R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

Transkript

1 Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og (0,3,0) på y-ksen. Vi tegner punket Q = (,, 0) i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v Q med linjestykker ut fr punktene (,0,0) på x-ksen og (0,,0) på y-ksen. Vi finner B ved å tegne linjestykket QB prllellt med z-ksen, med retning oppover fr xy-plnet og lengde 3. c Vi tegner punket Q = (, 5, 0) i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v Q med linjestykker ut fr punktene (,0,0) på x-ksen og (0, 5, 0) på y-ksen. Vi finner C ved å tegne linjestykket QC prllellt med z-ksen, med retning oppover fr xy-plnet og lengde. Aschehoug Side v 9

2 Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner inn punktene A, B og C. Deretter ruker vi verktøyknppen Linjestykke mellom to punkt og trekker opp linjestykkene AB, BC og AC. Alterntivet til å trekke opp linjestykkene ved hjelp v denne verktøyknppen er å velge verktøyknppen Mngeknt, og d lir også treknten frgelgt. 4.3 c d I og med t punktets z-koordint er 0, vil punktet ligge i xy-plnet. Det vil ikke ligge på en v koordintksene siden det re er z-koordinten som er lik 0. I og med t punktets x-koordint er 0, vil punktet ligge i yz-plnet. Det vil ikke ligge på en v koordintksene siden det re er x-koordinten som er lik 0. I og med t punktets y-koordint er 0, vil punktet ligge i xz-plnet. Det vil ikke ligge på en v koordintksene siden det re er y-koordinten som er lik 0. Punktets x-koordint og z-koordint er lik 0. Derfor ligger punktet åde i xy-plnet og i yzplnet. Det vil si t punket også ligger på y-ksen. 4.4 Det er punktets z-koordint som vgjør vstnden til xy-plnet. Den er i dette tilfelle enheter. Det er punktets y-koordint som vgjør vstnden til xz-plnet. Den er i dette tilfelle 3 enheter. Aschehoug Side v 9

3 Løsninger v oppgvene i ok c Det er punktets x-koordint som vgjør vstnden til yz-plnet. Den er i dette tilfelle enheter. Vi ruker smme fremgngsmåte som i 4.4. Fortegnet til z-koordinten forteller på hvilken side v xy-plnet punktet ligger. Avstnden til xy-plnet er 4 åde når z-koordinten er 4 og når den er 4, og tilsvrende for de ndre koordintene. Avstnden fr Q til xy-plnet er 4, til xz-plnet 0 og til yz-plnet. Avstnden mellom punktet og yz-plnet tilsvrer soluttverdien til x-koordinten, vstnden mellom punktet og xz-plnet tilsvrer soluttverdien til y-koordinten og vstnden mellom punktet og xy-plnet tilsvrer soluttverdien til z-koordinten, Det gir R følgende mulige koordinter: (5,, 4), ( 5,, 4), (5,, 4), (5,, 4), (5,, 4), ( 5,, 4), ( 5,, 4) eller ( 5,, 4) = [5,, 4] + [ 3,,] = [5 + ( 3), +, 4 + ] = [,3, 3] I CAS skriver vi inn vektorene på rd og og regner ut på rd 3. Også i CAS får vi + = [,3, 3]. = [5,, 4] [ 3,,] = [5 ( 3),, 4 ] = [8,, 5] I CAS skriver vi inn vektorene på rd og og regner ut på rd 3. Aschehoug Side 3 v 9

4 Løsninger v oppgvene i ok Også i CAS får vi = [8,, 5]. c = [ 3,, ] = [( ) ( 3),( ),( ) ] = [6, 4, ] I CAS skriver vi inn vektorene på rd og og regner ut på rd 3. Også i CAS får vi = [6, 4, ]. d 3 = [5,, 4] 3 [ 3,,] = [ 5,, ( 4)] [3 ( 3),3,3 ] = [0,, 8] [ 9,6,3] = [0 ( 9), 6, 8 3] = [9, 4, ] I CAS skriver vi inn vektorene på rd og og regner ut på rd 3. Også i CAS får vi 3 = [9, 4, ]. 4.6 P= (7,5,3) og Q= (0,3,8) PQ = [0 7, 3 5,8 3] = [ 7,,5] Aschehoug Side 4 v 9

5 P= (,4,) og Q= (8,, 3) PQ = [8 ( ), 4, 3 ] = [9, 3, 5] 4.7 Vi legger inn P og Q og finner deretter PQ med kommndoen Vektor[<Strtpunkt>,<Sluttpunkt>]. Løsninger v oppgvene i ok Vi ser t PQ = [ 7,,5] Vi legger inn P og Q og finner deretter PQ med kommndoen Vektor[<Strtpunkt>,<Sluttpunkt>]. Vi ser t PQ = [9, 3, 5] 4.8 c d 4.9 [3, 0, ] = = = 3 [4, 7, 4] = 4 + ( 7) + ( 4) = = 8 = 9 [9, 4, ] = 9 + (4) + ( ) = = 98 = 49 = 7 [ 3, 46, 46] = 3 [,, ] = 3 + ( ) + = = 3 9 = 69 Avstnden mellom A og B er lik lengden på AB. Aschehoug Side 5 v 9

6 Løsninger v oppgvene i ok A= (,,0) og B= (6,,3) AB = [6,,3 0] = [4,0,3] AB = = + + = + = = [4,0,3] Avstnden mellom A og B er lik lengden på AB. A= (4,,)og B= (,, 3) AB = [ 4, ( ), 3 ] = [,, 5] AB = [,, 5] = ( ) + + ( 5) = = Avstnden mellom A og B er lik lengden på AB. A= ( t,, 3) og B= (,, t ) AB = [ t,, ( t ) ( 3)] = [ t,, t + ] AB = [ t,, t + ] = ( t) + ( ) + ( t + ) = 4 4t + t t + t + 9 = t t+ Vi vet t AB = t t + 9. Et rotuttrykk hr sin minste verdi når rdiknten er minst. Vi definerer en funksjon r(t) lik rdiknten: rt t t () = + 9 Andregrdsleddet i r(t) er positivt. D hr r sin minimlverdi når den deriverte er lik null. Vi deriverer r(t) og får r () t = 4t, som er lik null for t =. Når t = får vi AB 7 34 = r = + 9 = + 9 = + 8 = = = 34 4 Avstnden mellom A og B er minst når t =, og er d Vi hr gitt punktene Q (, s, ) og R ( s,s 4,5) = = +. Vi ruker CAS for å finne vstnden d mellom punktene Q og R uttrykt ved s. Vi setter d = QR. Aschehoug Side 6 v 9

7 Løsninger v oppgvene i ok QR = s + s Vi ruker d fr oppg. 4. og løser i CAS. c Vi kn se t er et minimlpunkt for funksjonen d i og med t d ( ) er positiv. Vi regner ut minimlverdien. Den korteste vstnden mellom punktene Q og R er = [4, 3, s] og = [, t, 6] For t må det eksistere et tll k slik t = k. Dette gir videre [4, 3, s] = k [, t, 6] 4 = k 3 = kt s = 6k k = 3= t s = k = t = 9 s = 3 og er prllelle for s = og t = 9. Aschehoug Side 7 v 9

8 Løsninger v oppgvene i ok = [ s, s, ] og = [ t, t, 6] For t må det eksistere et tll k slik t k =. (Det er det smme hvilken v vektorene vi velger å gnge med en konstnt.) Dette gir videre k [ s, s, ] = [ t, t, 6] k s= t ks ( ) = t k = 6 3s = t 3( s ) = t k = 3 3s = t 3s = t 6 k = 3 De to første likningene gir et likningssystem med to likninger og to ukjente. Vi hr to uttrykk for 3s som må være like. Dette gir t = t 6 som er ekvivlent med t t = 6. Vi setter dette inn i en v likningene for å finne s. 3s = t 3s = ( 6) s = 3 s = 4 og er prllelle for s = 4 og t = = [ r+ 7,, q] og = [ q,3,5 r] For t må det eksistere et tll k slik t = k. Dette gir [ r+ 7,, q] = k [ q,3,5 r]. Du kn gjøre slik i CAS: og er prllelle for og r 7 7 q = =. = [ r+ 4, 8, q ] og = [ q+ 3, 4, r 6] For t må det eksistere et tll k slik t = k. Aschehoug Side 8 v 9

9 Løsninger v oppgvene i ok Dette gir [ r+ 4, 8, q ] = k [ q+ 3, 4, r 6]. Du kn gjøre slik i CAS: og er prllelle for q = r = eller for 9 q = r = Vi tegner inn punktene A, B og C. Vi tegner punket Q = (,3,0) i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v Q med linjestykker ut fr punktene (,0,0) på x-ksen og (0,3,0) på y- ksen. Vi finner D ved å tegne linjestykket QD prllellt med z-ksen, med retning oppover fr xy-plnet og lengde. 4.5 Et punkt ligger i yz-plnet hvis x-koordinten er lik null. Et punkt ligger på z-ksen hvis åde x- og y-koordinten er lik null. c Koordintene til et punkt i xy-plnet er ( x, y, 0). d Koordintene til et punkt på y-ksen er (0, y, 0). Aschehoug Side 9 v 9

10 4.6 Løsninger v oppgvene i ok d = [, 3,0] + [,4,5] = [,,5] d = [,,5] + [3,0,4] = [,,5] + [6,0,8] = [ + 6,+ 0,5+ 8] = [5,,3] c d = 3 [4,,0] 4 [,,3] = [, 6,0] [ 8,4,] = [ ( 8), 6 4, 0 ] = [0, 0, ] d d = [, c, d] [, c, c] c [0,, ] = [, c, d] [, c, c] [0, c c, c] = [ 0, c c ( c c), d c ( c)] = [0,0, d] 4.7 P= (,3,5) og Q= (3,3,) PQ = [3,3 3, 5] = [,0, 3] P= (, 3, 4) og Q= (5,,) PQ = [5 ( ),( ) 3, ( 4)] = [6, 5,5] 4.8 A= (5,,) og B= (9,, 6) Avstnden mellom A og B tilsvrer AB. AB = [9 5, ( ), 6 ] = [4, 4, 7] = ( 7) = = 8 = 9 A= (0, 8,3)og B= ( 4, 3,6) Avstnden mellom A og B tilsvrer AB. AB = [ 4 0, 3 ( 8), 6 3] = [ 4, 5, 3] = ( 4) = = 50 = Vi ruker smme fremgngsmåte som i 4.4. Avstnden fr P til xz-plnet er 4, og vstnden fr Q til xz-plnet er 5 O = (0,0,0) Avstnden fr P til origo tilsvrer OP. OP = [3, 4, ] = = = 69 = 3 Avstnden fr Q til origo tilsvrer OQ. OQ = [, 5, 7] = ( ) + ( 5) + 7 = = 78 c A = (3,0,0) Aschehoug Side 0 v 9

