Test, 1 Geometri. 1.2 Regning med vektorer. X Riktig. X Galt. R2, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen. 1) En vektor har lengde.

Transkript

1 Test, 1 Geometri Innhold 1.2 Regning med vektorer Vektorer på koordinatform Vektorproduktet Linjer i rommet Plan i rommet Kuleflater Grete Larsen 1.2 Regning med vektorer 1) En vektor har lengde. 2) En skalar har retning X 3) En vektor har både retning og lengde 1

2 4) På figuren under er den røde vektoren lik a b 5) På figuren under er den røde vektoren lik a b X 2

3 6) Den nederste vektoren på figuren er lik 2a 7) b t a b a der t R 8) b t a b t a der t R 9) 0 a 10) 0 a 3

4 11) Den røde vektoren på figuren er lik a b X 12) a b b a X 4

5 13) Den røde vektoren på figuren er lik a b 14) a b ab 0 15) Skalarproduktet mellom to vektorer er definert ved a b a b sin der er vinkelen mellom vektorene X 5

6 1.3 Vektorer på koordinatform 1) Koordinatene til punktet A er4,2 X 2) OA 4,2 3) AO 4,2 X 6

7 4) 5e 3e 5,3 x y 5) 2,2,1 3, 6,22, 1,3 2 32,2 6 1,123 7, 5,6 6) 5,2,1 3,1,2 2,2,3 532,212,12 3 0, 1, 4 X 7) Vi multipliserer en vektor med et tall ved å multiplisere alle vektorkoordinatene med tallet 7

8 8) Posisjonsvektoren til A er AO 4,2 X 9) På figuren er AB OB OA X 8

9 10) På figuren er AB OB OA X 11) På figuren er AB OA OB 12) x1, y1, z 1 x2, y2, z 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 13) x1 x2 y1 y2 z1 z2 0 x1, y1, z1 x2, y2, z2 9

10 ) 5, 3, X 15) 5, 3,1 15, 9,3 X 10

11 1.4 Vektorproduktet 1) ab a b sin 2) abstår vinkelrett på både a og b 3) ab, a og b danner et høyrehåndssystem 4) a, b og c på figuren danner et høyrehåndsystem 11

12 5) a, b og c på figuren danner et høyrehåndsystem X 6) Gitt a x1, y1, z1 og b x2, y2, z2. Da er x -koordinaten til a b lik y1 z2 y2 z1 7) 1,0,0 0,1,0 0,0,1 8) 1,0,0 0,0,1 0,1,0 X 12

13 9) q v 1 Arealet til trekanten p q 2 X p 10) p q h r q p hr cos X 13

14 11) p q h r q p V Gh V pq r cos 12) r q p Volumet av pyramiden på figuren er 1 V 3 pq r 1 V 6 pq r 1 X V 6 pq r 14

15 13) r q p Volumet av pyramiden på figuren er 1 V 6 pq r 1 V 3 pq r 1 3 pq r X V 14) uv v u X 15) vv 0 15

16 1.5 Linjer i rommet 1) Linjen på figuren kan beskrives ved parameterfremstillingen x 2t 1 y t 2 X x t 4 y 2t 4 x t 2 y 2t 1 2) Posisjonsvektoren til punktet A1,2,3 er OA 1,2,3 3) En parameterfremstilling for vektoren 4 2 t, 1 t, 2 3t x 42t y 1t z 2 3t 4) En linje går gjennom punktene A2,5,2 og B 5,8,8 X 1, 1, 2 3, 3,6 3,3,5 er gitt ved. En retningsvektor for linja er 16

17 5) En retningsvektor for linja gitt ved er 1,2,4 parameterfremstillingen x 3 2t y 4 4t z 2 8t 6) En retningsvektor for linja gitt ved er 3,4,2 parameterfremstillingen x 3 2t y 4 4t z 2 8t X 7) En linje er gitt ved parameterfremstillingen x x0 at y y0 bt z z0 ct Da er en retningsvektor for linja gitt ved v OP x at, y bt, z ct x, y, z X ) En likning i rommet som inneholder x, y og z vil gi en linje i rommet. X 9) Gitt en rett linje gjennom punktet A4, 0, 2 med retningsvektor 1,1,2. Avstanden fra punktet B 3, 5, 1 X til linja er lik AB 10) Gitt en rett linje gjennom punktet A4, 0, 2 med retningsvektor 1,1,2. Avstanden fra punktet B 3, 5, 1 til linja er den korteste avstanden vi kan få fra B til linja. 11) Vinkelen mellom to linjer er alltid lik vinkelen mellom retningsvektorene til linjene X 17

