Eksamen S1 Va ren 2014 Løysing

Transkript

1 Eksamen S1 Va ren 014 Løysing Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillate. Oppgåve 1 (3 poeng) Løys likningane a) x 3x 3 3 x x x x x x x x 6 0 ( 5) x 1 x 3 x b) x x lg lg x lg x lg x Må ha x 0 lg lg x x x x x x 1 x x 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 1

2 Oppgåve ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg a b b b a a lg 3lg lg lga lgb 3lgb 3lga lgb lga 4lga 4lgb 6lgb 3lga lgb lga 3lgb Oppgåve 3 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg a) a b a b a ab b a ab b a 4ab b a 4ab b 8ab b) a b a a b a 4 3 a b a a b a b a b 6 a b Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side

3 Oppgåve 4 (4 poeng) Ein rasjonal funksjon f er gjeven ved f x ax b x 1, D \ `1 f Grafen til f skjer x aksen i x 3 og y aksen i y 6. a) Bestem a og b. f a0 b b b a3 6 3a 6 f a 6 0 a b) Teikn grafen til f. x 6 f x, Df \ 1 x 1 Grafen til funksjonen har loddrett asymptote for x 1. Funksjonen går mot når x går mot pluss eller minus uendeleg. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 3

4 Oppgåve 5 (6 poeng) Figuren til høgre viser eit utsnitt av Pascals taltrekant. a) Bestem x og y. xy8 y35 8x y 8 x 8 x 35 8x 63 9x x 7 y Under ser du utrekninga a b n for nokre verdiar av n. b) Bruk mønsteret over til å rekne ut a b a b 1a 1 4 a b 4 6 a b 6 4 a b 4 1 ab 1b a 5a b 10a b 10a b 5ab b Eit forsøk er sett saman av tre uavhengige delforsøk. I kvart delforsøk ser vi om eit utfall A hender eller ikkje. Sannsyna er PA a og PA b. Forsøket kan vi illustrere i eit valtre. Sjå figuren Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 4

5 Vi let Px k vere sannsynet for at utfallet A skjer k gongar. c) Skriv av og fyll ut sannsynsmodellen under. k P x k 3 a 3a b 3ab 3 b Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 5

6 Oppgåve 6 (5 poeng) Ei bedrift produserer x einingar av ei vare. Kostnadene K (i kroner) er gjevne ved K x 0,1x 10x 0000 Inntektene I (i kroner) er gjevne ved Ix p x Der p er salsprisen per eining for vara. a) Vis at overskotet O er gjeve ved O x 0,1x 10 p x 0000 O x I x K x p x x x 0, p x x x 0, ,1x 10 p x 0000 b) Kva produksjonsmengd gjev størst overskot om p 140? For 140 p er O x x x x x Eg deriverer overskotsfunksjonen 0, , ,x , Positivt O Negativt O x O x x x O Med ein pris per eining på 140 er overskotet størst når det blir produsert 750 einingar. c) For ein bestemt salspris p er overskotet størst når bedrifta produserer og sel 000 einingar. Kva er denne salsprisen p? 0, , 10 O x x p x O x x p O , p 0 p Ein salspris på 390 gjev størst overskot. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 6

7 Oppgåve 7 ( poeng) Ein funksjon f er gjeven ved f x x x, Df Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at fx x. lim x0 x0 y f x x f x fx lim lim x0x x0 x x x x x x x x x x x x x x x lim x0 x x x x x lim x0 x lim x x x x x lim x x x x 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 7

8 Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillét kommunikasjon. Oppgåve 1 (4 poeng) Ein arkitekt skal teikne eit hus med total yttervegg på 10 m. Ytterveggen består av isolert veggflate og vindauge. Tabellen under viser varmetapet per time gjennom isolert veggflate og gjennom vindauge under visse vilkår. a) Bestem det totale varmetapet per time gjennom ytterveggen om 0 m er vindauge. Eg brukar CAS i GeoGebra Det totale varmetapet per time blir 1,86 kwh Det totale varmetapet gjennom ytterveggen per time skal vere,0 kwh. b) Set opp eit likningssystem som kan brukast til å bestemme kor mange kvadratmeter veggflate og kor mange kvadratmeter vindauge ytterveggen må ha. 0,009 x 0,048 y,0 xy10 Løys likningssystemet. Eg brukar CAS i GeoGebra Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 8

9 Ytterveggen har 96,4 m veggflate og 3,6 m vindauge. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 9

10 Oppgåve (5 poeng) Funksjonen f gjeven ved 4 f x x 8x 16, Df a) Bestem skjeringspunktet mellom grafen til f og y aksen. Grafen skjer y aksen når x 0 4 f b) Løys likninga fx 0 Eg definerer likninga og løyser henne i CAS i GeoGebra c) Bruk f x til å bestemme koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Eg finn kor den deriverte er null, positiv og negativ og funksjonsverdiane til topp- og botnpunkt. Grafen til f stig når den deriverte er positiv og fell når den deriverte er negativ. Dette viser at grafen til f har eit botnpunkt for x og x, og toppunkt for x 0. Botnpunkt:,0 og,0 Toppunkt: 0,0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 10

