2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke vrierte måleenheter og måle redskper, nlysere og drøfte presisjon og målenøyktighet tolke og frmstille reidstegninger, krt, skisser og perspektivtegninger knyttet til yrkesliv, kunst og rkitektur lge og gjenkjenne mønstre v like eller ulike former som kn fylle hele plnet STIFINNEREN Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og rel 2.2 Målenøyktighet 200, 201, 202, 206, 208 200, 201, 202, 203, 204, 206, 208 200, 201, 204, 205, 206, 207, 208 2.3 Formlikhet 209, 211, 212, 213, 215 209, 211, 212, 213, 214, 215, 216 209, 211, 213, 214, 215, 216, 218, 219 2.4 rel og omkrets v plne figurer 2.5 Rettvinklede treknter Pytgors 2.6 Krt og reidstegninger 220, 221, 223, 224, 225, 231, 232, 243, 245, 246, 247 220, 221, 222, 224, 225, 226, 229, 232, 234, 235, 237, 243, 245, 246 221, 222, 224, 227, 229, 230, 232, 234, 237, 241, 242, 244, 245, 246 2.7 Volum og volumenheter 2.8 Overflte v romfigurer 2.9 Flere volumeregninger 249, 250, 251, 252, 253, 256, 263, 264 249, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 263, 264 253, 255, 256, 257, 260, 262, 263, 264, 266 2.10 Perspektivtegning 272, 273, 274, 277, 278, 272, 274, 276, 277, 278, 272, 274, 277, 278 2.11 Regulære mngeknter 2.12 Former som kn fylle plnet 282, 283 280, 284 281, 284, 286 15 rette eller gle: s. 55 lndede oppgver (289 X2.4): s. 56 Utvlgte løsninger: s. 141 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 200, 209, 210, 214, 220, 221, 222, 272 Skriftlige ferdigheter: 200, 209, 210, 214, 220, 221, 222, 242, 248, 272 Leseferdigheter: 214, 242, 247, 290, 292 Digitle ferdigheter: 277, 293, 294 Interktive oppgver: Lokus.no
30 Kpittel 2: Geometri 2.1 Enheter for lengde og rel 2.2 Målenøyktighet 200 Hvordn tenker du når du skl gjøre om fr en lengdeenhet til en nnen fr en relenhet til en nnen Velg selv noen tlleksempler som illustrerer forklringene dine. 201 Hvor mnge dm 2 er 400 cm 2? Hvor mnge m 2 er 6000 mm 2? c Hvor mnge cm 2 er 0,15 dm 2? d Hvor mnge cm 2 er 0,004 m 2? 202 Et område på 0,4 kvdrtkilometer le lgt ut til et tomteområde.. 15 % v området le rukt til veier og frireler. Det le i lt lgt ut 350 tomter. Hv vr gjennomsnittlig tomtestørrelse? 203 På sjøen regnes frten ofte i knop. 1 knop er det smme som én nutisk mil per time, og én nutisk mil er 1852 m. Hvor mnge kilometer per time er én knop? Hvor mnge meter per sekund er én knop? 204 205 For å fortelle hvor mye ensin en il ruker, oppgir vi forruket i liter per mil. En moderne fmilieil ruker 0,65 liter per mil. Hvor mye ensin ruker den på 150 km? Hvor lngt kn den kjøre på en tnk som rommer 50 liter? I US måler mn veistrekninger i miles. Volum måles i gllons. 1 mile = 1609 m og 1 US gllon = 4,546 liter. Når mn ngir ensinforruket i US, oppgir mn hvor lngt ilen kn kjøre på én gllon. c Hvordn vil du ngi ensinforruket (miles per gllon) til en venn i US når det i Norge lir oppgitt til 0,65 liter per mil? (Eksmen 1M- våren 1998) I Englnd lir pund og unser (pounds nd ounces) fortstt rukt som enheter 1 for vekt. 1 l = 1 pound = 454 g. 1 oz = 1 ounce = l. 16 Hvor mnge grm er 1 oz? Lis vr i London. Hun kjøpte en oks hermetiske mndriner med nettovekt 13 oz og en oks nns med nettovekt 2 l 30 oz. Finn nettovektene i kilogrm. Frtsgrensene i Englnd lir oppgitt i mi/h, miles per hour (som ofte er forkortet mph). 1 mile (mi) = 1609 m. c En ilturist kommer til et skilt som viser t frtsgrensen er 40 mph. Hvor mye er det i km/h? d En ritisk turist i Norge kommer til et skilt som viser 50 km/h. Hvor mye er det i mph?