11 Avstnden fr P til x-ksen tilsvrer AP. Løsninger v oppgvene i ok AP = [3 3, 4 0, 0] = [0, 4,] = = = 60 = 4 0 B = (,0,0) Avstnden fr Q til x-ksen tilsvrer BQ. BQ = [ ( ), 5 0, 7 0] = [0, 5, 7] = 0 + ( 5) + 7 = = For t [, 5,3] [ 4,0, 6] må det eksistere et tll k slik t [, 5,3] = k [ 4,0, 6]. Dette gir de tre sklre likningene: = 4k 5 = 0k 3= 6k k = k = k = De tre utregningene gir smme k. Vektorene er d prllelle. For t [ 7,3,] [,9, 3] må det eksistere et tll k slik t [ 7,3,] = k [,9, 3]. Dette gir de tre sklre likningene: 7 = k 3= 9k = 3k k = k = k = De tre utregningene gir ikke smme k. Vektorene er d ikke prllelle. c For t [5, 5, 0] [ 3,, 4] må det eksistere et tll k slik t [5, 5, 0] = k [ 3,, 4]. 4. Dette gir de tre sklre likningene: 5 = 3k k = 5 5 = k 0 = 4k k = 5 De tre utregningene gir smme k. Vektorene er d prllelle. Aschehoug Side v 9

12 = [, t, 4] og = [3 s,8,]. Dersom må det finnes et tll k slik t k =. k = k [, t, 4] = [3 s,8,] k = 3s kt = 8 4k = k = 3s kt = 8 k = 3 3 = 3s 3 t = 8 k = 3 s = t = 3 k = 3 s = t = 3. = [8,3t+ 6,3] t og = [4,s, s 3]. Dersom må det finnes et tll k slik t = k. = k [8,3t+ 6,3] t = k [4,s, s 3] 8 = 4k 3t+ 6 = k(s ) 3 t= ks ( 3) k = 3t+ 6= 4s 4 3t = s 6 Løsninger v oppgvene i ok Når vi trekker den tredje likningen fr den ndre får vi (3t+ 6) 3 t = (4s 4) (s 6) 6 = s 8 4 = s s = Innstt i den tredje likningen gir dette 3t = 6 3t = 8 t = 6 når s = t = Du kn gjøre slik i CAS: s = t = 3 q = 5 Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side v 9

13 Løsninger v oppgvene i ok s = t = 7 q = Bruker smme fremgngsmåte som i oppgve 4. for å tegne punktene O= (0,0,0), P= (,3,0)og Q= (3,,) OP = OP = = = 3 OQ = OQ = 3 + ( ) + = = 4 PQ = PQ = [3, 3, 0] = [, 5,] = + ( 5) + = = 7 = 3 3 I og med t PQ er den lengste v sidene i treknten er det den som må være hypotenus, hvis treknt OPQ er rettvinklet. PQ = (3 3) = 7 PQ = OQ + OP Treknten OPQ er en rettvinklet treknt. OQ + OP = ( 3) + ( 4) = To punkter er symmetriske om origo dersom lle de tre koordintene hr motstte fortegn. Vi ser t dette er tilfellet for A og B, og for D og E. To punkter ligger symmetrisk om xy-plnet dersom x- og y-koordintene er like og z- koordintene hr motstte fortegn. Vi ser t dette er tilfellet for A og D, og for B og E. c To punkter ligger symmetrisk om z-ksen dersom z-koordintene er like og x- og y- koordintene hr motstte fortegn. Vi ser t dette er tilfellet for A og E, og for B og D. Aschehoug Side 3 v 9

14 Løsninger v oppgvene i ok 4.5 c c p = [, c, ] [, c, d] og q = [0,,] Vi finner et enklere uttrykk for p. p = [, c, c] [, c, c] = [, c, c] [, c, c] = [0, c c, c] = c[0,,] Vi ser t p = cq, og dermed hr vi vist t p q. p = 5 q cq = 5 q cq= 5 q c = 5 c = ± 5 c = er ekvivlent med t q = [0,, ] = [0,, ] = [0,, ] q = 3 [0,,] = 3 [0,, ] = = =. Innstt i q gir dette 0 6 Siden vi her ser t åde VS og HS er positive, + 4 = 36 får vi ingen ekstr flsk løsning når vi kvdrerer. = 3 = ± Du kn gjøre slik i CAS: = og = Aschehoug Side 4 v 9

15 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik i CAS ( = 0 = 0) ( = = ) (, 3, ) C =. Siden A ligger på y-ksen kn vi skrive A= (0, y, 0). AC = [ 0,3 y, 0] = [,3 y,] AC = 3 + y + = (3 ) 3 + y = 5 (3 ) 9 y = (3 ) 4 3 y = 3 y = y = y = 5 A = (0,,0) eller A = (0,5,0) Du kn gjøre slik i CAS: B = (0,0, 5) eller B = (0,0,7). 4.8 L oss klle punktene A og B. Vi definerer også en funksjon f som gir oss vstnden mellom punktene som funksjon v t. Dette får vi ruk for i lle tre deloppgvene. Aschehoug Side 5 v 9

16 Løsninger v oppgvene i ok Vi setter z-koordintene lik hverndre og finner t. z-koordintene er like når t = 4. D er z-koordintene til egge punktene lik 5, så d ligger de like høyt over xy-plnet. D er vstnden mellom dem 5. Når punktene ligger like lngt fr xz-plnet er y-koordintene enten like eller de hr motstt fortegn. Det etyr t de må h smme soluttverdi. Når punktene ligger like lngt fr xz-plnet er vstnden mellom dem 5 eller 0 3. c Å finne den minste mulige vstnden mellom punktene vil si å finne minimlverdien til f. Rd 9 og 0 forteller oss t minimlpunktet er 3. Vi regner ut minimlverdien f (3). Den minste mulige vstnden mellom punktene er Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 6 v 9

17 Løsninger v oppgvene i ok Ser fr linje 4 i CAS t s = 3 t =. c er en lineærkominsjon v og. Du kn gjøre slik i CAS: Ser fr linje 4 i CAS t s = t = 4. c er en lineærkominsjon v og. c Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 7 v 9

18 Løsninger v oppgvene i ok Ser fr linje 4 i CAS t det ikke fins noen løsning. c er ikke en lineærkominsjon v og = 7, = 4 v = 0 cos v = 7 4 cos 0 = 7 4 = 8 v = 30 3 cos v = 7 4 cos 30 = 7 4 = 4 3 c v = 60 cos v = 7 4 cos 60 = 7 4 = 4 d v = 90 cos v = 7 4 cos 90 = = 0 e v = 35 cos v = 7 4 cos35 = 7 4 = 4 f v = 80 cos v = 7 4 cos80 = 7 4 ( ) = = [3,7,4] og = [,0, 3] = ( 3) = = 6 Aschehoug Side 8 v 9

19 = [,,4] og = [,3,] = ( ) + ( ) = = 0 Løsninger v oppgvene i ok = 0 [5,3 + t, 7] [ t, 3,5] = 0 5 t + (3 + t)( 3) + ( 7) 5 = 0 0t 9 3t 35 = 0 7t = t = 7 = q q = q q + = 0 [,, 7] og [, 7,] Du kn gjøre slik i CAS: 3 q = q = 0 q = 4.34 Aschehoug Side 9 v 9

20 = 4 cos v = 4 Løsninger v oppgvene i ok 6 cos v = cos v = 4 cos v = v = 0 = 7 cos v = 7 4 cos v = 7 cos v = v = 60 c = 8 cos v = 8 6 cos v = 8 3 cos v = 3 3 cos v = 3 3 cos v = v = = 3, = 3 og = 6. Aschehoug Side 0 v 9

21 Løsninger v oppgvene i ok c = cos v 3 = 3 6 cos v cos v = cos v = cos v = 3 cos v = v = 45 ( ) (3 ) = 3 cos v 3 = 3 cosv = cos v Se oppgve v = 45 (3 ) ( 4 ) = 3 4 cos v 3 ( 4) = 3 4 cos v = cos v Se oppgve cos v = v = Vi enytter sklrproduktet for å finne vinkelen mellom [0,, 0] og [,, 0]. [0,,0] [,,0] = [0,,0] [,,0] cosv + + = cos = cos v cos v = v = 45 v Aschehoug Side v 9

22 Løsninger v oppgvene i ok Vinkelen mellom [,,] og [3, 0, 4]. [,,] [3,0,4] = [,,] [3,0,4] cosv = cos v = 4 5 cosv cos v = v = 60 c Vinkelen mellom [8, 4, ] og [, 0, ]. [8, 4, ] [, 0, ] = [8, 4, ] [, 0, ] cos v 8 ( ) 4 0 ( ) 8 4 ( ) ( ) 0 cos + + = = 9 cos v cos v = v = 35 v 4.37 Du kn gjøre slik i CAS: Vinkelen er 3,0 Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side v 9

23 Løsninger v oppgvene i ok Vinkelen er 75, = [,,3] og = [,4,]. = ( ) + ( ) = = 0 Vinkelen mellom vektorene er 90. = [3,,5] og = [ 4,0,] = 3 ( 4) = = 7 Vinkelen mellom vektorene er større enn 90. c = [7,3,] og = [,,3] = = = 6 Vinkelen mellom vektorene er mindre enn 90. d = [ 4,, s] og = [,4, s] = ( 4) s = s = s + 4 Vinkelen mellom vektorene er mindre enn = [5, 3 t, 3] og = [3,, 7] = 0 = t + ( 3) ( 7) = t + = 0 6t = 36 t = 6 = [3 t,,] og = [, t,5] = 0 = 0 3 t ( ) + ( t ) + 5 = 0 6t + t + 5 = 0 4t = 3 3 t = 4 Aschehoug Side 3 v 9

24 c = [3 t,t,] og = [ t, t, 3] = 0 = 0 3 t ( t) + (t ) t + ( 3) = t t + t t = t 5t = d = [3, t, ] og = [4, t,5] = 0 = t t + ( ) 5 = 0 + t 5 = 0 t = 7 Ingen løsning t = t = 3 Løsninger v oppgvene i ok 4.40 = 5, = 7 og v = = cos 30 = 5 7 = = 4, = 6 og = = cos v = 4 6 cos v cos v = v = 0 Aschehoug Side 4 v 9

