Eksamen S2. Va ren 2014 Løsning

Transkript

1 Eksamen S. Va ren 04 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene f 3 a) f b) 4 g e g e e e Oppgave (3 poeng) Funksjonen P er gitt ved 3 P 3 4, DP a) Bestem P. 3 P Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side

2 b) Bruk polynomdivisjon til å faktorisere P i lineære faktorer. Siden P 0 er en faktor i P. Jeg vet da at divisjonen : : Det betyr at Jeg setter så Det betyr at Det betyr videre at P «går opp» Oppgave 3 (4 poeng) a) Bestem summen av den aritmetiske rekken Ut fra de to første leddene kan jeg finne differansen d Jeg lar n være antall ledd i rekken, og da er altså an 300 an a n d n n n n 00. Det er 00 ledd i rekken. a a Summen av rekken er lik n S n b) Bestem a slik at rekken a a a3 an blir aritmetisk når a 4 og an an 8, n 3 Vi har at a 8. I en aritmetisk rekke er alltid a a d. Da er altså d 4. n an Det betyr at a a d 44 8 n n Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side

3 Oppgave 4 (3 poeng) Ved en konsert var billettprisen 00 kroner for voksne, 50 kroner for barn og 60 kroner for pensjonister. Det ble solgt 80 billetter til konserten. Billettinntektene var i alt kroner. Det ble solgt like mange billetter til barn som til voksne og pensjonister til sammen. Sett opp et likningssystem og bruk dette til å bestemme antall voksne, antall barn og antall pensjonister som kjøpte billett til konserten Jeg lar billettprisen for voksne være kroner, prisen for barn y kroner og prisen for pensjonister z kroner. Vi får da følgende likningssystem som jeg løser. i) 00 50y 60 z 5000 ii) y z 80 iii) z y Jeg setter likning iii ) i i) og ii ) i) z 60z 5000 i) 50 0z 5000 i) 5 z 500 ii) z z 80 ii) z 80 ii) z , z 5, y40 Likning iii) ga verdien for. Jeg setter denne verdien inn i likning ii) 5 3z 75 z 0 Jeg setter verdiene for og z inn i likning i) y Det var 5 voksne 40 barn og 5 pensjonister som kjøpte billetter. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 3

4 Oppgave 5 (7 poeng) Nedenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon f. a) Bruk grafen til å bestemme koordinaten til eventuelle topp- eler bunnpunkt på grafen til f. Avgjør hvor grafen til f vokser og hvor den minker. Den deriverte er positiv for, null for, negativ for 6, null for 6 og positiv for 6. Det viser at grafen til f vokser for, har toppunkt for, avtar for 6, har bunnpunkt for 6 og vokser for 6. b) Punktet 4,3 ligger på grafen til f. Bestem likningen til tangenten i dette punktet- Siden punktet 4,3 ligger på grafen til f, er f 4 3 f 4 3. Likningen til tangenten i punktet 4,3 blir y f 4 f 4 4 y c) Tegn fortegnslinja til f grafen til f. y 3 3 y 3 5. Avlesning på grafen til den deriverte gir. Bruk denne til å bestemme koordinaten til vendepunktet på Når den deriverte avtar, er den dobbeltderiverte negativ. Når den deriverte vokser, er den dobbeltderiverte positiv. Når den deriverte har bunnpunkt, er den dobbeltderiverte null. Grafen til f har vendepunkt når den dobbeltderiverte er lik null, det vil si for. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 4

5 d) Lag en mulig skisse av grafen til f. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 5

6 Oppgave 6 (4 poeng) Figuren nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene X, X, X3 og X 4. Vi får opplyst at har 0 delforsøk og p 0,6 er sannsynligheten for suksess. har 00 delforsøk og p 0,06 er sannsynligheten for suksess. 3 har 0 delforsøk og, p 0,4 er sannsynligheten for suksess. 4 har 50 delforsøk og p 0, er sannsynligheten for suksess. a) Hvilke av de grafiske fremstillingene nedenfor illustrerer X? Avgjør også hvilken grafisk fremstilling som illustrerer henholdsvis X, X3 og X 4 For grafene () og (4) fordeler sannsynligheten seg på 0 verdier. Det må derfor være fordelingene til X og X 3 X har forventningsverdi 00,6 6 og X 3 har forventningsverdi 00,4 4. Siden sannsynligheten er tilnærmet symmetrisk om forventningsverdien, ser vi at () må illustrere X og (4) må illustrere X 4 For grafene () og (3) fordeler sannsynligheten seg på flere enn 0 verdier. Det må derfor være fordelingene til X og X 4 X har forventningsverdi 000,06 6 og X 4 har forventningsverdi 500, 5. Siden sannsynligheten er tilnærmet symmetrisk om forventningsverdien, ser vi at () må illustrere X 4 og (3) må illustrere X Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 6