Kpittel 2: Geometri 31 * 206 Det neflte lufttrykket i et ildekk er ( 200 ± 10)kP. kp står for kilopscl. Hv er det største neflte lufttrykket? Hv er det minste neflte lufttrykket? En lengde er målt til 25,2 m med en reltiv feil på 2 %. Finn øvre og nedre grense for lengden. c relet v en tomt lir oppgitt til ( 930 ± 5)m. Hvor stor er den reltive feilen? d Vi måler lengden v en slette til ( 280 ± 2)m og redden til ( 60 ± 1) m. Hvordn ør vi oppgi relet? e Du skl kjøpe et måleinstrument som måler vstnder fr 50 til 100 m. Du kn velge mellom Supervstnd og Esyruk. Supervstnd hr en solutt feil på ± 1 m. Esyruk hr en reltiv feil på ± 1,5 %. Hvilket instrument vil du velge? 207 I utikken får du oppgitt t redden på et kjøleskp er 60,0 cm. Hv kn du d gå ut fr t den virkelige redden ligger mellom? Hvilken v disse lengdene er oppgitt med flest gjeldende siffer: 1 0,040 m 2 0,0400 m 3 0,00040 m c Vi skl regne ut relet v et rektngel. Lengden er målt til 3,25 m og redden til 1,9 m. Regn ut relet. d Ky ruker 46 sekunder på å løpe 284 meter. Hvor lngt vil hn løpe på ett minutt hvis hn holder den smme frten? 208 En mskin skl frmstille pinner med lengde ( 1270 ± 30) mm. En kontrollmåling v de 24 første pinnene g dette resulttet, målt i millimeter: 1270 1243 1286 1311 1252 1296 1278 1304 1282 1249 1239 1265 1300 1257 1278 1263 1281 1246 1302 1324 1229 1283 1254 1299 Hvor mnge pinner hdde godkjent lengde? 2.3 Formlikhet 209 Hv etyr det t to figurer er formlike? Hv må du vite om en treknt når du skl tegne en ny treknt som er formlik med? c Hv må du vite om en firknt D når du skl tegne en ny firknt som er formlik med D?
32 Kpittel 2: Geometri 210 Trekntene og DEF er formlike. F 4 2 D 3 E Lrs skulle finne lengden v EF. Hn fikk 5 til svr. Er dette riktig svr? Hvordn tror du Lrs hr tenkt? Kommenter. * 211 Trekntene er formlike. 10 cm 6 cm y 3 cm x 4 cm Regn ut sidene x og y. Regn ut relet v egge trekntene. c Hv er forholdet mellom relene v trekntene? I to formlike mngeknter vet vi t forholdet mellom to tilsvrende sider er 3. d 1 Finn relet v den største mngeknten dersom relet v den minste er 25 cm 2. 2 Finn relet v den minste mngeknten dersom relet v den største er 117 cm 2. 212 En solrik dg kster et tre en skygge på 45 m. Treet står på en pln flte. Ved siden v treet står en loddrett stur på 1,4 m. Den kster en skygge på 3,5 m. Regn ut hvor høyt treet er. 213 Et negtiv hr målene 2,2 cm 3,4 cm. Det skl lges et fotogrfi v negtivet. Lngsiden skl være 24 cm. Hvor lng lir kortsiden? En plkt hr målene 64 cm 94 cm. Plkten skl forminskes slik t den korteste siden lir 36 cm. Hvor lng lir den lengste siden?
Kpittel 2: Geometri 33 214 Gunnr skl forklre Odd hvordn Odd kn finne vstnden mellom to punkter og som ligger på hver sin side v en elv. Gunnr tegner denne skissen: E D Odd hr prolemer med å forstå metoden til Gunnr. ruk skissen og lg en forklring til Odd på metoden som Gunnr ruker. 215 D E Forklr hvorfor treknten er formlik med treknten ED. Finn lengden v DE når = 9,0 cm, = 6,0 cm og E = 4,0 cm. 216 På figuren hr vi t = 3,0 cm, = 6,3 cm og = 7,0 cm. D Forklr hvorfor treknten er formlik med treknten D. Finn lengden v D og lengden v D.
34 Kpittel 2: Geometri 217 2,5 cm 1,5 cm D E Regn ut. 3,1 cm 5,2 cm D 2,0 cm 3,7 cm Regn ut D. 218 D S I trpeset D er prllell med D. Digonlene og D skjærer hverndre i S. = 6 cm, D = 4 cm, S = 2 cm og DS = 3 cm. Vis t trekntene S og DS er formlike. Regn ut S og S. 219 På figuren er linj DE prllell med. Vis t trekntene og DE er formlike. Hv er forholdet mellom høydene i trekntene DE og? c Hv er forholdet mellom omkretsene v trekntene? d Hv er forholdet mellom relene v trekntene? D 20 E 50 40
Kpittel 2: Geometri 35 2.4 rel og omkrets v plne figurer 2.5 Rettvinklede treknter Pytgors 2.6 Krt og reidstegninger 220 Hvordn ser et rektngel ut? Kn et rektngel være et kvdrt? Kn et kvdrt være et rektngel? c Tegn et trpes, sett på mål og regn ut relet v trpeset. Fins det ndre trpes som hr like stort rel? Hvis du mener j, tegn noen slike trpeser. d Per skl løse en geometrioppgve som egynner slik: «I en firknt er to og to sider like lnge.» D må firknten være et rektngel, sier Per. Hr hn rett? 221 c d e f Hvilken v trekntene er rettvinklet? Hv kjennetegner en rettvinklet treknt? Hvilken v trekntene er likesidet? Hv kjennetegner en likesidet treknt? Hvilken v trekntene er likeeint? Hv kjennetegner en likeeint treknt? Kn en likeeint treknt også være rettvinklet? Kn en likeeint treknt også være likesidet? Kn en likesidet treknt også være likeeint? 222 I en treknt er vinklene 30, 60 og 90. Hv vet du om lengden v sidene i treknten? I en treknt er vinklene 45, 45 og 90. Hv vet du om sidene i denne treknten? c I en likeeint treknt er én v vinklene 50. Hvor store kn de ndre vinklene være? d ruk psser og linjl og konstruer en treknt når 1 = 8 cm, = 90 og =12cm 2 = 12 cm, = 45 og = 60 3 = 90, = 9 cm og =12cm e Skriv en ruksnvisning for de tre konstruksjonene i oppgve d.