25 c = 6, = 3 og v = 45 = cos v 3 = 6 cos 45 3 = 6 3 = = 3 3 = 3 Løsninger v oppgvene i ok 4.4 Vi lr v være vinkelen mellom [,,]og[,,]. [,,] [,,] = [,,] [,,] cosv ( ) ( ) ( ) ( ) cos + + = = 6 6 cos v 3 = 6cos v cos v = / v = 0 v 4.4 A = (3,4,9), B = (7,4,5) og C = ( t + 3,6,9 t). Hvis A = 90, så er AB AC = 0. AB AC = 0 [7 3,4 4,5 9] [( t + 3) 3,6 4,(9 t) 9] = 0 [4,0, 4] [ t,, t] = 0 4 t ( 4) ( t) = 0 8t = 0 t = 0 Hvis B = 90, så er BA BC = 0. BA BC = 0 [ 4,0,4] [ t 4,,4 t] = 0 4 ( t 4) (4 t) = 0 4t t = 0 3 = 8t t = 4 Aschehoug Side 5 v 9

26 Hvis C = 90, så er CA CB = 0. CA CB = [ t,, t] [4 t,, t 4] = 0 t (4 t) + ( ) ( ) + t ( t 4) = t + t + + t t = t 8t 4 0 t + = 0 4t + = 0 ( 4) ( 4) ( ) ± ± ± t = = = = ± Treknten er rettvinklet for t = 0 t = t = + t = 4. Løsninger v oppgvene i ok 4.43 = [,3,4] og = [ t +,6,3t ]. Vi vet ikke på forhånd om det er mulig å finne en verdi v t som er slik t vi får. = k [,3,4] = k [ t +,6,3t ] = kt ( + ) 3 = k 6 4 = k (3t ) = ( t + ) k = 4 = (3t ) 4 = t + k = 8 = 3t t = 3 k = t = 3 Vi ser t vi får smme verdi v t i åde den første og den siste likningen, så dermed er når t = 3. = 0 [,3,4] [ t +,6,3t ] = 0 ( t + ) (3t ) = 0 t t 4 = 0 4t = 6 8 t = 7 Aschehoug Side 6 v 9

27 Løsninger v oppgvene i ok c = 44 t t = ( ) 6 (3 ) 44 t t = ( ) 6 (3 ) = 44 t t t t t t = t t = t = t = Du kn gjøre slik i CAS: t = 0 t = t = + t = Aschehoug Side 7 v 9

28 Løsninger v oppgvene i ok A = (,, 3), B = (3,, 4) og C = (3,,). AB AC = AB AC cos A [,,] [,4, ] = [,,] [,4, ] cos A + + = A 4 ( ) 4 ( ) cos 6 = 6 4 cos A 6 = 6 6 cos A = cos A A = 60 BA BC = BA BC cos B [,, ] [0,3, 3] = [,, ] [0,3, 3] cos B ( ) 0 ( ) 3 ( )( 3) ( ) ( ) ( ) 0 3 ( 3) cos + + = B 0 = 6 4 cos B cos B = 0 B = 90 A = 60 B = 90 C = Du kn gjøre slik i CAS: A = 68,5 B = 68,5 C = 4,97 Tegner mngeknt og ruker verktøyknppen vinkel i geoger: Aschehoug Side 8 v 9

29 Løsninger v oppgvene i ok A = 68,5 B = 68,5 C = 4, [0,5,0] 0,, = [0,5,0] 0,, cosv = 5 0,3, 3 cosv = cos v = cos v 3 = 3 cos v 3 cos v = v = 30 Aschehoug Side 9 v 9

30 Løsninger v oppgvene i ok [ q, q, q] [ r, r, r] = [ q, q, q] [ r, r, r]cosv qr qr qr qr + qr = q + q + q r + r + r v ( ) ( ) cos qr = q r v cos 3qr = 6 q 6 6r cos v 3qr = 6 q r cos v 3qr cos v = 6 qr qr cos v = qr er lik eller vhengig v fortegnet til qr. Når q og r hr motstte fortegn er qr negtiv qr og dermed er qr =. Det gir cos v =, og dermed er v = [,, ] [,, ] = + + = ( + ) Dette uttrykket kn ldri li negtivt, derfor vil ldri vinkelen li større enn 90. [, +, ] [,, ] = + ( ) =. Hvis vinkelen er mindre enn 90 må sklrproduktet være positivt. > 0 > >. Hvis vinkelen er lik 90 må sklrproduktet være lik null. = 0 = = 3. Hvis vinkelen er større enn 90 må sklrproduktet være negtivt. < 0 < < Aschehoug Side 30 v 9

31 Løsninger v oppgvene i ok 4.49 Du kn gjøre slik i CAS: t =, Hvis vektorene skl være ortogonle må: [,,3 s] [3 s, t 6,4] = 0 6s + t + 4s = 0 t = 0s t = 5 s Hvis vektorene skl være prllelle må: [ s,,4 s] = k [, t 5,3] Du kn gjøre slik i CAS: Forholdet er -5. Aschehoug Side 3 v 9

32 Løsninger v oppgvene i ok c [5 s, t,3] = [ t,3, s] (5 s) + ( t) + 3 = ( t ) ( s) (5 s) + ( t) + 3 = ( t ) ( s) (5 s) = ( s) 5s = s 5s = s 4s = 6s = s = s = [,, c] [,, ] = 0 [,, c] [, 3, ] = 0 + c= 0 3 c= 0 + c= 0 3 c= 0 = c 3( c ) c= 0 = c 3c+ 3 c= 0 = c 5= 5c = 3 c= 3 = c= 3 c Ser ut fr deloppgve og t [,, 3 ] der. 4.5 Du kn gjøre slik i CAS: Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 3 v 9

33 Løsninger v oppgvene i ok c Ser ut fr deloppgve og t [,, 3 ] der Vi ruker CAS til å definere funksjonen. Aschehoug Side 33 v 9

34 Løsninger v oppgvene i ok Vi ser v grfen i oppgve t > 0 når < t < 7. Dermed er vinkelen mellom og mindre enn 90 når t,7. Vi ser v grfen i oppgve t = 0 når t = t = 7. t. 3 Vi ser v grfen i oppgve t < 0 når t < t > 7. Dermed er vinkelen mellom og lik 90 når {,7} Dermed er vinkelen mellom og større enn 90 når t, 7,. Aschehoug Side 34 v 9

35 Løsninger v oppgvene i ok c Vi definerer gt () = f() t i CAS: d Ser vi nøyere på funksjonsuttrykket til g skjønner vi t dette er et uttrykk for cosinus til vinkelen mellom og. Siden det er litt vnskelig å se kkurt hvor lngt ned grfen kommer, finner vi unn- og toppunktet til g før vi fortsetter. Vi ser t grfen til g ldri når så høyt opp t funksjonsverdien lir eller så lngt ned t funksjonsverdien lir. Cosinus til vinkelen mellom vektorene kn dermed ikke li eller, og vektorene kn ldri li prllelle. Nei, det fins ingen verdi v t som gjør og prllelle. Aschehoug Side 35 v 9

36 Løsninger v oppgvene i ok e Siden cos 0 = forstår vi t desto nærmere én cosinusverdien til vinkelen kommer desto mindre lir vinkelen. Vi kn dermed ruke mksimlpunktet til g for å finne den minste vinkelen mellom og. Vi ruker kommndoen y(b) til å hente ut y-verdien til toppunktet. Den minste mulige vinkelen mellom og er 47, p = [,, c], og u er vinkelen mellom p og x-ksen. Som retningsvektor for x-ksen kn vi ruke [,0,0]. [,, c] [,0,0] cosu = = [,, c] [,0,0] + + c v er vinkelen mellom p og y-ksen, og w er vinkelen mellom p og z-ksen. På tilsvrende måte som i oppgve får vi cos v = + + c og cos w = Dette gir c cos u+ cos v+ cos w= c + + c + + c + + c = = + + c c + + c AB + BC + CD = AC + CD = AD AB + EF GF BA EG = AB + EF + FG + AB EG = 3AB + EG EG = 3AB c ( c) + ( + c) = + c+ + c = + c Vi skl se på BC. I vektorregningen kn vi lltid tenke t når vi skl fr et punkt til et nnet, så kn vi gå «omveien» om så mnge ndre punkter vi vil. I dette tilfellet velger vi å gå innom A og D på veien fr B til C. Vektoren fr B til C er ltså lik vektoren fr A til B pluss vektoren videre fr B til D pluss vektoren videre igjen fr D til C. Altså får vi BC = BA + AD + DC Vi skl vise t BC = AD, og d strter vi med det vi forklrte i oppgve. Underveis enytter vi oss v t vi hr fått oppgitt t AB = DC. BC = BA + AD + DC = AD + DC + BA = AD + DC AB = AD + DC DC = AD Aschehoug Side 36 v 9

37 Løsninger v oppgvene i ok c Utgngspunktet for oppgve og vr t AB = DC, og det er det smme som å si t vektoren mellom to v de fire punktene A, B, C og D er lik vektoren mellom de to ndre punktene. AB = DC etyr også t AB og DC er to prllelle og like lnge linjestykker. Vi viste t dette ledet til t BC = AD, og det etyr t BC og AD også er prllelle og like lnge linjestykker. Dermed er to og to sider prllelle og like lnge i figuren ABCD, og dermed må ABCD være et prllellogrm, (så fremt ikke lle fire punktene ligger på en og smme linje, for d lir det «et prllellogrm som hr klppet smmen») RS = AD + AC BC = w + v ( v u) = w + v v + u = u+ v w= ( u+ v w ) AR + RS = w + ( u + v w) = w + u + v w = u + v + w = ( u+ v+ w ) 4 c d AP+ PQ= u+ u+ v+ w = u u+ v+ w= u+ v+ w = ( u+ v+ w ) 4 Ut i fr oppgve og c kn vi si t AR + RS = AP + PQ. Når to like vektorer plsseres slik t de strter i smme punkt, så må de også ende i smme punkt. Disse to vektorene strter i A. Den ene ender midtveis mellom R og S og den ndre midtveis mellom P og Q, og siden dette er smme punkt etyr det t linjestykkene RS og PQ skjærer hverndre i sine midtpunkter. L oss klle to sideknter i et tetreder som ikke er del v smme sideflte for motstående sideknter. Et tetreder hr seks sideknter som kn ordnes i tre pr v slike motstående sideknter. Vi hr nå funnet ut t i et tetreder, så vil linjestykkene mellom midtpunktene på motstående sideknter skjære hverndre og treffes på midten d = 4 = = 8 cos (, ) + 6 ( ) = + = + = + = = cos Aschehoug Side 37 v 9

