Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Transkript

1 Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning Tallregning Tallet e Logaritmer Om grensesnittet i CAS Potensregning Følger og rekker Regresjon 6 4 Algebra Faktorisering Forkorting og forenkling Polynomdivisjon Funksjoner Nullpunkter Derivasjon Toppunkter og bunnpunkter Vendepunkt Tangent Asymptoter Integral 15 7 Likninger Likningssett Sannsynlighet og statistikk Statistikk på observerte data Sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Normalfordeling Hypotesetesting Hypotesetest med p-verdier Hypotesetest med gjennomsnittsverdier

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk S2», studieforberedende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk S2, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Likninger 7 11 Faktorisering Forenkle uttrykk Tredjegradslikninger 7 25 Likningssett Tallet e Naturlig logaritme Derivasjon Følger og rekker Regresjon Tangent Topp- og bunnpunkter Asymptoter Finne nullpunkter Vendepunkt Regresjon Integrasjon Statistikk på observerte data Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Normalfordeling Regning med binomisk fordeling Regning med hypergeometrisk fordeling Hypotesetest med p-verdier Hypotesetest med gjennomsnitt

4 1 Om Geogebra Dette heftet omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er i Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntastingsfeltet («Skriv inn:»-feltet) og i regnearket. Mest oversiktlig er det likevel i CAS-vinduet. Beskrivelsene i dette heftet forutsetter derfor at du har valgt «CAS» ved oppstart av programmet og at du taster i CAS når du gjør utregninger. 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Merk: I mange sammenhenger er det mulig å utelate gangetegnet. Imidlertid finnes det sammenhenger hvor det gir feil. Vi anbefaler derfor å bruke gangetegn. Desimaltall: Programmet tolker punktum som desimalkomma og komma som skilletegn mellom argumenter i en kommando. Hvis du glemmer deg, og bruker komma i desimaltall, gir programmet en feil. Øverst til venstre i Geogebra-vinduet kan du velge mellom eksakt utregning, markert med en «=», og tilnærmede verdier, desimaltall, markert med en. 2.2 Tallet e Tallet e taster du inn med alt-e (Windows) eller ctrl-e (Mac). Alternativt bruker du den vesle tegn-menyen som kommer til syne når skrivemerket står i inntastingsfeltet eller CAS-feltet. NB! Dersom du skriver en vanlig «e», tolker programmet dette som en hvilken som helst annen bokstav. En alternativ inntastingsmetode er å bruke funksjonen «exp()». Skjermbildet nedenfor viser først feilaktig bruk av vanlig «e», deretter inntasting av konstanten e og tilslutt funksjonen «exp()». 4

5 2.3 Logaritmer Geogebra bruker kommandoen «ln( )» for naturlige logaritmer. Eksempel: Vi skal regne ut ln e, som i eksempel 18 på side 27 i boka. Vi taster inn «ln(sqrt(e))». Vi får altså at ln e = Om grensesnittet i CAS Når skrivemerket står i CAS-vinduet, vil programmet tolke følgende taster spesielt: Mellomromtast: Forrige resultat blir skrevet inn. Høyreparentes: Forrige resultat blir skrevet inn med parenteser rundt. Likhetstegn: Det forrige du tastet inn blir skrevet inn. Tegnet $: Kombinasjonen «$4» gir deg resultatet på linje 4 (dynamisk). Tegnet #: Kombinasjonen «#4» gir deg resultatet på linje 4 (statisk). 5

