmer for a) 5 5 Setter inn og får: VS 5 4 HS 5 Ulikheten stemmer b) 1 Setter inn og får: VS 1 10 HS 6 Ulikheten stemmer c) 1 9 Setter inn og får: VS 1 8 HS 9 Ulikheten stemmer ikke 1.5. Undersøk om 4 passer i ulikhetene. a) b) Setter inn 4 og får: 4 14 VS 4 HS Ulikheten stemmer Setter inn 4 og får: VS ( 4) 16 HS Ulikheten stemmer c) 1 Setter inn 4 og får: VS HS 4 Ulikheten stemmer Ulikheter av første grad 77

78 1.5. Løs ulikhetene ved regning. a) , b) , 1 c) Dividerer på - og snur ulikhetstegnet 0, Løs ulikhetene ved regning. a) 6 9, 78

79 b) , c) , Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler: A: Han kan få en fast timelønn på 50 kroner/time og i tillegg kroner for hver kurv han plukker. B: Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn. Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale B skal lønne seg. Lar være antall kurver han plukker. Vi får disse uttrykkene for de to lønnsavtalene A: 50 B: 5 B skal lønne seg. Da får vi ulikheten ,7 Det betyr at Per må plukke minst 17 kurver i timen for at avtale B skal lønne seg. 79

80 1.5.6 Kari og familien skal på tur i Finnmark. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle: A: 700 kroner/døgn, fri kjørelengde opp til 500 kilometer. Over det betales det fem kroner/kilometer. B: 1500 kroner/døgn. Fri kjørelengde. Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at avtale B skal lønne seg. Regner med at de kjører mer enn 500 km. Lar være antall kilometer de kjører og får disse utrykkene for de to tilbudene: A: B: B skal lønne seg(det betyr her at B skal gi lavest kostnad). Det gir ulikheten Det betyr at de må kjøre mer enn 100 km for at tilbud B skal lønne seg for dem. Ulikheter av andre grad Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning. a) 1 1 kan aldri bli negativt. Uttrykket 1 blir dermed aldri større enn 1. b) (1 ) (1 ) 0 Verken ( 1) eller ( 1) kan bli mindre enn 0. 80

81 1.5.8 Løs ulikhetene ved regning. a) 41 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket. Setter uttrykket lik eller 6 Vi vet nå at uttrykket 4 1 er lik 0 når og når 6. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn, -verdi mellom og 6 og for -verdi større enn 6. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Setter inn og finner: 6 " " positivt Setter inn 0 Setter inn 7 og finner: og finner: 0 negativt 7 positivt Vi kan da sette opp fortegnslinja 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,6. b) 4 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket 81

82 Vi vet nå at uttrykket 4 er lik 0 når 0 og når 1. Det er bare for disse verdier av 4 at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn 0, -verdi mellom 0 og 1 4 og for -verdi større enn 1 4. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Setter inn 1 Setter inn 1 8 Setter inn 1 og finner: " " negativt " " positivt og finner: og finner: 14 1" " 1 negativt Vi kan da sette opp fortegnslinja 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 4 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen 1, 0, 4. c) 5 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket 8

83 eller 1 1 Vi vet nå at uttrykket 5 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn, -verdi mellom og 1 og for -verdi større enn 1. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. 5 1 Setter inn " " positivt og finner: 4 Setter inn " " negativt og finner: 0 Setter inn 1 Vi kan da sette opp fortegnslinja 1 1 " " positivt og finner: Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,,. d) 6 0 8

84 Vi finner først nullpunktene til uttrykket eller Vi vet nå at uttrykket 6 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn, -verdi mellom og og for -verdi større enn. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. 6 Setter inn 4 og finner: 4 4 " " negativt Setter inn 0 og finner: 0 0 " " positivt Setter inn og finner: Vi kan da sette opp fortegnslinja " " negativt 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 6 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,. e) 7 0 Vi faktoriserer først uttrykket: 7 9 Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. Setter inn 4 og finner: 4 4 " " negativt Setter inn 0 og finner: 0 0 " " positivt 84