38 Løsninger v oppgvene i ok c d = c ( 4 ) = c 4c = c cos (, c) 4 c cos (, c) = 6 5 cos cos90 = = 5 c d= cdcos ( cd, ) 5 = 6 7 cos ( cd, ) Denne likningen kn vi løse med CAS En nnen mulighet er å t ( cd, ) = 68, 5 cos 4 på en klkultor Hvis oksen er rektngulær må følgende være snt: OA = BF = CG = DE OC = BD = AG = FE OB = AF = CD = GE Dette kn vi ruke videre på følgende måte: OD = OC + CD = c + = + c OE = OD + DE = + c + = + + c OF = OA + AF = + OG = OA + AG = + c Posisjonsvektoren til midtpunktet M på linjestykket AB kn du finne på følgende måte: OM = OA + AB = (u 3 v + w) + ((5v 3 w) (u 3 v + w) ) = u 3 v+ w+ ( u+ 8v 4 w) = u 3v+ w u+ 4v w= u+ v w 4.6 p = q ( p q)( p+ q) = p q = p q = p p = 0 Sklrproduktet mellom vektorene p q og p + q er lik null. Det vil si t vektorene p q og p + q står vinkelrett på hverndre. Aschehoug Side 38 v 9

39 4.6 p = ( ) = = 4 4 cos (, ) + Løsninger v oppgvene i ok = = = 3 p= ( ) = = cos (, ) = = = p = p cos (, p) 5 = 3 cos (, p) 3 cos En nnen mulighet er å t (, p ) = 46, cos 3 5 på en klkultor I og med t tetrederne er like må: PQ =, PR = og PS = c. OQ = p OP = OQ + QS = p OR = OP + PR = p + OS = OP + PS = p c OP viser posisjonen til tetrederet til høyre i forhold til tetrederet til venstre, fordi den er en vektor fr et punkt, O, i tetrederet til venstre til et tilsvrende punkt, P, i tetrederet til høyre. Fr oppgve vet vi t OP = p OA =, OB =, OC = c, OD = d og OT = t. TA + TB + TC + TD = ( t ) + ( t ) + ( t c) + ( t d) = 4t c d = 4 ( + + c+ d) c d = ( + + c+ d) ( + + c+ d) = 0 4 Aschehoug Side 39 v 9

40 Løsninger v oppgvene i ok Vi lr være posisjonsvektoren til punktet A, være posisjonsvektoren til punktet B og 4 3 være posisjonsvektoren til punktet C. D får vi: AB = AC = (4 3 ) = 4 4 = 4( ) Vi ser t AC = 4AB som etyr t AB AC. D må de tre punktene ligge på smme rette linje AC = AO + OC = u v AB = AO + OB = u + v Vi ser t u = v fordi vi her hr to uttrykk for rdien i sirkelen. AC AB = ( u v)( u + v) = u u v + v u v = u v = u v = u u = 0 Siden AC AB = 0 må AC og AB stå vinkelrett på hverndre, og det er det smme som å si t BAC = Vi vet t =, (, ) = 60 og c = +. ( ) cos (, ) c = c = + = + + = + + = + cos = = 7 = 7 c = ( + ) = + = + cos (, ) = + cos 60 = + = c = ccos ( c, ) = 7 cos ( c, ) = 7 cos ( c, ) = 7 cos ( c, ) cos ( c, ) = 7 Vinkelen mellom og c er 40, Aschehoug Side 40 v 9

41 + + + ( + ) ( + ) ( + ) Løsninger v oppgvene i ok cos (, ) cos (, ) + cos (, ) Vi hr ekvivlens mellom hver linje i ulikhetene ovenfor. Utsgnet på siste linje er opplgt snt. D må lle de ndre utsgnene også være snne, og det vil si t utsgnet på første linje er snt, og det vr det vi skulle vise. Hvis vinkelen mellom to vektor er 0, eller med ndre ord, hvis vektorene er prllelle og hr smme retning, så vil lengden v resultntvektoren (vektoren vi får når vi summerer de to vektorene) være lik summen v lengdene til de to vektorene. I lle ndre tilfeller vil lengden v resultntvektoren være kortere Denne oppgven foregriper litt v det du skl lære om pln i kpittel 5. Det som følger nedenfor er ikke ordentlige evis, men et forsøk på å se for oss disse smmenhengene på en litt uformell måte. Vi tenker oss t vi plsserer vektorene s, t og c slik t de strter i smme punkt, og t lle tre vektorene ligger i xy-plnet. Så lenge og ikke er prllelle, vil vi lltid kunne velge verdier for s og t slik t vi kn lge et prllellogrm i xy-plnet der c er digonlen og to v sidene i prllelleogrmmet lir lik s, og de ndre to sidene lir lik t. Dette er det smme som å si t vektorlikningen c = s + t lltid hr en løsning i D når vektorene og ikke er prllelle. (Når vi sier t vektorene ikke er prllelle, hr vi også sgt t de er forskjellige fr nullvektoren, fordi nullvektoren er prllell med lle vektorer.) Her er det nok å komme med et moteksempel for å vise t likningen i oppgve ikke ehøver å gjelde i 3D. Vi tenker oss t c ikke er prllell med xy-plnet, mens vi lr og være prllelle med xy-plnet. Hvis vi plsserer vektorene s, t og c slik t de strter i smme punkt i xy-plnet, så må d vektoren s + t nødvendigvis også h sitt sluttpunkt i xyplnet, mens c ikke hr det. Siden vektorene på hver side v likhetstegnet i likningen c = s + t ikke ender i smme punkt når de strter i smme punkt, er ikke vektorene like, og likningen c = s + t hr ingen løsning. Aschehoug Side 4 v 9

42 Løsninger v oppgvene i ok c I oppgve rgumenterte vi for t vektoren s + t er prllell med xy-plnet hvis og også er det. Når vektorlikningen c = s + t ikke hr noen løsning etyr dette t c ikke er prllell med xy-plnet, se rgumentsjonen i oppgve. Vi tenker oss t d er retningsvektoren for et eller nnet punkt P i rommet. D vil c kunne være retningsvektor for en linje l gjennom dette punktet som vil skjære xy-plnet i et estemt punkt. Det vil d lltid finnes en estemt kominsjon v s og t som vil kunne få vektoren s + t til å gå fr origo til dette skjæringspunktet i xy-plnet, og evegelsen videre lngs linj l opp til P vil d kunne eskrives v vektoren qc. Dermed får vi d= s + t + qc. Unsett hvor i rommet vi plsserer P vil ltså retningesvektoren til P kunne skrives d= s + t + qc. Det er det smme som å si t vektorlikningen d= s + t + qc lltid må h en løsning. Nå strtet vi for enkelhets skyld rgumentsjonen i oppgve c med t og skulle være prllelle med xy-plnet. I kpittel 5 vil du lære mer om pln. Argumentsjonen lir like gyldig om vi re strter med å t utgngspunkt i det plnet som åde og er prllelle med, unsett hvilket pln dette måtte være Q= (,,3)og r = [0,,4] l: x= y = + t z = 3+ 4t Q= (5,0, 4)og r = [, 4,] l: x= 5+ t y = 4t z = 4+ t 4.7 c Q= (0,0,0)og r = [,0,0] l: x= t y = 0 z = 0 Q= (0, 0, 0) og r = [0,, 0] l: x= 0 y = t z = 0 Q= (0,0,0)og r = [0,0,] l: x= 0 y = 0 z = t 4.7 A= (,,3)og B= (4,,3) AB = [3,0,0] [ x, y, z] = OA + t AB = [,,3] + t [3,0,0] x= + 3t y = z = 3 A= (5, 3, ) og B= (,, 3) AB = [ 3, 5, ] [ x, y, z] = OB + t AB = [,, 3] + t [ 3,5,] x= 3t y = + 5t z = 3+ t Aschehoug Side 4 v 9

43 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik i CAS: x= y = + t z = 3+ 4t 4.7 Du kn gjøre slik i CAS: x= + 3t y = z = Du kn skrive inn kommndoen linje[q,r] for å tegne linjen f : x= 5+ t y = 4t z = 4+ t 4.7 Aschehoug Side 43 v 9

44 Løsninger v oppgvene i ok Du kn ruke kommndoen linje[a, vektor[a,b]] for å tegne linjen g: x= 5 3t y = 3+ 5t z = t 4.74 c l: x= + t y = t z = t m: x= 4 y = 5+ s z = s [,, 0] er ikke prllell med [0,,] l: m: + t = 4 t = y = = z = = s x= 4 y = z = Det vil si t l og m hr et felles punkt (4, -, ) l: x= 3+ t y = 3t z = t m: x= 4 3s y = + 9s z = 6s [ 3,9,6] er prllell med [, 3, ]. Det vil si t linjene er prllelle. m: 3= 4 3s s = 3 x= 3 y = + 9 = 5 z = 6 = 3 3 Det vil si t l og m ikke hr noe felles punkt for x = 3 og vil d være prllelle ved siden v hverndre. l: x= 3+ t y = + 5t z = t m: x= + s y = + 3s z = 4+ 6s Vi sjekke først om linjene er prllelle: [,5, ] er ikke prllell med [, 3, 6] Vi sjekker om linjene hr et felles punkt Aschehoug Side 44 v 9

45 Løsninger v oppgvene i ok 3+ t = + s + 5t = + 3s t = 4+ 6s ingen løsning Linje l og m er vindskeive l: x= t y = 3 t z = + t m: x= + s y = 5 s z = 7 s Vi finner vinkelen mellom linjene ved å finne sklrproduktet mellom retningsvektorene: [,,] [,, ] = [,,] [,, ] cosv v = 60 Vinkelen mellom linjene er 60. n: x= t y = 3t z = t Vi finner vinkelen mellom linjene ved å finne sklrproduktet mellom retningsvektorene: [, 3, ] [0,,0] = [, 3, ] [0,,0] cosv v = 50 u = 80 v= 30 Vinkelen mellom y-ksen og linjen er Du kn gjøre slik I CAS: Vinkelen mellom punktene er 45. Nei, vi ehøver, som vist i, re retningsvektorene l: x= t y = 3+ 4t z = + 3t m: x= + s y = 5 s z = s Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 45 v 9

46 Løsninger v oppgvene i ok Vinkelen mellom linjene er Du kn gjøre slik i CAS: 85, 4 Vinkelen mellom linjene er 75, A= (, 5,4)og r = [7,,3] x= + 7t y = 5 t z = 4+ 3t A= (,0,3)og r = [,,0] x= + t y = t z = l: x= + 4t y = t z = + t Vi finner følgende punkt og retningsvektor ut i fr prmeterfremstillingen over: A= (,,) og r = [4,, ] m: x= 8 s y = 3s z = s Vi finner følgende punkt og retningsvektor ut i fr prmeterfremstillingen over: Aschehoug Side 46 v 9

