Brøkregning og likninger med teskje

Transkript

1 Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere er godt kjent med fr før, og mnge v dere vil synes t dette stoet er lett. Likevel vet vi v erfring t det er en del som sliter unødvendig mye med kurset rett og slett fordi skolemtemtikken ikke sitter helt som den skl. Dette er ltså et ekstrtilbud til dere som ikke føler dere helt stø på brøkregning og likninger. Les igjennom teksten og gjør så mnge (eller få) oppgver du trenger for å føle t du behersker teknikkene. I dette heftet hr vi vært pinlig nøye med å t med lle mellomregningene, slik t det ikke skl være noe som er mystisk. Dette kn være lurt å gjøre i strten, til du føler deg sikker på hv som foregår. Etterhvert bør du være i stnd til å gjøre liknende oppgver nesten utomtisk, uten mye grubling. Dersom du blir stående fst kn du spørre gruppelæreren din om hjelp. LYKKE TIL! I. BRØKREGNING Fysikere liker å regne med brøk, fordi det ofte både er mer nøyktig og mer håndterbrt enn desimltll. For eksempel er 0..., så hvis vi bruker slipper vi å gjøre unødvendige tilnærmelser. I tillegg vil dere se etterhvert t brøk er prktisk i likninger. Først repeterer vi noen begreper: Når det står pluss eller minus mellom tll (eller symboler) kller vi delene for ledd. Eks: b + hr leddene +, b og +. Når det står gnge eller dele mellom tll (eller symboler) kller vi delene for fktorer. Eks: (+b) 7 hr fktorene ( + b),7 og. Fktorisering er å dele opp et tll (eller et uttrykk) i fktorer som kn gnges smmen for å få det opprinnelige tllet. Eks: 8, 8 7 og 6. Tllet over brøkstreken kller vi teller, mens tllet under brøkstreken klles nevner. Vi trenger å kunne forkorte brøker og vite hvordn brøker oppfører seg ved ddisjon, substrksjon, multipliksjon og divisjon. A. Forkorting v brøk Vi forsøker lltid å jobbe med så enkle tll som mulig, derfor fktoriserer vi teller og nevner for å sjekke om en brøk inneholder like fktorer over og under brøkstreken. Hvis den gjør det kn den forkortes. Nedenfor følger noen eksempler: Som vi ser kn ikke lle brøker forkortes. B. Addisjon og substrksjon v brøk Når vi skl legge smmen eller trekke fr hverndre brøker dreier mye seg om å nne felles nevner og sette på felles brøkstrek. Nevneren kn endres med å gnge med det smme tllet både over og under brøkstreken. Eksemplene nedenfor viser hvordn det gjøres: ( 5 5 ) C. Multipliksjon og divisjon v brøk Å gnge eller dele brøker er mer rett frm, vi gnger (eller deler) teller med teller og nevner med nevner. Husk t et helt tll kn skrives som en brøk der nevneren er, feks. Nedenfor følger noen eksempler: : 5 : Her vil den observnte leser oppdge t det å dele på en brøk blir det smme som å gnge med den omvendte brøken.

2 D. Brøk med både tll og symboler I fysikk bruker vi mye lgebr. I stedet for å måtte gjøre lnge og kompliserte utregninger hver gng vi hr ett nytt måleresultt kn vi gjøre utregningen ett stykke på vei med symboler. Så kn vi bytte ut symbolene i svret med nye verdier etterhvert som det psser. Symbolene kn være nesten hv som helst. I lgebr begynner mn ofte først i lfbetet på og b og i likninger brukes ofte x og y, men det blir ikke noe nderledes om vi bytter ut med feks L eller g eller den greske bokstven θ (thet). I fysikken hr symbolene nvn etter hvilken fysisk størrelse de representerer, feks T for tempertur, m for msse, t for tid, P for trykk eller v for frt. De smme regnereglene gjelder for symboler som for tll. Noen eksempler på regning med symboler: Eksempler på brøkregning med symboler: b b 7 b 7 b 7 b 7b 7 7b b 7 7b u u 7 u 7 : x x x Hvis du er usikker på om det du hr gjort stemmer kn du lltid sjekke det med å sette inn et tll for symbolet. Setter i det første regnestykket og smmenlikner det opprinnelige uttrykket og ser t begge gir smme svr, slik de skl. Ser også t den siste utregningen er kortere enn den første, og d begynner vi å nærme oss det som er poenget med å regne med symboler... Når vi regner med symboler blir det ekstr nyttig å h klrt for seg hvilke regler som gjelder for rekkefølgen vi utfører regneopersjoner. Hvis det står + vet vi t vi t vi skl regne ut først og så legge til, slik t svret blir. Hvis det derimot står ( + ) skl vi regne ut + først og så gnge med, slik t svret blir 6. Dette er viktig å huske når vi regner med brøk. Eksempel: Brøken + kn ikke forkortes og blir bre +, mens brøken (+) lett kn forkortes til + (+) +, dvs t vi kn stryke et retll over og under brøkstreken. Når vi regner med brøk og likninger bruker vi dette mye motstt vei: Vi fktoriserer lle tllene og leter etter felles fktorer som vi kn sette utenfor en prentes. Nedenfor nner du noen eksempler på dette: +6 + (+) (5+) (5+) +6b b (+b) 6(+) +b + II. LIKNINGER Likninger forteller oss noe om smmenhengen mellom ulike størrelser, feks smmenhengen mellom tid (t), vstnd (x) og frt(v) som er gitt ved t x v. Vi ser t for en konstnt vstnd vil det t kortere tid jo høyere frten er. Hvis det derimot er hstigheten som er konstnt og vi vil vite hvor lngt vi kn komme i løpet v forskjellige tidsrom må vi omforme likningen slik t det er x som står lene: t x v t v x v v x v t () For å skille mellom konstnter og vrible kn vi mrkere hv som er vribelen på følgende måte: med sluttsvret x(t) vt...betyr t vi skl behndle den tilbkelgte vstnden som en funksjon v tiden, mens frten er konstnt.

