Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Transkript

1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860

2 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning Regnerekkefølge Tallet π Minne Parenteser Brøk Store og små tall Sinus, cosinus og tangens Potenser og n-terøtter Logaritmer Funksjoner Tegning av grafer for hånd Tegning av grafer på lommeregneren Finne minste avstand Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Finne x når du kjenner y Nullpunkter Topp- og bunnpunkter Skjæringspunkter mellom grafer Derivert Tangent Lineær regresjon Enkel regresjon uten graf Regresjon med tegning av graf Likninger Andregradslikninger Tredjegradslikninger Lineære likningssett med to ukjente Lineære likningssett med tre ukjente Sannsynlighetsregning Simulering

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av lommeregneren Casio fx 9860 som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1T, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet Side 10 Tallregning 2 Side 14 Regnerekkefølge 2.1 Side 68 Likningssett 5.3 Side 72 Regresjon 4 Side 90 Potenser 2.8 Side 92 Negative potenser 2.8 Side 94 Lese standardform 2.6 Side 95 Taste inn standardform 2.6 Side 96 N-terot 2.8 Side 98 Brøkeksponent 2.8 Side 99 Lage verditabell 3.1 Side 100 Logaritmer 2.9 Side 175 Andregradslikning 5.1 Side 208 Sinus, cosinus, tangens 2.7 Side 212 Inversfunksjonene 2.7 Side 253 Tegne graf 3.2 Side 256 Minste avstand 3.3 Side 276 Informasjon fra grafer 3.4 Side 279 Regne ut funksjonsverdi Side 280 Regne ut den deriverte Side 285 Finne tangent 3.5 3

4 1 Innstillinger Lommeregneren som beskrives her er denne: Legg merke til at du trykker på SHIFT for å velge det som står skrevet med gult over kappene, på vestre side. Du trykker ALPHA for å velge det som står skrevet med rødt over knappene på høyre side. Heretter angir vi vanligvis ikke når skal trykke SHIFT og ALPHA. Før du begynner å bruke lommeregneren, stiller du den inn så den passer til det du skal gjøre. Tast MENU, velg RUN og gjør følgende innstillinger: 4

5 Hvis innstillingene dine ikke stemmer, bruker du piltastene, og foretar riktig valg med F-tastene. Avslutt med EXIT. 2 Regning 2.1 Regnerekkefølge Regnerekkefølgen er lagt inn i lommeregneren. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen taster vi inn som det står og avslutter med EXE. Legg merke til at lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig. Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser, som for eksempel i utregningen 7 ( ( 3)) 2, som tastes inn slik: 2.2 Tallet π Lommeregneren har egen tast for π, som vi bruker i stedet for det unøyaktige 3, Minne Lommeregneren har en minnefunksjon, slik at du enkelt kan bruke tall du har kommet fram til tidligere. Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet Ans, en forkorting for «answer». La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Om du så taster π og trykker på enter, vil lommeregneren multiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π. 5

6 Om du vil bruke det siste svaret inni en utregning, taster du ANS. I tillegg til ANS, fungerer alle bokstaver på lommeregneren som minne. Du legger tall inn i minnet ved å taste, deretter ALPHA og så bokstaven. Du bruker tallet i minnet ved å taste ALPHA og så bokstaven. Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene A og B og så regner ut A B og får Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er = 12 6 = 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning på lommeregneren, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren. Mange av funksjonene på lommeregneren er slik at vi må angi hva funksjonen gjeler for med parenteser. Skal vi for eksempel regne ut , taster vi (5 + 20) + 3: 6

7 2.5 Brøk Lommeregneren har en egen knapp for brøk, knappen merket med «a b/c». Taster du inn 3, ser det slik ut: 5 Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Skal vi for eksempel regne ut slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får: Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. Når du har fått et svar, kan du veksle mellom uekte brøk og vanlig brøk med knappen som er merket med «a b c d». Dessuten kan du veksle mellom brøk og desimaltall c med knappen merket med «F D». 2.6 Store og små tall Lommeregneren har plass til 10 sifre i vinduet. Når du regner med et tall hvor du trenger flere sifre, brukes standardform. Lommeregneren skriver 2E3 for For å regne ut ,0002 ber du lommeregneren om 6, ved å taste 6.7E9*2E-4. Tegnet «E» får du ved å trykke på tasten «EXP». 7

