R2 eksamen våren 2018 løsningsforslag

Transkript

1 R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Oppgave (5 poeng) Bestem integralene a) ( 4x + ) b) 4x ln x dx x dx 4 = + + x x C hvor Vi velger å bruke delvis integrasjon u( x) v ( x) = u( x) v ( x) u( x) v( x) 4 u( x) = 4 x u( x) = x og v ( x) = lnx v( x) = x 4 ln 4 4 ln x 4 4 = x lnx x dx 4 4 = x lnx x + C 9 4 = x lnx + C x x dx = x x x dx Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

2 c) 0 x dx x + 4 Vi bruker integrasjon med variabelskifte hvor Bestemmer først det ubestemte integralet. x x du du dx = = = ln u + C x + 4 u x u du = + = = x u x 4 du x dx dx Vi får 0 (( ) ) x dx = + = + = x + 4 ln x 4 ln 4 ln4 ln6 ln4 0 6 = = = = 4 ln ln4 ln ln Oppgave ( poeng) I en aritmetisk rekke a + a+ + a n er a = og a 5 =. 4 Bestem en eksplisitt formel for summen av denne rekken. Vi finner først differansen d mellom leddene i rekken. Vi har oppgitt a og a 5. Det gir d = 4 d = En formel for summen av rekken er gitt ved a = = og ( ) ( ) der 4 S ( a + a ) n n = an = a + n d = + n = n n Vi får: ( ) + ( n ) ( ) a + an n n n Sn = n = n = n = Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

3 Oppgave 4 ( poeng) En differensiallikning er gitt ved ( sin ) y = x y a) Bestemt den generelle løsningen av differensiallikningen. Vi løser likningen som en separabel differensiallikning. + y = ( sin x) y y y = sin x y dy = sin x dx y dx dy sin x dx dx y = + y + C = cos x + C = + = y cos x C der C C C = cos x+ C y y = cos x+ C b) Bestem den løsningen av differensiallikningen som er slik at y ( ) =. Bestemmer konstanten C = cos + C = cos + C = + C C = Vi finner at den løsningen av differensiallikningen som er slik at y ( ) = er gitt ved y = cos x + Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

4 Oppgave 5 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved ( ) = x f x Et flatestykke er avgrenset av x-aksen og grafen til f. a) Bestem arealet av flatestykket. Vi ser av funksjonsuttrykket til f at grafen til f har et toppunkt. Nullpunktene til f er x =. Da grafen til f har et toppunkt, vil arealet av flatestykket det blir spurt om ligge mellom disse to nullpunktene og grafen til f. Vi ser også at grafen til f vil være positiv mellom nullpunktene. Vi finner arealet ved integrasjon. Det ubestemte integralet av f er gitt ved: = + x dx x x C Arealet blir: x dx x x 4 = = + = + = Vi får et omdreiningslegeme ved å dreie flatestykket 60 om x-aksen. b) Bestem volumet av omdreiningslegemet. ( ) Volumet av omdreiningslegemet er gitt ved ( ) ( ) V = x dx 4 = x x + dx 5 x x = + x 5 ( ) = = = + = V = f x dx Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 4 av 6

5 Oppgave 6 (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f ( x) = sin ( x ), x,9 a) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til f. x Vi vet at sin ( ) Det gir: sin ( x ) = x = + k x = + k x= + k4 sin x =. har sin største verdi når ( ) x= + 4k I vårt definisjonsområde betyr det at vi har toppunktene (, ) og ( 6, ) Vi vet at sin ( ) Det gir: x har sin minste verdi sin ( x ) = x = + k x = + k x = 4 + k4 x = 4+ 4k sin x =. når ( ) I vårt definisjonsområde betyr det at vi har bunnpunktene ( 4, ) og ( 8, ). Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 5 av 6