36 Kpittel 2: Geometri * 223 En vernd hr form som et trpes. De to prllelle sidene er 4,0 m og 2,5 m lnge. vstnden mellom dem (redden på vernden) er 1,8 m. Tegn en figur som viser hvordn vernden kn se ut. Regn ut relet v vernden. 224 Et ovlt ord er stt smmen v en rektngulær del og to hlvsirkelformede deler. Den rektngulære delen v ordet er 1,40 m lng og 1,10 m red. Regn ut relet v det ovle ordet. Regn ut omkretsen v det ovle ordet. c Hvor mnge gjester er det plss til rundt ordet dersom vi regner c. 60 cm ordplss per gjest? 225 En hgeflekk hr denne formen: 4,4 m 5,0 m 7,0 m 4,6 m Det skl settes opp et enkelt gjerde rundt hgen. Hvor mnge meter gjerde trengs det? Finn relet v hgen. Hvor mnge måter kn du finne relet på?
Kpittel 2: Geometri 37 En korridor hr denne formen: 8,0 m 1,5 m 6,3 m 2,0 m c Det skl legges teppe i korridoren. Teppet koster 285 kr per m 2 inklusiv legging. Hvor mye vil det koste å legge teppe i korridoren? 226 4,0 m 2,0 m c 8,0 m 0,5 m 4,0 m 0,75 m Regn ut relet v figurene. 227 Hv skjer med relet v et rektngel dersom vi gjør lengden 10 % større og smtidig gjør redden 10 % mindre? 2,0 cm 2,0 cm Tegn et kvdrt som hr doelt så stort rel som kvdrtet på figuren.
38 Kpittel 2: Geometri D F E D og EF er kvdrter. c Forklr geometrisk t relet v EF på figuren er doelt så stort som relet v D. d Se oppgve c. Vis det smme ved regning. 228 E D På figuren er = 7,0 cm, D = 6,0 cm og E = 6,5 cm. Finn lengden v. 229 36 m 25 m 45 m En fmilie skl gjødsle plenen. De regner med t det går med 2,4 kg gjødsel per 100 m 2. Plenen hr tilnærmet form som et trpes. Målene ser du på figuren. Hvor mye gjødsel går det med?
Kpittel 2: Geometri 39 230 Figuren viser flten som dekkes v vindusviskeren på en il. Viskerrmen er 52 cm lng, og viskerldet er 53 cm. Viskerrmen er festet midt på viskerldet. Viskeren dreier en vinkel på 120. Hvor stor flte dekker den? 120 53 cm 52 cm 231 x 5,0 cm 4,5 cm 3,2 cm z 5,4 cm 4,0 m y Regn ut den ukjente siden i trekntene. 5,0 cm * 232 2,6 m c d e 15,2 m Figuren viser et tre som er rukket. Hvor høyt vr treet? Lrs hr en stige som er 6,5 m lng. Hn plsserer foten v stigen 2,5 m fr veggen. Hvor høyt opp på veggen når stigen? (Tegn figur.) Pmel svømmer 65 utover, vinkelrett på strnden. Deretter svømmer hun 160 m prllelt med strndknten. Til slutt svømmer hun korteste veien tilke til utgngspunktet. Vi regner t strndknten er rettlinjet. Finn ut hvor lngt hun hr svømt til smmen på denne svømmeturen. Hjemme hos Tove er kjellerdør 1,05 m red og 210 cm høy. Tove hr kjøpt en plte som er 2,40 m red og 2,30 m høy. Vil hun få plt inn gjennom kjellerdør? Finn lengden v digonlene i et rektngel med sider 12 cm og 16 cm. 233 Regn ut relet og omkretsen v trpeset. Hv lir relet og omkretsen hvis vi eholder vinklene, men doler sidene i oppgve? D 3,4 m 3,2 m 5,5 m
40 Kpittel 2: Geometri 234 Regn ut D på figuren. D 5,0 m 2,0 m 4,0 m 235 Finn lengdene v x og y på figuren. 3,0 cm y 7,0 cm 4,0 cm x y 2,5 cm x 2,5 cm 5,6 cm 236 Undersøk om treknten er rettvinklet når sidene i treknten er 15, 20 og 25 16, 20 og 26 c 10, 24 og 26 * 237 Jn Olv hr kjøpt et 32 widescreen-tv. 32 h 32 er lengen v digonlen, og widescreen etyr t TV-pprtet er eregnet på å t i mot progrmmer som sendes i formtet 16 : 9. Formtet oppgis som : h. Det etyr ltså t : h= 16 : 9. Regn ut redden og høyden på skjermen. På nyere TV-pprter er det mulig å ytte mellom ulike illedformter. Mnge TV-progrmmer sendes fortstt i stndrdformtet 4: 3. Jn Olv stiller om formtet til 4: 3. Hn får d en svrt stripe på hver side v ildet. Hvor red er denne stripen?
