Eksamen S1 Va ren 2014 Løsning

Transkript

1 Eksamen S1 Va ren 014 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 3x 3 3 x x x x x x x x 6 0 ( 5) x 1 x 3 x b) x x lg lg x lg x lg x Må ha x 0 lg lg x x x x x x 1 x x 1 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 1

2 Oppgave ( poeng) Skriv så enkelt som mulig a b b b a a lg 3lg lg lga lgb 3lgb 3lga lgb lga 4lga 4lgb 6lgb 3lga lgb lga 3lgb Oppgave 3 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig a) a b a b a ab b a ab b a 4ab b a 4ab b 8ab b) a b a a b a 4 3 a b a a b a b a b 6 a b Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side

3 Oppgave 4 (4 poeng) En rasjonal funksjon f er gitt ved f x ax b x 1, D \ `1 f Grafen til f skjærer x aksen i x 3 og y aksen i y 6. a) Bestem a og b. f a0 b b b a3 6 3a 6 f a 6 0 a b) Tegn grafen til f. x 6 f x, Df \ 1 x 1 Grafen til funksjonen har loddrett asymptote for x 1. Funksjonen går mot når x går mot pluss eller minus uendelig. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 3

4 Oppgave 5 (6 poeng) Figuren til høyre viser et utsnitt av Pascals talltrekant. a) Bestem x og y. xy8 y35 8x y 8 x 8 x 35 8x 63 9x x 7 y Nedenfor ser du utregningen a b n for noen verdier av n. b) Bruk mønsteret ovenfor til å regne ut a b a b 1a 1 4 a b 4 6 a b 6 4 a b 4 1 ab 1b a 5a b 10a b 10a b 5ab b Et forsøk er satt sammen av tre uavhengige delforsøk. I hvert delforsøk ser vi om et utfall A inntreffer eller ikke. Sannsynlighetene er PA a og PA b. Forsøket kan illustreres i et valgtre. Se figuren Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 4

5 Vi lar Px k være sannsynligheten for at utfallet A inntreffer k ganger. c) Skriv av og fyll ut sannsynlighetsmodellen nedenfor. k P x k 3 a 3a b 3ab 3 b Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 5

6 Oppgave 6 (5 poeng) En bedrift produserer x enheter av en vare. Kostnadene K (i kroner) er gitt ved K x 0,1x 10x 0000 Inntektene I (i kroner) er gitt ved Ix p x Der p er salgsprisen per enhet for varen. a) Vis at overskuddet O er gitt ved O x 0,1x 10 p x 0000 O x I x K x p x x x 0, p x x x 0, ,1x 10 p x 0000 b) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom p 140? For 140 p er O x x x x x Jeg deriverer overskuddsfunksjonen 0, , ,x , Positivt O Negativt O x O x x x O Med en pris per enhet på 140 er overskuddet størst når det produseres 750 enheter. c) For en bestemt salgspris p er overskuddet størst når bedriften produserer og selger 000 enheter. Hva er denne salgsprisen p? 0, , 10 O x x p x O x x p O , p 0 p En salgspris på 390 gir størst overskudd. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 6

7 Oppgave 7 ( poeng) En funksjon f er gitt ved f x x x, Df Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at fx x. lim x0 x0 y f x x f x fx lim lim x0x x0 x x x x x x x x x x x x x x x lim x0 x x x x x lim x0 x lim x x x x x lim x x x x 0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 7

8 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (4 poeng) En arkitekt skal tegne et hus med total yttervegg på 10 m. Ytterveggen består av isolert veggflate og vindu. Tabellen nedenfor viser varmetapet per time gjennom isolert veggflate og gjennom vindu under visse betingelser. a) Bestem det totale varmetapet per time gjennom ytterveggen dersom 0 m er vindu. Jeg bruker CAS i GeoGebra Det totale varmetapet per time blir 1,86 kwh Det totale varmetapet gjennom ytterveggen per time skal være,0 kwh b) Sett opp et likningssystem som kan brukes til å bestemme hvor mange kvadratmeter veggflate og hvor mange kvadratmeter vindu ytterveggen må ha. 0,009 x 0,048 y,0 xy10 Løs likningssystemet. Jeg bruker CAS i GeoGebra Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 8

9 Ytterveggen har 96,4 m veggflate og 3,6 m vindu. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 9

10 Oppgave (5 poeng) Funksjonen f gitt ved 4 f x x 8x 16, Df a) Bestem skjæringspunktet mellom grafen til f og y aksen. Grafen skjærer y aksen når x 0 4 f b) Løs likningen fx 0 Jeg definerer likningen og løser den i CAS i GeoGebra c) Bruk f x til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f. Jeg finner hvor den deriverte er null, positiv og negativ og funksjonsverdiene til topp- og bunnpunkter. Grafen til f stiger når den deriverte er positiv og synker når den deriverte er negativ. Dette viser at grafen til f har et bunnpunkt for x og x, og toppunkt for x 0. Bunnpunkter:,0 og,0 Toppunkt: 0,0 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 10