18 12) For å finne hvor en linje skjærer xy - planet, setter vi z - koordinaten lik null 13) For å undersøke om en linje skjærer z -aksen, setter vi z - koordinaten lik null X 14) For å undersøke om en linje skjærer z -aksen, setter vi x og y- koordinatene lik null 15) Vi måler avstanden mellom to linjer m og n langs en linje som står vinkelrett på både m og n 1.6 Plan i rommet 1) Punktet 2,2,2 ligger i planet. Planet har normalvektor1,2,3. Likningen for planet er x y z X x y z x 2y 3z 2 2) Vi kan alltid finne likningen for et plan hvis vi kjenner to punkter og en linje i planet X 3) Vi kan alltid finne likningen for et plan hvis vi kjenner tre punkter i planet X 18

19 4) Dersom en linje står normalt på normalvektoren til et plan, kan linja enten ligge i planet eller så vil linja ikke skjære planet 5) Der et plan skjærer y -aksen, er z - og x - koordinatene lik null. 6) Skjæringspunktet mellom planet : 2x 3y 4z 20 0 og z -aksen er 10,0,0 X 0,0,5 20 0,,0 3 7) Dersom vinkelen mellom normalvektorene til to plan er 45, er vinkelen mellom de to planene X ) Dersom vinkelen mellom normalvektorene til to plan er 135, er vinkelen mellom de to planene X

20 9) På figuren er m den linja i et plan som danner den minste vinkelen med linja l. n er en normalvektor for planet. v er en retningsvektor for linja l som skjærer planet. er vinkelen mellom n og v. Vinkelen mellom l og er X ) På figuren er m den linja i et plan som danner den minste vinkelen med linja l. n er en normalvektor for planet. v er en retningsvektor for linja l som skjærer planet. er vinkelen mellom n og v. Vinkelen mellom l og er 90 X 90 20

21 ax1 by1 cz1 d 11) Formelen q a b c likningen ax by cz d 0 gir oss avstanden q fra punktet x1, y1, z1 til planet gitt ved 12) Avstanden q fra punktet 1, 1, til planet gitt ved likningen x y z 1 0 er X ) Et plan er gitt ved parameterfremstillingen x 32t s y 2t s z 48t 4s Punktene 3,2,4, 5,3,12 og 4,3,4 ligger i planet X 14) Et plan er gitt ved parameterfremstillingen x 32t s y 2t s z 48t 4s Punktene 3,2,4, 5,3,12 og 4,3,8 ligger i planet 15) Vi kan finne en retningsvektor for skjæringslinjen mellom to plan som vektorproduktet av normalvektorene til de to planene. 21

22 1.7 Kuleflater 1) En kuleflate er samlingen av alle punkt som har samme avstand fra et gitt punkt 2) x x y y z z r Likningen for kuleflaten på figurene er 3) Likningen for en kuleflate med sentrum i origo og med radius lik 5 er x y z 5 X 4) Likningen 1,0, x 2x y z 0 beskriver en kuleflate med sentrum i X 1,0,0 2,0,0 22

23 5) Likningen x 4x y z 3 beskriver en kuleflate 6) Likningen X x 4x y z 5beskriver en kuleflate. 7) Parameterfremstillingen x t y t z t kuleflate med sentrum i origo og med radius lik 3 X cos 3 sin beskriver en 8) Parameterfremstillingen x t y t z t cos 1 sin beskriver en kuleflate med sentrum i origo og med radius lik 1 9) Vektorfunksjonen OP t t t beskriver en kuleflate med sentrum i 2 2 5,4 9 cos,3 9 sin 5, 4, 3 X 5,4,3 6,7,6 10) Vektorfunksjonen OP t t t beskriver en kuleflate med radius lik X ,4 9 cos,3 9 sin 23

24 11) En kuleflate med sentrum i 6,7,6 og med radius lik 5 kan beskrives med parameterfremstillingen x t y t z t cos 6 5 sin 12) De to kulene gitt ved likningene x 2 y 2 z x 4 y z 3 vil skjære hverandre og ) De to kulene gitt ved likningene x 2 y 2 z og x 4 y z 1vil skjære hverandre X 14) De to kulene gitt ved likningene x 2 y 2 z og x 4 y z 4 vil tangere hverandre 15) De to kulene gitt ved likningene x 2 y z 2 og x 2 y z 3 hverandre vil tangere X 24