6 b) Bestem nullpunktene til f. f x = 0 ( ) sin ( x ) = 0 sin ( x ) 0 = x x = 0 + k = + k x = k 4 x = + k 4 x = + k 4 x = + k 4 x = + 4k x = + 4k I vårt definisjonsområde betyr det at vi har nullpunktene (, 0 ), ( 5, 0 ) og ( 7, 0 ). c) Lag en skisse av grafen til f. Markerer punktene funnet tidligere i oppgaven og trekker en jevn kurve gjennom punktene. d) Løs likningen f( x ) = sin ( x ) = sin ( x ) = x x = + k = + k 4 x = + k 4 x = + k x = + k 4 x = + k x = + 4k x = + 4k I vårt definisjonsområde betyr det at vi har løsningene L =,,, Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 6 av 6

7 Oppgave 7 (6 poeng) En kuleflate er gitt ved x 6x + y + 4y + z 8z 0 = 0 a) Vis at sentrum i kulen er S (,, 4) Vi har at likningen for en kule er gitt ved. Bestem radien til kuleflaten. ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) x x + y y + z z = r der x, y, z er sentrum i kulen og r er radien. Vi lager fullstendige kvadrater og bestemmer sentrum og radien til kuleflaten. x 6x y + 4y z 8z + 6 = ( x ) + ( y + ) + ( z 4) = 49 Vi finner dermed at sentrum i kulen er S(,, 4) med radien r = 7 Et plan er gitt ved 6x y + z 4 = 0 b) Bestem avstanden fra kulens sentrum S til planet. ax0 + by0 + cz0 + d Avstanden fra et punkt til er plan er gitt ved formelen d = a + b + c a, b, c er normalvektoren til planet og ( 0, 0, 0 ) x y z er sentrum i kulen., der Avstanden fra sentrum S til planet blir: ( ) ( ) d = = = = Skjæringen mellom kuleflaten og planet er en sirkel. c) Bestem arealet av sirkelen. Vi har at radien i kulen er 7. I tillegg vet vi at avstanden fra sentrum i kulen til planet er 4. Radien i sirkelen mellom kuleflaten og planet er da gitt ved Pytagoras læresetning. På figuren til høyre tilsvarer det radien AC. Radien blir 7 4 = 49 6 = Arealet av sirkelen blir dermed ( ) = Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 7 av 6

8 Oppgave 8 (4 poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved ( ) = S x x x x a) Bestem konvergensområdet til rekken. Vi ser at rekken har kvotienten k = x. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når k. I dette tilfellet betyr det x. Vi får dobbeltulikheten x x x x x x Vi finner at konvergensområdet til rekken er x, b) For hvilke verdier av a har likningen S( x) = a løsning? a Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved S =. k Vi kan da skrive ( ) S x ( x) = a = a = a + x Vi har fra a) at konvergensområdet er x,. Vi ser på likningen + x = a og vurderer hva som vil skje når vi lar x nærme seg nedenfra og når x nærmer seg Når x vil + x ovenfra, altså når og når x vil x og når + x + x. Det betyr at S( x) = a har løsninger for a, altså når summen ( ) S x. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 8 av 6

9 DEL Med hjelpemidler Oppgave (6 poeng) Funksjonene f og g er gitt ved ( ) = + + f x x x ( ) = + g x x a) Bruk graftegner til å tegne grafene til f og g i samme koordinatsystem. Vi tegner grafene i GeoGebra. Grafene til f og g avgrenser et flatestykke med areal A. b) Bestem A ved hjelp av CAS. Vi bestemmer først skjæringspunktene mellom grafene, se linje. Fra oppgave a) ser vi at funksjon f g mellom skjæringspunktene. I linje 4 finner vi integralet mellom funksjonen. Vi finner at arealet av flatestykket avgrenset av grafene er 5 4. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 9 av 6

10 Tyngdepunktet T til flatestykket er M N,, der M og N er gitt ved A A b a ( ( ) ( )) M = x f x g x dx ( ( ) ( ) ) b N = f x g x dx a Tallene a og b er x-koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til f og g, der a b. c) Bestem koordinatene til T ved hjelp av CAS. I linje 5 og 6 bestemmer vi verdiene til 5 tyngdepunktet T til flatestykket er, 4 8 M og N. I linje 7 finner vi at koordinatene til Nedenfor ser du dette tyngdepunktet grafisk Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 0 av 6