3 x(v) vt...betyr t vi skl behndle den tilbkelgte vstnden som en funksjon v frten, mens tiden er konstnt. A. Å løse likninger Dere vil gnske snrt møte likninger som er vesentlig mer innviklet enn eksempelet over, så d gjelder det å sørge for t det grunnleggende sitter. Det sentrle i en likning er likhetstegnet (). Det forteller oss rett og slett t det som står på den ene siden er lik det som står på den ndre siden. Med ndre ord kn lle regnereglene for likninger oppsummeres i en setning: Så lenge du psser på å gjøre den smme regneopersjonene på begge sider v likhetstegnet er du trygg. Nedenfor følger noen eksempler: Finn : + + () Som du ser kn vi ltså ytte et ledd, i dette tilfellet +, over på motstt side v likhetstegnet så lenge vi skifter fortegnet. Det som egentlig skjer er t vi trekker fr det smme leddet på begge sider. Vi kn også stryke ledd eller fktorer som nnes på begge sider v et likhetstegn. I eksempelet over kunne vi stryke i. Det som egentlig skjedde vr t vi delte på på begge sider. Tilsvrende kn vi stryke feks i + b c og få + b c. Det som egentlig skjer er t vi legger til + på begge sider: + b + c +. Finn b: + b 5 + b 5 b () I fysikken vil du møte likninger når du skl løse fysiske problemer, og som oftest må du sette opp likningene selv utifr de opplysningene du hr tilgjengelig. Tenk deg feks t en bll kstes rett oppover med en hstighet v 0y 7.00 m/s. Tyngdens kselersjon er g 9.80 m/s. På ett eller nnet tidspunkt vil bllen snu og begynne å flle nedover. Hvor lng tid bruker bllen opp til dette toppunktet? Bruker en bevegelseslikninger som dere kommer til å lære første uk for å løse dette: v y v 0y + y t (5) Hvorfor velger vi denne likningen? Vel, l oss gå igjennom de opplysningene vi hr fått oppgitt: Vi kjenner utgngshstigheten v 0y 7.00 m/s og kselersjonen som er y g 9.80 m/s (det blir minus fordi tyngdekrften virker nedover). I tillegg kn vi tenke oss til t i toppunktet der bllen snur må frten være v y 0 m/s. D ser vi t den eneste ukjente størrelsen i likningen er t, som jo er kkurt det vi vil nne. Omformer likningen slik t vi får t lene på den ene siden: Setter inn verdiene fr over: v y v 0y v 0y v 0y + y t y t v y v 0y y t v y v 0y y y t v y v 0y y (6) 0m/s 7.00m/s t 9.80m/s t 0.7 s (7) Altså hr vi funnet ut t det tr 0.7 s for bllen å nå toppunktet. Finn i det smme uttrykket: b b b ()

4 ) 9 III. OPPGAVER A. Forkorting v brøk i) 6 j) b) c) 6 8 d) e) f) 0 g) h) + 6 i) 6 j) b+8 +8b ) + 5 B. Addisjon og substrksjon v brøk ) 5 b) 7 c) d) 6 5 e) 7 f) : 5 g) : 6 h) 5 : 8 i) 7 : j) 5 : C. Multipliksjon og divisjon v brøk b) 7 + c) d) + e) + 5 f) 5 g) 7 h) 7 5 Finn : ) + 8 b) + c) + + d) 5 7 D. Likninger

5 5 e) 5 b f) + b b g) c c c + 6bc ) 5, 8 b) i), j) 5 B. Addisjon og substrksjon v brøk, c) 8, 5 d) 6, e), f) 5, g), h) 6 5, Finn b: h) i oppgve e) over i) i oppgve f) over j) i oppgve g) over C. Multipliksjon og divisjon v brøk ) 5, b), c) 6, d) 0, e) 7, f) 5 8, g), h) 0, i) 7, j) 5 IV. FASIT A. Forkorting v brøk ), b) 8, c) 6 7, d), e) 7, f) 5, g), h) +, i), j) D. Likninger ), b) 6, c) 6, d) 8 9, e) b +, f) b, g) 8 b, h) b, i) b +, j) b