7 b) For den ene variabelen er PX Hvilken variabel er dette? Jeg leser av grafisk for variabelen X at P X P X P X P X P X P X 0,04 0,0 0,0 0,005 0,00 0,077 For de andre variablene er PX 0 klart mindre. X som har PX 0 0,0775 Det er variabelen c) Hvilken av de fire binomisk variablene har størst standardavvik? SD X np p 00,60,4,4 SD X np p 000,06 0,94 5,64 SD X np p 00,4 0,6,4 3 SD X np p 500,0,9 4,5 4 X har størst standardavvik. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 7

8 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave (3 poeng) Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er r. Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående. Vi lar O n være lengden av halvsirkelbue nummer n a) Forklar at O O O3 blir en uendelig, geometrisk rekke. O r r O r r O r r O3 r O O4 r O3 4 Vi kan fortsette og konstruere halvsirkler som vist på figuren i det uendelige. Regningen viser at hvert ledd i rekken er lik leddet foran multiplisert med konstanten. Det betyr at O O O3 blir en uendelig, geometrisk rekke. b) Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret. O r Rekken er konvergent siden. Følgelig har rekken summen S r Summen er alle halvsirkelbuene er lik hele omkretsen til den første sirkelen. Det må også bety at den første halvsirkelbuen er lik summen av alle de andre halvsirkelbuene. O O O3 O4 Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 8

9 Oppgave (5 poeng) Tabellen nedenfor viser antall jerv som er registrert døde i noen utvalgte år. a) Bruk opplysningene i tabellen til å lage en modell som viser antall døde jerv år etter 990. Gi en begrunnelse for modellen din. Jeg legger dataene fra tabellen inn som punkter i et regneark i GeoGebra hvor er antall år etter 990, og y er antall døde jerv i år. Jeg markerer punktene i tabellen, høyreklikker og bruker kommandoen «Lag liste med punkt» Punktene avsettes i grafikkfeltet. Jeg prøver meg fram med regresjon av flere typer funksjoner for å se hvilken som passer best med datasettet. Vi ser for eksempel av grafen at f som representerer en eksponentiell modell, passer dårlig, men både en lineær modell, en logistisk modell og spesielt en polynomfunksjon av. grad kan være aktuelle modeller. Med bare fem punkter i vårt datasett, er det usikkert hvilken modell som passer best på lang sikt. Jeg tror at den modellen som vil passe best på lang sikt er den logistiske modellen 68,8774,7483 e 0,799 h som jeg fikk med kommandoen «RegLogist[Liste]. Det er rimelig å anta at antall døde jerv avtar etter hvert og ikke fortsetter stige slik de andre modellene antyder. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 9

10 b) Hvor mange jerv kan vi forvente blir registrert døde i 04 ifølge modellen? År 04 svare til 4. Jeg avsetter derfor punktet 4, 4 kan forvente 30 døde jerv i 04 etter denne modellen. c) Hvor mange jerv forventes registrert døde til sammen i årene ? h i grafikkfeltet og får grafisk at vi Jeg finner samlet areal under grafen fra 0 til 4 med kommandoen «Integral[h,0,4]». Antall døde jerv til sammen i perioden tilsvarer dette arealet og er på 38 dyr. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 0

11 Oppgave 3 (8 poeng) En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er p kroner per enhet, får de solgt enheter av varen slik tabellen viser. a) Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk p for prisen p. Bruk dette til å bestemme et uttrykk I for inntektsfunksjonen I. Jeg legger punktene, p fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Jeg lager en liste av disse punktene md kommandoen «Lag Liste med punkt». Videre bruker jeg kommandoen «RegLin[Liste med punkt]», og får funksjonsuttrykket for p 0, 0 Inntekt er lik pris per enhet multiplisert med antall enheter. Det gir I p 0,4 9 0,4 9 Bedriften har funnet ut at kostnadene gitt ved K 0, b) Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden. Jeg definerer K og I i CAS i GeoGebra. Grensekotnadene ved produksjon av 3000 enheter er kroner 95 og grenseinntektene er kroner 900. Det koster altså 95 kroner å produsere én ekstra enhet, men det gir en ekstra inntekt på 900 kroner. Bedriften bør altså øke produksjonen. K (målt i kroner) ved produksjon og salg av enheter er Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side

12 c) Løs ulikheten I K Jeg løser ulikheten ved CAS i GeoGebra. Hva forteller svaret oss? Inntektene ved å produsere én ekstra enhet er større enn utgiftene ved å produsere én ekstra enhet så lenge produksjonen er under 4339 enheter. Det lønner seg altså å øke produksjonen så lenge produksjonen er under 4339 enheter. d) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Maksimalt overskudd oppnås når I K Overskuddet blir størst når det produseres og selges 4339 enheter. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side

