Sammendrag R januar 2011
|
|
- Kristine Sletten
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sammendrag R1 26. januar
2 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander A og B er ekvivalente. Det vil si at påstand A er riktig hvis, og bare hvis, påstand B er riktig. To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Og Skrivemåten A B betyr påstand A og samtidig B. Eller Skrivemåten A B betyr påstand A eller B. Intervaller La a og b være reelle tall. x er større enn a og mindre enn b skrives: x a, b x er større enn a og mindre enn, eller lik b skrives: x a,b] x er større enn eller lik a og mindre enn b skrives: x [a,b x er større enn eller lik a og mindre enn eller lik b skrives: x [a,b] Union Skrivemåten A B betyr A union B, altså A eller B Snitt Skrivemåten A B betyr A snitt B, altså A og samtidig B Ikke Skrivemåten A betyr ikke A. Hvis A er en hendelse kalles A den komplementære hendelse til A. Grenseverdi Symbolet lim f (x) betegner grenseverdien til funksjonen f når variabelen x nærmer seg a. I de tilfellene det er mulig å finne grenseverdien, er denne et x a reelt tall. 2
3 2 Algebra Andregradslikningen Likningen ax 2 + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 2 4ac 2a Antall løsninger Likningen ax 2 + bx + c = 0 har to løsninger dersom b 2 4ac > 0 en løsning dersom b 2 4ac = 0 ingen reelle løsninger dersom b 2 4ac < 0 Nullpunkt Dersom andregradslikningen ax 2 +bx +c = 0 har har løsningene x = x 1 og x = x 2, er x 1 x 2 = c a og x 1 + x 2 = b a x 1 og x 2 kalles nullpunktene til andregradsuttrykket ax 2 + bx + c. Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax 2 +bx +c har de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Polynom Andregradsuttrykket ax 2 + bx + c er et polynom av andre grad. Et polynom av grad n er på formen P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 der n er et positivt helt tall og a 0, a 1...a n alle er reelle tall. Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) med (x x 0 ) blir resten P(x 0 ). Divisjonen P(x) : (x x 0 ) går opp hvis og bare hvis P(x 0 ) = 0. Faktor i et polynom (x x 0 ) er en faktor i polynomet P(x) hvis og bare hvis P(x 0 ) = 0. Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x) Q(x), der P(x) og Q(x) er poly- Rasjonale uttrykk nomer. Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte P(x) x x 0 hvis og bare hvis P(x 0 ) = 0. 3
4 3 Logaritmer Den briggske logaritmen opphøye 10 i for å få a. Den briggske logaritmen til a, lg a, er det tallet vi må 10 lg a = a Den briggske logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a > b lg a > lgb Regneregler for briggske logaritmer lg a x = x lg a lg(a b) = lg a + lgb ( a ) lg = lg a lgb b Eulertallet e e = lim t 0 (1 + t) 1 t Den naturlige logaritmen opphøye e i for å få a. Den naturlige logaritmen til a, ln a, er det tallet vi må e ln a = a Den naturlige logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a > b ln a > lnb Regneregler for den naturlige logaritmen ln a x = x ln a ln(a b) = ln a + lnb ( a ) ln = ln a lnb b 4
5 4 Sannsynlighetsregning Sum av sannsynligheter P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Komplementære hendelser P(A) = 1 P(A) Betinget sannsynlighet P(A B) P(B A) = P(A) Produktsetningen P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) Total sannsynlighet P(B) = P(A) P(B A) + P(A) P(B A) P(B) = P(A B) + P(A B) Bayes setning P(B) P(A B) P(B A) = P(A) Uavhengige hendinger To hendinger A og B er uavhengige hvis, og bare hvis, P(A B) = P(A) eller P(B A) = P(B) Produktsetningen for uavhengige hendinger hendinger. Da er La A 1, A 2,..., A n være n uavhengige P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A n ) Fakultet n! = n (n 1) ! = 1 Binomialkoeffisient ( ) n n (n 1)... (n k + 1) = k k! ( ) n = 1 0 Multiplikasjonsprinsippet Vi skal gjøre k valg med n 1 alternativer i det første valget, n 2 valg i det andre, osv. Det er da i alt n 1 n 2... n k mulige kombinasjoner. Hvis det er n kombinasjoner i hvert valg, er tallet på kombinasjoner n k. Ordnet utvalg trukket ut i. I et ordnet utvalg tar vi hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir 5
