Lær å bruke GeoGebra 4.0

Transkript

1 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket Nye muligheter for funksjonsanalyse Nullpunkt og ekstremalpunkt Funksjonsanalyse Asymptoter Sannsynlighetskalkulatoren Binomisk fordeling Hypergeometrisk fordeling Normalfordeling Kilder:... 19

2 Dette heftet viser bare noen få av de svært mange nye mulighetene som finnes med GeoGebra 4.0, men det er forhåpentligvis nok til at du ønsker å utforske dette spennende matematikkverktøyet videre på egen hånd. Generelt om GeoGebra GeoGebra er et gratis dataprogram for dynamisk geometri, laget av professor Markus Hohenwarter ved Johannes Kepler Universität i Linz, Østerrike. Navnet GeoGebra er satt sammen av ordene geometri og algebra. Med GeoGebra kan en lett konstruere ulike geometriske figurer i planet og tegne og analysere grafer og funksjoner. I den nye versjonen har vi også en egen statistikkkalkulator og mange nye kommandoer. Versjon 4.2, som kommer senere, vil inneholde et CAS-verktøy. Dette vil gjøre det mulig å finne eksakte løsninger for likninger, finne uttrykk for den deriverte, regne ut ubestemte integral, løse differensiallikninger m.m. GeoGebra finnes på en rekke språk, og er også oversatt til bokmål og nynorsk. Programmet kan brukes med både Windows, Linux og Mac. Den letteste måten å skaffe og installere programmet på, er å gå til klikke på Download og deretter på Webstart. Innstillinger Første gang du åpner GeoGebra 4.0, får du gjerne et oppsett som ligner på figuren nedenfor. 2

3 Det kan være lurt å gjøre følgende justeringer: Klikk på Innstillinger, velg Fontstørrelse. Dersom du ønsker å bruke GeoGebra til å vise noe via prosjektor eller interaktiv tavle, kan det lønne seg å velge fontstørrelse 20. Klikk på Vis og pass på at det er merket av for både Akser, Rutenett, Grafikkfelt 1, Algebrafelt, Regneark, og Inntastingsfelt. Flytt på vinduene ved å holde nede venstre musetast, dra i dem. Juster deretter størrelsen av hvert vindu til du får et oppsett som du er fornøyd med. Det kan da se omtrent ut som på figuren på neste side. Merk at du kan låse og frigjøre et vindu ved å klikke på symbolet nest lengst til høyre, øverst i hvert vindu. 3

4 Klikk nå på Innstillinger og Lagre innstillinger. Da vil m.a. valgt fontstørrelse og visning av rutenettet være slik neste gang du åpner programmet. Det kan også være en fordel å lagre selve oppsettet, slik at du lett kan vende tilbake til dette når du ønsker. Det gjør du ved å klikke på Oppsett og Lagre gjeldende oppsett. Kall oppsettet for Standard eller et annet fritt valgt navn, og klikk OK. Du kan også lagre andre oppsett som du ønsker, eller bruke noen av de forhåndsdefinerte oppsettene som finnes. Dersom du har brukt et annet oppsett og vil tilbake til standardoppsettet, klikker du på Oppsett og velger Standard (eller et annet navn som du har valgt for dette formålet). 4

5 I versjon 3.2 kunne vi få fram aktuelle kommandoer ved å klikke på nedtrekkspila til høyre for inntastingsfeltet, for å få en oversikt over tilgjengelige kommandoer. (Se figuren til venstre nedenfor.) I GeoGebra 4 finner vi denne oversikten ved å klikke på pila som er ringet inn på figuren øverst til høyre nedenfor. Vi kan da velge om vi vil se alle kommandoene i alfabetisk rekkefølge, eller ordnet alfabetisk etter emne. GeoGebra 3.2 GeoGebra 4.0 Likninger og ulikheter Implisitte likninger I GeoGebra 4 har vi gode muligheter til å få tegnet grafer til implisitte likninger. Oppgave 7, alternativ I i 1T, våren 2010 Gitt likningssystemet y x x a y 2x a) Sett a = 6 og løs likningssystemet 1) ved regning 2) grafisk b) Hva må a være for at x = 1 og y = 5 skal være en løsning av likningssystemet? 5