Kpittel 2: Geometri 41 238 2 m S 2 m Den minste uen fr til på figuren er en del v en sirkel med sentrum i. Den største uen er en del v en sirkel med sentrum i S. Regn ut relet v området mellom og den minste sirkeluen fr til. Regn ut relet v det skrverte området. 239 Regn ut. 5,0 cm 60 240 En edderkopp som sitter i hjørnet i esken på figuren, vil krype til hjørnet. Hvor lng er den korteste veien den kn krype? 20 cm 30 cm 40 cm
42 Kpittel 2: Geometri 241 Per hr lget et redskp til å kontrollere rette vinkler. Redskpet er formet som en treknt med ekstr støtte D. Se figuren nedenfor. D er midtpunktet på, ogd er like lng som D. D D = D = D Per måler ikke lengdene v og, fordi hn mener t lir en rett vinkel unsett, re D, D og D er like lnge. Men hn klrer ikke helt å forklre dette. Hvordn vil du forklre t lir en rett vinkel? (Eksmen 1M- høsten 1997) 242 Det fins flere evis for pytgorssetningen. Ett v evisene tr utgngspunkt i denne figuren: c c c c Sett opp to uttrykk for relet v det store kvdrtet og ruk det til å evise pytgorssetningen. Finn flere evis for pytgorssetningen. Du kn for eksempel søke på pythgoren theorem proof på Internett.
Kpittel 2: Geometri 43 243 Krtutsnittet nedenfor er i målestokk 1 : 325 000. Gnsdlen jørkelngen Målestokk 1 : 325 000 Løken Hvor lngt er det i luftlinje fr Gnsdlen til Løken? Hvor lngt er det i luftlinje fr Gnsdlen til jørkelngen? 244 Tegn en skisse v omslget på mtemtikkok i målestokk 1 : 3. Finn frm en inders eller en nnen liten gjenstnd. Tegn en skisse v gjenstnden i målestokk 2 : 1. 245 Til høyre er det et krt over ntrktis. Gi et overslg over relet v ntrktis ved hjelp v målestokken på krtet. Vis hv du gjorde, og forklr hvordn du gjorde overslget. (PIS) N T R K T I S Sydpolen Menziesfjellet 0 500 1000 km
44 Kpittel 2: Geometri 246 5550 6200 2540 3500 5240 3600 5600 3170 1880 reidstegningen viser plnløsningen v første etsje i en hytte. Hvor stor er grunnflten v hytt (inklusiv yttervegger)? Hvor mnge kvdrtmeter er soverommet på? c Hvilken målestokk er rukt? d Hvordn ser din drømmehytte ut? Lg en reidstegning som viser en tenkt plnløsning v første etsje i drømmehytt. Husk å sette mål på reidstegningen. 247 Lrs skl snekre en okreol. Reolen skl være 2,05 m høy, 1,2 m red og 25 cm dyp. Det skl være like stor vstnd mellom hyllene i reolen, og det skl være plss til øker som er 30 cm høye. Lrs hr kjøpt inn mteriler som er 15 mm tykke. Lg noen reidstegninger som Lrs kn ruke. Velg en pssende målestokk og sett mål på tegningene. 248 Du skl estille et nytt spisestueord hos en møelsnekker. Snekkeren er om å få noen skisser v ordet med mål. Velg form og størrelse på ordet og tegn noen skisser i en pssende målestokk. 2.7 Volum og volumenheter 2.8 Overflte v romfigurer 2.9 Flere volumeregninger 249 Nedenfor ser du noen måltll med enhet. Du kn legge smmen noen v dem. Hvilke kn du legge smmen? Hv lir summen? 3,0 dm 3,5 liter 2 dl 1,8 dm 3 2,5 dm2
Kpittel 2: Geometri 45 250 Når vi lkkerer et golv, er tykkelsen på lkklget omtrent 0,05 mm. Hvor mnge liter lkk trenger vi til et golv som er 5,6 m lngt og 4,4 m redt? 251 Et rett prisme hr en kvdrtisk grunnflte med side 1,5 dm. Høyden i prismet er 25 cm. Tegn figur v prismet i utrettet tilstnd. Sett mål på figuren. Regn ut volumet og overflten v prismet. 252 En rund kkeform hr en indre dimeter på 20 cm og høyde på 6,0 cm. Hvor stort volum hr formen? En kjele hr form som en sylinder med indre dimeter på 24 cm. Vi fyller 7,5 liter vnn i kjelen. Vnnet står d 1,5 cm under knten. unnen er 10 mm tykk. Hvor høy er kjelen? c Et litermål hr form som en sylinder med indre dimeter på 11,0 cm. Hvor lngt er det fr unnen og opp til merket for 3 dl? 253 En vskepulverpkke er 14 cm lng, 5,0 cm red og 13 cm høy. Tegn figur v pkken og sett på mål. Regn ut overflten v pkken. c Hvor mnge desiliter vskepulver er det plss til i pkken? 254 I 1872 estemte English Footll ssocition t fotllen skulle være kuleformet, og t omkretsen skulle være mellom 68,6 cm og 71,1 cm. Dette gjelder den dg i dg. Regn ut den største og den minste overflten en fotll kn h. 255 En kokosolle hr form som en hlvkule med dimeter 7,0 cm. Finn overflten og volumet v kokosollen. * 256 257 En juicekrtong hr rektngelformet grunnflte med sider 9,5 cm og 6,3 cm. Hvor høy må krtongen være for å romme 1 liter juice? Hvor mye juice er det i krtongen når juicen står 10,5 cm over unnen? Du skl øke enten lengden eller redden eller høyden i prismet med 1 cm. Høyde 3 cm redde 4 cm Lengde 8 cm Hv må du endre på for t økningen i volumet skl li minst mulig størst mulig