47 B= (8,, 0) og r m = [, 3, ] Løsninger v oppgvene i ok 4.80 c C = (, 0, 4) og u = [, 3, ] l = [ x, y, z] = OC + t u l: x= + t y = 3t 4 t Hvis linjen skl være prllell med l må den h en prllell retningsvektor. D= ( 3,,3)og u = [,3, ] m = [ x, y, z] = OD + s u m: x= 3+ s y = + 3s 3 s Vi kn først ruke C som punkt på linjen og deretter ruke D som punkt på linjen. Dette vil gi følgende prmeterfremstillinger: CD = [ 3 ( ), 0,3 4] = [,, ] [ x, y, z] = OC + t CD x= t y = t z = 4 t [ x, y, z] = OD + t CD x= 3 t y = + t z = 3 t d Alle mulighetene vil h en retningsvektor som er prllell med CD og vil gå ut i fr et punkt som ligger på linjen. 4.8 Jeg velger å ruke P som punkt om r som retningsvektor for prmterfremstillingen. P= (0,0,0)og r = [0,,0] x= 0 y = t z = 0 Hvis linjen skl gå gjennom y = 4 må den gå gjennom punktet P = (0,4,9) og den må h en retningsvektor prllell med z-ksen. Vi kn for eksempel ruke r = [0,0,]. [ x, y, z] = OP + t r x= 0 y = 4 z = t 4.8 l: x= + 3t y = t z = 5+ t r = [3,, ] l m: x= 8 s y = 3s z = s rm = [,3, ] r k r l m Linjene er ikke prllelle, fordi retningsvektorene ikke er prllelle. Aschehoug Side 47 v 9

48 Løsninger v oppgvene i ok + 3t = 8 s t = 3s 5 + t = s s = t = 3 Dette gir skjæringspunktet: (+ 3 3, 3, 5 + 3) = (0, 5, ) 4.83 l: x= 3 t y = 4t z = m: x= + s y = 4+ 3s z = 5 s Vi ruke retningsvektorene for å finne vinkelen. Dette kn du gjøre slik i CAS: Vinkelen mellom linjene er 47,6. l: x= t y = t 7 z = t 5 m: x= 3s 3 y = 9 s z = 5 3s Vi ruke retningsvektorene for å finne vinkelen. Dette kn du gjøre slik i CAS: Vinkelen mellom linjene er 9, Vi ruker origo som punkt og e x = [,0,0] som retningsvektor. [ x, y, z] = OO + t e x x= t y = 0 z = 0 Linjen må gå gjennom punktene A= (0,5,0)og B= (0,0,5). Vi ruker disse videre for å sette opp en prmeterfremstilling: AB = [0, 5,5] [ x, y, z] = OA + t AB x= 0 y = 5 5y z = 5t c Vi vet t z = 0 i og med t linjen skl ligge i xy-plnet. Vi velger å ruke origo som punkt på linjen. D vil linjen dnne en 45 vinkel med x- og y-ksen med en retningsvektor r = [,,0]. Dette gir oss prmeterfremstillingen: x= t y = t z = 0 Aschehoug Side 48 v 9

49 Løsninger v oppgvene i ok d Linjen i c er ikke den eneste linjen som oppfyller krvene. Det er en linje til som oppfyller krvene. Den kn eskrives med følgende prmeterfremstilling: x= t y = t z = 0 Aschehoug Side 49 v 9

50 Løsninger v oppgvene i ok 4.85 Du kn gjøre slik i CAS: Dette gir prmeterfremstillingen: l: x= 4t y = + t z = + 3t Hvis linjene er prllelle kn de eskrives med smme retningsvektor. Du kn gjøre slik i CAS: Dette gir følgende prmeterfremstilling: m: x= + 4s y = + s z = + 3s c Hvis n er smmenfllende med l må (,, ) være på l. l: = 4t y = + t z = + 3t t = 3 l: x= y = z = Punktet (,, ) er på linje l. l og n er entydige For å finne vinkelen mellom linjen trenger vi re retningsvektorene. Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 50 v 9

51 Løsninger v oppgvene i ok For å finne vinkelen mellom linjen trenger vi re retningsvektorene. Du kn gjøre slik i CAS: 4.87 Vi skriver inn følgende kommndoen l=linje[(-7,-5,8),vektor[(4,-,)]] for å tegne linje l. Vi tegner linje m og n på smme måte. For å finne A ruker vi kommndoen Skjæring[l, n]. Vi ruker smme fremgngsmåte for å finne B og C. Dette gir oss følgende punkter: A= (, 4,4), B= (3, 3,0)og C = (4,,3) Vi kn ruke kommndoen mngeknt for å finne relet v treknten. c Arelet v treknten er 9,. Vi kn ruke funksjonen vinkel i geoger for å finne vinklene i treknten. Aschehoug Side 5 v 9

52 Løsninger v oppgvene i ok A = 43,8, B = 87,0 og C = 49, 4.88 Jeg velger å først finne en vektor som er prllell med retningsvektoren og hr legnden. h = k r h = k r = k + ( ) + = k 9 k = ± 4 Vi ruker dette videre til å finne de to punktene på linjen [ x, y, z] = OP + p [ x, y, z] = OP + 4 r [ x, y, z] = OP 4r [ x, y, z] = [,, 4] + 4[,, ] [ x, y, z] = [,, 4] 4[,, ] [ x, y, z] = [6, 9,] [ x, y, z] = [, 7, 4] Dette gir følgende koordinter: A= (6, 9,) og B= (, 7, 4) Vi ruker en vektorlikning som eskrives linjen for å finne koordintene: [ x, y, z] = OP + t r OP + t r = 3 ( t) ( t) (4 t) = ( ) ( ) (4 ) 9 + t + t + + t = t = t = 3 Dette gir oss følgende koordinter: Aschehoug Side 5 v 9

53 Løsninger v oppgvene i ok A= (, ( ), 4 + ( )) B=,, A= (0,3,0) 4 8 B=,, c d 4.90 l: x= + 4t y = t z = + t m: x= 3 3s y = 3s z = s+ Vi ser t retningsvektorene et likningssett: + 4t = 3 3s t = 3s + t = s+ ingen løsning Linjene er dermed vindskeive. r l = [4,,], r m[ 3,3,] og r n = [6, 6, ] r r m n [4,, ] og [ 3, 3,] ikke er prllelle. Vi kn deretter sette opp Hvis de to prllelle linjene skl være smmenfllen må punktet (-3, -, ) være på linje n + 6q = 3 5 q = x= 3 y = 6 z = x= 3 y = 4 z = 3 Det vil si t de ikke er smmenfllende. l: x= + 4t y = t z = + t n: x= + 6q y = 6q z = q Hvis linjene skl skjære hverndre må følgende h en løsning: + 4t = + 6q t = 6q + t = q t = 0 q = 0 Det vil si t linjene n og l skjærer hverndre i punktet (, -, ) 3 ez (ex + 5 ey ez) = 6( ez ex) + 5( ez ey) 3( ez ez) = 6e 5 e = [ 5, 6, 0] y x Aschehoug Side 53 v 9

54 Løsninger v oppgvene i ok [, 0, ] [0, 3, 4] = ( ex + ez) ( 3ey + 4 ez) = 3( ex ey) 6( ez ey) + 4( ex ez) + 8( ez ez) = 3e + 6e 4 e = [6, 4, 3] z x y 4.9 c d [,,0] [,4,] = [ 0 4,0, 4 ] = [,, 7] [0,, ] [3,,] = [[ ( ) ( ), 3 0, 0 ( ) 3 ] = [, 6, 3] [,, 4] [3, 5, 6] = [ 6 5 4,4 3 6, 5 3 ] = [ 8, 6, ] [3,, ] [, 4,] = [ ( 4) ( ),( ) (3),3 ( 4) ( )] = [ 9, 7, 0] 4.9 Du kn gjøre slik i CAS: Du kn gjøre slik i CAS: Aschehoug Side 54 v 9

55 Løsninger v oppgvene i ok 4.93 c Hvis vektorproduktet er null er vektorene prllelle. AB = [,,]og AC = [3,6,3] AB AC = [,,] [3,6,3] AB AC = [ 3 6, 3 3, 6 3 ] AB AC = [0,0,0] Punktene A, B og C er på linje. Hvis vektorproduktet er null er vektorene prllelle. AB AC = [ 6,5,4] [ 5,6, 3] = [5 ( 3) 6 4,4 ( 5) ( 3) ( 6), 6 6 ( 5) 5] = [ 39,, ] Punktene er ikke på linje. AB AC = [0,6, 4] [0,9, 6] = [6 ( 6) 9 ( 4), 4 0 ( 6) 0, ] 4.94 = [0,0,0] Punktene er på linje. [,5,0] [ 3,,4] = [5 4 0, 0 ( 3) 4, ( 3) 5] = [0, 4,6] Aschehoug Side 55 v 9

56 Løsninger v oppgvene i ok c [,, 3] [ 4,5,] = [ 5 ( 3),( 3)( 4) ( ),( ) 5 ( 4) ] = [7,6, 6] [3,, 7] [4, 3,] = [ ( 3) ( 7),( 7) 4 3,3 ( 3) 4 ] [ 9, 3, 7] 4.95 [,,3] [, 3,4] c = [( ) 4 ( 3) 3,3 4, ( 3) ( )] = [5, 5, 5] [5, 5, 5] = = 5 3 [,4,] [3,, ] = [4 ( ), 3 ( ), 3 4] = [ 0, 5, 0] [ 0, 5, 0] = = 5 [ t, t, + t] [3,,0] = [( t) 0 ( + t), ( + t) 3 0 t, t 3 ( t)] = [ t, 3+ 3 t, 4t 6] [ t, 3+ 3 t, 4t 6] = ( t ) + (3 + 3 t) + (4t 6) = t t = 3, = 4 og = = sin v v = sin v = 90 = 5, = 4 og = 0 = sin v v = sin v= 30 v= 50 Aschehoug Side 56 v 9

57 Løsninger v oppgvene i ok c 4.97 Vi ruker sklrproduktet til å teste om kryssproduktet står vinkelrett på de to vektorene som inngår i kryssproduktet: [ 7,5,] [,3,] = = og [ 7,5,] [,, ] = 7+ 5 = 4 Vi ser t det ikke er tilfelle, så d må Per h regnet feil. (Hn hr fått en fortegnsfeil for tredjekoordinten til kryssproduktet.) Vi ruker smme test på kryssproduktet til Kri. [,, 4] [4,4,] = 8 4 4= 0 og [,, 4] [3,,] = 6 4= 0 Vi ser t kryssproduktet er vinkelrett på egge vinklene som inngår i det, og det gjør det svært snnsynlig t Kri hr regnet riktig. Men det fins en teoretisk mulighet for t Kri hr regnet ut et glt kryssprodukt som står vinkelrett på egge vektorene som inngår i det, men som er prllell med og ikke lik det riktige kryssproduktet Du kn gjøre slik i CAS: Vektoren [-, 3, 8] vil stå vinkelrett på egge vektorene. Aschehoug Side 57 v 9

