Eksamen S2 va ren 2016 løsning

Transkript

1 Eksamen S va ren 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene x a) f x e f x e b) gx x x 3 x 4 1 x 4 x 31 x 4 x 3 1 g x x 4 x 4 x 4 c) hx x x h x x x x x x x x x Oppgave (8 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 f x x 6x 3 P x er delelig med x. Bestem nullpunktene til P. Jeg setter inn x i funksjonsuttrykket. a) Vis at 3 P Dette betyr at divisjonene går opp! Vi utfører polynomdivisjonen Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 1

2 3 x x 3 x x x x x 6 3 : x 3 8x 16 x 16x 3 16x 3 0 Vi finner så nullpunktene til x x 8x16 0 8x x x x 4 Vi får at P x x x 4 x 4. Nullpunktene til P er x og x 4. b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til P. 3 P x x 6x 3 P x 3x 1x P x 6x 1 I eventuelle topp- og bunnpunkt er den deriverte lik null. P x 3x 1x 0 0 3x x4 0 x 0 x 4 Jeg tar dobbeltderiverttesten. P x 6x 1 P negativt P positivt Grafen har toppunkt i Grafen har bunnpunkt i 3 0, 0 0, , 3 f. 4, 4 4, 0 f. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side

3 c) Bestem det eventuelle vendepunktet på grafen til P. Vi løser likningen P x 0 6x 1 0 x Vi har et vendepunkt med koordinater 3,, 6 3, 16 f. d) Lag en skisse av grafen til P Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 3

4 Oppgave 3 (3 poeng) Mathias har handlet litt mye på et konditori i det siste. Dessverre har han vært uheldig og fått revet av deler av kvitteringene, slik at han ikke lenger vet hvor mye de enkelte bakervarene koster. Se bildet nedenfor. Bruk opplysningene på kvitteringene til å sette opp et likningssystem, og bruk dette til å bestemme prisen på skoleboller, boller og muffins. Jeg lar x være prisen på skoleboller, y prisen på boller og z prisen på muffins. Opplysningene på kvitteringene gir oss følgende likningssystem 4x 4y z 176 x 4y z 14 3x 5y 4z Vi løser likningssystemet. Vi trekker venstre side i likning fra venstre side i likning 1, og tilsvarende med høyresidene 4x 4y z x 4y z x 34 x y z 14 4y z 108 z 54 y 317 5y 4z 5y 4z 171 5y 4 54 y 171 5y 8y y 45 y 15 z Prisen på skoleboller er 17 kroner, på boller 15 kroner og på muffins 4 kroner. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 4

5 Oppgave 4 (4 poeng) a) Noen tømmerstokker er stablet slik figuren viser. Det er 16 stokker i øverste rad og 30 i nederste. Bruk teorien for rekker til å bestemme hvor mange stokker det er i haugen. Ved å ta bort de 16 første tømmerstokkene i hver rad står vi igjen med en "trekant" av tømmerstokker hvor hver rad nedover inneholder en tømmerstokk mer enn raden ovenfor. I nest øverste rad er det én tømmerstokk mer enn i øverste rad osv. Antall tømmerstokker danner derfor en aritmetisk rekke med a1 16, a 30 og d 1. an a1 n 1 d n1 1 n a1 a S n b) I en aritmetisk tallfølge er a4 11 og a7 0 Bestem a 40. a a 3d d d a a 33d Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 5

6 Oppgave 5 (5 poeng) a) Hva vil det si at en rekke er geometrisk? Hva vil det si at en rekke er aritmetisk? En rekke er geometrisk hvis det fins et bestemt tall k slik at hvert ledd i rekken er lik leddet foran multiplisert med k. En rekke er aritmetisk hvis det fins et bestemt tall d slik at hvert ledd i rekken er lik leddet foran addert med d. b) En geometrisk rekke er gitt ved 5 a1 a a Skriv et uttrykk for a k k a k k1 c) Sett bk lnak. Vis at rekken b1 b b3 bn er aritmetisk. Bestem differansen d bk 1 bk. b b b b 1 3 lna lna lna lna n n 1 n ln10 ln 10 ln 10 ln ln10 ln10 1 ln ln10 ln ln10 n1 b b 3 b b n 1 ln Dette viser at rekken b1 b b3 bn er aritmetisk fordi hvert ledd i rekken er lik 1 leddet foran addert med ln d b b lna lna k1 k k1 k k k1 1 1 ln 10 ln ln10 kln ln10 k 1ln ln10 kln ln10 k ln 1 ln 1 ln Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 6