46 Kpittel 2: Geometri 258 Du skl lge en eholder som rommer c. 2 liter. Du kn fritt velge formen på eholderen. Tegn skisse v noen eholdere. Sett mål på skissene. 259 4 cm 16 cm 3 cm Er det plss til 0,5 liter drikke i dette egeret? 50 cm 50 cm 260 Figuren viser den utrettede sideflten i en kjegle. Finn rdien og høyden i kjeglen. c Hv lir overflten v hele kjeglen? Figuren viser en rettvkortet kjegle. Volumet er gitt ved 1 V = πh R + R r + r 3 2 2 ( ) r h der r og R er rdiene i endefltene. Regn ut volumet v en rettvkortet kjegle når r = 30, cm, R = 40, cm og h = 55, cm. En lomstervse hr form slik figuren viser. Finn volumet v lomstervsen i liter. c Kontroller formelen ovenfor ved å sette r = R. Kn du finne en nnen måte å kontrollere formelen på? 4,5 cm R 5 cm 10 cm 3,5 cm
Kpittel 2: Geometri 47 261 Figuren viser fem tennisller i en sylinderformet eholder. Dimeteren på tennisllene (og eholderen) er 6 cm. Hvor stor er overflten v eholderen? Hvor stor del v eholderens volum er tomrom? c Hvordn kn du finne svret på spørsmålet i med et forsøk med vnn? 262 Et sseng hr form som en omvendt kjegle med rdius 1,50 m og dyde 1,00 m. ssenget fylles med vnn fr en hgeslnge. Vnnet står på for fullt hele tiden. Det tr 24 minutter å fylle ssenget helt opp. Regn ut vstnden fr ssengknten og ned til unnen v ssenget. Finn volumet v ssenget. c d Hvor lng tid tr det til vnnhøyden er 50 cm? Hvilken v grfene eskriver est hvordn vnnhøyden stiger? egrunn svret. vnnhøyde vnnhøyde vnnhøyde 1,50 m 1,00 m tid tid tid * 263 I en rett firkntet pyrmide er grunnflten et kvdrt med side 6,0 cm. Høyden i pyrmiden er 5,0 cm. Punktet D ligger slik t D = D. Toppunktet ligger rett over midtpunktet E i grunnflten. Regn ut høyden i sideflten ( på figuren). Regn ut overflten v pyrmiden. c Regn ut lengden v. h E D 264 I en rett kjegle er rdien 8,0 cm og høyden 15 cm. Regn ut sideknten s. Finn overflten v kjeglen. h s r
48 Kpittel 2: Geometri 265 I en rett sylinder er høyden lik rdien i grunnflten. Vis t overflten er gitt 2 ved O= 4 πr. 266 h 36 cm 27 cm 54 cm Når vi skjærer ort øvre del v en kjegle slik figuren viser, får vi en vkortet kjegle. En lmpeskjerm hr form og mål som den vkortede kjeglen på figuren. De to sirklene som vgrenser toppen og unnen v kjeglen, hr dimetrene 27 cm og 54 cm. Sideknten er 36 cm. Finn høyden på lmpeskjermen. Finn høyden på kjeglen. c Regn ut hvor mnge dm 2 stoff det går med til skjermen. 267 Det skl støpes en sylinderformet etongkum. unnen og veggene hr smme tykkelse. 1,45 m 1,80 m 268 1,60 m Hvor mnge kuikkmeter etong går med til støpingen? Et grensemerke estår v en sylinder med en kjegle på toppen. Målene ser du på figuren. Regn ut volumet v grensemerket. Regn ut sideknten i kjeglen. c Regn ut overflten v grensemerket. 50 cm 30 cm 70 cm
Kpittel 2: Geometri 49 269 Figuren viser en mskindel. Den estår v et prismeformet jernstykke med en sylinderformet utoring. Lengden v jernstykket er 30 cm. Endefltene er kvdrtiske med sider 15 cm. Dimeteren i utoringen er 8,0 cm. Finn volumet v metllet i mskindelen. Skriv en ruksnvisning som forteller hv vi må måle når vi skl regne ut volumet v en utoring v smme form som i oppgve. Skriv også i ord hvordn en skl regne ut volumet v metllet. 270 271 Hvor mnge prosent øker volumet v en kule dersom rdien lir 10 % større? Grunnflten i en pyrmide er et rektngel med sider 40 cm og 30 cm. Hver v de fire sidekntene i pyrmiden er 50 cm lnge. Vi tenker oss t vi klipper lngs sidekntene og retter ned sidefltene slik t vi får en pln figur. Lg en tegning v den plne figuren. Regn ut relet v den plne figuren. 2.10 Perspektivtegning 272 ildene i oppgve 273 og 274 viser noen v grunnprinsippene vi ruker i perspektivtegning. Hvilke? 273 Kopier ildet og estem forsvinningspunktene. Lg en perspektivtegning v huset.