85 Setter inn 4 og finner: 4 4 " " negativt Vi kan da sette opp fortegnslinja 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 7 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,. 85

86 1.5.9 Løs ulikhetene ved regning. Sjekk løsningene med CAS i GeoGebra. a) Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side. (Setter uttrykket lik 0.) eller 5 Vi vet nå at uttrykket 8 15 er lik 0 når og når 5. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn, -verdi mellom og 5 og for -verdi større enn 5. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Setter inn 0 og finner: 05 " " 0 positivt Setter inn 4 Setter inn 6 og finner: 4 5 " " 4 negativt og finner: 65 " " 6 positivt Vi kan da sette opp fortegnslinja Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen: 5 Alternativ måte å skrive løsningen på er:, 5. 86

87 b) 1 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side eller 1 Vi vet nå at uttrykket 1 er lik 0 når 1 og når 1. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn 1, -verdi mellom 1 og 1 og for -verdi større enn 1. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Setter inn og finner: 1 1 " " negativ t Setter inn 0 og finner: " " positivt Setter inn og finner: 1 1 " " negativt Vi kan da sette opp fortegnslinja 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 1. Det er det samme som å finne ut når 1 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen: 1 1 Alternativ måte å skrive løsningen på er: 1, 1. 87

88 f) 6 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side eller Vi vet nå at uttrykket 6 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdier av at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn, -verdi mellom og og for -verdi større enn. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. 6 Setter inn og finner: " " positivt Setter inn 0 Setter inn 4 og finner: 0 " " 0 negativt og finner: 4 " " 4 positivt Vi kan da sette opp fortegnslinja 0 0 Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 6. Det er det samme som å finne ut når 6 0. Av tabellen kan vi lese at ulikheten har løsningen:, Vi kan også skrive løsningen slik: 88

89 g) 1 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side Vi vet nå at uttrykket 1 er lik 0 bare når 1. Det er bare for denne verdien av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøve for -verdi mindre enn 1 og -verdi større enn 1. Bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Setter inn 0 og finner: 1 01 " " 0 positivt Setter inn og finner: 11 " " positivt Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 1. Det er det samme som å finne ut når 1 0. Vi har løsninger for alle verdier av. Vi kunne også sett dette direkte da Løsning 1 1 og dette uttrykket kan aldri bli negativt. 89

90 h) 5 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side 0 Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side Ingen reelle løsninger Ulikheten har ingen løsning, dvs. at aldri vil bli 0 eller større enn 0 for noen verdier av. Med andre ord, uttrykket vil være negativt for alle verdier av. 90

91 1.6 Logaritmer Bruk digitalt hjelpemiddel og bestem svaret med 4 desimaler. a) lg 19 b) lg c) lg 0,5 d) lg 0,0001 e) lg Bruk definisjonen til å bestemme a) lg fordi b) lg 0, fordi 0, c) 5 lg fordi d) lg 10 1 fordi e) lg fordi f) lg fordi

92 Forenkling av logaritmeuttrykk 1.6. Bruk definisjonen på logaritmer og skriv så enkelt som mulig a) lg b) lg 0,5 10 0,5 c) lg d) lg 5 10 lg e) lg lg lg lg f) lg lg4 lg4 lg Bruk regnereglene for logaritmer til å forenkle følgende uttrykk. Når verdiene for a, b og er positive. a lg lg lglgalgalg lga a) a a b) lg a lg lg a lg lga lga lg lga 1 lga lga lga 1 lg 8b lg 4b lglgb lg 8 lg b (lg 4 lg b) lg lg b c) lg lg b lg lg b lg lg b lg lg lg lg b lgb 9

93 d) lg a lga lg b b lgalg b a 4 lg a b lg lg b lga lg b lga lg b lg b b lga 4lg b lga lg b lg b 4 e) 5lga f) lg g) lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 1 1 lg lg lg lg1lg 1 lg lg 0 lg 7 lg 9

94 Eksponentiallikninger Løs likningene ved regning. a) lg 4 lg16 lg 4 lg 4 lg 4 lg 4 b) 9 9 lg lg 9 lg lg lg lg c) lg10 lg 55 lg10 lg 55 lg 55 d) lg10 lg

