Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Transkript

1 Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene. Unntket er siste spørsmål, hvor mn lir edt om å forklre om everfunksjonen. Oppgve 1. Mn kn gå frm på to måter: Alterntiv 1: Først ``ser mn direkte fr grmmtikken (eller den opplgt ekvivlente grmmtikken med produksjoner S S S S S S) t den definerer språket ( ) ( )* En utomt for ( ) er En utomt for ( )* er Kopler mn de to etter hverndre, får mn følgende utomt for ( ) ( )* Side 2 v 3

2 Alterntiv 2: Hvis vi ersttter grmmtikken med den opplgt ekvivlente grmmtikken S B S A A F A S B F B S F kn vi ruke metoden i prolem 59 klengs, og få utomten (der tilstndene til venstre er ovenfr og ned -- A, S, B, og tilstnden til høyre er F) Dette er en nnen utomt enn vi fikk i første løsningslterntiv, men den er like god. Så ruker vi metoden i prolem 52. D må vi først gjøre strt-tilstnden til en ytre tilstnd, slik: Så kn vi t vekk den øverste tilstnden. For å sikre t vi fremdeles kn komme oss mellom de gjenværende tilstndene som før, legger vi til nye knter Side 3 v 3

3 Tilsvrende fjerning v nederste tilstnd gir Ved å knytte smmen lterntive trnsisjoner, får vi så Til slutt tr vi vekk den midterste tilstnden, og får ( )* ( ) Det regulære uttrykket ( )* ( ) lir ltså vårt svr. Oppgve 1. S B B B S B S B B B S A Side 4 v 3

4 Oppgve 1c Vi oppgir stkkutomten ved hjelp v en tell, som følger: Når vi er i denne tilstnden, og leser dette fr input, og finner dette øverst på stkken, d kn vi fjerne dette fr stkken, gå til denne tilstnden, P S P B P S P A P A P P A P S P B P P B P S P A P AA P B P BB P P P P og legge disse symolene inn på stkken. (Symolet lengst til høyre nederst, det lengst til venstre øverst) P er strt-tilstnd og ksepterende tilstnd, og strt-stkk er en stkk med nøyktig ett symol, nemlig S. Oppgve 2. Vi skl ltså skrive et regulært uttrykk for språket som inneholder strenger v typen P Q P Q og så videre. Alfetet estår d v de seks symolene P Q Når vi skriver regulære uttrykk, ruker vi tegnet for å uttrykke union. For å unngå foreveksling mellom de to tegnene, skrives union under ved hjelp v tegnet. Et regulært uttrykk for det ktuelle språket lir d: ( ) (P Q ) ( ( ) (P Q ) )* ( ( ) (P Q ) ( ( ) (P Q ) )*)* Liten forklring: (Ikke nødvendig som del v esvrelse.) Språket v litterler ngis ved ( ) (P Q ) Kll dette LITT. Språket v (ikke-tomme) konjunksjoner v litterler ngis ved LITT ( LITT)* Kll dette KONJ. Språket v (ikke-tomme) disjunksjoner v slike konjunksjoner ngis ved KONJ ( KONJ)* Oppgve 2. Vi skl nå tegne en endelig utomt som leser inn slike utsgn, og ksepterer dem som er snne i den ngitte tolkningen. Hv mskinen gjør hvis input ikke er et slikt utsgn, trenger vi ikke å ry oss om. D er fire tilstnder nok:, P, P,Q,,,, Q Q P,,, P, Q, Side 5 v 3