50 Kpittel 2: Geometri 274 Kopier ildet og estem forsvinningspunktene. Lg en perspektivtegning v husrekk. 275 Du står og ser nedover en lng rett vei. Det er fortu på egge sider og hus i vrierende høyde og redde. På figuren hr vi tegnet inn linjer svrende til veiredden og fortusredden. Fullfør tegningen. 276 FP 1 FP 2 Tegningen viser hjørnet på en middellderorg. Forsvinningspunktene er nær orgen. Det svrer til t tegneren står nær orgen. Lg en ny tegning der du lr forsvinningspunktene være lenger fr orgen. D får du frm hvordn orgen ser ut på lng vstnd. Tegn inn noen flere detljer.
Kpittel 2: Geometri 51 277 Det fins mnge enkle tegneprogrmmer som egner seg godt for å lge perspektivtegninger. For eksempel finner du progrmmet Pint i Microsoft Windows. Pint åpnes vnligvis ved Strt - lle progrmmer - Tilehør. På fgnettstedet på Lokus.no finner du en kort rukerveiledning med eksempler. ruk et tegneprogrm og lg noen perspektivtegninger. Du kn for eksempel strte med å lge en tegning som i eksempel 4 på side 106 i læreok. 278 Gjør først oppgve 2.63 på side 100 i læreok. Se på svrene dine på spørsmål e. Tenk deg så t du står og ser ortover en lng rett vei. Lngs veiknten er det lysmster. Lysmstene er like høye, og det er like stor vstnd mellom dem. Hvordn skl du tegne dette i perspektiv? E FP D Dette er strten på tegningen. Vi strtet med å velge plssering v de to første mstene ( og D). Legg merke til hvordn vi fnt hvor den tredje msten skl plsseres. Skriv en kort forklring til tegningen ovenfor. Hvilket prinsipp i perspektivtegningen er det vi får frm med denne teknikken? Tegn inn noen flere lysmster. c Denne teknikken kn du også ruke dersom du skl tegne en husrekke med like rede hus som ligger lngs en rett gte. Lg en slik tegning. d Kn du tenke deg ndre situsjoner der du kn få ruk for denne teknikken?
52 Kpittel 2: Geometri 2.11 Regulære mngeknter 2.12 Former som kn fylle plnet 279 Trpeset på figuren er stt smmen v tre regulære treknter med side lik 1. Hvor lnge er sidene i trpeset? Undersøk hvor mnge forskjellige prllellogrmmer du kn sette smmen ved å ruke inntil 12 treknter, lle regulære med side lik 1. Hvor lnge er sidene i disse prllellogrmmene? c Forklr hvordn du gikk frm for å løse prolemet i oppgve. 280 Tegn et kvdrt og finn sentrum i kvdrtet. Kll sentrum i kvdrtet for O. Slå en sirkel med sentrum i O, og rdius lik vstnden fr O til ett v hjørnene i kvdrtet. Hvor ligger de ndre hjørnene i kvdrtet? Kvdrtet i oppgve er innskrevet i sirkelen. lle regulære mngeknter kn innskrives i en sirkel. Vi sier også t sirkelen er omskrevet kvdrtet. Konstruer en regulær treknt, finn sentrum i treknten og kontroller t treknten kn innskrives i en sirkel. 281 S Du skl konstruere en regulær seksknt med sideknt 4 cm. ruk figuren og skriv en forklring på hvordn du kn gå frm for å konstruere seksknten. Konstruer seksknten.