8 2.7 Sinus, cosinus og tangens De trigonometriske funksjonene har egne knapper, sin, cos og tan. For å finne sin 45, taster du rett inn «sin 45». Altså er sin 45 = For å finne hvilken vinkel som har cosinus-verdi 1 2, taster vi cos 1 1 2: Altså vet vi at cos 60 = 1 2. Når vi arbeider med sinus, cosinus og tangens, er det viktig at lommeregneren er stilt inn på grader («Deg»), se avsnitt 1 på side Potenser og n-terøtter For å regne ut n-terøtter, bruker vi x. Eksempel: For å beregne 5 7,34, taster vi først 5, deretter x og skriver inn 7,34. Når vi trykker EXE, får vi: Lommeregneren har en egen knapp for potens, nemlig. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. Negative eksponenter tastes inn med parenteser rundt eksponenten. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 ( )5. Også brøkeksponenter tastes inn med parenteser om eksponenten. Vi regner ut ved å taste 2 (2 3). 8

9 Lommeregneren har dessuten en egen knapp for andre potens, som er merket med x Logaritmer Logaritmer med grunntall 10 har en egen knapp, nemlig «log». Så vi finner lg 25 ved å taste «log 25». 3 Funksjoner 3.1 Tegning av grafer for hånd Når du tegner grafer for hånd, kan det være greit å bruke lommeregneren til å regne ut en verditabell. Først legger vi inn funksjonsuttrykket. Vi taster MENU og velger TABLE. Der taster vi funksjonsuttrykket inn på en av y-variablene. For å taste x, trykker vi på knappen X, Θ, T. Om vi for eksempel skal arbeide med funksjonen f(x) = 0,023 x 1,7, ser det slik ut på lommeregneren: Nå stiller vi inn hvordan vi vil ha tabellen. Vi velger «set» (F5) og skriver inn start og slutt for x-verdiene i tabellen. «Step» angir hvor store sprang tabellen har. Det varierer fra oppgave til oppgave hvor store sprang det er hensiktsmessig å bruke. Skal vi tegne grafen for x mellom 10 og 10, lar vi «step» være 1. Dersom vi skal tegne grafen for x mellom 0 og , lar vi sprangene være I vårt eksempel, med f(x) = 0,023 x 1,7, passer det fint å bruke sprang på 5. Da ser det slik ut. Til slutt trykker vi på TABLE og får opp tabellen: 9

10 Når vi beveger oss i tabellen med oppover- eller nedoverpil, får se hvordan tabellen fortsetter. Ønsker du selv å bestemme hvilke x-verdier som skal inngå i verditabellen, kan du taste verdiene inn i kolonnen for x. Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom dem Tegning av grafer på lommeregneren Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x) på lommeregneren. Ut fra funksjonens definisjonsmengde lager vi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1 på side 9. Det hender oppgaven ber oss om et spesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det. Som eksempel, skal vi nå tegne grafen til f(x) = 15. Først legger vi inn funksjonsuttrykket. Vi trykker på MENU og velger TABLE. Der taster vi funksjonsuttrykket x inn på en av y-variablene. For å taste x, trykker vi på knappen X, T, Θ, n. Vi trykker på SET og lar tabellen gå fra 0 til 15 og øke med 2. 10

11 Vi trykker EXE to ganger og får opp tabellen. Siden x = 0 gir null i nevneren, får vi ERROR for den x-verdien. Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra 0 til 15, må y være mellom 0 og 15. Vi trykker på «V-Window» og taster inn minste og største verdi for x og y. Til slutt trykker vi på MENU, velger GRAPH og trykker på DRAW. Da får vi tegnet grafen. Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du trykke på V-Window og endre vindusinstillingene. Det er også mulig å trykke på ZOOM og bruke en av funksjonene der. Dersom vi i eksempelet ovenfor ønsker å se nærmere på den delen av grafen hvor y er mindre enn 7 og x er mindre enn 5, endrer vi vinduet tilsvarende og får: 11