5 Noen v pilene hr flere tegn på seg, for eksempel den øverste. Vi leser dette som en forkortet skrivemåte for tre trnsisjoner på en gng: Vi lir værende i strt-tilstnden hvis vi leser, og hvis vi leser P, og hvis vi leser. Tilstnden i midten er ltså strt-tilstnden. Vi kunne klt den denne konjunksjonen er snn så lngt. Vi lir værende her (med unntk v vstikkere til høyre når vi leser negsjon) så lenge vi leser snne litterler. Herfr kn vi enten gå videre til tilstnden til venstre, som vi kunne klt OK. Dit kommer vi når vi hr funnet en hel konjunksjon som re estår v snne litterler. Vi vet t vi hr nådd slutten v en konjunksjon når vi ser tegnet. Den nederste tilstnden kunne vi klt edre lykke enste gng. Hit hvner vi fr tilstnden over når vi hr oppdget et usnt litterl. Vi lir værende her til en ny dukker opp og signliserer en ny sjnse. Oppgve 2. Vi tenker oss en Turingmskin med uendelig tpe mot høyre, med symolene P,Q,,,,, 0 (lnk) og Som input får vi en tpe med først (ltså til venstre), deretter utsgnet vi skl teste, og så lnke. Mskinen trenger ldri skrive noe: Det er tilstrekkelig t den først går fr venstre mot høyre mens den gjør kkurt det smme som mskinen over. Vi sjekker ltså først for snnhet i tolkningen hvor P, er snne og Q er gl. Er utsgnet ikke snt her, kn mskinen stoppe og si nei med en gng. I motstt fll går den tilke til strten v tpen og etterlikner så en helt tilsvrende endelig utomt som sjekker for snnhet i forhold til tolkningen hvor P og Q er usnne mens er snn: P 0 Q Q 0 NEI L 0 Q P Q P 0 JA Denne mskinen skriver ltså ikke. På hver trnsisjonspil finnes det derfor re ett symol. Dette står ved strten v pilen, og ngir lest tegn. Fr strt-tilstnden er det tegnet ut-trnsisjoner for symolene Q,,, 0. Husk på t det er underforstått i vår måte å tegne på t det d også går trnsisjoner fr denne tilstnden til seg selv for de øvrige symolene P,,,. Hvis vi skl sjekke logisk gyldighet v slike utsgn, må vi sjekke snnhet i forhold til lle de åtte mulige tolkningene. Dette kn gjøres ved å kople åtte mskiner etter hverndre på måten vi her hr gjort med disse to. Side 6 v 3

6 Oppgve 3. En flittig ever er en ever som skriver minst like mnge ett-tll som lle de ndre everne med smme ntll tilstnder. L n være et hvilket som helst tll; d finnes det re endelig mnge (forskjellige) evere med n tilstnder. Dette er fordi en ever re ruker symolene 0,1,, og det re er et endelig ntll kominsjonsmuligheter for hvordn en mskin kn oppføre seg når den leser disse tegnene mens den er i de n forskjellige tilstndene. Av de endelig mnge everne med n tilstnder, vil det lltid være noen som skriver minst like mnge 1-tll som lle de ndre, og for hver n vil det derfor finnes flittige evere med n tilstnder. (Det kn være flere v dem, men de skriver like mnge 1-tll.) Beverfunksjonen tr inn et tll n og gir tilke ntllet 1-tll som en flittig ever med n tilstnder skriver. Vi skriver B for everfunksjonen. Vi hr lltid B(n) B(m) hvis n m: For det første, hvis n=m så hr vi selvfølgelig B(n)= B(m) og derfor også B(n) B(m). Hvis n<m, resonnerer vi som følger: T en hvilken som helst flittig ever med n tilstnder, og gjør ingenting nnet med den enn å legge til m-n nye tilstnder som vi ldri kn komme til. (T en tegning v den flittige everen, og tegn inn m- n nye tilstnder med ingen trnsisjoner inn til seg fr den opprinnelige mskinen.) Den nye everen oppfører seg nøyktig som den forrige, men hr m tilstnder. Den er en ever, og skriver B(n) ett-tll. Nå finnes det også en flittig ever med m tilstnder, og den produserer pr. def. minst like mnge 1-tll, ltså B(n) eller flere. Med ndre ord, B(m) B(n). Side 7 v 3