6 c) Finn ut for hvilke verdier av a likningssystemet har én løsning to løsninger ingen løsning Løsning: a) Vi kan løse likningssystemet grafisk ved hjelp av GeoGebra. Skriv inn a = 20 og trykk Enter. Klikk på merket foran a = 20 i algebrafeltet, slik at det vises en glider for a i grafikkfeltet. Juster denne glideren slik at a = 6. Skriv inn y x x a og trykk Enter. Skriv inn y 2x 3og trykk Enter. Juster aksene, slik at du ser begge skjæringspunktene. Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt, og klikk en gang på hver av de to grafene. Vi kan da lese av skjæringspunktene i algebrafeltet eller på figuren i grafikkfeltet. Likningssettet har løsningen x 0 og y 3 eller x 6 og y 15 b) Det går raskere å løse oppgave b med regning, men jeg viser likevel hvordan en kan finne løsningene ved hjelp av GeoGebra, dersom noen synes dette er lettere å få til. 6

7 Flytt på glideren for a, slik at ett av skjæringspunktene A eller B får koordinatene (1, 5). Vi ser at dette kravet er oppfylt når a = 11. c) Vi vil nå finne ut for hvilke verdier av a vi får to, en eller ingen løsninger. Flytt på glideren til de to skjæringspunktene blir sammenfallende. Da er a = 15. Vi får to løsninger når a 15, en løsning når a 15 og ingen løsning når a 15. 7

8 Et annet eksempel er såkalte elliptiske likninger, som er av typen y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c. Dette er ikke pensum i kursene på videregående skole, men elliptiske likninger spiller en stadig større rolle ved for eksempel kryptering av kredittkortnummer. Oppgave: Den elliptiske likningen y 2 = x 3-43x har seks heltallige løsninger. Finn disse løsningene. Løsning: Det ser ut til at (-8, 0) er en heltallig løsning, men ved nærmere undersøkelser viser det seg at dette ikke er et punkt på grafen. Skriv inn likningen i GeoGebra, og still inn aksene omtrent slik figuren nedenfor viser. Plasser et punkt på grafen, og flytt dette til du finner de heltallige løsningene. En mer systematisk måte å finne slike heltallige løsninger på (når vi først har funnet en) er å slette grafen fra den implisitte likningen, og skrive inn f(x) = sqrt(x 3-43x + 166) og g(x) = -sqrt(x 3-43x + 166). (Sqrt står for kvadratroten.) Når vi finner en løsning, kan vi lage en tangent i dette punktet. Tangenten vil skjære grafen i et punkt som er en ny heltallig løsning. Slik kan vi holde fram til vi har funnet alle løsningene. Da skjærer tangenten et punkt vi har funnet fra før. 8

9 Ulikheter I GeoGebra 4 kan en også få markert områder som viser løsninger av ulikheter. Oppgave (Eksamen i S1, oppgave 6. Våren 2010): Nedenfor følger et sett med ulikheter: x 0 2 y 2 x 2y 16 4x Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg området som er avgrenset av ulikhetene. Løsning: Her kan vi skrive inn ulikhetene en etter en. Løsningen er da det området som er mørkest (har flest overlappinger av fargelagte felt). Vi får et enda bedre resultat om vi skriver inn alle ulikhetene samtidig: Tegnet («og») finner vi i menyen som vi får opp ved å klikke på α-tegnet helt til høyre i inntastingsfeltet. 9

10 Statistikkberegninger i regnearket For å illustrere noen av de nye mulighetene for statistiske beregninger i GeoGebra 4.0, vil jeg her vise løsningen av to oppgaver i Sinus 2P. Oppgave 3.31 i Sinus 2P Vi veier 11 rekrutter, og får disse vektene i kilogram: 73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 62, 69 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. 10