95 e) 5 8 lg 5 lg8 lg 5 lg8 lg8 lg Løs eksponentiallikningene ved regning a),00,5 1 lg,00,5 lg1 lg,0 lg 0,5 lg1 lg1 lg,0 lg 0,5 lg6,5 lg 0,5 b) lg5 lg 4 17 lg 5 lg 4 lg17 lg 4 lg 5 c) lg lg 4 lg 1 lg lg 1 lg

96 d) e) 1 ( 1) Løs eksponentiallikningene a) 4 b) 4 8 c) a) ( ) 5 96

97 b) Martin kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 011. Vi regner med at verdien synker med 15 % per år. a) Hva vil scooterens verdi være når den er tre år gammel? Vi finner først vekstfaktoren , Vi får , Verdien etter tre år er ca kroner. b) Finn ved regning når scooterens verdi er 000 kroner. Vi setter opp likningen Løser i GeoGebra: ,85 000, der er antall år. Etter nesten syv og et halvt år er scooterens verdi redusert til 000 kroner. 97

98 1.6.9 Temperaturen T C i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T 1,15. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Når strømbruddet skjer, er 0. Vi setter inn i uttrykket og får T 1, Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 C i kjøleskapet? Vi setter T 10C og får likningen Løser i GeoGebra: 1,15 10 Hva er temperaturen i kjøleskapet? Det går nesten 14 timer før temperaturen har steget til 10 C. c) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Vi setter 0 timer og finner temperaturen i kjøleskapet. 0 T 1,15 69 Temperaturen i kjøleskapet vil nærme seg romtemperaturen på kjøkkenet dersom strømmen er borte over en lengre periode. Det er ikke realistisk at romtemperaturen er så høy som 69C. Modellen er ikke realistisk å bruke dersom strømbruddet er over en lengre periode. 98

99 Vi antar at hummerbestanden øker med,5 % i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet? Vi setter hummerbestanden lik H.,5 Vekstfaktoren blir 1 1, For å bygge opp bestanden av hummer langs norskekysten har fiskerimyndighetene vedtatt regler for fisket etter hummer. H1,05 H Vi stryker H på begge sider, og får: På kyststrekningen fra svenskegrensen til og med Sogn og Fjordane fylke er det tillatt å fange hummer i perioden fra 1. oktober klokken 08:00 til og med 0. november klokken 08:00, mens fisketiden for resten av landet er 1. oktober 08:00 til og med 1. desember. Det er bare tillatt å fiske med hummerteiner 1,05 Løser i GeoGebra: Det vil ta 8 år før bestanden er dobbelt så stor med denne økningen. 99

100 I 175 var Norges befolkning på personer. I 005 var befolkningen på personer. a) Hvor stor var økningen i prosent i denne perioden? Økning i antall personer Økning i prosent % b) Hvor stor var den prosentvise økningen per år fra 175 til 005? Vi får likningen: Løser i GeoGebra: Bruker kun den positive løsningen. Vi finner altså en vekstfaktor på 1,0075. Den årlige prosentvise veksten blir da p 1 1, p 100,75 p 100, p 0,75 100

101 1.6.1 Verdien av en bolig var kroner i begynnelsen av 00. I begynnelsen 010 var verdien kroner. a) Hvor stor var den prosentvise veksten per år fra 00 til 010? Vi setter først opp en likning og finner vekstfaktoren Løser i GeoGebra: Bruker kun den positive løsningen. Vi finner en vekstfaktor på 1,0588. Den prosentvise veksten per år blir da p 1 1, p 105,88 p 105, p 5,88 b) Hva vil verdien av boligen være i begynnelsen av 014 dersom verdistigningen er den samme de neste årene? Vi tar utgangspunkt i verdien i 010 og finner , Verdien i begynnelsen av 014 blir da ca kroner. c) Hvor lang tid tar det før verdien av boligen har økt til kroner. (Bruk samme vekstfaktor som ovenfor.) Vi tar utgangspunkt i verdien i 010 og finner Løser i GeoGebra: , Omtrent 1 år fra 010 dvs. i år 0 har verdien av boligen økt til kroner. 101