6 2.5 Potensregning Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn «5 8» og får til svar. 2.6 Følger og rekker Vi lager følger med kommandoen «Følge[ ]». Eksempel: Vi skal lage en tallfølge av de 5 første kvadrattallene, hentet fra side 76 i læreboka. Vi skriver inn «Følge[x 2, x, 1, 5]» og får {1, 4, 9, 16, 25} til svar. Vi regner ut den tilhørende rekka, vi summerer altså leddene i følgen, med kommandoen «Sum[ ]». Eksempel: Vi skal summere de 5 første kvadrattallene som i eksempelet på side 76 i læreboka. Vi lager en følge som beskrevet ovenfor. Deretter summerer vi leddene i følgen med kommandoen «Sum[$]»: 3 Regresjon Regresjon gjøres i Geogebra ved at vi legger inn datasettet (verditabellen) inn i et regneark, markerer måleverdiene og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Eksempel: Vi skal kjøre regresjon på følgende datasett, hentet fra side 130 i læreboka. x y 0,18 0,30 0,44 0,78 1,2 1,9 3,2 4,0 Vi velger «Regneark» fra Vis-menyen og legger inn datasettet vårt. Da skal det se slik ut: 6

7 Deretter markerer vi cellene A1 til B8 og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Vi klikker på «Analyser»-knappen og får opp Dataanalyse-vinduet. Vi velger «Eksponentiell» fra Regresjonsmodell-menyen i vinduet. Da skal skjermbildet vårt se slik ut: Dette betyr at en modellfunksjon for datasettet vår er f(x) = 0, 181 1, 10 x. Dersom vi i stedet velger «Eksponentiell 2», får vi nøyaktig den samme modellfunksjonen, men skrevet med tallet e som grunntall i eksponenten. Da får vi altså f(x) = 0, 181 e 0,095x. 7

8 4 Algebra 4.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «Faktoriser[ ]». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 5x 3 på side 11 i læreboka. Vi velger «Bruk inntasting» og taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter klikker vi på «Regn ut» og skriver inn «Faktoriser[$]». Da ser programvinduet vårt slik ut: Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 3)(2x 1). 4.2 Forkorting og forenkling For å forenkle et uttrykk, er det nok å velge «Regn ut» og trykke enter: Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket 2x 1 fra eksempel 4 på side 12 i læreboka. 2x 2 +5x 3 Vi skriver inn uttrykket og klikker på «Bruk inntasting». Deretter taster vi likhetstegn, så det vi har tastet inn blir skrevet inn på nytt, og klikker på «Regn ut»: 8

9 Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 5 på side 13 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket, klikker på «Bruk inntasting», kontrollerer at vi har tastet inn riktig, taster inn et likhetstegn og klikker på «Regn ut»: 4.3 Polynomdivisjon Vi dividerer med kommandoen «Divisjon[ ]». Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt med «Divisjon[$1, $2]»: Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 til svar med 0 i rest. 9

10 5 Funksjoner 5.1 Nullpunkter Vi finner vanligvis nullpunkter til en funksjon f med kommandoen «Nullpunkt[f]». Dersom vi vil finne alle nullpunktene til f innenfor et intervall [a, b], skriver vi «Nullpunktintervall[f, a, b]». Dersom vi har et intervall [a, b] vi vet inneholder kun ett nullpunkt, kan vi finne det med kommandoen «Nullpunkt[f, a, b]». Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f(x) = e 2x 4e x +3 fra eksempel 10 på side 122 i læreboka. Vi taster inn funksjonsuttrykket som «f(x):=e (2*x)- 4*e x+3». Deretter skriver vi «Nullpunkt[f]». Da får vi: Dersom vi klikker på den vesle sirkelen til venstre for løsningen, blir de to nullpunktene markert på grafen. 5.2 Derivasjon Den deriverte av en funksjon f(x) finner du ved å bruke vanlig funksjonsnotasjon f (x). Alternativt kan du bruke kommandoen «Derivert[ ]». Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = 3 x fra eksempel 4 på side 49 i læreboka. Vi skriver inn «f(x) := nrot[x, 3]». Når vi så skriver inn «f'(x)», får vi at f (x) = 3 x 3x. 10

