Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 2013

Transkript

1 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 7, ,5 4, , ( 4) 8 9, Oppgåve (4 poeng) Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet. Éi av dei blå og tre av dei svarte buksene passar ikkje lenger. a) Teikn av tabellen nedanfor, og fyll inn tal i dei kvite rutene. Blå bukser Svarte bukser Sum Bukser som passar Bukser som ikkje passar Sum Siv tek tilfeldig éi bukse frå skapet. b) Bestem sannsynet for at buksa passar. Vi ser av tabellen at ho har 6 bukser som passar, av ti totalt. 6 0,6 10

2 Sannsynet for at buksa passar er 0,6 Siv har teke ei bukse som passar. c) Bestem sannsynet for at denne buksa er blå. Vi ser av tabellen at av dei 6 buksene som passar er blå. 0,5 6 Sannsynet for at denne buksa er blå er 0,5 Oppgåve ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg x 18 ( x 9) x (x ) x x 6x 9 x 6x 9 ( x ) x Oppgåve 4 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg ( ) Oppgåve 5 ( poeng) Løys likninga

3 lg x 8 5lgx 1 lg x 5lg x 1 8 lg x 9 9 lg x lg x x 10 1 x 10 1 x 1000 Oppgåve 6 ( poeng) Ei rett linje går gjennom punkta (1, ) og (, 5). Bestem likninga for linja. Finn først stigningstalet: y 5 a x 1 Brukar så eittpunktsformelen: y y a( x x ) 1 1 y ( x 1) y x y x 4 y x 1 y x Likninga for linja er y x 1 Oppgåve 7 ( poeng) Løys likningssystemet x y x y 4 Brukar innsetjingsmetoden:

4 Likning 1 gjev oss: y x Set dette inn i likning, og får: x ( x ) 4 x x 4x 4 4 x 4x 0 x(4 x) 0 x 0 eller x 4 Set så desse verdiane inn i likning 1, og får: x 0 gir oss y 0 x 4 gir oss y 4 6 Likningssystemet har løysningane x 0 og y x 4 og y 6 Oppgåve 8 (6 poeng) Funksjonen f er gjeve ved f( x) x x, D f a) Bestem koordinatane til eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) på grafen til f ved rekning. Finn først den deriverte f (x) x 6x Finn så ekstremalpunkta ved å setje f (x) 0 x 6x 0 xx ( ) 0 x 0 x f (x) 0 f (0) f () Grafen til f har toppunkt i (0,0) og botnpunkt i (, -4) b) Forklar at f( x) x (x ), og bruk dette til å bestemme nullpunkta til f. Begge ledda i funksjonen f(x) x x inneheld ein parentes rundt uttrykket og trekkje x, ettersom (x) f x x x. Vi kan setje x utanfor parentesen, slik at vi får f x x (x) ( )

5 f (x) x ( x ) er lik 0 når x 0 og når x 0 x 0 når x 0 x 0 når x f har nullpunkt i (0,0) og (,0) c) Lag ei skisse av grafen til f. Oppgåve 9 (1 poeng) Gjeve ABC der Bestem cosc. B 90 og sina 7 Eg lagar først ei skisse av trekanten: SinA vil seie at tilhøvet mellom motståande side (BC) og hypotenus (AC) er lik 7 7.

6 Cos C er lik tilhøvet mellom hjåliggjande side og hypotenus, sett frå vinkel B, men det blir også sidene BC og AC. Tilhøvet blir difor det same som for Sin A: CosC 7 Oppgåve 10 ( poeng) Ein firkant har form som vist på figuren ovanfor. Vis at omkretsen av firkanten er 1 17 Vi manglar lengda av den kortaste sida. Eg kallar denne for k. Om vi trekk høgda også på den andre sida av trapeset, får vi to trekantar: Eg brukar Pytagorassetninga på trekanten til høgre, for å finne lengda av den kortaste kateten: x x x x x x 9 Eg finn så den kortaste kateten i trekanten til venstre: Til slutt brukar eg Pytagorassetninga for å finne den ukjende lengda, k, i trekanten til venstre:

7 k k k k Den ukjende sida har lengd 17. Omkrinsen av heile figuren blir då: O Oppgåve 1 (8 poeng) Funksjonen f gjeve ved f( x) x 48x 16x 00 viser kor mange tonn fisk fx ( ) det var i ein fiskebestand x år etter år 000. a) Teikn grafen til f for x 0,10 Teiknar grafen i GeoGebra:

8 b) Bestem grafisk når fiskebestanden var minst. Kor mange tonn fisk var det i fiskebestanden då? Finn botnpunktet i GeoGebra ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)]: Fiskebestanden var minst ca. halvvegs ut i 008. Han var då på 51, tonn c) Finn svara i oppgåve b) ved rekning. Først deriverer eg funksjonen:

9 f (x) x 48x 16x 00 f ( x) x 48x 16 0 f ( x) 9x 96x 16 Så set eg f ( x ) 0, og løyser denne likninga i GeoGebra: Eg får to x-verdiar, og reknar ut tilhøyrande y-verdiar ved hjelp av GeoGebra: Botnpunktet er den lågaste y-verdien, så vi ser her at vi får same svaret som i b). Fiskebestanden var minst ca. halvvegs ut i 008, og var då på 51, tonn d) Rekn ut f (5). Bestem den momentane vekstfarten når x 5. Kva fortel desse to svara om fiskebestanden? Eg reknar ut f(5) i GeoGebra: Den momentane vekstfarta finn eg ved å rekne ut f (5) i GeoGebra:

