Oppgave 578. Tilleggsspørsmål: a. (Som i original oppgave)

Transkript

1 Oppgave 578 Med tilleggsspørsmål og eksempler på bruk av GeoGebra. (I forsøket på å illustrere flere forskjellige teknikker er det ikke til å unngå at noen av spørsmålene til en viss grad overlapper hverandre.) Tilleggsspørsmål: 1. Skjæringspunkter med aksene? 2. Skjæringspunkter med seg selv? 3. Ligger punktet (6,10) på kurven? 4. Stigningstall og ligning for tangent til kurven med tangeringspunkt (6,10)? 5. Skjæringspunkter med linjen y x 2? 6. Punkt hvor grafen (det vil si tangenten) er parallell med aksene? (Det vil si ekstremalpunkter både vertikalt og horisontalt.) 1. Skjæring Y-akse: x 0 t t 2 2 (Umulig) Ingen skjæringspunkter med y-akse. Skjæring X-akse: y 0 9t t 3 0 t 9 t 2 0 t 3 t 3 t 0 t 0 t 3 t 3 t 0 : 2, 0 t 3 : 11, 0 2. Hvis vi ikke hadde gjort spørsmål 1 og fikk dette spørsmålet, må vi tenke slik: Vi er på samme sted (lik x- og y-koordinat) på to forskjellige tidspunkter a og b, og får da ligningene: a 2 2 b 2 2 I 9a a 3 9b b 3 I gir: a b Innsatt i II : a b : a b : II Ikke aktuelt, da a og b skal være forskjellige tidspunkt! 9b b 3 9b b 3 2b 9 b 2 0 2b 3 b 3 b 0 b 0 b 3 b 3 b 3 : 11, 0 som i 1. b 0 er falsk løsning, da denne verdien gjør at a b 0, som strider med forutsetningen om at a og b skal være forskjellige tidspunkt! a. (Som i original oppgave) 11, 0 på kurve gir oss: t t t 3 0 t 3 t 0 t 3 t 3 (Som i 1. og 2. ) H-P Ulven av tex

2 3. Punkt 6, 10 på kurve, hvis: t t t 3 10 t 2 4 t 3 9t 10 0 Løser andregradsligningen: t 2 Sjekker om det gir selvmotsigelse: t 2 : VS OK t 2 : VS Ikke OK ): t 2 gir punktet 6, 10 på kurven. 4. Tangentvektor (hastighet hvis t er tid i praktisk oppgave) som funksjon av t: v t r t t 2 2, 9t t 3 2t, 9 3t 2 Tangent i punktet 6, 10, når t 2: v 2 2 2, , 3 Dette gir stigningstall: ST 3 4 Med tangeringspunkt 6, 10 gir ett-punkts-formelen: y y 1 ST x x 1 y 10 3 x 6 y 3 29 x Skjæringspunkter med linjen y x 2 gitt av: 9t t 3 t t 3 t 2 9t 0 t t 2 t t 0 t t t 0 : 2, 0 t : 8. 46, t : 14. 5, Punkt der graf er parallell med: x-aksen: v t 2t, 9 3t 2 har y komponent 0: 9 3t 2 0 t 3 Punkt med minst y-verdi: (lokalt) t 3 : 5, , Punkt med størst y-verdi: (lokalt) t 3 : 5, , b. y-aksen: v t 2t, 9 3t 2 har x komponent 0: 2t 0 t 0 Punkt med minst x-verdi(lokalt) eller lengst til venstre (lokalt): t 0 : 2, 0 H-P Ulven av tex

3 De to hastighetsvektorene i P 11, 0 opptrer når t 3 og t 3 ifølge utregningene i a. (og 2. og 3.) De blir da: v 3 2 3, , , 3 v 3 2 3, , , 3 Vinkelen gitt av: cos 1, 3 1, ): Eksempel på bruk av GeoGebra på parameterfremstillinger og vektorfremstillinger: Parameterfremstilling: x t 2 2 y 9t t 3 er en kurve! Vektorfunksjon: r t t 2 2, 9t t 3 er en vektor fra Origo til kurven! Vektoren i vektorfunksjonen ender på kurven hvis den starter i Origo, så vanligvis trenger man ikke være så nøye med når man snakker om kurven eller en stedsvektor fra Origo til kurven. I GeoGebra må vi være litt mer bevisste på denne nyansen! Vi grafer kurven: r Kurve[t ^2 2,9*t-t ^3,t,-5,5] 1. og 2. Skjæring med akser og seg selv Ser av grafen at ingen skjæring med y-akse. Ser også at den skjærer seg selv i A. Skjæringspunktene A og B med x-aksen finner vi med kommandoen: Skjæring[xAkse,r] H-P Ulven av tex

4 eller bruke knappen "Skjæring mellom to objekt", x-aksen og kurven., og klikke på 3. Ligger punktet (6,10) på kurven? Kan plassere punktet med kommandoen: P (6,10) eller kanskje bedre å legge inn en glider for variabelen t og deretter et bevegelig punkt: Legg inn glider og gi den navnet t P r(t) (Legger inn punkt på kurven r med t som parameter) (Kan legge inn stedsvektor med samme kommando: p r(t) Konvensjon: Stor bokstav punkt, liten bokstav vektor!) 4. Stigningstall og ligning for tangent til kurven med tangeringspunkt (6,10)? Legger inn punkt: Q (6,10) Lager tangentvektor: u r (t) Blir standardplassert med start i Origo, så vi kan flytte den til det bevegelige punktet P med knappen ("Vektor fra punkt") ved å klikke på vektor u og deretter på P. Nå kan vi enten bruke glideren t til å flytte P til Q, eller lage tangentvektor i Q H-P Ulven av tex

5 direkte med kommandoen: w r (2) (Bør også flyttes til Q med ) Tangenten får vi med T Tangent[Q,r] Algebravinduet viser da ligningen: y 0. 75x (Som er y Skjæringspunkter med linjen y x 2? Tegner inn linjen med kommandoen: l : y x 2 Finner skjæringspunktene med enten kommandoen: Skjæring[l,r] Eller med knappen og klikk på linjen l og kurven r. x 29 2 ) 6. Punkt hvor grafen (det vil si tangenten) er parallell med aksene? (Det vil si ekstremalpunkter både vertikalt og horisontalt.) Grafen viser at punktet B ligger lengst til høyre. Ved å bevege glideren t ser man at tangentvektoren v er parallell med x-aksen når t er omtrent pluss/minus (Som er tilnærmingsverdi for 3 som vi regnet ut tidligere.) Vi kan teste dette med kommandoen: TP r( sqrt(3) ) H-P Ulven av tex

6 b. Vinkelen mellom fartsvektorene i punktet P (merket A i figurene over. Vet fra utregninger i 1. og 2. at punktet P (eller A) er når t 3 Kan derfor tegne vektorene med: v_1 r (-3) v_2 r (3) Vinkelknappen og klikk på de to vektorene gir da vinkelen. (De røde vektorene er etter flytting med knappen, kunne like gjerne brukt de svarte vektorene fra origo, vinkelen blir jo den samme.) H-P Ulven av tex