11 For å regne ut f (2) skriver vi nå inn «f (2)» og får at f (2) 0, 210: 5.3 Toppunkter og bunnpunkter Vi finner topp- og bunnpunkter med kommandoen «Ekstremalpunkt[ ]». Eksempel: Vi skal finne topp- og bunnpunkter på grafen til f fra eksempel 1 på side 111 i læreboka, altså f gitt ved f(x) = x 3 3x Vi legger inn funksjonen. Dersom vi skriver «Ekstremalpunkt[f]» i CAS, får vi kun det første ekstremalpunktet, nemlig toppunktet (0, 4). Dersom vi skriver «Ekstremalpunkt[f]» i inntastingsfeltet i stedet, får vi begge ekstremalpunktene. 11

12 En alternativ framgangsmåte for å finne toppunkt eller bunnpunkt er å se på nullpunktene til den deriverte. Eksempel: Vi skal finne toppunktet til funksjonen f fra eksempel 9 på side 122 i læreboka gitt ved f(x) = 4xe x Vi legger inn funksjonen i CAS-feltet. Vi setter den deriverte lik null ved å taste «f'(x)=0». Deretter taster vi «Løs$» og får x = 1 til svar. Vi regner ut funksjonsverdien f(1) og har funnet at toppunktet er (1, 4 e ) (1, 1, 472). 12

13 For å avgjøre om det er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi kikke på grafen. Vi ser at det er et toppunkt, altså med koordinater (1, 1,472). 5.4 Vendepunkt For enkle polynomfunksjoner finner vi vendepunkt med kommandoen «Vendepunkft[f]». For andre typer funksjoner regner vi ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra eksempel 10 på side 122 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f(x) := e (2 x) 4 e x + 3». Deretter skriver vi «f''(x)=0» og får den dobbeltderiverte lik null. Vi løser likningen med «Løs[$]» og får x = 0. Vi regner ut f(0) og får at vendepunktet er (0, 0). Vi sjekker på grafen at krumningen skifter for x = Tangent Vi finner tangenten til en funksjon f i punktet x = a ved kommandoen «Tangent[a, f]». Eksempel: Vi skal finne vendetangenten til funksjonen f(x) = x 3 3x

14 hentet fra eksempel 1 på side 111 i læreboka. Vi legger inn funksjonen og finner vendepunktet, jfr. avsnittet ovenfor om vendepunkt. Vendepunktet er (1, 2). Siden vendepunktet har x-verdi 1, skriver vi «Tangent[1, f]». Funksjonsuttrykket til tangenten er altså y = 3x Asymptoter Asymptotene til en funksjon finner vi ved kommandoen «asymptoter[ ]». Dersom vi bruker den i CAS-feltet, får vi oppgitt likningene til eventuelle asymptoter. Dersom vi bruker kommandoen i inntastingsfeltet, blir asymptotene tegnet opp og likningene for dem skrevet i algebrafeltet. Eksempel: Vi skal finne asymptotene til funksjonen f gitt ved f(x) = x2 x 2 1 som i eksempel 4 på side 117 i boka. Vi legger inn funksjonen og bruker kommandoen «asymptoter()»: 14

15 Altså er likningen til den horisontale asymptoten y = 1 og likningene til de vertikale asymptotene x = 1 og x = 1. 6 Integral Integrasjon i CAS utføres med kommandoen «Integral[ ]». Eksempel: Vi skal integrere funksjonen f(x) = x fra x = 0 til x = 1, som på side 132 i læreboka. Vi skriver «Integral[x 2 + 1, 0, 1]» og får 4 3 til svar. 7 Likninger Likninger løses i Geogebra ved at vi taster inn likningen og klikker på «Løs»- verktøyet (uten å trykke på enter først). Eksempel: Vi skal løse likningen x 2 + 3x 4 = 0. Vi taster inn likningen, klikker på «Løs»-verktøyet og får at løsningen er x = 4 eller x = 1. Arbeidsflyt: En fornuftig arbeidsmetode for å redusere feil kan være denne: 1. Tast inn likningen uten å trykke enter. 2. Klikk på «Bruk inntasting»-verktøyet, slik at programmet gjentar det uttrykket du tastet inn. Da er det lett å gjøre endringer om du tastet feil. 3. Tast likhetstegn («=»), slik at programmet skriver inn det du nettopp tastet. 4. Klikk på «Løs»-verktøyet, eventuelt «Løs numerisk»-verktøyet. Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 12 på side 20 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn likningen, klikker på «Bruk inntasting» og kontrollerer inntastingen, taster et likhetstegn og klikker på «Løs»-verktøyet. 15

