Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Transkript

1 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x x 7 x x 7 x x x 7 5x 5 x 6 ) x x x x 4 x x 4 x x b) Løs likningssystemet y x x yx x x x 5x x x5 x x x 5 x y x y 5 8 Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

2 c) x ) Løs likningen 4 x 4 x 8 x xlg lg8 fo Alternativt rdi 8 lg8 lg lg x lg lg lg ) Finn en formel for x når y ab ab y ab x y x y b a y xlgb lg a lgylga x lgb x x d) Vi har gitt funksjonen fx Tegn grafen til f for Jeg ser at x,5 x 4 x fx er en rasjonal funksjon. Vi setter x og finner at loddrett asymptote er x. (Telleren er da forskjellig fra null, 4 ). Når x går mot pluss eller minus uendelig, vil funksjonsuttrykket bli tilnærmet lik x x. Vannrett asymptote er derfor y. som er lik Jeg velger noen x -verdier nær bruddpunktet og lager verditabell x fx 8 4 Brudd 4 På grunnlag av det jeg nå vet, kan jeg tegne grafen.(her er tegningen gjort i GeoGebra) Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

3 e) Vi har gitt funksjonen f x x 6x 9x ) Bestem fx f x x x 9 ) Tegn fortegnslinjen til f grafen til f. Setter f x x x 9 x 4x 4 6 x x x x og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på Tar stikkprøver: f 9 9 pos f neg f pos Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

4 Fortegnslinjen viser at i. grafen til f har et toppunkt for Toppunkt,4 ii. grafen har et bunnpunkt for Bunnpunkt, x. f x. f f) Geir jogger en fast runde hver morgen. Dette tar vanligvis 6 minutter. En dag har han dårlig tid og kutter strekningen med % og øker farten med %. Hvor lang tid tar joggeturen denne morgenen? Vi kaller «vanlig» fart i strekning per minutt for v. Da blir strekningen en vanlig dag v 6 min og denne dagenv6 min,8 Farten denne dagen blirv, Tiden joggeturen tar denne spesielle morgenen blir da t strekning fart v 6 min,8 4 min v, Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 4

5 Oppgave (6 poeng) a) Rad nummer, og i Pascals trekant er Skriv opp de tre neste radene b) Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientene 4 4 5,, og 5 Det øverste tallet i binomialkoeffisienten angir radnummer i Pascals trekant når den første raden er rad nummer null. Det nederste tallet angir nummer på tall i raden, også her talt fra null. Vi får da at 4 45, 4, 4 og 5 For rad nummer n i Pascals trekant gjelder følgende sammenheng nnnn... n c) Vis at dette stemmer for rad nummer,,,, 4 og 5 Finn summen av binomialkoeffisientene i rad nummer n Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 5

6 Summen av binomialkoeffisientene i rad nummer er lik 4 Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 6

7 Del Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (8 poeng) Elevrådet ved en skole består av 9 jenter og 6 gutter. Blant disse skal det velges en komité på 5 personer. De bestemmer seg for å trekke ut de 5 personene tilfeldig. a) Hvor mange mulige komiteer med 5 personer kan vi sette sammen av medlemmene i elevrådet? Antall komiteer er lik antall mulige kombinasjoner av et uordnet utvalg uten tilbakelegging av elever fra 5 elever, og er gitt ved binomialkoeffisienten 5 5 b) Hva er sannsynligheten for at det blir gutter og jenter i komiteen? Dette er en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Antall gutter og jenter til sammen, populasjonen, er 5. Jeg velger å la n stå for antall jenter, n 9. Det trekkes tilfeldig et utvalg på 5 personer. Nå betegner X hvor mange i utvalget som er jenter. Sannsynligheten for jenter, og da også gutter i komiteen er 4 %. Det er trukket ut en komité på 5 medlemmer. Elise og Mathias er med i komiteen. Det er ingen som har lyst til å være leder eller sekretær. De bestemmer seg derfor for å velge ut leder og sekretær ved loddtrekning blant de 5 medlemmene. De trekker først lederen og deretter sekretæren. c) Hva er sannsynligheten for at Elise blir leder og Mathias sekretær? PElise leder og Mathias sekretær 5 % 5 4 d) Hva er sannsynligheten for at Elise blir leder og en annen enn Mathias blir sekretær? PElise leder og Mathias ikke sekretær 5 % 5 4 Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 7

8 Oppgave 4 (4 poeng) Solveig passerer et lyskryss 4 ganger på vei til og fra skolen i løpet av en måned. I krysset er det grønt lys 5 % av tida. a) Hva er sannsynligheten for at Solveig får grønt lys akkurat 6 ganger? Vi kan her forutsette en binomisk sannsynlighetsfordeling, og sannsynligheten for at Solveig får grønt lys akkurat 6 ganger er, %. b) Hva er sannsynligheten for at Solveig får grønt lys minst 6 ganger? Sannsynligheten for at Solveig får grønt lys minst 6 ganger er,5 %. Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 8

9 Oppgave 5 (4 poeng) Funksjonene f og g er gitt ved x x x f x g x 8 6 a) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem når x,4. x b) Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene både grafisk og ved regning. Grafisk: Se punkt a). Skjæringspunktene er (,) og (,,5). Ved regning med digitalt hjelpemiddel: Vi finner også her at skjæringspunktene er (,) og (,,5). Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 9