10 f(5) = 85 fortel oss at fiskebestanden var på 85 tonn i 005 f (5) = -9 fortel oss at fiskebestanden i 005 minka med ei fart på 9 tonn i år Oppgåve (4 poeng) I ein dam er det L vatn. Vassmengda minkar med 8 % kvart døgn. a) Kor mykje vatn vil det vere igjen i dammen etter eitt døgn? Kor mykje vatn vil det vere igjen i dammen etter ti døgn? Når vassmengda minkar med 8 % i døgnet får vi ein vekstfaktor på 0,9. Vi kan såleis setje opp følgjande funksjonsuttrykk: V (t) ,9 t t er tid (i døgn) og V er volum (i liter) Eg reknar så ut V (1) og V (10) : 1 V(1) , V (10) , Etter eitt døgn er det liter igjen i dammen Etter ti døgn er det 8688 liter igjen i dammen b) Kor mange døgn vil det gå før det er 5000 L vann igjen i dammen? Eg set V (t) 5000, og løyser likninga i GeoGebra: Det vil gå litt over 16 og eit halvt døgn før det er 5000 liter vatn igjen i dammen Oppgåve (6 poeng) Ei undersøking har vist at 0 % av alle syklistane i ein by syklar utan lys i mørket. Vi vel tilfeldige ti syklistar frå denne byen.

11 a) Bestem sannsynet for at minst éin av dei ti syklar utan lys i mørket. P(minst éin utan lys) = 1 P(alle med lys) P(minst éin utan lys) = 1 0,80 10 P(minst éin utan lys) = 0,89 Sannsynet for at minst éin syklar utan lys i mørket er 0,89 b) Bestem sannsynet for at berre den første, den fjerde og den tiande syklisten vi vel, syklar utan lys i mørket. 7 P(første, fjerde og tiande utan lys) 0, 0,8 0,0017 Sannsynet for at berre desse tre syklar utan lys er 0,0017 c) Bestem sannsynet for at nøyaktig tre av dei ti syklar utan lys i mørket. Binomisk sannsyn (ikkje lenger i læreplanen i 1T) Oppgåve 4 ( poeng) Per, Pål og Espen har til saman 198 myntar. Per har seks gonger så mange myntar som Pål og tre gonger så mange myntar som Espen. Kor mange myntar har kvar av dei tre gutane? Eg let x vere talet på myntar Pål har. Då har Per 6x og Pål må ha x myntar. Det gjev følgjande likning: x 6x x 198 9x 198 x x Pål: myntar Per: 6 1 myntar Espen: 44 myntar Pål har myntar, Per har 1 myntar og Espen har 44 myntar

12 Oppgåve 5 ( poeng) Vis at det finst to ulike trekantar som tilfredsstiller dei tre krava nedanfor. Ei side i trekanten skal vere 5,0 cm Ei side i trekanten skal vere 8,0 cm Arealet av trekanten skal vere 17,5 cm Eg brukar arealsetninga: 1 A 5,0 8,0 sin v 1 5,0 8,0 sin v 17,5 Eg løyser så denne likninga i GeoGebra: I tillegg til denne løysninga, er også ,6 = 118,4 ei løysning, ettersom sin( v) sin(180 v ) Både trekanten som har vinkelen 61,6 mellom sidene, og trekanten som har vinkelen 118,4 stettar krava Oppgåve 6 (6 poeng)

13 Eit område ABCDE har form som vist på figuren ovanfor. a) Bestem arealet av ABE ved rekning. ABE er likebeint, så BE AE 6,0m E Brukar arealsetninga: 1 A 6,0 6,0 sin0 9 Arealet av ABE er 9,0m b) Bestem lengda CE ved rekning. Brukar cosinussetninga: CE 9 9 cos(85, ) Reknar ut i GeoGebra:

14 Eg får to løysningar, men lengda kan ikkje vere negativ. Lengda CE er lik 9,m c) Bestem lengda BC ved rekning. Brukar cosinussetninga: CE BC BE BC BE cos( B) 9,5 x 6,0 x 6,0 cos(8, ) Reknar ut i GeoGebra: Eg får to løysningar, men lengda kan ikkje vere negativ. Lengda BC er lik 7,8m

15 Oppgåve 7 (8 poeng) har radius r. Høgda i kjegla er Sjå skissa ovanfor.. Set r a) Kor høg er kjegla? Eg brukar Pytagorassetninga: R r y y y y y h y, der y er avstanden frå S til grunnflata i kjegla. h y h 5 h 5,4 Høgda i kjegla er 5,4

16 1 Volumet av ei kjegle er gjeve ved V r h b) Bestem volumet av kjegla ved rekning. 1 V r h 1 V ( 5) Brukar GeoGebra: Volumet av kjegla er 1,9 Set no r x c) Vis at volumet av kjegla då er gjeve ved 1 f( x) x ( 9 x ) Eg brukar først Pytagorassetninga på trekanten: R r y x y y y x 9 x Så finn eg høgda av kjegla uttrykt ved x: h y h 9 x Til slutt finn eg eit uttrykk for volumet av kjegla:

17 1 V r h 1 V x ( 9 x ) 1 f(x) x ( 9 x ) d) Kor stor må radiusen og høgda i den innskrivne kjegla vere for at volumet av kjegla skal bli størst mogleg? Kor stort blir volumet? Eg teiknar grafen til f(x) i GeoGebra, og finn så toppunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunk[f(x),0,]. Eg vel startverdi 0 og sluttverdi ettersom eg ser av grafen at toppunktet ligg i dette intervallet: Toppunktet har koordinatane (.8,.51). Det vil seie at: r x,8 h 9 x h 9.8 h 4 V,51 Radien må vere,8 og høgda må vere 4. Volumet blir då,5

18 Billeteliste Fisk: t/nb-no (1.1.01) Teikningar, grafar og figurer: Utdanningsdirektoratet