16 Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. Dersom en likning ikke har reelle løsninger, svarer programmet med en tom løsningsmengde: {}. Eksempel: Vi skal løse likningen t 2 = 1. Vi taster inn «Løs[t 2=-1, t]»: Dette betyr at likningen ikke har noen løsninger. 7.1 Likningssett Likningssett løses enkelt ved å taste inn likningene, én og én på hver sin linje, markere linjene og klikke på «Løs». Eksempel: Vi skal løse likningssettet i eksempel 16 på side 24 i læreboka, nemlig 16x + 48y + 120z = x + 50y + 150z = x + 30y + 105z = Vi taster inn hver likning for seg, adskilt av enter. Deretter markerer vi de tre linjene og klikker på «Løs»-verktøyet. 1 1 Et klikk på «Løs»-verktøyet lager en liste {$1, $2, $3}. Et nytt klikk løser likningen. 16

17 Så løsningen på likningssettet er x = 350, y = 300 og z = Sannsynlighet og statistikk 8.1 Statistikk på observerte data Når vi skal beregne gjennomsnitt, varians og standardavvik, legger vi datamaterialet vårt inn i regnearket og velger «Analyse av en variabel» fra verktøy-menyen. Eksempel: Vi skal finne gjennomsnitt, varians og standardavvik for datamaterialet på side 166 i læreboka, altså 8, 2 7, 8 8, 3 Vi legger inn tallene i et regne ark, markerer cellene og klikker på verktøyet «Analyse av en variabel». Vi klikker på «Analyser» og klikker på «Σx», i menyen under verktøymenyen. Da ser vinduet vårt slik ut: 17

18 Dette betyr at empirisk gjennomsnittet er 8,1 og empirisk standardavvik er 0,2646. Empirisk varians vises ikke, men kan regnes ut ved å kvadrere empirisk standardavvik. 8.2 Sannsynlighetsfordelinger Når vi regner med sannsynlighetsfordelinger, bruker vi verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», som vi finner verktøylinja. Når vi velger verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», kommer det opp et nytt programvindu. Det kan ofte være hensiktsmessig å trykke på knappen «Vis i hovedvinduet», som du finner helt øverst til høyre i det nye programvinduet. Da blir sannsynlighetskalkulatoren overført til det vinduet du hadde, og du har tilgang til progammets vanlige menyer. 18

19 8.2.1 Hypergeometrisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Hypergeometrisk fordeling». Vi stiller inn «populasjon», n og «utvalg». Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at det er 8 eller færre objekter i utvalget som er av den ene kategorien (kategori A) i den hypergeometriske fordelingen». «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall objekter i utvalget fra den ene kategorien i den hypergeometriske fodelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere objekter i utvalget av den ene kategorien i den hypergeometriske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 6 på side 172 i læreboka. En eske inneholder tjue sikringer. Fem av sikringene er defekte. Vi velger ut tre sikringer og lar X være antall defekte av de tre. Vi skal finne sannsynlighetsfordelingen. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk sannsynlighet». Vi setter «populasjon» til 20, n til 5 og «utvalg» til 3. Da ser programvinduet vårt slik ut: 19