11 Løsning: Start med å skrive inn tallene i kolonne A i regnearket. Klikk på verktøyikonet nest lengst til venstre på verktøylinja som er spesielt for regnearket, og velg Analyse av en variabel. Vi får nå alle nødvendige opplysninger for å svare på oppgave a og b oppgitt i resultatvinduet. a) Vi ser at medianen er 74 kg, nedre kvartil (Q1) er 70 kg og øvre kvartil (Q3) er 79 kg. b) Variasjonsbredden er 86 kg 62 kg = 24 kg og kvartilbredden er 79 kg 70 kg = 9 kg. 11

12 Oppgave 3.70 Vi måler høyden til elevene i en gruppe. Høydene i cm er 172, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 162, 179, 180, , 162, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 162, 188, 181, 170 a) Finn den nøyaktige verdien for medianen. b) Lag en gruppert frekvenstabell der bredden for alle intervallene er 5 cm. La intervallene være 155,160, 160,165, osv. c) Bruk det grupperte materialet til å finne medianen. d) Hvorfor får du ikke helt den samme verdien som i oppgave a? Løsning: Skriv inn alle verdiene i kolonne A i regnearket. Klikk på verktøyikonet nest lengst til venstre på verktøylinja som er spesielt for regnearket, og velg Analyse av en variabel. Merk av i rutene slik det er vist på figuren nedenfor. Under overskriften Vis, må du merke av for både Frekvenstabell og Linjediagram. Ønsker du et større bilde av grafen, kan du klikke på pila som er ringet inn på figuren ovenfor. 12

13 Når vi vet at klassebredden er 5 cm, og vi starter på 155 cm, kan vi telle oss fram og lese av at medianen er ca. 176,5 cm. (Pilene og tallene under grafen vises ikke i GeoGebra. De er tegnet på figuren av meg etterpå. De viser likevel hvordan vi kan gå fram for å finne en tilnærmet verdi for medianen grafisk.) Nye muligheter for funksjonsanalyse Tidligere versjoner av GeoGebra har hatt gode muligheter for funksjonsanalyse, men versjon 4.0 gir mange nye muligheter som vi ikke hadde tidligere. I dette heftet vil vi se nærmere på noen av disse. Nullpunkt og ekstremalpunkt Tidligere kunne vi bare finne alle nullpunkt og alle ekstremalpunkt på en gang, dersom det var snakk om en polynomfunksjon. Var det andre typer funksjoner, måtte vi finne ett og ett nullpunkt og ett og ett ekstremalpunkt. Oppgave: a) Finn nullpunktene til f( x) 2sin(3 x) 1 når 0 x. b) Finn ekstremalpunktene til f i det samme området. Løsning: Skriv inn funksjonsuttrykket i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv NullpunktIntervall[ f, 0, pi ] og trykk Enter. Vi har nå fått alle de fire nullpunktene (A, B, C og D) for denne funksjonen samtidig, selv om dette ikke er en polynomfunksjon. Skriv Ekstremalpunkt[ f, 0, pi ] og trykk Enter. Vi har nå fått alle de tre ekstremalpunktene (E, F og G) for denne funksjonen samtidig. 13

14 Funksjonsanalyse I nedtrekksmenyen i det tredje verktøysikonet fra høyre, finner vi et nytt verktøy, som heter Funksjonsanalyse. Vi vil nå undersøke funksjonen med likningen f( x) 2sin(3 x) 1 når 1 x 2, ved hjelp av dette verktøyet. Klikk på verktøyet Funksjonsanalyse. Klikk på grafen til f, og skriv inn intervallet som skal undersøkes. Vi ser fra figuren at vi kan finne mye informasjon om et avgrenset område av en funksjon ved hjelp av dette verktøyet. Ved å velge arkfanen Punkt, kan vi raskt få informasjon om både y-verdi, den deriverte og den dobbeltderiverte ved å velge en bestemt x-verdi. (Se figurene øverst på neste side.) 14