7 Oppgave 6 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x ln x 4, x R a) Avgjør hvor grafen til f stiger, og hvor grafen til f synker. ln x 4 f x x f x x 4 Den deriverte funksjonen er en brøk hvor nevneren er positiv for alle x -verdier, og hvor telleren er positiv for positive x -verdier og negativ for negative x -verdier. Det betyr at grafen til f stiger når x 0, og grafen til f synker når x 0. b) Nedenfor har vi tegnet fire grafer. Én av dem er grafen til f. Gjør nødvendige drøftinger og beregninger for å bestemme hvilken av grafene som er grafen til f. Ut fra oppgave a) kan vi utelukke graf A. x x x x x x 4 x f f x x x 0 når Det vil si når f x x x x 0 når Det vil si når Det betyr at grafen til f vender sin hule side ned når x x, og vender sin hule side opp når x. Det er bare graf C som oppfyller dette kravet. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 7

8 Oppgave 7 (3 poeng) En stokastisk variabel X har følgende sannsynlighetsfordeling: a) Bestem a. Samlet sannsynlighet er 1 0, 0,5 a 1 a 1 0,7 0,3 b) Regn ut forventningsverdien og standardavviket til X. 00, 100,5 00,3 11 Var X , , ,3 11 0, 1 0,5 81 0,3 4, 0,5 4, Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 8

9 Oppgave 8 (4 poeng) I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Figuren nedenfor viser en grafisk framstilling av en normalfordelt stokastisk variabel X. De to skraverte områdene har begge areal lik 0,106. a) Bestem P X 4 P X P X P X ,106 0, ,1 0,788 b) Bestem forventningsverdien til X. 4 E X 3 c) Bestem standardavviket til X. Fra tabellen over standard normalfordeling finner jeg at PZ 1,5 0,106. Da kan jeg sette opp og løse følgende likning 3 1, ,5 1,5 Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 9

10 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser det totale antallet artikler som var tilgjengelige på Wikipedia noen utvalgte år. Basert på disse tallene påstår en journalist at i 00 vil antallet tilgjengelige artikler være rundt 7 millioner. En annen journalist påstår at antallet artikler vil stabilisere seg på rundt 4 millioner. a) Vurder hvilke matematiske modeller journalistene kan ha brukt for å komme fram til disse tallene. Jeg foretok regresjonsanalyse hvor x-verdiene viser antall år etter år 000 og y- verdiene antall i tusen av tilgjengelige artikler. Rød graf viser lineær regresjon, og blå graf viser logistisk regresjon. Ved lineær regresjon vil antall tilgjengelige artikler være rundt 7 millioner i år 00. Ved logistisk regresjon vil antall tilgjengelige artikler stabilisere seg på rundt 4 millioner. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 10

11 En modell for antallet tilgjengelige artikler er gitt ved en funksjon g. Økningen i antallet artikler (i millioner) per år er ifølge denne modellen g x 576e 1 11e 0,68 x 0,68 x Her er x antall år etter 000. b) Bruk graftegner til å bestemme hvilket år antall artikler vokste raskest, ifølge denne modellen. Jeg brukte kommandoen "Ekstremalpunkt(g',, 1)" og fikk punktet A som viser at antall artikler vokste raskest i slutten av år c) Bestem g x 0 dx Hva er den praktiske tolkningen av dette svaret? Jeg skrev inn "Integral(g', 0, 15)" som tilsvarer grått areal under grafen. Dette arealet er lik 3,96 millioner. Det betyr at samlet økning i antall artikler de første 15 årene etter år 000 er 3,96 millioner artikler. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 11

12 Oppgave (6 poeng) En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag. Det viser seg at inntekten I i kroner per dag er gitt ved I x 300ln,5 x 1, x 0 Kostnaden K i kroner per dag kan skrives på formen K x ax bx c Erfaringer viser at det koster i alt 35 kroner å produsere 50 enheter per dag det koster i alt 4900 kroner å produsere 100 enheter per dag grensekostnadene ved å produsere 100 enheter er 41 kroner per enhet a) Bruk CAS til å bestemme a, b og K x 0,3x 11 c. Vis at b) Bestem I 100 og K 100. Hva forteller svarene oss? Avgjør ut fra svarene om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 1