12 3.3 Finne minste avstand Den minste avstanden mellom to punkter kan vi finne ved å lage en funksjon f(x) som regner avstanden mellom punktene og så finne den minste verdien til denne funksjonen. I eksempel 13 på side 256 i læreboka har vi funnet avstanden fra A til B innom P som funksjonen f(x) = x (400 x) Vi finner minste funksjonsverdi ved å finne bunnpunktet som beskrevet i avsnitt nedenfor. 3.4 Utregninger på grafen For instruksjonene nedenfor antar vi at vi har tegnet grafen til funksjonen vi undersøker på lommeregneren Finne y når du kjenner x Vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x. En av måtene å gjøre dette på er å lage verditabellen, jfr. avsnitt 3.1, og taste inn ønsket x-verdi der. Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x med x mellom 0 og 60. Vi regner ut f(10) ved å trykke på MENU > TABLE > TABL. Der skriver vi inn 10: Tabellen viser at f(10) =

13 3.4.2 Finne x når du kjenner y Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, bruker vi funksjonen G-Solv. Vi trykker på pila (, F6), velger «X-CAL» og taster inn y-verdien. Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = 0,0025x 3 + 0,075x Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Vi velger G-Solv > X-CAL og taster inn y = 4, 1. Lommeregneren oppgir her at funksjonen har verdien 4,1 når x er ca. 7,4. Dersom det er flere punkter på grafen med denne y-verdien, trykker du på høyreog venstrepil til du har funnet alle Nullpunkter For å finne nullpunktet til en funksjon vi har tegnet på lommeregneren, trykker vi G-Solv og velger ROOT. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi har tegnet grafen til f for x [ 4, 7]. Vi trykker G-Solv og velger ROOT. Da viser lommeregneren det venstre nullpunktet. Lommeregneren oppgir her at det venstre nullpunktet er ( 2, 0). Når det er flere nullpunkter, trykker du på høyrepil til neste nullpunkt Topp- og bunnpunkter Vi finner toppunkter og minimumspunkter ved å trykke G-Solv og velge MAX for toppunkt eller MIN for bunnpunkt. 13

14 Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 +2x 2 +3x 6. Vi har tegnet grafen til f for x [ 4, 7]. Vi skal finne topp- og bunnpunkter. Vi trykker G-Solv og velger MIN: Her oppgir lommeregneren at bunnpunktet er omtrent ( 0,61, 6,97). Dersom det er flere bunnpunkter, går du videre til neste bunnpunkt med høyrepil. For å finne toppunkter, gjør du som for bunnpunkter, men trykker G-Solv og velger MAX i stedet for MIN. Da får vi Her oppgir lommeregneren at toppunktet er omtrent (3,28, 7,71) Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer finner vi ved å trykke G-Solv og velge ISCT. Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = 0,5x 3 +2x 2 +3x 6 og g(x) = x+2. Vi legger funksjonsuttrykkene inn i Y 1 og Y 2. Så trykker vi G-Solv og velger ISCT. Lommeregneren finner det venstre skjæringspunktet. Da ser det slik ut: Lommeregneren oppgir her at det venstre skjæringspunktet for de to grafene er ( 2, 0). Dersom det er flere skjæringspunkter, trykker du på høyrepil til neste skjæringspunkt. 14

15 3.4.6 Derivert For å regne ut den deriverte i et punkt, trykker vi MENU og velger RUN. Der trykker vi OPTN-knappen og velger så CALC og «d/dx». Eksempel: Vi har tegnet grafen til funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x for x [0, 60]. Vi skal finne den deriverte når x = 10, altså f (10). Vi trykker MENU > RUN > OPTN > CALC > d/dx. Vi skal skrive «d/dx(y1,10)». Vi taster VARS > GRPH og velger Y, legger til et 1-tall og videre «,10)». Kommaet er det som ligger like over DEL-knappen, på egen knapp. Da ser det slik ut: Dette betyr at f (10) = 1, Tangent Casio fx-9860 klarer å tegne en tangent til en funksjon i et punkt, men oppgir ikke funksjonsuttrykket til linja. 4 Lineær regresjon 4.1 Enkel regresjon uten graf For å legge inn en tabell til regresjon, taster du MENU og velger STAT. Legg inn x-verdiene i List 1 og y-verdiene i List 2. Eksempel: Denne verditabellen: ser slik ut på lommeregneren: x y For å slette en enkelt oppføring, setter du markøren over den og trykker på DEL. For å slette hele lista, velger du (F6) og velger DEL-A. Når vi har lagt inn begge listene, velger vi CALC > REG og velger X, som betyr lineær regresjon. Da får vi denne: 15

