Eksamen matematikk S1 løysing

Transkript

1 Eksamen matematikk S1 løysing Oppgåve 1 (3 poeng) Løys likningane a) b) lg lg lg4 lg lg4 lg lg må vere større enn null fordi den opphavlege likninga inneheld logaritmen av Løysinga er = Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

2 Oppgåve (3 poeng) ABC er rettvinkla. Eit punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi set PC og CB y. a) Forklar at likningssystemet nedanfor kan brukast til å rekne sidene i trekanten. y30 PA AB PC CB y 10 0 y y30 Brukar Pytagoras' setning: AC AB CB 10 0 y y b) Bestem og y ved å løyse likningssystemet. y y y y 30 5 y 5 Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

3 Oppgåve 3 (4 poeng) Skriv så enkelt som mogleg a) a 1 a 1a 1a 1 b) a a a a a a a a a a 4 a 3b 1 3ab b b 4 a 3 ab a 6 Oppgåve 4 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f 6 94, Df. a) Bestem f 3 f f b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Sett f ( 4 3) Vi veit no at uttrykket er lik null når 3 og når 1. Det er berre for desse verdiane av at andregradsuttrykket skiftar forteikn. Vi tar stikkprøve for - verdiar mindre enn 1, - verdiar mellom 1 og 3 og for - verdiar større enn 3. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene Vi set inn 0 Vi set inn Vi set inn 4 og finn: og finn: " " positivt 1 3 " " negativt og finn: " " positivt Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

4 Vi kan då setje opp forteiknslinja - verdiar Toppunkt: 1, f 1 1,0 Botnpunkt: 3, f 3 3, 4 c) Bestem likninga til tangenten til grafen i punktet 0, 0 0, f 0 0, 4 f. Stigingstalet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet: f Brukar eittpunktformelen: y y a y y49 y94 d) Grafen til f har ein annan tangent som er parallell med tangenten du fann i oppgåve c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten. f Tangeringspunktet til tangenten er i punktet 4, f 4 4,0 Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

5 Oppgåve 5 (4 poeng) Eit område D er bestemt av ulikskapane y5 y1 1 a) Skraver området D i eit koordinatsystem. Teikna linjene y 5, y 1 og 1 i eit koordinatsystem. Markerte området der y 5 y1 1 b) Bestem punktet, Set inn i hjørna i området: Punktet,3 gir: 3 y Punktet 1,6 gir: 3 y Punktet 1,0 gir: 3 y y i området D slik at 3y blir størst mogleg. Punktet,3 gjer 3y størst mogleg. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

6 Oppgåve 6 (3 poeng) Ei bedrift reknar med at kostnadene i kroner ved å produsere einingar av ei vare per dag er gitt ved 0, , 0,400 K Bedrifta sel alle varene dei produserer for 00 kroner per eining. a) Forklar at overskotet O per dag er gitt ved O 0, Overskot er inntekt minus kostnader: O I K 00 0, O O 0, b) Bestem den produksjonsmengda som gir størst overskot per dag. Kva blir det største overskotet? Størst mogleg overskot blir oppnådd når funksjonen har toppunkt. O 0, O 0,5 100 O 0 0, O 00 0, Andregradsleddet er negativt, difor har overskotsfunksjonen eit toppunkt. Størst overskot blir oppnådd ved produksjon av 00 einingar, då er overskotet 5000 kr. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

7 Oppgåve 7 (6 poeng) I oppgåve 7 nedanfor kan du få bruk for desse formlane: I ein boks ligg det 3 raude og 4 blå kuler. Thomas skal trekkje tilfeldig ut 3 kuler utan tilbakelegging. a) Bestem sannsynet for at av dei 3 kulene han trekkjer, er raude P raude kuler, 1 blå b) Bestem sannsynet for at han trekkjer ut fleire raude enn blå kuler. Fleire raude enn blå betyr eller 3 raude kuler. P raude kuler, 1 blå P3 raude kuler Thomas skal så trekkje tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

8 c) Bestem sannsynet for at av dei 3 kulene han trekkjer, er raude. Brukar binomisk modell, fordi det er like stort sannsyn for raud kule i kvart trekk 3 p, n 3, 7 P raude kuler 7 7 Oppgåve 8 (4 poeng) Funksjonane f, g, h og k er gitt ved f h g k 6 1 På figuren nedanfor er det teikna grafen av to av desse funksjonane. a) Kva funksjon gir graf A? Grunngje svaret. Graf A er ein rasjonal funksjon med vertikal asymptote i 1. Dette stemmer for g og h. Horisontal asymptote er i. 3 lim g lim lim h lim 1 Graf A høyrer til funksjonen h(). Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

9 b) Kva funksjon gir graf B? Grunngje svaret. Graf B er ein polynomfunksjon av 3. grad med toppunkt for 1og botnpunkt for 1. Sjekkar dei to funksjonane med å derivere og setje den deriverte lik null. 3 f f f Graf B høyrer til funksjonen k(). k k k Oppgåve 9 ( poeng) Løys likninga Setter 3 u u u u 1 7 u u 4 u 3 u Logaritmen til eit tal er alltid positivt, vi forkastar den negative løysninga lg 4 lg3 Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

10 Oppgåve 1 (6 poeng) Ei undersøking viser at 70 % av norske arbeidstakarar er nøgde med den utdanninga dei har vald. I ein ungdomsskoleklasse er det 30 elevar. a) Bestem sannsynet for at akkurat 1 av elevane kjem til å bli nøgde med utdanninga dei vel. Dette er ein binomisk situasjon med p 0,7. Eg brukar sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Sannsynet for at akkurat 1 av elevane er nøgde med utdanninga er 15,73 %. b) Bestem sannsynet for at minst 5 av elevane kjem til å bli nøgde med utdanninga dei vel. Dette er ein binomisk situasjon med p 0,7. Eg brukar sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