11 Oppgave 3 (6 poeng) En bonde skal gjerde inn et rektangelformet område med areal 65 m. Hun skal bruke en 15 m lang steinmur som en del av det inngjerdede området. Til resten av området skal hun bruke et gjerde med lengde G. Området er skissert på figuren nedenfor. På skissen er sidene i rektangelet kalt x og y. a) Vis at lengden G av gjerdet kan skrives som 150 G x x 15, x 15 x 65 x y 65 y x Gx x y x 15 x x 15 x 15 x x b) Tegn grafen til G c) Hva er det korteste gjerdet bonden kan bruke? Hva slags rektangel får vi da? Jeg brukte kommandoen «Ekstremalpunkt[<funksjon>,<start>,<slutt>]» og fant at det korteste gjerdet er på 85 meter. Da er x 5 og 65 y 5. Rektangelet er da et kvadrat. 5 Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 11

12 Oppgave 4 (5 poeng) Sommeren 013 viste en undersøkelse at 3 av 4 som har tatt lærerutdanning arbeidet som lærer. I en ny undersøkelse blir 0 personer som har tatt lærerutdanning kontaktet a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 15 av disse arbeider som lærer. Dette er en binomisk situasjon med p 0,75, som er sannsynligheten for at en tilfeldig lærer arbeider som lærer. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, og lar X være antallet av de 0 som kontaktes som arbeider som lærer. Jeg beregner sannsynligheten for at X 15. Sannsynligheten for at akkurat 15 arbeider som lærer er 0, %. b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 arbeider som lærer. Jeg beregner sannsynligheten for at X 15 Sannsynligheten for at flere enn 15 arbeider som lærer er 41,5 %. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 1

13 Det blir bestemt at flere personer med lærerutdanning skal kontaktes. c) Hvor mange personer må delta i undersøkelsen for at sannsynligheten skal være større enn 95 % for at minst 5 av dem arbeider som lærer. Jeg prøver meg fram med økende verdier av n inntil den aktuelle sannsynligheten overstiger 95%. Det må delta minst 39 personer i undersøkelsen. Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 13

14 Oppgave 5 (5 poeng) En bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag. Fortjenesten F per enhet (målt i kroner) er gitt ved F x 0,01x 0,3x 10 a) Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet skal bli størst mulig? Jeg tegner grafen F i GeoGebra og finner toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt» Bedriften må produsere 15 enheter. b) Forklar at overskuddet O til bedriften per dag er gitt ved O x x F x Samlet overskudd for bedriften må være lik fortjenesten(overskuddet) per enhet multiplisert med antall enheter som produseres og selges. c) Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig. Hvor stort er overskuddet da? Jeg tegner grafen F i GeoGebra og finner toppunkt med kommandoen «Ekstremalpunkt» Overskuddet er størst når det produseres 74 enheter. Overskuddet er da kroner Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 14

15 Oppgave 6 (6 poeng) Kari har startet en liten bedrift. Hun lager saft og syltetøy. For å lage 1 kg saft trenger hun 0,35 kg bringebær og 0,15 kg jordbær For å lage 1 kg syltetøy trenger hun 0,0 kg bringebær og 0,40 kg jordbær Hun klarer å lage inntil 900 kg saft og syltetøy til sammen per uke En uke har hun tilgang på 50 kg bringebær og 300 kg jordbær. La x være antall kilogram saft og y antall kilogram syltetøy hun lager denne uken. a) Sett opp ulikhetene som må være oppfylt i produksjonen xy900 0,35x0,0y50 0,15x0,40y300 x0 y0 Første ulikhet viser begrensninger i antall kg hun kan lage til sammen. Andre ulikhet viser begrensninger av bringebær. Tredje ulikhet viser begrensninger av jordbær. Fjerde linje viser at det ikke kan produseres et negativt antall kg med saft eller syltetøy b) Marker området som er avgrenset av ulikhetene du fant i oppgave a) Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 15

16 Fortjenesten er 8 kroner per kilogram for saft og 1 kroner per kilogram for syltetøy. c) Hvilken produksjonsmengde gir størst fortjeneste, og hva er fortjenesten da? Jeg setter fortjenesten i som en glider i GeoGebra. Så setter jeg i 8x 1y Jeg endrer glideren og ser grafisk at når grafen som viser fortjenesten skal skjære det skraverte området, så blir fortjenesten størst når x 40 kg og y 660 kg Fortjenesten er da lik kr Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 16

17 Oppgave 7 (5 poeng) Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på x lg x n x n n x, x 0, n 0 n a) Vis at denne likningen kan omformes til lg x x x lg lg n n n x n n lg x lg x n x x x n n n n lg x x x x lg lg n n b) Vis at likningen videre kan skrives n n n n x n x n lg lg lg 0 lg x x x lg lg n n x x lg xlg nlg 0 n n lg x lg x lgn n lg x lgn 0 lg x lg x lg x lgn nlg x nlgn 0 n x n x n lg lg lg 0 lg x lg x lg x lgn nlg x nlgn 0 c) Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme x uttrykt ved n. Et produkt er lik null når en av faktorene er lik null. x n x n lg lg lg 0 lg x n 0 lg x lgn 0 lg x n lg x lgn x 10 n x n Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 17

18 Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Olav Kristensen, ndla-matematikk Eksamen REA306 Matematikk S1, Våren 014 Side 18