Eksamen R2, Høsten 2015, løsning

Transkript

1 Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin b) g( ) sin Vi bruker produktregelen for derivasjon g sin cos sin cos c) h( ) 5e sin( ) Vi bruker produktregelen for derivasjon uv u v uv der u og v sin 5 sin 5 cos 5 cos sin h e e e Oppgave (4 poeng) Regn ut integralene a) ( )d b) e ( ) d e Vi bruker metoden med variabelskifte. du du Vi setter u e som gir e dermed e r d d e e e e du d u du u e C C e d e u u e Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

2 Oppgave ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f ( ) e, 0, ln Vi roterer grafen til f 60 om -aksen. Vis at volumet V av omdreiningslegemet blir 8 V Vi bruker formelen for volum av omdreiningslegeme, ln ln ln ln b V f d og finner a V f d e d e d 4e d ln ln ln e 4 e 4e e ln e Oppgave 4 (4 poeng) Figuren viser grafene til funksjonene F og f. Det er gitt at F( ) f( ) a) Bruk figuren til å bestemme F (4) Det er gitt at F f. Vi har da F4 f4 b) Bruk figuren til å bestemme arealet av det markerte flatestykket. Vi skal altså bestemme arealet avgrenset av grafen til f og og 4. f d F C. Vi at F f. Det gir Vi har da at arealet av det markerte flatestykket er gitt ved 4 4 f d F F 4 F 6 7 Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

3 Oppgave 5 (5 poeng) En kuleflate er gitt ved likningen y y z z a) Vis at punktet P (4,, ) ligger på kuleflaten. Vi setter inn koordinatene for blir 0., y og z og viser at venstre side i likningen ovenfor b) Bestem sentrum og radius til kulen. Vi har at likningen for en kule er gitt ved y y z z r der, y, z er sentrum i kula og r er radius. Vi lager fullstendige kvadrat y 6y 9 z 4z y z 5 Sentrum til kulen er dermed,, S og radius er 5 c) Bestem en likning for tangentplanet til kulen i punktet P. Vi vet at punktet 4,, P ligger på kuleflaten. I tillegg vet vi at radius står normalt på tangentplanet i dette punktet. Det betyr at vektoren SP 4,,, 4, 0 vil være en normalvektor til tangentplanet. Likningen for tangentplanet blir: y z y6 0 Oppgave 6 (4 poeng) Følgende formler er gitt: sin( u v) sinucos v cosu sinv cos( u v) cosu cos v sinusinv a) Bruk formlene ovenfor til å uttrykke sin( ) og cos( ) ved sin og cos. sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

4 b) Vis at sin( ) sin 4(sin ) sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 4 sin Oppgave 7 (6 poeng) Punktene A(,, ), B(,, 4) og C(,, ) er gitt. a) Bestem ved regning vektorproduktet AB AC. AB, 5, 6 AC,, e ey ez AB AC , 6 5,, 4 b) Forklar at C ikke ligger på linjen gjennom A og B. Definisjonen av vektorproduktet er gitt ved c a b sin a, b I denne oppgaven blir det AB AC AB AC sin AB, AC Dersom C hadde ligget på linjen gjennom A og B, ville AB AC sin, blitt 0 og AB AC 0. I oppgave a) ser vi at dette ikke er tilfelle og C ligger dermed ikke på linjen gjennom A og B. c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C. Vi bruker normalvektoren,, 4 7,, og finner likningen for planet y z 0 y z 5 0 d) Avgjør om punktet D (,, ) ligger i. Vi setter punkkoordinatene inn i likningen for og finner Vi har da at 0 og punktet D ligger ikke i planet. Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 4 av 4

5 Oppgave 8 ( poeng) Løs differensiallikningen, y(0) y y Likningen er på formen g y y Q og er dermed separabel. Vi kan løser den slik dy y d y dy d y dy d y C y C C C y C Vi finner så den bestemte løsningen når 0 og y 0 C 8 Løsningen blir C C y 8 C Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 5 av 4

6 Oppgave 9 ( poeng) Bruk induksjon til å bevise påstanden n ( n) P( n) : n 4, n Trinn, Induksjonsgrunnlaget Vi skal vise at formelen gjelder for n. Bevis 4 Venstre side: Høyre side: 4 4 Formelen gjelder for n Trinn, Induksjonstrinnet Vi antar at formelen gjelder for n t. t t Det betyr at t 4 Vi må vise at formelen gjelder for nt. Vi må altså vise at t t t t t t 4 4 Bevis. Vi viser at venstre side i likningen ovenfor blir lik høyre side av likningen. t t t t t t t 4 t t t t t t 4 t t 4t Vi har dermed vist at formelen gjelder for nt I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen da for alle verdier av n 4 Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 6 av 4

7 Oppgave (6 poeng) En funksjon f er gitt ved ( ) 5e sin( ), 0, f a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f for 0,. Vi tegner grafen til f for 0, i GeoGebra. b) Bestem nullpunktene til f i intervallet 0,. Vi kan finne nullpunktene til f ved å bruke kommandoen «NullpunktIntervall[ f,0, ]». Vi får ikke nullpunktene i endepunktene av grafen ved denne kommandoen. For å få nullpunktene i endepunktene bruker vi kommandoen «Nullpunkt[<Funksjon>, <Start>]» og setter inn henholdsvis 0 og som startverdi. Nullpunktene er markert på grafen i a). I intervallet 0, 5 nullpunktene for 0,,,,,, får vi altså Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 7 av 4