102 1.6.1 Løs eksponentiallikningene a) lg 6 lg 9 lg lg lg lg lg lg lg lg lg b) Dette er ikke mulig Likningen har ingen løsning. 10

103 c) u u 0 Nå har vi fått en andregradslikning som har løsning: u u u u 4 u u eller u 1 Det betyr at 4 eller 4 1. Løsningen 4 1 positiv. Løsningen blir gir ingen mening siden potensen alltid er 4 lg lg 4 10

104 Logaritmelikninger Løs likningene ved regning. a) lg 5 0 lg b) lg lg lg lg 1 1 lg lg c) lg 4 lg d) lg lg 0 lg lg lg e) lg( 1) lg( 1) 1 104

105 1 lg 1 ( 1) 1 lg 1 lg f) g) lg lg 1 lg lg7 h) lg lg lg1 0 lg lg1 1 6 i) lglg lg8 0 lg lg eller = 105

106 Løs likningene. Husk at logaritme eksisterer bare til positive tall. a) lg,0 0 0,0 lg lg 1, b) lg lg lg 8 0 lg lg lg lg 8 lg lg 8 lg lg lg16 16 c) lg lg lg4 0 0 lg lg lg lg 0 lg lg Løs likningene a) lg 1 lg lg

107 b) lg 1 0, lg 1 0, lg 1 0, lg 1 0, ,1 0, , 1 0, 5 c) lg 5lg 6 0 lg 5lg lg 1 57 lg lg 1 10 lg 60, d) lg 5lg 6 0 lg 5lg 6 0 lg 5lg 6 0 7lg 6 6 lg ,0 0 e) 4 lg lg 18 4 lg lg 18 4lg lg 18 lg 18 lg

108 f) lg 4 lg 0 lg 4 lg 0 4 lg 1 lg 1 g) lg lg 1 1 lg lg 1 1 lg Løsningen er derfor 1 h) lg lg 0 lg lg 0 lg Ingen løsning. 108

109 1.7 Implikasjon og ekvivalens Avgjør i hvert tilfelle om implikasjonen er riktig. a) Vi har et kvadrat Vi har en firkant Riktig. b) Vi har en firkant Vi har et kvadrat Feil. For at det skal være et kvadrat må alle sidene være like lange og vinklene være 90. c) Vi har et kvadrat Vi har en rombe Riktig. I en rombe er kravet at alle sidene skal være like lange. Størrelsen på vinklene betyr ikke noe. Det vil si at et kvadrat også kan defineres som en rombe d) Vi har et kvadrat Vi har et rektangel Riktig I et rektangel er kravet at to og to sider skal være like lange og vinklene skal være 90. Det vil si at et kvadrat også kan defineres som et rektangel e) Vi har en rettvinklet trekant Ingen av hjørnene har en vinkel > 90 Riktig. Summen av vinklene i en trekant er 180. Når den ene vinkelen er 90, så må summen av de to andre være < 90 og hver av dem må være < Avgjør i hvert tilfelle om ekvivalensen er riktig. a) Vi har en rombe Vi har et kvadrat Feil. Vinklene i et kvadrat må være 90. Implikasjonen Vi har en rombe Vi har et kvadrat blir feil. b) Det regner i Norge Det regner i Bergen Feil, men det kan vel tenkes at enkelte er uenige c) Det er et furutre Det er furunåler på grenene Riktig d) 4 Riktig 109

110 e) 4 Riktig f) 4 Feil. 4 kan også gi løsningen Matematiske bevis 1.7. Før et direkte bevis for påstanden: Summen av to påfølgende oddetall er delelig med 4 Hint: Et oddetall kan skrives som k 1. Finn et uttrykk for neste oddetall, og summer disse to oddetallene. Bevis: Et tilfeldig oddetall kan skrives som k+1 hvor k er et helt tall. Det påfølgende oddetall må da ha en verdi som er større, altså (k +1)+. Summen av disse tallene blir da: k 1 k 1 4k 4 4 k 1 Siden 4 er faktor i summen, så må summen av tallene kunne deles med 4. q.e.d. (q.e.d. er en forkortelse for latinske uttrykket Quod erat demonstrandum, hvilket skulle bevises.) Før et direkte bevis for påstanden: Summen av fire påfølgende partall er delelig med 4 Bevis: Et tilfeldig partall kan skrives som k hvor k er et helt tall. Det påfølgende partall må da ha en verdi som er større, altså k +. Det neste blir k ++, og det fjerde påfølgende partall blir k +++. Summen av disse tallene blir da: k k k k 4k 6 8k 1 4 k Siden 4 er faktor i summen, så må summen av tallene kunne deles med 4. q.e.d. 110