16 Dette betyr at regresjonslinja er y = 28,6x + 582,8. Verdien av r og r 2 er et mål på hvor god regresjonen er. Jo nærmere 1 eller 1 verdiene er, jo bedre er regresjonen. 4.2 Regresjon med tegning av graf Lommeregneren kan også legge punktene inn i et koordinatsystem og tegne regresjonslinja i samme koordinatsystem. Først legger du inn verditabellen, jfr. avsnitt 4.1 på side 15. Deretter velger du GRPH og velger graf nummer 1. Da skal det se slik ut: Nå velger vi CALC > X og velger DRAW. Om vi vil lagre funksjonsuttrykket for videre behandling, velger vi COPY i stedet for DRAW. Da kommer vi til lista over funksjonsuttrykk for graftegning. Vi går til for eksempel Y1 og trykker EXE. Vi kommer tilbake til regresjonsvinduet, og funksjonsuttrykket er lagret. 16

17 5 Likninger 5.1 Andregradslikninger For å løse andregradslikninger, skriver du dem på formen ax 2 + bx + c = 0 og taster inn koeffisientene a, b og c i løsningsprogrammet for andregradslikninger. Det finner du på MENU > EQUA > Polynomial > 2. Eksempel: Vi løser likningen 1,2388x 2 + 3,423x 4 3 = 0 Tast inn a = 1,2388, b = 3,423 og c = 4 3. Når du så trykker EXE, får du løsningen: Altså er løsningen x = 0,47 eller x = 2, Tredjegradslikninger For å løse tredjegradslikninger, skriver du dem på formen ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 og taster inn koeffisientene a, b, c og d i løsningsprogrammet for tredjegradslikninger. Det finner du på MENU > EQUA > Polynomial > 3. Eksempel: Vi løser tredjegradslikningen 3x 3 x 2 12x + 4 = 0 17

18 Vi taster inn a = 3, b = 1, c = 12 og d = 4: Når du trykker EXE, får du løsningen: 5.3 Lineære likningssett med to ukjente Lineære likningssett med to ukjente løses ved å omforme likningene til de har formen a1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Så går du til MENU > EQUA > Simultaneous > 2. Der taster du inn koeffisientene a 1, b 1, c 1, a 2, b 2 og c 2. Eksempel: La oss løse likningssettet 3x 2y = 4 x + 2y = 4 Vi taster inn koeffisientene i programmet: Når vi trykker SOLV, får vi: 18

19 Altså er løsningen x = 2 og y = Lineære likningssett med tre ukjente Lineære likningssett med to ukjente løses ved å omforme likningene til de har formen a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Så trykker du på MENU > EQUA > Simultaneous > 3. Der taster du inn koeffisientene a 1, b 1, c 1, d 1, a 2, b 2, c 2, d 2, a 3, b 3, c 3 og d 3. Eksempel: La oss løse likningssettet 3x + 4y z = 21 x + 5y + 3z = 32 2x + y + 5z = 9 Vi taster inn koeffisientene i programmet: Når vi trykker SOLV, får vi: Altså er løsningen x = 3, y = 7 og z = 2. 19

20 6 Sannsynlighetsregning Vi er i MENU > RUN. For å finne menyen for sannsynlighetsregning trykker vi på OPTN, går til høyre ( ) med F6 og velger PROB. Da kommer denne menylinja opp nederst på skjermen: 6.1 Simulering I sannsynlighetsmenyen finner du «Ran#». Denne funksjonen gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Det er mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller. Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Da trenger vi «Intg» (MENU > RUN > OPTN > NUM) til å avrunde ned til nærmeste heltall. Tast inn «Intg (Ran# *6) +1». Ved gjentatte trykk på EXE får vi for eksempel dette: Hvert nytt trykk på EXE gir oss et tilfeldig tall mellom 1 og 6. 20