Eksamen 2P MAT1015 Hausten 2012 Løysing

Transkript

1 Eksamen P MAT1015 Hausten 01 Del 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (4 poeng) Alle som går tur til Pollfjell, skriv namnet sitt i boka som ligg i postkassen på toppen av fjellet. Nedanfor ser du kor mange som har skrive seg inn i boka kvar veke dei 1 siste vekene. Bestem gjennomsnittet, medianen, typetalet og variasjonsbreidda for dette datamaterialet. Gjennomsnitt blir: Vi finn medianen ved å sortere talet på turdeltakarar per dag i stigande rekkjefølgje. Medianen er då den midtarste verdien. For å finne den midtarste verdien i dette talmaterialet må vi finne gjennomsnittet av verdien på plass nummer 6 og Medianen blir dermed Typetalet er det talet som førekjem flest gonger. Vi ser at 1-talet førekjem 3 gonger. Typetalet er dermed1 Variasjonsbreidda er skilnaden mellom den største og den minste verdien i talmaterialet. Variasjonsbreidda er dermed Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 1 av 15

2 Oppgåve ( poeng) Vi reknar at venardien av ein bil har minka med 15 % per år sidan han var ny. I dag er bilen verdt kroner. Set opp eit uttrykk som du kan bruke for å rekne ut a) kor mye bilen vil vere verdt om seks år 15 Vi finn først vekstfaktoren. Vekstfaktoren er 1 0, Verdien av bilen om 6 år kan då finnast slik: kr 0,85. b) kor mye bilen var verdt for seks år sidan Verdien av bilen for 6 år sidan kan då finnast slik: kr 0,85 6 Oppgåve 3 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 0, ,010 1,510 4,510 4, Oppgåve 4 (1 poeng) Skriv så enkelt som mogleg a 3 5 a 3 a a 0 a a a a Oppgåve 5 (1 poeng) a 653 Rekn ut og skriv svaret som eit heilt tal 3 0 a) b) Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side av 15

3 Oppgåve 6 (4 poeng) Talsystemet vi vanlegvis bruker, er eit plassverdisystem med grunntal 10. Det finst også plassverdisystem med andre grunntal. Teikn av tabellen nedanfor i svaret ditt, gjer utrekningar, og fyll inn det som manglar. Plassverdisystem med grunntal Plassverdisystem med grunntal Plassverdisystem med grunntal Oppgåve 7 (3 poeng) Tabellen nedanfor viser kor mye pengar kvar av dei 10 elevane i ei P-gruppe bruker i kantina i løpet av ei veke. Gjer utrekningar og avgjer om gjennomsnittet er større enn medianen for dette datamaterialet. For å finne gjennomsnittet multipliserer vi talet på elevar i kvar klasse med klassemidtpunktet og deler på talet på elevar Gjennomsnitt: I gjennomsnitt bruker kvar elev 105 kroner i kantina i løpet av ei veke. Det er 10 elevar i klassen. Det tyder at vi finn medianen (midtpunktet) midt mellom elev 5 og 6. Vi ser av tabellen at medianplassen ligg i klassen 50, 100. Det tyder at medianen er 75. Gjennomsnittet er større enn medianen. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 3 av 15

4 Oppgåve 8 ( poeng) Eit fallskjermhopp kan delast inn i fire fasar. I kvar fase ser vi på farten fallskjermhopparen har loddrett nedover. Fase 1: Fallskjermhopparen forlèt flyet. Etter tre sekund er farten 5 m/s og etter åtte sekund har fallskjermhopparen nådd den maksimale farten, som er 50 m/s. Fase : Fallskjermhopparen fell med maksimal fart i fire sekund. Fase 3: Fallskjermen blir løyst ut, og i løpet av eitt sekund minkar farten til 5 m/s. Fase 4: Fallskjermhopparen held fram med konstant fart 5 m/s i åtte sekund før han når bakken. Lag ei grafisk framstilling som viser korleis farten til fallskjermhopparen varierer med tida i løpet av hoppet. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 4 av 15