11 Oppgåve 3 (6 poeng) Ein bonde skal gjerde inn eit rektangelforma område med areal 65 m. Ho skal bruke ein 15 m lang steinmur som ein del av det inngjerda området. Til resten av området skal ho bruke eit gjerde med lengd G. Området er skissert på figuren under. På skissa er sidene i rektangelet kalla x og y. a) Vis at lengda G av gjerdet kan skrivast som 150 G x x 15, x 15 x 65 x y 65 y x Gx x y x 15 x x 15 x 15 x x b) Teikn grafen til G c) Kva er det kortaste gjerdet bonden kan bruke? Kva slags rektangel får vi då? Eg brukte kommandoen «Ekstremalpunkt[<funksjon>,<start>,<slutt>]» og fann at det kortaste gjerdet er på 85 meter. Då er x 5 og 65 y 5. Rektangelet er då eit kvadrat. 5 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 11

12 Oppgåve 4 (5 poeng) Sommaren 013 viste ei undersøking at 3 av 4 som har teke lærarutdanning arbeidde som lærar. I ei ny undersøking blir 0 personar som har teke lærarutdanning kontakta. a) Bestem sannsynet for at akkurat 15 av desse arbeider som lærar. Dette er ein binomisk situasjon med p 0,75, som er sannsynet for at ein tilfeldig lærar arbeider som lærar. Eg brukar sannsynkalkulatoren i GeoGebra, og let X vere talet på dei 0 som blir kontakta som arbeider som lærar. Eg reknar sannsynet for at X 15. Sannsynet for at akkurat 15 arbeider som lærar er 0, %. b) Bestem sannsynet for at fleire enn 15 arbeider som lærar. Eg reknar sannsynet for at X 15 Sannsynet for at fleire enn 15 arbeider som lærar er 41,5 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 1

13 Det blir bestemt at fleire personar med lærarutdanning skal kontaktast. c) Kor mange personar må vere med i undersøkinga for at sannsynet skal vere større enn 95 % for at minst 5 av dei arbeider som lærar. Eg prøvar meg fram med aukande verdiar av n inntil det aktuelle sannsynet kjem over 95%. Det må delta minst 39 personar i undersøkinga. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 13

14 Oppgåve 5 (5 poeng) Ei bedrift produserer og sel x einingar av ei vare per dag. Fortenesta F per eining (målt i kroner) er gjeven ved F x 0,01x 0,3x 10 a) Kor mange einingar må bedrifta produsere for at fortenesta per eininga skal bli størst mogleg? Eg teiknar grafen F i GeoGebra og finn toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt» Bedrifta må produsere 15 einingar. b) Forklar at overskotet O til bedrifta per dag er gjeve ved O x x F x Samla overskot for bedrifta må vere lik fortenesta (overskotet) per eining multiplisert med talet på einingar som blir produsert og seld. c) Bestem den produksjonsmengda som gjer overskotet størst mogleg. Kor stort er overskotet då? Eg teiknar grafen F i GeoGebra og finn toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt» Overskotet er størst når det blir produsert 74 einingar. Overskotet er då kroner Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 14

15 Oppgåve 6 (6 poeng) Kari har starta ei lita bedrift. Ho lagar saft og syltetøy. For å lage 1 kg saft treng ho 0,35 kg bringebær og 0,15 kg jordbær For å lage 1 kg syltetøy treng ho 0,0 kg bringebær og 0,40 kg jordbær Ho greier å lage inntil 900 kg saft og syltetøy til saman per veke Ei veke har ho tilgang på 50 kg bringebær og 300 kg jordbær. La x vere talet på kilogram saft og y talet på kilogram syltetøy ho lagar denne veka. a) Set opp ulikskapane som må vere oppfylte i produksjonen xy900 0,35x0,0y50 0,15x0,40y300 x0 y0 Første ulikskap viser avgrensingar i talet på kg ho kan lage til saman. Andre ulikskap viser avgrensingar av bringebær. Tredje ulikskap viser avgrensingar av jordbær. Fjerde linje viser at det ikkje kan produserast eit negativt tal kg med saft eller syltetøy b) Marker området som er avgrensa av ulikskapane du fann i oppgåve a) Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 15

16 Fortenesta er 8 kroner per kilogram for saft og 1 kroner per kilogram for syltetøy. c) Kva produksjonsmengd gjev størst forteneste, og kva er fortenesta då? Eg set fortenesta i som ein glidar i GeoGebra. Så set eg i 8x 1y Eg endrar glidaren og ser grafisk at når grafen som viser fortenesta skal skjere det skraverte området, så blir fortenesta størst når x 40 kg og y 660 kg Fortenesta er då lik kr Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 16

17 Oppgåve 7 (5 poeng) Vi skal løyse likninga under med omsyn på x lg x n x n n x, x 0, n 0 n a) Vis at denne likninga kan formast om til lg x x x lg lg n n n x n n lg x lg x n x x x n n n n lg x x x x lg lg n n b) Vis at likninga vidare kan skrivast n n n n x n x n lg lg lg 0 lg x x x lg lg n n x x lg xlg nlg 0 n n lg x lg x lgn n lg x lgn 0 lg x lg x lg x lgn nlg x nlgn 0 n x n x n lg lg lg 0 lg x lg x lg x lgn nlg x nlgn 0 c) Bruk likninga i oppgåve b) til å bestemme x uttrykt ved n. Eit produkt er lik null når ein av faktorane er lik null. x n x n lg lg lg 0 lg x n 0 lg x lgn 0 lg x n lg x lgn x 10 n x n Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 17

18 Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Olav Kristensen, ndla-matematikk Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 18