111 1.7.5 Før et direkte bevis for påstanden: Summen av to rasjonale tall er et rasjonalt tall (Rasjonale tall er tall som kan skrives som en brøk hvor telleren og nevneren er heltall) Bevis: Et tilfeldig rasjonalt tall kan skrives som m n hvor m og n er hele tall. Et annet tilfeldig rasjonalt tall kan skrives som p q hvor p og q er hele tall. Summen av disse tallene kan vi skrive som m p mq pn mq pn n q nq qn nq Når vi multipliserer to hele tall med hverandre, så får vi et nytt helt tall. Når vi adderer to hele tall med hverandre, så får vi et nytt helt tall. Dette må bety at både telleren og nevneren i den nye brøken blir hele tall. Summen av de to rasjonale tallene blir dermed et rasjonalt tall Før et direkte bevis for påstanden: Hvis n et oddetall, så er n 1delelig med 4 Bevis: n er et oddetall n t 1 hvor t er et helt tall n 1 ( t1) 1 n 1 4t 4t 11 n 1 4( t t) 4 er en faktor i n 1 og følgelig er 1 n delelig med

112 1.7.7 Før et direkte bevis for påstanden: Produktet av to påfølgende tall er et partall Bevis: Et tilfeldig tall kan skrives som k hvor k er et helt tall. Det påfølgende tallet blir da k 1. Produktet blir: k k 1 4k k k k er en faktor i k k og følgelig er k k et partall. Hvis det første tallet er et oddetall kan det skrives som k+1 hvor k er et helt tall. Det påfølgende tallet blir da k. Produktet blir: (k 1) k 4k 4k k k k 1 er en faktor i k k 1 og følgelig er k k 1 et partall. 11

113 Irrasjonale likninger Løs likningene. Sett prøve på svarene a) 1 1 Setter prøve på svaret, og får: Venstre side: 1 1 Høyre side: 1 er en løsning av likningen. b) Setter prøve på svaret, og får: Venstre side: Høyre side: 4 6 er en løsning av likningen c) Setter prøve på svaret, og får: Venstre side: Høyre side: er ikke en løsning av likningen 11

114 1.7.9 Løs likningen. Sett prøve på svarene. a) Setter prøve på svaret : Venstre side: 0 Høyre side: 0 er en løsning av likningen. Setter prøve på svaret : Venstre side: 1 Høyre side: 1 1 er en løsning av likningen. b) Setter prøve på svaret 0 : Venstre side: Høyre side: 0 er en løsning av likningen. Setter prøve på svaret 6 : Venstre side: Høyre side: 114

115 6 er ikke en løsning av likningen. c) Setter prøve på svaret 0 : Venstre side: Høyre side: 0 er en løsning av likningen. d) Setter prøve på svaret 0 : Venstre side: Høyre side: 0 er ikke en løsning av likningen. 8 : Venstre side: Høyre side: 8 er løsning av likningen. 115

116 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen Bildeliste Solsystemet Bilde: Science Photo Library/Scanpi Oseberg Foto: Marit Hommedal/Scanpi Pizza Foto: Paulo Whitaker/Reuters Creative/Scanpi Aktivitetsdag Foto: Ingar Storfjell/Aftenposten/Scanpi Bruksboks Foto: Stein J. Bjørge/Aftenposten/Scanpi Kjøleskap Foto: Henning Carr Ekroll/VG/Scanpi Hummer Foto: Morten Rasmussen/Scanpi Denmark 116