13 Oppgave 4 (6 poeng) En bedrift har fått bestilling på en container som skal ha form som en rett prisme uten lokk. Volumet til containeren skal være på 0 m 3. Lengden skal være dobbelt så stor som bredden. Vi lar høyden være h m, bredden m og lengden m. Se skissen nedenfor. a) Vis at høyden h av containeren er gitt ved 5 h V V 0 5 G h h G Materialet til bunnen koster 00 kroner per kvadratmeter. Materialet til de fire sidene koster 60 kroner per kvadratmeter. b) Vis at kostnadene kan skrives som K Arealet til bunnen blir 5 0 Samlet areal til de to største sidene er h Samlet areal til de to minste sidene er h Samlet areal til alle fire sidene er Kostnadene blir 30 K Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 3

14 c) Bestem lengde, bredde og høyde i containeren slik at kostnadene ved å produsere containeren blir minst mulig. Jeg tegner grafen til kostnadsfunksjonen i GeoGebra med kommandoen K funksjon 00,0,0 800 Jeg fant bunnpunktet ved kommandoen Ekstremalpunkt K,,3 Vi får lavest kostnader når bredden er 5 er h m,84 m,65,65 m, lengden er,65 m 3,30 m og høyden Bestem den minste kostnaden ved å produsere containeren. Jeg leser grafisk at den minste kostnaden er 635 kroner. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 4

15 Oppgave 5 (5 poeng) I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med p 0,0. a) Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut. Sannsynligheten for at tre personer etter hverandre blir trukket ut er 3 0, 0,00 0,0% Vi lar X være antallet som blir trukket ut av 000 passasjerer. b) Bestem forventningsverdien EX og standardavviket Vi har at X er binomisk fordelt med n 000 og p 0, Forventningsverdien EX np 000 0,0 00 Standardavviket SD X n p p SD X ,0,9 90 Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 000 passasjerer viste det seg at 0 ble trukket ut. c) Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå på 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke. Nullhypotesen: H : p 0, 0 Den alternativ hypotesen: H : p 0, Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren for å finne sannsynligheten for det rent tilfeldig kan bli trukket ut så mange personer samtidig som nullhypotesen gjelder. Sannsynligheten er 5,83 % for at 0 eller flere av 000 passasjerer helt tilfeldig kan bli trukket ut samtidig som nullhypotesen gjelder. Det er større enn signifikansnivået. Konklusjonen er derfor at nullhypotesen fortsatt gjelder. Flyplasspersonalet har ikke grunn til å mistenke at for mange passasjerer blir trukket ut. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 5

16 Oppgave 6 (6 poeng) Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster kroner. Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner. a) Forklar at dersom terminbeløpet er kroner, så vil ,06,06,06 Løs denne likningen. Jeg finner nå-verdiene av alle Fridas betalinger slik GeoGebrafiguren nedenfor illustrerer. Summen av nå-verdiene må være lik kostprisen for PC-en pluss gebyret. Da er ,06,06,06 Venstre side av likningen danner en geometrisk rekke med a,,06,06 Summen av rekken er,06,06,06 Likningen blir da 805,06,06 Jeg løser likningen ved CAS i GeoGebra k og n 36.,06 Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 6

17 De månedlige beløpene er på 95 kroner. Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 89 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet. b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken? Situasjonen blir tilsvarende situasjonen i a). Men nå er månedsbeløpene Frida betaler kroner 89 og vekstfaktorene setter jeg nå som den ukjente. Likningen blir nå som vist ved CAS i GeoGebra Vekstfaktoren er på,05. Det betyr at Den månedlige bankrenten er på,5 %. Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den. innbetalingen, har hun 8 07 kroner på kontoen. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 7

18 c) Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken. Summen av alle innbetalinger ført fra til like etter den. innbetalingen danner en geometrisk rekke med a 650, som er det siste sparebeløpet hun nettopp har satt inn, n som er antall p ledd i rekken (antall sparebeløp) og k hvor p er den ukjente sparerenten. 00 Vi vet at summen av rekken er lik kontobeløpet som er kroner 807. Jeg kan da løse følgende likning i GeoGebra Elises månedlige sparerenten har vært på 0,7 % Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 8

19 Oppgave 7 (3 poeng) En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av 6 timer. En pasient får én tablett hver tolvte time. Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk? Vi tenker oss en pasient som har tatt én tablett hver tolvte time i lang (uendelig lang) tid. Like etter at pasienten har tatt en ny tablett vi han i kroppen ha 60 mg fra den siste tabletten, pluss 60 milligram fra den tabletten han tok for timer siden (fordi stoffet halveres to ganger i løpet av tolv timer), pluss milligram fra den tabletten han tok for 4 timer siden, pluss milligram fra den tabletten han tok for 36 timer siden, osv. Disse størrelser danner en uendelig konvergent geometrisk rekke med a 60, a med sum S k k 4 og Det kan maksimalt samles 80 milligram av stoffet i kroppen. Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 9

20 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Olav Kristensen, ndla-matematikk Eksamen REA308 Matematikk S Våren 04 Side 0