Kpittel 2: Geometri 53 282 For å løse denne oppgven trenger du psser og linjl. På figuren ser du en metode vi kn ruke når vi skl dekke en flte med regulære treknter. Tegn v og utvid figuren nedover. Skriv en forklring på frmgngsmåten. Frgelegg noen v trekntene slik t du får frm et mønster. 283 Del et rk opp i like store rektngler (ruk lynt). ruk teknikken fr figuren ovenfor og lg ditt eget mønster. Til slutt kn du viske ut lyntstrekene. 284 Tegn v og utvid figuren nedover. Hv etyr skrivemåten (3,6,3,6)? ruk figuren til å lge mønstret (3,6,3,6). ruk frger for å få frm mønstret. 285 t en form tessellerer, etyr t den kn rukes for å fylle plnet. På side 116 i læreok ser du to tesselleringsteknikker: I eksempel 5 hr vi rukt teknikken med prllellforskyvning. I eksempel 6 hr vi rukt teknikken med rotsjon om et hjørnepunkt.
54 Kpittel 2: Geometri Her ser du end en teknikk vi kn ruke: c Velg en v metodene og lg en tessellering. Prøv å lge en tessellering der du kominerer noen v disse metodene. Det fins mnge flere metoder enn dem vi hr vist. Søk på tesselltion og se hv du finner! 286 På figuren nedenfor ser du tre regulære treknter og to regulære firknter som møtes i et punkt (hr felles hjørne). Hjørnekominsjonen kn vi skrive (3,3,3,4,4). Vi strter lltid med det lveste tllet når vi skl eskrive en hjørnekominsjon. (Se også side 113 i læreok.) Hvordn vil du eskrive denne kominsjonen? Lg hjørnekominsjonene (3,6,3,6) og (3,3,6,6). c Undersøk om kominsjonene i oppgve kn fylle plnet. 287 Lg et mønster v treknter og firknter der du re ruker frger for å få frm mønstret.
Kpittel 2: Geometri 55 288 Mønstret på figuren hr vi lget ved å gjent en estemt hjørnekominsjon. Hjørnekominsjonen kn gjents i det uendelige. Den kn ltså dekke hele plnet. Hvilken hjørnekominsjon er det? I det mønstret vi d får er det mnge symmetrilinjer, men mnge v dem er prllelle. Det ser du tydelig når du fortsetter figuren. Hvor mnge symmetrilinjer finner du som ikke er prllelle? 15 rette eller gle 1 En likeeint treknt kn ikke være rettvinklet. 2 Når rdien i en sylinder doles, doles volumet. 3 Hvis sidene i en treknt er 2,4 cm, 4,6 cm og 5,2 cm, er én v vinklene 90. 4 5cm 3 er det smme som 5 ml. 5 I en regulær 12-knt er summen v vinklene 2160. 6 I treknt er sidene 6 cm, 15 cm og 20 cm. I treknt er sidene 9 cm, 18 cm, og 23 cm. Trekntene er d formlike. 7 Lrs hr målt en lengde til 5,0 m. Per hr målt den smme lengden til 5,00 m. Målingene er like nøyktige. 8 I lle treknter er det slik t én v sidene er den lengste siden. 9 2,4 m 2 er det smme som 2 400 000 mm 2. 10 Et krt i målestokk 1 : 5000 inneholder flere detljer enn et krt i målestokk 1 : 50 000. 11 Volumet v rette kjegler og pyrmider er gitt ved formelen G står for relet v grunnflten. 12 En regulær treknt er det smme som en likesidet treknt. 13 V G = h 3. Vi fyller kjeglen med vnn og tømmer vnnet fr kjeglen over i sylinderen. Hvis vi gjør dette tre gnger, er sylinderen full. 14 lle rektngler som hr smme rel, hr også smme omkrets. 15 I perspektivtegning er det slik t lle rette linjer som i virkeligheten er prllelle, går smmen i et forsvinningspunkt.
56 Kpittel 2: Geometri lndede oppgver 289 Ol selger mrsipnkuler i to størrelser: De store kulene hr en dimeter på 2,0 cm og koster 2 kr per stykk. De små kulene hr en dimeter 1,5 cm og koster 1 kr per stykk. Regn ut volumet v kulene. Finn ut om du får mest mrsipn for pengene ved å kjøpe store kuler eller c ved å kjøpe små kuler. Hvor mnge prosent dyrere er den ene typen mrsipnkuler enn den ndre når du tr hensyn til hvor mye mrsipn du får for pengene? Kulene selges også i esker. Du kn få esker med 64 små kuler og esker med 27 store kuler. lle kulene er dekket v et tynt sjokoldelg som er likt på lle kulene. d I hvilken v eskene er det mest sjokolde? 290 Kildesortering v vfll er vnlig i lle kommuner i lndet. eholderne for innsmling v glss hr form som en sylinder med en hlvkule oppå. Dimeteren i sylinderen og hlvkul er 90 cm. Vis t en slik eholder hr et volum på 1,2 m 3. En eholder er plssert i et distrikt der en regner med t det hvert døgn lir kstet glss som opptr et volum på 50 liter. Hvor ofte ør kommunen tømme eholderen? Kommunen disponerer et lite område der den ønsker å plssere slike eholdere. Området er kvdrtisk med rel 4,0 m 2. c Vis ved regning og geometriske etrktninger t det er plss til minst to eholdere på området. 291 En fmilie hr lget en vnneholder som rukes når de skl dusje. eholderen er stt smmen v en sylinder og en kjegle, se figuren. Dimeteren i sylinderen og i kjeglen er 30 cm. Høyden i sylinderen og i kjeglen er 20 cm. (Målene er innvendige.) Hvor mnge liter vnn rommer eholderen? Regn ut overflten v tnken. Ol fyller eholderen helt full med vnn før hn dusjer. Etter dusjen vr vnnhøyden h = 31 cm (se figuren). Hvor mye vnn hdde Ol rukt? c En dg vr vnnhøyden 8 cm. Hvor mnge liter vnn vr det igjen i eholderen? 30 cm 20 cm 20 cm h