15 Asymptoter I tidligere versjoner av GeoGebra, måtte vi ha et tilleggsverktøy (Asymptote2.ggt) for å kunne finne asymptoter til funksjoner. Dette verktøyet fungerte bare for hyperbler. 2 x 5x6 Vi kunne for eksempel finne asymptotene til f( x), men ikke til x 1 x 1 gx ( ). Dette problemet er løst i versjon 4.0. Der skriver vi nå bare 2 x 5x6 Asymptote[ g ], og trykker Enter. Da blir asymptotene tegnet inn med grønn farge i 15

16 grafikkfeltet, og vist på listeform i algebrafeltet. Sannsynlighetskalkulatoren I GeoGebra 4.0 er det lagt inn et meget nyttig verktøy for utregning av ulike statistiske sannsynlighetsfordelinger som for eksempel binomisk fordeling, hypergeometrisk fordeling og normalfordeling. Vi kan hente fram sannsynlighetskalkulatoren på flere måter: 1. Velg sannsynlighetskalkulatoren fra den vanlige verktøylinja for grafikkfeltet. 16

17 2. Velg sannsynlighetskalkulatoren fra verktøylinja som hører til regnearket. Binomisk fordeling Vi vil her løse oppgave 9.95 e i Sinus 1T. Oppgave 9.95 e Det har nettopp vært valg, og 20 % av velgerne stemte på Høyre. Vi velger tilfeldig 500 personer som har stemt ved valget. La X være tallet på Høyre-velgere blant dem. Finn P(90 X 110). Løsning: Åpne sannsynlighetskalkulatoren og velg Binomisk fordeling fra nedtrekksmenyen. Sett n = 500 og p = 0,2. Velg P(90 X 110). Vi ser fra svaret nederst i vinduet at sannsynligheten er 0,

18 Hypergeometrisk fordeling For å illustrere hypergeometrisk fordeling, velger vi å løse oppgave a i cosinus R1. Oppgave i cosinus R1 I en kurv ligger det 15 røde og 10 blå kuler. Vi trekker ut 5 kuler. Finn sannsynligheten for at vi trekker uten tilbakelegging 3 røde og 2 blå. Løsning: Åpne sannsynlighetskalkulatoren og velg Hypergeometrisk fordeling fra nedtrekksmenyen. Sett populasjon = 25 (25 kuler i alt), n = 15 (15 røde kuler) og utvalg = 5. Sett P(3 X 3). Vi ser både fra lista til høyre og fra svaret nederst i vinduet at sannsynligheten er 0,3854. Tips: Ved å klikke på den lille trekanten til høyre i sannsynlighetskalkulatoren, kan vi få fram en liten meny som gjør at vi kan velge antall desimaler, skifte til kumulative frekvenser og andre justeringer. 18

19 Normalfordeling For å illustrere normalfordeling, velger vi å løse oppgave b i Sinus S2. Oppgave i Sinus S2 Vi antar at varigheten X til et batteri i en tilfeldig valgt lommeregner er normalfordelt med forventningsverdi 6 måneder og standardavvik 2 måneder. Det er eksamen om 8 måneder. Hva er sannsynligheten for at et batteri fungerer lenger enn 8 måneder? Løsning: Åpne sannsynlighetskalkulatoren og velg Normalfordeling fra nedtrekksmenyen. (Normalfordeling er standard valg ved åpningen av dette verktøyet.) Sett forventningsverdien lik 6 og standardavviket lik 2. Velg Høyresidig fra den nederste nedtrekksmenyen, og velg 8 som grense. Vi ser fra nederst i vinduet at sannsynligheten for at et batteri vil vare minst 8 måneder er 0,1587. Kilder: Oldervoll, Orskaug, Vaaje, Hanisch og Hals. Lærebøker i Sinus-serien for 1T, 2P, S2, R1 og R2, Cappelen Damm. 19