58 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik i CAS: Vektoren [-6,, 5] vil stå vinkelrett på egge vektorene Hvis vektorproduktet er null er vektorene prllelle. AB = [,, ] og AC = [6, 3, 6] AB AC = [,, ] [6, 3, 6] AB AC = [ 6 ( 3), 6 6, ( 3) 6 ( )] AB AC = [0,0,0] I og med t vektorproduktet er null vil punktene A, B og C være på linje. Hvis vektorproduktet er null er vektorene prllelle. AB = [,6, ]og AC = [, 6,] AB AC = [,6, ] [, 6,] AB AC = [6 ( 6) ( ), ( ), ( ) ( 6) 6] AB AC = [ 6,,0] I og med t vektorproduktet ikke er null vil punktene A, B og C ikke være på linje. Aschehoug Side 58 v 9

59 Løsninger v oppgvene i ok 4.00 Du kn gjøre slik i CAS: = 4 = 7 c= Du kn gjøre slik i CAS: 4.0. [,,3] [4,5,6] = [ 6 5 3,3 4 6, 5 4 ] = [ 3, 6, 3]. [,3,4] [5,6,7] = [ ,4 5 7, 6 5 3] = [ 3, 6, 3] Aschehoug Side 59 v 9

60 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik i CAS: Vektorprodukter gir vektoren [-3, 6, -3]. 4.0 [, 3, t] [3, 4, ] = [ 3 ( ) ( 4) ( t),( t) 3 ( ), ( 4) 3( 3)] = [0 4 t, 7 3 t, ] [sin v, sin v, cos v] [cos v, cos v, sin v] = [ sin v sin v cos v cos v, cos v cos v sin v sin v, sin v cos v cos v ( sin v)] = [ sin v cos v, cos v sin v, sin vcos v] = [, cos v, sin v] 4.03 p q er prllell med z-ksen, det etyr t hverken peller q kn h noen z-verdi hvis de skl stå vinkelrett på p q. Aschehoug Side 60 v 9

61 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik i CAS: 4.04 c = c= 3 = c= 3 ( ) = [, 0, 0] og = [cos u, sin u, 0] der 0 u 80 = = = cos u+ sin u+ 0 = = cos v [, 0, 0] [cos u, sin u, 0] = cos v cosu = cos v u = v Dette viser oss t vinkelen v mellom vektorene er lik u. = [, 0, 0] [cos u, sin u, 0] = [0 0 sin u 0, 0 cosu 0, sin u cosu 0] = [0,0,sin u] d Vi ser t = sin u og vi vet fr før t = og =. Dette gir oss følgende: Aschehoug Side 6 v 9

62 = sin u sin u = sin u sin u = sin u Svrene stemmer godt over ens med formelen. Løsninger v oppgvene i ok 4.05 sin cos v+ v= = cos v cos v = = sin v = v ( sin ) = sin v = ( cos v) = ( ) = ( ) c = 0 = ( + c) = ( + c} = ( + c) = ( c) c = ( + c) c = ( c) c = c ( + c) c = ( c ) c = ( c) ( c) = c Dermed hr vi vist t = c = c Aschehoug Side 6 v 9

63 Løsninger v oppgvene i ok 4.07 Vi skl vise t ( k) = ( k) = k( ). (I eviser som omhndler vektorer kn det være greit å merke seg t nullvektor per definisjon åde er prllell med og står vinkelrett på lle vektorer.) Hvis vi klrer å egrunne t de tre vektorene ( k), ( k ) og k ( ) lltid er vinkelrett på åde og, t de er like lnge og t de ikke er motstt rettet, så er vi i mål. Vektoren er ifølge definisjonen v vektorproduktet vinkelrett på åde og. Siden k ( ) er prllell med for lle verdier v k, vil k ( ) også lltid være vinkelrett på åde og. Vektoren ( k) er ifølge definisjonen v vektorproduktet vinkelrett på åde k og. Siden k og er prllelle for lle verdier v k, vil ( k) også lltid være vinkelrett på åde og. På smme måte er også vektoren ( k ) lltid vinkelrett på åde og. Vi hr nå rgumentert for t de tre vektorene ( k), ( k ) og k ( ) lltid er vinkelrett på åde og. Det gjenstår nå å vise t de lltid er like lnge, og t de hr smme retning. Vi skl vise t dette gjelder for k > 0, k = 0 og for k < 0, for d må det gjelde for lle k. Hver gng vil vi først vise t ( k) = k( ), og deretter t ( k) = k( ). Vi velger å klle vinkelen mellom og for v og vinkelen mellom k og for u. Vi enytter oss v regelen k = k. Vi strter med k > 0. Her ser vi først på utsgnet ( k) = k( ). Vi ruker definisjon v kryssproduktet til å vise t de to vektorene er like lnge: ( k) = k sin u = k sin u = k sin v= k ( ) = k( ) Når k > 0 vil k og h smme retning, slik t vinkelen u mellom k og lir den smme som vinkelen v mellom og. Derfor er sin u = sin v. Dermed hr vi vist t de to vektorene ( k) og k ( ) er like lnge. Til slutt må vi vise t de ikke er motstt rettet. Når k > 0 hr k ( ) smme retning som. Når k > 0 hr k smme retning som, og d må også ( k) h smme retning som. Når åde ( k) og k ( ) hr smme retning som, må de h smme retning. Når k > 0 er ltså de to vektorene ( k) og k ( ) egge vinkelrett på åde og, de er like lnge og de hr smme retning, og dermed må de være like. På helt tilsvrende vis kn vi vise t også vektorene ( k ) og k ( ) er like når k > 0. Aschehoug Side 63 v 9

64 Løsninger v oppgvene i ok Vi ser nå hv som skjer dersom k = 0. D lir ( k) = (0 ) = 0 = 0. 0 = 0 fordi en v fktorene i utregningen v lengden til 0 er null, og d lir lengden null og vektoren lik nullvektor. k( ) = 0 ( ) = 0. Vi ser t vektorene ( k) og k ( ) egge er lik nullvektor, og dermed er de like. På helt tilsvrende vis kn vi vise t også vektorene ( k ) og k ( ) er like når k = 0. Vi ser til slutt hv som skjer dersom k < 0. Vi ser igjen først på utsgnet ( k) = k( ). ( k) = k sin u = k sin u = k sin v= k ( ) = k( ) Når k < 0 vil k og h motstt retning. Vinkelen u mellom k og lir d supplementvinkelen til vinkelen v mellom og. Supplementvinkler hr smme sinusverdi, så også nå lir sin u = sin v. Dermed hr vi vist t de to vektorene ( k) og k ( ) er like lnge. Til slutt må vi vise t de ikke er motstt rettet. Når k < 0 hr k ( ) motstt retning v. Når k < 0 hr k motstt retning v. Siden k, og ( k) ifølge definisjonen v vektorproduktet skl dnne et høyrehåndssystem, må også ( k) h motstt retning v. Når åde ( k) og k ( ) hr motstt retning v må de h smme retning. Når k < 0 er ltså de to vektorene ( k) og k ( ) egge vinkelrett på åde og, de er like lnge og de hr smme retning, og dermed må de være like. På helt tilsvrende vis kn vi vise t også vektorene ( k ) og k ( ) er like når k < 0. Vi hr nå vist t de tre vektorene ( k), ( k ) og k ( ) er like åde når k > 0, k = 0 og når k < 0. D må de være like for lle verdier v k. Vi hr d vist t ( k) = ( k) = k( ) 4.08 [ x, y, z] [ x, y, z] = ( x ex + ye y + ze z) ( x ex + yey + zez) = x e x e + x e y e + x e z e + ye x e + ye y e + ye y ze z + ze z x ex + ze z ye y + ze z ze z = xye z xze y yxe z + yze x + zxe y zye x = yze x zye x + zxe y xze y + xye z yxe z = ( yz zy) e + ( zx xz ) e + ( xy yx) e x x x y x z y x y y x y z = [ yz zy, zx xz, xy yx] Aschehoug Side 64 v 9

65 4.09 A = AB AC sin A A = 68sin30 A = G = AB AC = AB AC sin A = 6 8 sin 30 = c Løsninger v oppgvene i ok Vi ser t de to forlemene hr smme oppygging og t hlve lengden v vektorproduktet tilsvrer relet v treknten. A= ( 3,3,), B= (,, )og C = (,3, ) G = AB AC G = [,, 3] [5,0, 3] G = [ ( 3) 0 ( 3), 3 5 ( 3), 0 5 ( )] G = [6, 9, G = + + G = 7 = [, 3, ] og = [, 5,] G = G = [, 3,] [,5,] = [ 3 5, ( ), 5 ( ) ( 3)] = [ 3, 5, ] = = 95 = [5, 7,] og = [ 6, 3, ] G = Aschehoug Side 65 v 9

66 Løsninger v oppgvene i ok Du kn gjøre slik I CAS: Arelet v treknten er A= (3,, ), B= (4, 3, ) og C = ( + t, t, 4) G = AB AC Du kn gjøre slik i CAS: Arelet v treknten er 9 Vi ser på vektoren AB = [,, 0] og retningsvektoren r = [,, 0] til linjen l punktet C går lngs når prmeteren t endrer seg. Disse vektorene er prllelle. Hvis vi ser på AB som grunnlinjen i treknten vil høyden h være den smme unsett hvor C er på linjen l. Aschehoug Side 66 v 9

67 Løsninger v oppgvene i ok 4.3 c = [0,0,4], = [3,0,0]og c = [0,,0] = [0,0,4] [3,0,0] = [0,, 0] ( ) c = [0,, 0] [0,, 0] = 4 V = 4 = [,,4], = [,,]og c = [4,,3] = [,,4] [,,] = [ 4,4, ] = [ 7,7,0] ( ) c = [ 7,7,0] [4,,3] = 4 V = 4 = 4 = [3,, ], = [ 5,0,8]og c = [6, 4,7] = [3,, ] [ 5,0,8] = [ 8 0 ( ), ( 5) 8 3,3 0 ( 5) ( )] = [ 8, 4, 5] ( ) c = [ 8, 4, 5] [6, 4, 7] = 7 V = 7 = Hvis AB CD og AB = CD så er firknten ABCD et prllellogrm. AB = [3,,]og CD = [3,,]. Aschehoug Side 67 v 9