6 Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand med tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt n k forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i. Ordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand uten tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt n (n 1)... (n k + 1) forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i. Uordnet utvalg I et uordnet utvalg tar vi ikke hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i. Uordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og skal velge ut k av dem. Det kan vi gjøre på ( n k) forskjellige måter når rekkefølgen vi velger i, ikke har betydning. Hypergeometrisk forsøk I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to eller flere typer. Anta at det er n 1 gjenstander av type 1 og n 2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. Sannsynligheten for å få k 1 gjenstander av type 1 og k 2 gjenstander av type 2 er da ( n1 ) ( k n2 1 ( n k) k 2 ) For flere enn to typer gjenstander gjelder formlen ( n1 ) ( k n2 ) ( 1 k... ni ( 2 n k) k i ) der i er antall ulike typer gjenstander det trekkes blant. Binomisk forsøk I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal inntreffe nøyaktig k ganger, er ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k k 6
7 5 Geometri Pythagoras setning siden. La a, b og c være sidekanter i en trekant der c er den lengste Trekanten er rettvinklet a 2 + b 2 = c 2 Sentralvinkel og periferivinkel En vinkel som har toppunkt på en sirkelperiferi kalles periferivinkel. En vinkel som har toppunkt i sentrum av en sirkel, kalles sentralvinkel. La u være en sentralvinkel og v en periferivinkel som spenner over den samme sirkelbuen. Da er u = 2v To periferivinkler som spenner over den samme buen, er like store. En periferivinkel som spenner over diameteren, er 90. v u Cosinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der vinkel v er vinkelen mellom sidene b og c. Da er a 2 = b 2 + c 2 2bc cos v Sinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der A er motstående vinkel til a, B er motstående vinkel til b og C er motstående vinkel til c. Da er sin A a = sinb b = sinc c a sin A = b sinb = c sinc Arealsetningen La v være vinkelen mellom to sider a og b i en trekant. Arealet av trekanten er da gitt ved A = 1 ab sin v 2 To trekanter er kongruente hvis ett av disse kravene er opp- Kongruenssetningene fylt: 1. To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre. 2. To av sidene er parvis like lange, og vinkelen mellom de to sidene er like store. 3. Alle tre sidene i trekanten er parvis like lange. 4. To av sidene er parvis like lange, og motstående vinkel til den lengste av disse to sidene er like store. 7
8 6 Vektorer Vektor En skalar er en størrelse som ikke har retning. I praksis er en skalar et van- Skalar lig tall. En vektor er en størrelse som har både lengde og retning. Nullvektor Nullvektoren 0 har lengden 0. Enhetsvektor En enhetsvektor e har lengden 1. e x har lengde 1 og er har lik retning med den positive x-aksen. e y har lengde 1 og har lik retning med den positive y- aksen. Sum av vektorer Når vi skal finne summen av to vektorer u og v tegner vi først u. Deretter tegner vi v med utgangspunkt i endepunktet for u. Summen u + v går nå fra utgangspunktet for u til endepunktet for v. For tre punkter