11 Oppgave (6 poeng) Gitt punktene A ( 0, 0, 0), B(, t +, t ), C( 0, 4, t + ), (, 8, ) a) Bestem arealet av trekanten ABC for t =. Arealet av trekanten er gitt ved Dt, der 0 t 0. AB AC F =. Vi legger inn punktene fra oppgaven og finner arealet av trekanten ABC når t =, se linje 7 og 8 nedenfor. Arealet av trekanten ABC er. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

12 b) Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til trekanten ABC blir lik 6. Vi løser likningen F( t ) = 6, se nedenfor. Vi har at 0 t 0. Det betyr at arealet av trekanten ABC er lik 6 for t=,8 t= 7,85 9,9 c) Bestem t slik at volumet av pyramiden ABCD blir størst mulig. ( ) Volumet til pyramiden ABCD er gitt ved V = AB AC AD 6 Vi finner først et uttrykk for volumet av pyramiden. I linje bruker vi andrederiverttesten for å sjekke at t = 7 gir en maksimalverdi for volumet. Volumet av pyramiden ABCD er størst når t = 7 Vi kan også funnet dette grafisk Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

13 Oppgave (8 poeng) I en by med 000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar k være proporsjonalitetskonstanten. a) Sett opp en differensiallikning som beskriver antall smittede personer y( t ), der t er antall uker etter at sykdommen ble oppdaget. y t der t er antall uker etter at Antall smittede personer er beskrevet med ( ) sykdommen ble oppdaget. Vi lar y ( t) beskrive vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid. Vi har at vekstfarten er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet der k er en proporsjonalitetskonstant. Antall personer som til enhver tid ikke er 000 y t smittet er gitt ved ( ) ( ) Vi kan da sette opp likningen y ( t) = k 000 y ( t) Da sykdommen ble oppdaget, var 00 personer smittet. kt y t = e. b) Vis at ( ) Når sykdommen blir oppdaget, er t = 0. Vi bruker CAS og finner at y = e kt, se nedenfor. Etter 0 uker var 4000 personer smittet. c) Bruk dette til å bestemme k. Vi setter t = 0 og løser likningen 0k e = 4000 i CAS. Vi finner at k = 0,097 d) Ved hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerne i byen smittet av sykdommen? Vi setter k = 0,097 og løser likningen e t = 6000 i CAS. Vi finner at det tar litt over 7 uker før halvparten av innbyggerne er smittet. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side av 6

14 Oppgave 4 (4 poeng) Figuren nedenfor viser hvordan femkanttallene er bygd opp. Femkanttallene er gitt ved den rekursive formelen Pn+ = Pn+ n +, P = n n a) Vis ved induksjon at P n = Trinn, Induksjonsgrunnlaget. Vi vil vise at formelen gjelder for n =. Venstre side: P = Høyre side: P = = = Formelen gjelder for n = Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n= t. Vi har da Vi må vise at formelen gjelder for n= t+. P t t t = Det betyr at vi må vise at Pt+ = Pt + t + er ( ) ( ) ( ) t+ t+ t + t + t t + 5t+ P t + = = = Bevis t t t t 6t + t + t + Pt+ = Pt + n + = + t + = + = Vi har dermed vist at formelen gjelder for n= t+. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 4 av 6

15 Mathias observerer at det er mulig å regne ut P n som summen av tre trekanttall, der trekanttall nummer n er T = n. Se figuren nedenfor. Han brukte dette til å vise at n n P n = n b) Bruk ideen til Mathias til å utlede formelen for P n. Vi finner først et uttrykk for trekanttall nummer n. Dette er en aritmetisk rekke med + n n + n differanse. Vi får: Tn = n= Ved å se på figuren til Mathias ser vi at P 5 er satt sammen av trekanttallene nummer 4 ( stk.) og trekanttall nummer 5. Det kan vi skrive som P5 = T4 + T5 En formel for P n kan da skrives P = T + T Vi regner ut ved hjelp av CAS n n n I linje ser vi at n n Pn = Tn + Tn = n n = som skulle vises. Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 5 av 6

16 Kilder for bilder, tegninger osv.: Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA04 Matematikk R Våren 08 Side 6 av 6