8 c) Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til f i intervallet 0,. Vi finner topp- og bunnpunkter på grafen til f ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]» Vi ser fra grafen til f at vi har toppunkter i 0.7,.9,.84,.7, 6.99, 0.48 og bunnpunkter i.7,., 5.4, 0.8, 8.56, 0.8 d) Bestem arealet begrenset av grafen til f og -aksen mellom 0 og. Vi bruker kommandoen «Integral[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]» for å finne arealet. Vi ser av grafen til f at hele integralet ligger over -aksen. Det betyr at arealet er,87. Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 8 av 4

9 Oppgave ( poeng) Vis at f( ) 5e sin( ) er en løsning av differensiallikningen 9y 6y 7y 0, y(0) 0 og y(0) 0 Vi velger å løse differensiallikningen ved å bruke kommandoen LøsODE[<likning>,<punkt på grafen til f >,<punkt på grafen til f>] I linje ser vi at vi får løsningen f( ) 5e sin( ). I linje setter vi inn denne løsningen inn i differensiallikningen 9y 6y 7y 0. Vi ser at venstre side er lik høyre side. Dermed er 5e sin( ) en løsning av differensiallikningen. Oppgave (6 poeng) Vi skal i denne oppgaven studere nærmere f ( ) som er gitt i oppgave i Del. a) Vis at nullpunktene til f i oppgave danner en aritmetisk tallfølge a, a, a, Bestem a 0. Fra oppgave ser vi at vi har nullpunktene a 0, a, a, a4, Vi har altså en lik differanse d på d mellom hvert nullpunkt. Nullpunktene danner dermed en aritmetisk tallfølge a a n d I en aritmetisk tallfølge er ledd nummer n gitt ved n 9 Det gir a0 0 9 Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 9 av 4

10 b) Vis at maksimalverdiene til f i oppgave danner en geometrisk tallfølge b, b, b, Bestem b 5. Fra oppgave har vi at de tre første maksimalverdiene til f er b,9, b,7, b 0,48 Vi viser at vi har lik kvotienten k b n for disse verdiene. bn,7 0,48 k 0,5,9,7 Det ser dermed ut som maksimalverdiene danner en geometrisk tallfølge med kvotient k 0,5 I en geometrisk tallfølge er ledd nummer n gitt ved a a k n n Det gir 4 b5,9 0,5 0,06 c) Begrunn at den uendelige rekken b b b konvergerer. Bestem summen av rekken. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når k. I vårt tilfelle har vi en geometrisk rekke med k 0,5. Den uendelige rekken b b b vil dermed konvergere. a Summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved S k,9 I vårt tilfelle får vi summen S 6,0 0,5 Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 0 av 4

11 Oppgave 4 ( poeng) En kule K har sentrum i S(, 0, ) og radius. En linje går gjennom punktene A(7,, 5) og B(5, 4, 9). Bestem skjæringspunktene mellom linjen og kulen K Denne oppgaven kan løses ved å bruke D i GeoGebra. Vi velger «kule med sentrum og radius» fra menylinjen og tegner kulen. Vi legger så inn punktene A og B og tegner linjen gjennom punktene. Ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt» finner vi skjæringspunktene mellom kulen og linjen. Skjæringspunktene er,, og 5,,, se punkt D og E nedenfor. Ved regning kan vi finne likningen for kulen og en parameterframstilling for linjen Vi finner så de t -verdiene som er slik at vi får skjæringspunktene mellom linjen og kulen. Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

12 Oppgave 5 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f( ) a b c, a 0 og c 0 Grafen har toppunkt i R. Se skissen nedenfor. R P Q P Q a) Forklar at grafen til f skjærer -aksen i punktene P b b 4ac a,0 der P ligger til venstre for Q. og Q b b 4ac a,0 Vi har gitt at a 0. Det betyr at nevneren er negativ. Punktet P har positivt fortegn foran rottegnet, mens punktet Q har negativt fortegn for rottegnet. Punktet P vil dermed ligge til venstre for Q. Vi ser at -koordinatene til punktene er løsningen av f 0, altså abc -formelen. Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

13 b) Bruk CAS til å vise at arealet T til PQR er gitt ved T ( b 4 ac) b 4ac 8a Vi finner -verdien til toppunktet til f ved å sette f 0, se linje 4. Vi finner så høyden h av trekanten, se linje 5. Grunnlinjen g er gitt ved Q P, se linje 6. gh Deretter finner vi arealet T av trekanten, T, se linje 7. c) Bestem arealet T mellom grafen til f og -aksen. Arealet av T finner vi ved å beregne integralet mellom grafen til f, -aksen og punktene P og Q. Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side av 4

14 T d) Bestem forholdet T. Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA04 Matematikk R høsten 05 Side 4 av 4