A, B og C er AB + BC = AC u v u + v Produkt av tall og vektor Vektoren t v er parallell med v og er t ganger så lang som v. Hvis t er et positivt tall, har v og t v samme retning. Hvis t er et negativt tall, har v og t v motsatt retning. Differanse av vektorer Vi finner differansen u v ved å summere u og v. u v = u + ( v) Vi kan også tegne vektorene u og v med felles utgangspunkt. Vektoren u v går da fra endepunktet for v til endepunktet for u. Noen regneregler for vektorer a + b = b + a ( a + b) + c = a + ( b + c) t ( a + b) = t a + t b s a + t a = (s + t) a s (t a) = (s t) a Vektor på koordinatform En vektor u = [x, y] går x enheter i positiv x-retning og y enheter i positiv y-retning. 8
9 Regneregler for vektorkoordinater [x 1, y 1 ] + [x 2, y 2 ] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ] [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = [x 1 x 2, y 1 y 2 ] t[x, y] = [t x, t y] Vektoren mellom to punkter Vektoren mellom origo, O(0, 0), og punktet P(x, y) har koordinatene OP = [x, y] OP kalles gjerne posisjonsvektoren til P. Vektoren mellom A(x 1, y 1 ) og B(x 2, y 2 ) har koordinatene AB = [x2 x 1, y 2 y 1 ] Lengden av en vektor Lengden av vektoren v = [x, y] er v = x 2 + y 2 Avstanden mellom to punkter Avstanden mellom punktene (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Parallelle vektorer To vektorer u og v som ikke er nullvektorer, er parallelle hvis og bare hvis det fins et tall t slik at t u = v. Altså u v t u = v Punkt på linje parallelle. Tre punkter A, B og C ligger på linje hvis og bare hvis AB og AC er Dekomponering La a og b være to vektorer som ikke er parallelle. La v være en tredje vektor. Da fins det entydige tall x og y slik at v = x a + y b Like vektorer La a og b være to vektorer som ikke er parallelle, og la u = x 1 a + y 1 b og v = x 2 a + y 2 b. Da er u = v hvis og bare hvis x1 = x 2 og y 1 = y 2. To vektorer er like hvis og bare hvis vektorkoordinatene er parvis like. Skalarprodukt La u være vinkelen mellom a og b. Da er skalarproduktet av a og b a b = a b cosu Skalarproduktet er alltid et tall (en skalar). 9
10 Koordinatformelen for skalarprodukt [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 Vinkelen mellom to vektorer Vinkelen u mellom a og b kan beregnes ved u = cos 1 a b a b Ortogonale vektorer a b a b = 0 Regneregler for skalarproduktet a b = b a a ( b + c) = a b + a c (x a) (y b) = (x y) a b (x 1 a + y 1 b) (x2 a + y 2 b) = x1 x 2 a 2 + x 1 y 2 a b + y 1 x 2 a b + y 1 y 2 b 2 a 2 = a 2 10
11 7 Derivasjonsregler Definisjonen av den deriverte f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h Hvis denne grenseverdien eksisterer i punktet x er f deriverbar i x. Lineær funksjon Potensfunksjon Sum av funksjoner (ax + b) = a (x n ) = n x n 1 (u(x) + v(x)) = u (x) + v (x) Multiplikasjon med konstant (k f (x)) = k f (x) Funksjonen 1 x ( ) 1 = 1 Kvadratrot Logaritmefunksjon x x 2 ( x) = 1 2 x (ln x) = 1 x Eksponentialfunksjon Produktsetningen Kvotientsetningen (e x ) = e x (e kx ) = ke kx (a x ) = ln a a x ( a kx) = k ln a a kx (u v) = u v + u v ( u v ) = u v u v v 2 Kjerneregelen Den deriverte av en sammensatt funksjon er lik den deriverte av den ytre funksjonen multiplisert med den deriverte av kjernen. Altså hvis f (x) = g (u(x)), så er f (x) = g (u(x)) u (x) 11