20 Vi får hele sannsynlighetsfordelingen i tabellen til høyre i vinduet. Vi kan bruke denne til å beregne forventningsverdi, varians og standardavvik, som vist i eksempel 6 i læreboka. Imidlertid ser vi i programvinduet at vi har fått direkte at µ 0, 75 og σ 0, Vi kan finne variansen som Var(X) = σ 2 = 0, , 503. Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 187 i boka. En skole har 570 elever på Vg1, 310 gutter og 260 jenter. Vi trekker ut 50 elever. Hva er sannsynligheten for færre enn 25 jenter i utvalget? Hva er sannsynligheten for at antallet jenter i utvalget blir fra og med 20 til og med 25? Vi setter «populasjon» til 570, n til 260 og» til 50. Det gir skjermbildet nedenfor. 20

21 Dette gir at P(X 24) 0, 693. Vi trykker på «Intervall»-knappen og skriver inn grensene 20 og 25. Altså har vi at P(20 X 25) 0, Binomisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Binomisk fordeling». Vi stiller inn n og p. Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. 21

22 Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller færre suksess i den binomiske fordelingen». «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall suksess i den binomiske fordelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere suksess i den binomiske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 10 på side 176 i læreboka. Vi sår 30 frø med spireevne på 70%. Hvor stor er sannsynligheten for at 23 frø spirer? Hvor stor er sannsynligheten for at minst 23 frø spirer? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 30 og p til 0, 7. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for at 23 frø spirer er 0,122. Vi klikker på den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «23». Da ser programvinduet vårt slik ut: 22

23 Vi ser at sannsynligheten for minst 23 frø spirer er 0, 281. Eksempel: Vi løser eksempel 17 på side 186 i læreboka. Ole driver med skyting. Han skyter blink på 85 % av skuddene. Han skyter 800 skudd. Hva er sannsynligheten for at han skyter blink på minst 690 av skuddene? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 800 og p til 0, 85. Vi klikker på den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «690». Da ser programvinduet vårt slik ut: 23

24 Altså er sannsynligheten for blink på minst 690 skudd 0, Normalfordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Normalfordeling». Vi stiller inn µ og σ. Så taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Eksempel: Vi løser eksempel 13 på s. 163 i læreboka. Vi har at X er normalfordelt med µ = 180 og σ = 6, 5.Vi skal finne P(X 177). Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren sjekker at «Normalfordeling» er valgt. Vi setter µ til 180 og σ til 6,5. Vi trykker på den venstre knappen på nederste knapperad i progamvinduet og taster inn 177. Da ser programvinduet vårt slik ut: 24

25 Vi ser at sannsynligheten for at en rekrutt er lavere enn 177 er 0, Hypotesetesting I sannsynlighetskalkulatoren kan vi også foreta en hypotesetest Hypotesetest med p-verdier Eksempel: Vi skal gjennomføre eksempel 19 på side 189 i læreboka, det vil si en hypotesetest med H 0 : p = 0, 1, H 1 : p < 0, 1. Vi gjennomfører en test av 1000 tilfeldige komponenter og finner feil ved 85 av dem. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger fanen «Statistikk». Vi velger «Z-test av et forhold». Vi setter p til 0,1, velger «<» som alternativ hypotese, setter «Treff» til 85 og N til Da ser programvinduet slik ut: 25

26 Vi får p = 0, Siden vi har valgt signifikansnivå 5%, som er lavere enn p, forkaster vi ikke nullhypotesen vår Hypotesetest med gjennomsnittsverdier Eksempel: Vi skal gjennomføre eksempel 20 på side 191 i læreboka, det vil si en hypotesetest med H 0 : µ = 50, H 1 : µ 50, x = 50, 1. Vi gjennomfører 30 tilfeldige prøver av pastilleskene. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger fanen «Statistikk». Vi velger «Z-test av et gjennomsnitt». Vi setter µ til 50, velger, setter gjennomsnittet til 50, 1, σ til 0,3 og N til 30. Da ser programvinduet slik ut: 26

27 Vi får p = 0, Siden vi har valgt signifikansnivå 5%, som er lavere enn p, forkaster vi ikke nullhypotesen vår. 27