11 Sannsynet for at minst 5 av elevane blir nøgde med utdanninga er 7,66 %. I klassen er det 15 gutar og 15 jenter. Mellom desse skal det trekkast ut 6 elevar som skal vere med i ei undersøking. c) Bestem sannsynet for at det blir trekt ut fleire jenter enn gutar. Dette er ei hypergeometrisk fordeling med to grupper som ikkje overlappar. Fleire jenter enn gutar betyr 4,5 eller 6 jenter. Brukar sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

12 Sannsynet for at fleire jenter enn gutar blir trekte ut er 3,6 %. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

13 Oppgåve (6 poeng) Ei bedrift produserer ei bestemt vare. Tabellen under viser samanhengen mellom talet på produserte einingar av vara per veke og dei totale kostnadene. Talet på produserte einingar per veke, Totale kostnader i kroner, K a) Bestem ein andregradfunksjon K som med god tilnærming kan brukast til å rekne ut kostnadene K. Kva blir kostnadene i ei veke der det produserast 0 einingar? Legg verdiane frå tabellen inn i rekneark i GeoGebra Brukte kommandoen "RegPoly[ <Liste med punkt>, <Polynomgrad> ] K 0,137, Fekk funksjonen Markerte punktet 0, f 0 sjå punkt A på grafen. Kostnadene for 0 einingar er 4813 kr. Vara blir seld for 50 kroner per eining. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

14 b) Bestem kor mange einingar bedrifta må produsere og selje for å få overskot. Definerer inntektsfunksjonen I 50 Teiknar grafen til overskotsfunksjonen O I K Eg brukar kommandoen "Nullpunkt[<polynom>]" og finn kva tid overskotet er null. Sjå punkta L og M på grafen. Bedrifta får overskot når grafen til overskotsfunksjonen ligg over -aksen. Bedrifta får overskot når det blir produsert mellom 17 og 1194 einingar (Sjå punkta L og M). c) Bestem det største overskotet som bedrifta kan oppnå med denne prisen. Kor mange einingar må bedrifta produsere og selje for å få størst mogleg overskot? Brukar kommandoen "Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]" for O og får toppunktet N (sjå grafen i b). Størst mogleg overskot blir oppnådd ved produksjon av 660 einingar, det totale overskotet er då 3814 kr. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

15 Oppgåve 3 (6 poeng) Ein smed skal arbeide med eit metallstykke. Metallet let seg arbeide med berre når temperaturen er 150 C eller høgare. Temperaturen T, målt i grader celsius, er gitt ved T 470 0,95 30 der er tida, målt i minutt, etter at metallstykket blir teken ut av omnen. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til T. Bestem temperaturen til metallet idet det blir teken ut av omnen. Temperaturen til metallet når det blir tatt ut av omnen er 500 grader Celsius. b) Kor lang tid har smeden på seg til å arbeide med metallstykket? Kva er temperaturen i rommet der smeden arbeider? Temperaturen må vere 150 eller høgare. Smeden har 6,6 minutt på seg. Temperaturen i metallet vil nærme seg temperaturen i rommet når blir stor. Vi ser at når blir stor, vil T gå mot 30 grader, fordi 0,95 då går mot null. Temperaturen i rommet er 30 grader. c) Smeden ønskjer 10 min ekstra tid til å arbeide med metallet. Kva må i så fall temperaturen i metallet vere når han startar arbeidet? Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

16 Ti minutt ekstra blir 36,6 minutt. Temperaturfunksjonen må då gi 150 grader etter 36,6 minutt, då må faktoren framføre 36,6 0,95 endrast. Vi kallar denne faktoren for y og løyser likninga 0 Starttemperaturen må vere 7850,95 30 C 815 C Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

17 Oppgåve 4 (6 poeng) Ei bedrift lagar øskjer av kvadratiske pappstykke med sider lik 6 dm. Dette gjer dei ved å klyppe ut hjørne som vist nedanfor og brette langs dei stipla linjene. a) Forklar at volumet V, målt i kubikkdesimeter, til kvar øskje er gitt ved 3 V 83636, 0, 1,5 l 6 4, b 6, h V l bh V V ( ) 3 V b) Bruk CAS til å bestemme slik at volumet blir størst mogleg. Bestem dette største volumet. Eg skriv likninga inn i GeoGebra, og set den deriverte lik null. Løysinga =,37 er ikkje i definisjonsområdet, så eg brukar berre løysinga =0,63. Finn størst volum ved å løyse V 0,63. For å sjekke om dette er eit toppunkt, undersøkjer eg forteiknet til den deriverte på kvar side av punktet Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

18 Størst volum er lik 10,4 dm 3. Bedrifta skal også lage andre øskjer der dei brukar kvadratiske pappstykke med side lik a dm. Dei klypper og brettar på same måte som over. c) Bruk CAS til å vise at det maksimale volumet til desse øskjene er a. Eg finn den nye funksjonen ved å ta lengde gongar breidde gongar høgde l a, b a 4, h V( ) a a 4 3 a V 8 6 a a, 0, 4 For å finne den største verdien for volumet deriverer eg funksjonen og set den deriverte lik null. Løysing nummer to (linje 3 i biletet under) er ikkje i definisjonsområdet, då dette er meir enn a/4, så denne ser eg bort frå. Eg kan fjerne absoluttverditeikna, fordi a er definert positiv. Eg undersøkjer om punktet er eit toppunkt med å setje inn verdiar mindre enn og større Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

19 enn for å sjekke at punktet er eit toppunkt. Vel 3 3 a a Maksimalt volum er såleis når a Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing

20 Biletliste Bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 matematikk S1 våren løysing