68 Løsninger v oppgvene i ok Vi ser t vektorene er like, ltså oppfyller de krvene over. Firknten ABCD er et prllellogrm. AE = [, 0,4 0] = [,,4] BF = [5 4,,5 ] = [,,4] CG = [6 5,7 6,6 ] = [,,4] DH = [3,6 5,5 ] = [,,4] Firknt ABCD er et prllellogrm. I og med t AE = BF = CG = DH vil firknt EFGH være kongruent med firknt ABCD. De vil også være i prllelle pln. Derfor dnner ABCDEFGH et prllellipiped. c Vi velger å t utgngspunkt i A. AB = [3,,], AC = [4,6,]og AE = [,,4] V = ( ) c AB AC = [3,,] [4,6,] = [ 6, 4 3,3 6 4 ] = [ 4,,4] AB AC AE = [ 4,,4] [,,4] = 50 ( ) V = 50 Volumet v prllellipipedet er = [0,0,4], = [3,0,0]og c = [0,,0] V = ( ) c = [0,0,4] [3,0,0] = [0,,0] ( ) c = [0,, 0] [0,, 0] = 4 V = 4 = = [0,3,4], = [,,]og c = [,5,3] V = ( ) c 3 = [0,3,4] [,,] = [3 ( ) 4,4 0,0 ( ) 3] = [4,4, 3] ( ) c = [4,4, 3],5,3] = 7 7 V = 7 = 3 3 Aschehoug Side 68 v 9

69 Løsninger v oppgvene i ok c O= (0, 0, 0), P= (3,, ), Q= (6,, ) og R= (5,0, 0) OP = [3,, ], OQ = [6,, ] og OR = [5,0, 0] V = ( ) c 6 OP OQ = [3,, ] [6,, ] = [ ( ) ( ), 6 ( ) 3,3 6 ( )] = [5, 9,] ( OP OQ) OR = [5, 9,] [5,0, 0] = V = 65 = Q= (, 3,), R= ( 4,4,), S = (,,)og T = ( 4,,6) QR = [ 6,7,0], QS = [0,,] G = ( QR QS) = ([ 6,7,0] [0,,]) = [7 0,00 ( 6), 6 07] = [7,6, 6] = = Q= (, 3,), R= ( 4,4,), S = (,,)og T = ( 4,,6) QR = [ 6,7,0], QS = [0,,]og QT = [ 6,,5] QR QS = [7,6, 6] V = ( ) c 6 ( QR QS) QT = [7,6, 6] [ 6,,5] = 66 c V = 66 = 6 V = G h 3 3V 3 h = = = 6 G Høyden I tetrederet er 6. Aschehoug Side 69 v 9

70 Løsninger v oppgvene i ok 4.7 Du kn gjøre slik i CAS: Her er det mulig å forkorte uttrykket for Vt () = t 4 3 Du kn gjøre slik I CAS: Vt () med. c Hvis volumet er null er ikke figuren et tetreder lenger = + + fordi t + t+ > 0for lle t-verdier. t t t t t 5 = 3. t 5= 3 t 5= 3 t = 4 t = 5 t + 7 = 7 6. (5t+ 7) = 7 (5t+ 7) = t = 7 49 t = 5 Aschehoug Side 70 v 9

71 Løsninger v oppgvene i ok t 3. ingen løsning t t + 4t+ 0 = + 4t t = 6 t + 6t = 6 t + 6t = 6 4. t + 6t 7= 0 t + 6t+ 5= 0 t = 7 t = t = 5 t = 4.9 A= ( 3,, ), B= (,0, 3), C = (,, )og D= ( t+, t,5 t) V = ( ) c 6 AB AC = [5,, ] [,, ] = [ ( ) ( ) ( ), ( ) 5,5 ( ) ( )] = [0,, ] ( AB AC) AD = [0,, ] [ t + 5, t,6 t] = t + ( ) (6 t) = t 8 V = t 8 6 c V = t 8 6 7= t 8 6 t 8 = 4 t 8 = 4 t = 5 t = 7 Hvis volumet er 0 er det ikke lenger en tetreder: V = t 8 6 0= t 8 6 t = O= (0,0,0), P= (,, ), Q= (4,,3)og R= (, 4,0) Hvis lle punkt er i smme pln må ( OP OQ ) OR = 0 Aschehoug Side 7 v 9

72 Løsninger v oppgvene i ok OP OQ = [,, ] [4,,3] = [ 3 ( )( ), 4 3, ( ) 4 ( )] = [ 5, 7,] ( OP OQ) OR = [ 5, 7, ] [, 4, 0] = 38 Punktene ligger ikke i smme pln. Bruker smme fremgngsmåte som i 4.0 AB AC = [,, ] [,,] = [ ( ),, ( )] = [0, 6,6] ( AB AC) AD = [0, 6,6] [4, 5, 5] = 0 Punktene ligger i smme pln. 4. Hvis ABCD skl være et prllellomgrm må AD = BC OP = OA + AD OP = OA + BC OP = [,4,5] + [ 6, 5,5] OP = [ 5,,0] O = ( 5,,0) G = AB AD = [3,0, 3] [ 6, 5,5] = 5( 3), 3( 6) 53,3( 5) 60] [5, 3, 5] = + + = Arelet er A= ( 7, 3,0), B= ( 6,,) og C = ( 5,, 8) G = AB AC = [,, ] [,, ] = [ ( ) ( ), ( ), ( ) ( )] 9 = [6,6,3] = = Arelet v treknten er 9 Aschehoug Side 7 v 9

73 Løsninger v oppgvene i ok G = g h 9 = AB h 9 ( ) = + + h h = 3 Høyden til treknten er AB = [ 6,, ], AC = [3,, 0] og AD = [3,, ] G = AB AC G = [ 6,, ] [3,, 0] = [ 0 ( ), 3 0 ( 6), 6 ( ) 3 ( )] = [,6,9] = = Arelet v grunnflten er AB = [ 6,, ], AC = [3,, 0] og AD = [3,, ] AB AC = [,6,9] V = ( AB AC ) AD 6 c V = [,6,9] [3,,] = 5 6 Volumet v tetrederet er 5. AB = [ 6,, ], AC = [3,, 0] og AD = [3,, ] V = G h 3 3V h = = = G Tetrederets høyde er 30 Aschehoug Side 73 v 9

74 Løsninger v oppgvene i ok 4.4 Du kn gjøre slik i CAS: volumet er 6 c c ABC dnner en rettvinklet reknt og OC står vinkelrett på grunnflten ABC i tetrederet. G = g h = OA OB = V = G h = OC 3 3 V = c 6 Aschehoug Side 74 v 9

75 Løsninger v oppgvene i ok Dette stemmer over ens med svrtet i B. 4.5 V = /3 ( ) c V = ( AB AD ) AE 3 AB AD = [3,,] [,3,4] AB AD = [ 4 3, 4 3,3 3 ( )] = [ 7, 0,] V = [ 7, 0,] [5, 3, 6] 3 V = 3 V = 3 Volumet v pyrmiden er Hvis ABCD skl ligge i smme pln må ( AB AC) AD = 0. AB AC = [,,] [,4,3] = [ 3 3, 3, 4 ( )] = [ 6,, 6] ( AB AC) AD = [ 6,,6] [0,6,] = 0 Punktene ligger i smme pln. AB AC = [,3, 5] [,,] = [3 ( ) ( 5), 5 ( ),( )( ) 3] = [, 3, ] ( AB AC) AD = [, 3, ] [ 3, 4, 4] = 3 Punktene ligger ikke i smme pln. Aschehoug Side 75 v 9

76 Løsninger v oppgvene i ok 4.7 til d e Arelet v denne treknten er 4,5 BC = [,,] f BC rl Retningsvektoren til ler prllell med BC. Avstnden mellom linjen og BC, som også kn sees på som høyden i ABC, vil derfor være den smme uvhengig v hvor A er på l. 4.8 G = ( ) G = [4, 3,] [,,3] G = [ 3 3, 3 4,4 ( 3)] G = [,,] G = 3 Arelet v treknten er 3 Aschehoug Side 76 v 9

77 AB AC = [,, 4] [,0, 8] = [ ( 8) 0 ( ), 4 ( 8), 0 ( )] = [8, 4, ] G = ( ) 9 G = [8, 4, ] = = Løsninger v oppgvene i ok c Arelet v treknten er 9 G = AB AC = [,,0] [,0, c ] G= [ c 0 0,0 ( ) c ( ), 0 ( )] G [ c, c, ] = ( c) + ( c) + ( ) 4.9 Hvis ABCD skl være en rome må AD = BD og AD = AB Dette kn vi kontrollere på følgende måte: AD = [,3 0,5 5] = [0,3,0] BC = [4 4,4,7 7] = [0,3,0] AB = [,,] = + + = 3 AD = [0,3,0] = 3 Vi kn med det si t ABCD er en rome. G = AD AB = [,,] [0,3,0] G = [ 0 3, 0 0, 3 0 ] G = = + = [ 6,0,6] Arelet v romen er ABCD må dnne et prllellogrm. Det kn vi kontrollere ved å se om AD = BC AD = [,, ] BC = [4 6,4, 3] = [,, ] Grunnflten er et prllellogrm Aschehoug Side 77 v 9

78 Løsninger v oppgvene i ok V = ( ) c 3 V = ( AB AD AE 3 AB AD = [6,,3] [,, ] = [ ( ) 3,3 ( ) ( ) 6,6 ( ) ] = [ 8, 0,6] 5 V = [ 8, 0,6] [,,0] = Du kn gjøre slik i CAS Volumet er 76. Volumet vil d være V= lh Du kn gjøre slik i CAS: Volumet er Hvis punktene skl ligge i smme pln må ( AB AC) AD = 0 AB AC = [,3,] [ 3,0,] = [3 0, ( 3), 0 ( 3) 3] = [6, 7,9] ( AB AC) AD = [6, 7, 9] [5, 3, ] = 30 9 = 0 Punktene ligger i smme pln. AB AC = [,, 0] [3, 0, ] = [ ( ) 0 0,0 3 ( ), 0 3 ( )] = [,,3] ( AB AC) AD = [,,3] [0, t 6, t ] = ( t 6) + 3( t ) ( t 6) + 3( t ) = 0 t = 3 Aschehoug Side 78 v 9

79 Løsninger v oppgvene i ok 4.33 = [4,,0], = [5,,]og c = [4, t,3 t] = [4,, 0] [5,, ] = [ ( ) 0, 0 5 4, 4 ( ) 5 ] = [4, 8, 4] Vt ( ) = ( ) c= [4, 8, 4] [4, t,3 t] 6 6 Vt ( ) = 6 8( t ) 4(3 t) 6 Vt () = 3t 5 3 Vt () = 3t 5 3 5= 3t 5 3 3t 5 = 5 3t 5 = t = t = 3 3 c Tetrederet vil h smme volum ved to forskjellige plsseringer v toppunketet. d Hvis vektoren ikke skl forme et tetreder må c være i smme pln som og. ( ) c = 0 3 t 5 = t = 3 c= p + q e [4, t,3 t] = p [4,,0] + q [5,,] [4, t,3 t] = [4p+ 5 q, p q, q] Vi tr for oss x, y og z retninger for seg of får følgende likningssett: c= p + q [4, t,3 t] = p [4,,0] + q [5,,] [4, t,3 t] = [4p+ 5 q, p q, q] 4= 4p+ 5q t = p q 3 t = q Hvis c= p + q så er de 3 vektoren i smme pln. Det vr forutsetningen vi rukte i d. Derfor vil vi få smme t-verdi. Aschehoug Side 79 v 9