10 Oppgave 6 ( poeng) Alternativ Vi har gitt funksjonen Du skal svare på enten alternativ eller alternativ. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder deler av begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ, bli vurdert.) f x x 9x x a) Tegn grafen til f når x, b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet,. Marker denne på figuren i a). y 4 5 Gjennomsnittlig vekstfart x c) Finn den momentane vekstfarten når x. Marker denne på figuren i a). Figuren i a) viser at den momentane vekstfarten når x er lik 4,5. (Stigningstallet til tangenten til grafen når x.) Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

11 d) Tegn fortegnslinjen til f x f synker. f x x 9x x og bruk denne til å finne hvor grafen til f stiger, og hvor grafen til f x x x x x x x Stikkprøver: 6 pos 6 6 pos f f,5 6,5,5 6,5,5,5 neg f Fortegnslinjen viser at grafen til f stiger for x mindre enn og for x større enn. Grafen synker for x verdier mellom og. e) Løs likningen f x. Bestem topp- og bunnpunktet på grafen til f f x x x x x x x f x x x 6 x x Toppunkt: Bunnpunkt:, f, 9,5, f, 9,4 f) Vis ved regning at likningen fx bare har løsningen x. 9 9 f x x x x x x x f x x x x 9 x 9x x Dette betyr, siden vi får et negativt tall under rottegnet, at x 9x ikke kan bli lik null. Da er det bare x som gjør fx. Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

12 Alternativ En bedrift kan produsere inntil 4 enheter av en bestemt vare per dag. Tabellen nedenfor viser totalkostnaden i kroner ved noen produksjonsmengder. Antall enheter Totalkostnad a) Bruk regresjon til å finne et andregradsuttrykk for kostnadsfunksjonen når det produseres x enheter per dag. Jeg bruker regresjon i GeoGebra som gir følgende kostnadsfunksjon Bedriften kan selge hele produksjonen så lenge den holder seg under 4 enheter per dag. Inntektene i kroner ved salget er gitt ved funksjonen Som kostnadsfunksjon velger bedriften nå å bruke I x,4x 9,5x K x,x x 8 b) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. c) Bruk grafene til å avgjøre hvor mye som må produseres for at bedriften skal sitte igjen med overskudd. Forklar hvordan du kan bruke grafene til å finne det største overskuddet. Bedriften har overskudd når inntektsfunksjonen ligger over kostnadsfunksjonen. Grafene viser at det er tilfelle når det produseres mellom 7 og 977 enheter per dag. Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

13 Det er størst overskudd når den vertikale avstanden mellom grafene er størst. Jeg lager glideren a i Geogebra. c Ia K a har sin største verdi 744 kroner, når det produseres 65 enheter per dag. d) Finn et uttrykk for overskuddsfunksjonen Ox. Bruk uttrykket til å undersøke hvilke produksjonsmengder som gir overskudd. Produksjonsmengder mellom 7 g 977 enheter per dag gir overskudd. e) Bruk den deriverte til å finne ut hvor mange enheter som må produseres og selges for at inntekten Ix skal bli størst mulig. Vil dette salget gi overskudd for bedriften? Vi tegner grafen til I x : Grafen viser at den deriverte er positiv for x 88, er lik null for x 88 og negativ for x 88. Det betyr at inntekten er størst når det produseres 88 enheter per dag. Grafen i b) viser at denne inntekten ikke gir overskudd. f) Bruk den deriverte til å finne ut hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hva er det største overskuddet bedriften kan oppnå? Vi tegner grafen til Ox : Grafen viser at det er størst overskudd når det produseres 65 enheter per dag. Overskuddet er da på kroner 744. Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side

14 Oppgave 7 (8 poeng) En ferje frakter personbiler og lastebiler. En personbil trenger et areal på 5 m når den står parkert på ferja, mens en lastebil trenger 5 m. Arealet av hele ferjedekket er m. En personbil veier i gjennomsnitt t (tonn), og en lastebil veier t. Den samlede vekten av bilene på ferja må ikke overstige 5 t. Det koster 6 kroner for en personbil på denne ferjestrekningen, mens det koster 6 kroner for en lastebil. La x være antall personbiler og y antall lastebiler om bord på ferja ved en overfart. a) Sett opp ulikheter som avgrenser antall personbiler og lastebiler det er mulig å ta med på ferja. Arealbegrensninger: 5x5y Vektbegrensninger: xy 5 Antall personbiler og lastebiler må være lik eller større enn null: x y b) Tegn grafer som illustrerer ulikhetene i et koordinatsystem. Marker på figuren hvilket område som angir de mulige antallene av personbiler og lastebiler. Det skraverte feltet angir de mulige antallene av personbiler og lastebiler. c) Sett opp et uttrykk som viser hvor stor inntekt ferjeselskapet har på en overfart. Finn den fordelingen av personbiler og lastebiler som gir høyest inntekt for selskapet. Hva er den største inntekten selskapet kan oppnå på en overfart? Inntekten er en funksjon av antall personbiler, x, og antall lastebiler y. Ix, y 6x 6y. Nivålinjer for inntektsfunksjonen i GeoGebra viser at 85 personbiler og 6 lastebiler gir den høyeste inntekten. Den største oppnåelige inntekten er I85, kr Det innføres nye regler. Av sikkerhetsgrunner er det ikke lenger tillatt å ta med mer enn 4 lastebiler. d) Hva blir nå den høyeste inntekten som er mulig å oppnå på en overfart? Det skraverte området på figuren til høyre angir de mulige antall personbiler og lastebiler etter de nye regler. Nivålinjen for inntektsfunksjonen viser at det maksimalt kan tas med 9 personbiler i tillegg til de 4 lastebilene. Maksimal inntekt på en overfart er nå I 9, kr Eksamen REA6 Matematikk S, Høsten Side 4