12 8 Funksjonsdrøfting En funksjon f er kontinuerlig for x = a dersom f (a) ek- Kontinuerlige funksjoner sisterer og lim x a + f (x) = lim f (x) = f (a). x a En funksjon er kontinuerlig i et intervallet [a,b] hvis den er kontinuerlig i alle punkt i intervallet. En polynomfunksjon er kontinuerlig overalt. Rasjonale funksjoner er kontinuerlig i alle punkt, men er ikke definert der nevneren er null. Vertikal asymptote ± når x a. En funksjon f har en vertikal asymptote x = a dersom f (x) Horisontal asymptote Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjon f dersom lim f (x) = a eller lim f (x) = a. x x Toppunkt og bunnpunkt Hvis f er kontinuerlig og f (x) skifter fortegn i et punkt er dette et topp- eller bunnpunkt for f. Andregradsfunksjonen ax 2 + bx + c har et toppunkt hvis a < 0 og et bunnpunkt hvis a > 0. Dette topp/bunnpunktet finner vi i x = b 2a. Krumming f (x) > 0 i et intervall grafen vender den hule siden opp i intervallet. f (x) < 0 i et intervall grafen til f vender den hule siden ned i intervallet. Vendepunkt Punktet der f (x) skifter fortegn kalles et vendepunkt til f. L Hôpitals lov g gitt at lim (x) x a h (x) Hvis lim x a g (x) = lim x a h(x) = 0 så er g (x) lim x a h(x) = lim g (x) x a h (x) eksisterer. Setningen gjelder også hvis lim x a I praksis vil dette si at hvis en grenseverdi gir 0 0 eller g (x) = limh(x) = ±. x a så kan vi derivere telleren og nevneren (hver for seg) og se om vi får en grenseverdi som er lettere å beregne. Denne setningen er ikke en del av pensum i R1, men kan i noen tilfeller være praktisk for å beregne grenseverdier 12
13 9 Vektorfunksjoner Parameterframstilling for rett linje En linje l gjennom punktet P(x 0, y 0 ) parallell med vektoren v = [a,b] kan skrives ved parameterframstilling { x = x0 + at l : y = y 0 + bt eller som vektorfunksjonen [x(t), y(t)] = [x 0 + at, y 0 + at] Derivasjon av vektorfunksjoner vil si at hvis r (t) = [x(t), y(t)] så er Vektorfunksjoner kan deriveres koordinatvis, det r (t) = [x (t), y (t)] Definisjon av den deriverte til en vektorfunksjon Den deriverte til en vektorfunksjon r (t) er gitt ved r r (t + h) r (t) (t) = lim h 0 h Fartsvektor og akselerasjonsvektor Ofte tolker vi r (t) som posisjonsvektoren til et punkt etter tiden t. Fartsvektoren er da Farten er lengden av fartsvektoren, altså v(t) = r (t) v(t) = v(t) Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren, altså a(t) = v (t) = r (t) Akselerasjonen er lengden av akselerasjonsvektoren, altså a(t) = a(t) 13
Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R1
Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerSammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
DetaljerR1 Eksamen høsten 2009 Løsning
R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)
DetaljerFremdriftsplan for sommerkurset 2014 Planen er ment som et utgangspunkt, kan justeres underveis
Oldervoll m.fl. Sinus matematikk, Forkurs grunnbok, Cappelen Jerstad m.fl. Rom-Stoff-Tid, Forkurs grunnbok, Cappelen. Øving: EN/MMT (D3-11), PD (D3-15), EA/DA (D3-17) Fremdriftsplan for sommerkurset 2014
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksamen høsten 2009 Løsninger
Eksamen høsten 009 Løsninger Eksamen høsten 009 Løsninger DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave a f( ) = 5 e f () = 5e = 5e b
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2012
Eksamen REA30 R, Våren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene gitt ved ) f 3 5 4 f 5 ) 3
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerR1 eksamen høsten 2016 løsningsforslag
R eksamen høsten 06 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x x 5x 6 a) fx 4x 5 b) g(
DetaljerR1 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R1 eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene
DetaljerFunksjoner. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R1... 3 Innledning... 4 3.1 Funksjoner... 5 3. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter...
DetaljerEksamen REA 3022 Høsten 2012
Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x 1 1 1 g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x
DetaljerInnlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4.
Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1)
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Detaljer2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
DetaljerFunksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt
DetaljerINNHOLD. Eksamen R1 vår 2008 - Hele oppgavesettet Eksamen R1 vår 2009 - Hele oppgavesettet. Side. Oppgave 1 vår 2008 1
INNHOLD Eksamen R1 vår 2008 - Hele oppgavesettet Eksamen R1 vår 2009 - Hele oppgavesettet Side Oppgave 1 vår 2008 1 Oppgave 1a vår 2008 2 Teori oppgave 1a Vår 2008 2 Derivasjonsreglene 2 Derivasjon av
DetaljerR1-eksamen høsten 2017 løsningsforslag
R1-eksamen høsten 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x x x 1 a) fx 6x b) g(
DetaljerEksamen R1, Våren 2015
Eksamen R1, Våren 015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 3 3 b) g( ) ln( ) c) h
DetaljerRegelbok i matematikk 1MX og 1MY
Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen
DetaljerMATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM
MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og
DetaljerEksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerAlle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007
Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerAlle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerFK208 Matematikk, tresemester Undervisningsplan 2017
Lærebok: Tore Oldervoll, Odd Orskaug, Audhild Vaaje, Otto Svorstøl og Sigbjørn Hals: «Sinus Forkurs Grunnbok 2016», for ingeniørutdanning. Cappelen Damm forlag, ISBN 9788202509057 Oppgåvesamling: Same
Detaljereksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor
eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x = x + x 3 5 f () x = 3 x+ 5 = 6x + 5 b gx = 3 ( x ) gu = 3 u 4 4 3 g () u = 34
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen R1 høsten 2014 løsning
Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerHjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerHeldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1
Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y
DetaljerR1 - Heldagsprøve våren
R - Heldagsprøve våren 04 -.05.04 Løsningsskisser Generelle problem: Ikke gi bort gratispoeng, kontroller svar og ikke slurv med enkle oppgaver! (Oppgave,, 5 og 6.) Tegn grafer ordentlig! (Piler på akser,
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
DetaljerEksamen matematikk S1 løsning
Eksamen matematikk S1 løsning Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 6 4 0 6 6 44 6 36 3 4 6 4 1 b) lg lg lg4 lg lg4 lg 10 10 lg4 4 8 0 4 4 8 6 4 må være større enn null fordi den opprinnelige likningen
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008
Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk R1
GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger
DetaljerGeometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2009
Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål
Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerOppgaver. Innhold. Algebra R1
Oppgaver Innhold.1 Faktorisering... Polynomdivisjon.... Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer... 6 Rasjonale
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2008
Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerR1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1
Oppgave 1 R1 - Eksamen V10-7.05.010 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x 3x lnx x 3 1 x 3x lnx x x 3lnx 1 ) Kjerneregel: f x 4e u, u x 3x f x 4e u x 3 4 x 3 e x 3x 1) P 3 4 4 16 0 P 0 P x x Q x x
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerKompetansemål Geometri, R Vektorer Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5
1 Geometri Innhold Kompetansemål Geometri, R2... 3 1.1 Vektorer... 4 1.2 Regning med vektorer... 5 Addisjon av vektorer... 5 Vektordifferanse... 5 Multiplikasjon av vektor med tall... 6 Parallelle vektorer...
DetaljerTest, 1 Geometri. 1.2 Regning med vektorer. X Riktig. X Galt. R2, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen. 1) En vektor har lengde.
Test, 1 Geometri Innhold 1.2 Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 6 1.4 Vektorproduktet... 11 1.5 Linjer i rommet... 16 1.6 Plan i rommet... 18 1.7 Kuleflater... 22 Grete Larsen 1.2
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
Detaljereksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2
eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerLøsningsforslag i matematikk
Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x)
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerInnlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
DetaljerLøsningsforslag matematikk S1 V14
Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2
Detaljer( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
DetaljerDelprøve 1. 1) Finn eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til g. 2) Finn eventuelle vendepunkter på grafen til g. Tegn grafen.
Delprøve OPPGAVE a) Deriver funksjonen ( ) = x f x e x b) Gitt funksjonen 4 3 ( ) = 4 g x x x ) Finn eventuelle topp-, bunn- og terrassepunkter på grafen til g. ) Finn eventuelle vendepunkter på grafen
DetaljerLæreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program
Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-
DetaljerLøsning S1-Eksamen vår 2012
Løsning S1-Eksamen vår 2012 14. juni 2012 Innhold Del 1 3 Oppgave 1 3.................................................... 3 1)................................................. 3 2).................................................
DetaljerBokmål. Eksamensinformasjon
Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerR1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1
Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x
DetaljerEksamen våren 2008 Løsninger
Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (
DetaljerR1 Eksamen høsten 2009
R1 Eksamen høsten 2009 Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln2 x 3 2 c) Likningen 2x 10x 2x 10 0 har tre løsninger. Vis at x1 1 er en løsning og finn de to andre.
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
Detaljer