13 Å øke produksjonen med én enhet når det produseres 100 enheter, gir en ekstra inntekt på kroner 31,87 og en ekstra kostnad på kroner 41. Bedriften bør ikke produsere flere enn 100 enheter, sannsynligvis færre. c) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig? Overskuddet blir størst når I x K x Overskuddet blir størst når det produseres 86 enheter. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 13

14 Oppgave 3 (6 poeng) Ved valget i 015 fikk et bestemt politisk parti en oppslutning på 30,8 % i en stor kommune. Like etter valget ble 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg. La X være antallet som stemte på det førstnevnte partiet, blant 1000 tilfeldig valgte personer. a) Forklar hvorfor vi kan anta at X er normalfordelt. Undersøkelsen om én enkeltperson stemte på partiet eller ikke ved valget, kan oppfattes som et uavhengig stokastisk forsøk hvor antallet stemmer for partiet er enten 0 eller 1 og sannsynligheten for 1 er 0,308. X er summen av 1000 slike uavhengige stokastiske forsøk, altså en binomisk forsøksrekke, og er ifølge sentralgrensesetningen tilnærmet normalfordelt. b) Bestem forventningsverdien og standardavviket til X. I mai 016 ble også 1000 personer med stemmerett i kommunen valgt ut tilfeldig og spurt om hvilket parti de ville ha stemt på dersom det var nytt valg. Av disse svarte 334 personer at de ville ha stemt på det førstnevnte partiet. c) Vurder om dette gir grunnlag for å si at oppslutningen for dette partiet har økt. Det er bare 3,75 % sjanse for at 334 eller flere av 1000 personer ville svart at de ville stemt på det førstnevnte partiet uten at oppslutningen for dette partiet har økt. Dette mener jeg gir grunnlag for å si at oppslutningen har økt. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 14

15 Oppgave 4 (6 poeng) Da Ole Magnus ble født, ønsket foreldrene å åpne en sparekonto for ham med en fast årlig rente på,5 %. De ønsket at det skulle være kroner på kontoen når han fylte 18 år. a) Hvor stort engangsbeløp måtte foreldrene sette inn på kontoen dersom det skulle vokse til kroner i løpet av de 18 årene? Vi kaller engangsbeløpet x som blir stående 18 år i banken. Engangsbeløpet var kroner. Foreldrene vurderte i stedet å sette inn 18 like store årlige beløp, første gangen da Ole Magnus ble født. b) Bruk CAS til å bestemme hvor stort dette årlige beløpet måtte være. Vi kaller de årlige beløpene for x. Det siste beløpet blir satt inn på 17-årsdagen, og på 18-årsdagen har dette beløpet vokst til x 1,05. Beløpet som ble satt inn på 16- årsdagen, har på 18-årsdagen vokst til x 1,05 osv. Samlet beløp på 18-årsdagen blir summen av en geometrisk rekke med a1 x 1,05, k 1,05 og n 18. Denne summen skal være Det årlige beløpet må være 4358 kroner. Foreldrene vurderte også en spareplan med 18 årlige innskudd, der beløpet som ble satt inn, økte med,0 % hvert år. c) Bruk CAS til å bestemme hvor stort det første beløpet måtte være. Vi kaller det første beløpet som ble satt inn, for x. Det siste beløpet blir satt inn på 17-årsdagen og er lik dette beløpet vokst til 17 x 1,0 1,05. Beløpet som ble satt inn på 16-årsdagen er lik 17 x 1,0. På 18-årsdagen har 16 x 1,0. På 18-årsdagen har dette 16 beløpet vokst til x 1,0 1,05 osv. Vi kommer fra det første til det andre beløpet ved å multiplisere med 1,05 og Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 15

16 dividere med 1,0. Samlet beløp på 18-årsdagen blir summen av en geometrisk rekke med 17 1,05 a1 x1,0 1,05, k og n 18. Denne summen skal være ,0 Det første beløpet må være 3 71 kroner. Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 16

17 Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 17

18 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA308 Matematikk S våren 016 Side 18