Kpittel 2: Geometri 57 292 I et gruppereid i mtemtikk får en gruppe elever i oppgve å lge en pyrmide i ppp. Det skl være en rett pyrmide med kvdrtisk grunnflte. Grupp får utdelt en kvdrtisk ppplte med sideknt 50 cm. Delene til pyrmiden skl skjæres ut v denne plt. Elevene skl ltså skjære ut en kvdrtisk grunnflte og fire likeeinte treknter til sideflter. Pyrmiden skl oppfylle følgende krv: Smlet rel v de fem delene skl være mer enn hlvprten v plts smlede rel. Volumet v den ferdige pyrmiden skl være på minst to liter. Hvordn vil du skjære ut delene slik t krvene lir oppfylt? Gjør eregninger, tegn figur og vis t din løsning oppfyller krvene. 293 Dette regnerket regner ut volumet v en sylinder: I cellen 10 ligger formelen =pi()*4^2*6. (Legg merke til hvordn vi skriver inn π.) Lg dette regnerket. På verktøylinj hr du flere knpper, én som øker ntll desimler, og én som reduserer ntll desimler. Finn disse knppene. Klikk i rute 10. Deretter klikker du på knppen for å redusere ntll desimler til du får volumet med to desimler. c ruk regnerket til å regne ut volumet når høyden er 10,0 cm og rdien er 8,0 cm. d ruk regnerket til å undersøke hv som skjer med volumet v sylinderen dersom 1 høyden er konstnt og rdien doles 2 høyden er konstnt og rdien hlveres 3 rdien er konstnt og høyden doles 4 rdien er konstnt og høyden hlveres e Svr på spørsmålene i oppgve d ved å ruke formelen for volumet v en sylinder. (ltså uten å regne med tll.)
58 Kpittel 2: Geometri 294 Volumet v en sylinder er 50 cm 3. Finn rdien når høyden er 2,0 cm. ruker du regnerket fr forrige oppgve, vil du sikkert finne svret med «prøve og feile»-metoden. Men hvorfor ikke l regnerket gjøre «prøve og feile»-joen for deg? Klikk på «Verktøy» og «Målsøking». Du får nå dilogoksen ovenfor. Volumet er i celle 10, og volumet skl h verdien 50 cm 3. Vi skl finne rdien, ltså er det innholdet i celle 4 som skl endres. Klikker vi OK, får vi t rdien må være 2,82 cm for t volumet skl li 50 cm. Regnerket hr ltså løst likningen πr 2 2 = 50 for oss. T frm regnerket fr oppgve 293. Følg instruksene ovenfor og kontroller t rdien lir 2,82 cm. Øv deg på å ruke målsøkingsverktøyet. Hvis rdien er 8,0 cm, hv må høyden være for t volumet skl li 125 cm 3? Lg flere slike oppgver. 295 Lg et regnerk som regner ut volumet v en kjegle. En kroneis estår v en kjegle med en hlvkule på toppen. 1 Lg et regnerk som regner ut volumet v isen når du skriver inn høyden og dimeteren til kjegl (ltså ikke den h som er merket v på figuren). 2 Lg et regnerk som regner ut volumet når du skriver inn høyden på hele iskremen (h på figuren) og dimeteren til hlvkul (d på figuren). h d X2.1 Ev hr 48 meter ståltråd. v den skl hun lge et strømgjerde rundt et eiteområde. Hun vil velge mellom følgende former på eiteområdet: Likesidet treknt Sirkel Kvdrt Hvilken form gir størst rel, og hvilken gir minst? Hvor stor er forskjellen i prosent mellom største og minste rel? (Eksmen 1MX høsten 2004)
Kpittel 2: Geometri 59 X2.2 Tegn en regulær åtteknt med side lik 5 cm. Vis hvordn vi kn flislegge et gulv ved å ruke regulære åtteknter smmen med en nnen type mngeknt. c 5 cm 5 cm 5 cm Vis på figuren t er tilnærmet lik 3,5 cm. Finn så relet v åtteknten. (Eksmen 1MY høsten 2003) X2.3 På figuren er relet v den store sirkelen delt i fire like store deler. Vis det ved regning. (Eksmen 1MX våren 2004, endret) X2.4 En edrift vil pkke 24 sylindriske ppirruller i esker. For å spre utgifter ønsker edriften å pkke ppirrullene slik t volumet v esken lir minst mulig. Ppirrullene hr dimeter 1 dm og høyde 4 dm. Vis ved regning hvilket v lterntivene nedenfor som gir minst volum v esken. (Eksmen 1MX høsten 2005)