80 Løsninger v oppgvene i ok 4.34 Du kn gjøre slik i CAS: 4 8 Vt () = t + t+ Volumet er 3 3. I og med t uttrykket for volumet uten soluttverditegn ldri vil være negtivt er det ikke nødvendig å h med soluttverditegnet lenger. At uttrykket ldri er negtivt kn vi for eksempel vise med kommndo FullstendigKvdrt: c Du kn gjøre slik i CAS: d 7 Volumet er 5 for t = 4 t = Du kn gjøre slik i CAS: Vi ser her t volumet er minst for 3 t =. 8 Aschehoug Side 80 v 9

81 Løsninger v oppgvene i ok e Volumet er d på 9 48 Kommentr: Svrene på oppgve c og d kunne vi også h lest ut v uttrykket for V som vi ser i oppgve, der det er skrevet som et fullstendig kvdrt pluss et ledd. Kvdrtet er minst når 3 det er null, og det er det for verdien t =. D står vi igjen med 9 som verdien til hele 8 48 uttrykket = [,,] [,,3] = [ 3, 3, ] = [,,] c c = [,,] [ x, y, z] = [,,] [,,3] [ z y, x z, y x ] = [ 3, 3, ] [ z y, x z, y x] = [,,] z y = x z = y x= x= z y = z z = z Her kn mn sette inn en vilkårlig verdi for z. Vi ruker z = 4 og får c = [,3,4] Hvis vi ser på utregning i, så ser vi t den eskriver smme smmenheng mellom x, y og z som linjen l gjør. z = 3+ t x= 3+ t y = 3+ t z = 3+ t x= t+ y = t+ z = t+ 3 Aschehoug Side 8 v 9

82 4.36 Vi kn skrive inn følgende kommndo i geoger: l=linje[(0,0,4),vektor[(4,-3,)]]. Løsninger v oppgvene i ok -d Bruker kommndoen nytt punkt og mngeknt i geoger. e Arelet til treknten ABC er 9. Aschehoug Side 8 v 9

83 Løsninger v oppgvene i ok f Vi ruker kommndoen pyrmide i geoger. g Vi kn se fr lgerfeltet t volumet v pyrmiden er 5. h i Hvis vi ser på retningsvektoren til l så er den prllell med plnet A, B og C ligger i. Det vil si t vstnden fr plnet til linj er den smme hele tiden. Denne vstnden tilsvrer høyden til pyrmiden ABCD. Vi kn ruke formelen for volum v en pyrmide: V = G h 3 3V 35 5 h = = = G 9 3 Høyden til pyrmiden er 5 3. Aschehoug Side 83 v 9

84 Løsninger v oppgvene i ok Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve A= (3,5,), B= (7, 3,3)og C = (3,4,3) AB = [7 3, 3 5,3 ] = [4, 8,] AB = [4, 8, ] = 4 + ( 8) + = 8 = 9 c d e A er vinkelen mellom AB og AC. AC = [3 3,4 5,3 ] = [0,,] AC = [0,,] = + = AB AC = [4, 8, ] [0,, ] = ( ) + = 9 AB AC = AB AC cos A A = cos A cos 9 = A = 45 AB AC AB AC 9 Vi ruker formelen for rel v en treknt: G = ( ) G = AB AC G = [4, 8,] [0,,] = [ 8 ( ), 0 4,4 ( ) 0 9 G = [ 7, 4, 4] = = Vi kn ruke AB som retningsvektor og A som punkt. Dette gir oss følgende prmeterfremstilling: l: x= 3+ 4t y = 5 8t z = + t Vi finner først t-verdien som gir x-koordinten til D i l og ser hv y- og z-koordinten d lir. l: x= 3+ 4t y = 5 8t z = + t 3 + 4t = 9 t = 4 l: x= y = 5 84 z = + 4 l: x= 9 y = 7 z = 6 Vi kn d konkludere med t D er på l. Aschehoug Side 84 v 9

85 Løsninger v oppgvene i ok Oppgve Hvis vektorene skl være prllelle må = k = [,3 t,5]og = [6, 3, t+ ] k = k[,3 t,5] = [6, 3, t+ ] k = 6 k(3 t) = 3 5k = t+ k = 3 t = 4 t = 4 Det vil si t vektorene er prllelle når t = 4 Hvis vektorene skl være prllelle må k = = [3 t, t, 4] og = [, 0, 8] k = k[3 t, t, 4] = [, 0, 8] k 3t = k( t) = 0 4k = 8 t = t = k = Her får vi to forskjellige verdier for t. Det vil si t disse linjene ikke er prllelle. Oppgve 3 når = 0 = 0 [5+ 3 t, t, t] [ 4,4,] = 0 (5 + 3 t) ( 4) + t 4 + ( t) = 0 0 t+ 4t+ 4t = 0 t = 8 3 t = når = 0 = 0 [3 + t,, 4 t] [3, 3, t+ ] = 0 (3 + t) (4 t)( t+ ) = 0 + t+ + t+ t t = = t 8t 0 0 t = = 0 Aschehoug Side 85 v 9

86 Løsninger v oppgvene i ok Oppgve 4 G = G = OA OB OA OB = [,, ] [,0,] = [ ( ) 0, ( ), 0 ( )] = [,,] G = [,,] 3 G = + ( ) + = Arelet v treknten er 3. V = ( ) c 6 V = ( OA OB ) OC 6 OA OB = [,, ] [,0,] = [ ( ) 0, ( ), 0 ( )] = [,,] V V = [,,] [3,4,5] 6 = = 6 c Volumet v figuren er. V = G h 3 3 3V h = = = G 3 Høyden til tetrederet er. Oppgve 5 l: x= 3+ 4t y = t z = m: x= + s y = 3s z = + 5 Hvis retningsvektorene er prllelle så er også linjene prllelle. r = [4,,0]og r = [,3,] l m Vi ser her t retningsvektorene ikke er prllelle og vi kn derfor si t linjene heller ikke er prllelle. Aschehoug Side 86 v 9

87 Løsninger v oppgvene i ok Vi sjekker om linjene hr et felles skjæringspunkt. Der å z-koordinten være lik. = sgir s = 3. Punketet på m må være likt. s = 3 (+ 3,3 3,) = (8,9,) Vi seter y-koordintene lik hverndre for å finne t: t = 9 gir t = 9 = 7 Når t = 7 er x = 3 + 4( 7) = 3 8 = 5 og vi får punktet ( 5,9,) på l. Vi ser t når y- og z-koordintene er like, så er x-koordintene ulike. Dermed hr ikke l og m et felles skjæringspunkt. Siden de heller ikke er prllelle er linjene vindskeive. c Siden n m kn r m også rukes som terningsvektor for n, så vi velger rn = rm = [,3,] t = 0 gir punket (3,, ) på l, så dersom vi også lr dette punktet være det fste punktet i prmeterfremstillingen for n, vil l og m h dette punktet som skjæringspunkt. En mulit prmeterfremstilling for n lir d: n: x= 3+ q y = + 3q z = + q Merk! Vi kunne h vlgt et hvilket som helst nnet punkt på l som det fste punket på n, så det finnes uendelig mnge ulike linjer som kn være n. Hver v de uendelig mnge ulike linjene hr igjen uendelig mnge mulige prmeterfremstillinger. (Og likevel er snnsynligheten stor for t vi velger smme svr.) Aschehoug Side 87 v 9

88 Løsninger v oppgvene i ok Del Med hjelpemidler Oppgve 6 A = ( 3, 0, ), B = (6,4,3), C = (0,3, ), D = (,9,) Vi legger inn punktene i CAS og finner AB og DC. og E = (, t +, t) Vi ser t AB = DC, og det er tilstrekkelig for å vise t ABCD er et prllellogrm. Vi sjekker om lle sidene er like lnge. Vi ser t sidene AB og AD er like lnge. Siden vi llerede vet t ABCD er et prllellogrm må ABCD d også være en rome. Siden grunnflten er en rome (og derfor også et prllellogrm) er relet v grunnflten gitt som lengden v vektorproduktet mellom AB og AD. Arelet v grunnflten er Aschehoug Side 88 v 9

89 Løsninger v oppgvene i ok c Vi legger inn toppunktet E og finner vektoren fr A til toppunktet. Siden grunnflten er et prllellogrm lir volumet v pyrmiden en tredel v volumproduktet. Vi setter volumet lik 65 og finner t. Volumet er 65 når Oppgve 7 x = t l: y = t z = 4 + t t 9 = t =. 6 6 x = 3 + 4s m: y = 5 z = 3s Vi velger å løse oppgven med CAS På rd finner vi vinkelen mellom retningsvektorene til linjene. Fordi vinkelen mellom vektorene her er større enn 90 er det supplementvinkelen til denne som er vinkelen mellom linjene, og den finner vi på rd. Vinkelen mellom linjene er,0. Aschehoug Side 89 v 9

90 Vi lr P være et vilkårlig punkt på l og Q et vilkårlig punkt på m. Løsninger v oppgvene i ok På rd 5 ser vi t vi får en løsning når vi setter posisjonsvektorene til P og K lik hverndre. Det etyr t linjene skjærer hverndre. Skjæringspunktet er A og det finner vi ved å sette verdien vi fnt for t inn i utrykket for P. (Vi kunne like godt h vlgt å ruke s og Q.) Linjene skjærer hverndre i A = (, 5, 4). c P er fremdeles et vilkårlig punkt på l, og vi finner B som den verdien v P som gjør t AP = 6. Vi finner to punkter på l som hr vstnden 6 fr A. Vi definerer B lik det punktet som hr positiv førstekoordint. B = (5, 3, 8). Aschehoug Side 90 v 9

91 Løsninger v oppgvene i ok d Punktet C skl ligge på m, så i første omgng ruker vi det vilkårlige punktet Q på m, i stedet for C, og prøver å estemme Q slik t relet v treknt ABQ lir 9. Vi ser t vi får to mulige løsninger for C som gir riktig rel v treknten. Det gjenstår å sjekke om krvet BAC < 90 er oppfyllt. Vi ser t løsningen må være C = (9, 5, 0). Oppgve 8 A = (3,, 5), og B ligger på linj l gitt ved x = 5 t l: y = t + 3 z = 3 Vi legger inn punktet A, og punktet B legger vi inn som et vilkårlig punkt på l. Vi ruker kommndoen RegnUt[ <Funksjon> ] på rd 3 for å få et enklest mulig uttrykk for AB. Vi ser t AB = [ t, t + 4, ]. Aschehoug Side 9 v 9