5 Oppgåve 9 (6 poeng) Siri lagar figurar av runde perler. Figurane ovanfor har ho kalla f1, f, f 3. a) Følg same mønster, og teikn figuren f. 4 Kor mange perler vil det vere i figuren f og i figuren f? 5 6 Vi tel først opp talet på perler i dei fire figurane vi har. Vi ser at talet på perler aukar med 5. I tabellen nedfor har vi skrive opp talet på perler i figuren f5 og f 6 Figur Tal perler Endring f 6 1 f 11 5 f f f f b) Set opp ein modell som viser talet på perler i figuren f n, uttrykt ved n. Bruk modellen til å bestemme kor mange perler Siri treng for å lage figuren f 36. Frå tabellen ovanfor veit vi at det aukar med 5 perler for kvar ny figur. Første figur har 6 perler. Vi kan finne talet på perler i f slik, f 511, i figur f slik, f 51 osb. 1 1 Ein modell for f n kan då skrives slik f n n n Talet på perler Siri treng for å lage figuren f 36 blir f c) Kva er den største figuren f n Siri kan lage dersom ho har 1000 perler? Vi set opp likninga 5n Vi ser her at dersom n 00, blir det 1001 perler. Det tyder at den største figuren Siri kan lage er f. 199 Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 5 av 15

6 Del Med hjelpemiddel Oppgåve 1 (5 poeng) Camilla vil kjøpe ei korg med eple. Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom kor mange kilogram eple ho fyller i korga, og kva ho må betale for korga med epla. a) Kor mye kostar sjølve korga, og kva er kiloprisen for epla? Vi ser ut frå tabellen at prisen aukar med 80 kroner frå 3 kilo til 7 kilo, dvs. 0 kr per kilo. Vidare ser vi prisen aukar med 60 kroner frå 7 kilo til 10 kilo, altså 0 kroner per kilo. Det tyder at 3 kilo eple kostar 60 kroner. Ei korg med 3 kilo eple kostar 10 kroner. Det tyder at korga kostar 150 kroner. b) Bestem den lineære modellen som viser samanhengen mellom talet på kilogram eple og prisen for korga med epla. Frå oppgåve a) har vi at korga kostar 150 kroner. Kiloprisen for epla er 0 kroner. Lar x vere talet på kilo eple og Kx prisen for korga med eple Ein lineær modell kan då skrivast: K x 0x 150 Camilla betaler 30 kroner for korga med epla. c) Kor mange kilogram eple har ho fylt i korga? Vi vel å bruke modellen vi fann i b). Prisen for korga Vel å løyse likninga ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Kx er 30 kroner. Vi finn at Camilla har fylt korga med 8,5 kilogram eple. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 6 av 15

7 Oppgåve (5 poeng) Dei gamle babylonarane brukte eit plassverdisystem med 60 som grunntal. a) Skriv talet i titalsystemet Eit pytagoreisk taltrippel er tre heile tal som oppfyller Pytagoras læresetning. Til dømes er dei tre tala 3, 4 og 5 eit pytagoreisk taltrippel, sidan b) Bestem a slik at a, 11 og 113 blir eit pytagoreisk taltrippel, og skriv dei tre tala i det babylonske talsystemet. Vi vel å løyse likninga a i CAS-verktøyet i GeoGebra. Det er berre den positive løysinga som er aktuell i dette tilfellet. Det tyder at tala 15, 11 og 113 er eit pytagoreisk taltrippel. Nedanfor er tala skrivne i det babylonske talsystemet: 15 = < I I I I I 11 = I < < < < < I I 113 = I < < < < < I I I Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 7 av 15

8 Oppgåve 3 (6 poeng) Ovanfor ser du verdsstatistikken frå 010 for øvinga lengdehopp for menn. a) Lag eit sektordiagram som viser korleis dei 0 utøvarane fordeler seg mellom dei ulike verdsdelane. Vi finn at det er 9 utøvarar frå Europa, 3 utøvarar frå Nord-Amerika, utøvarar frå Oceania, 4 utøvarar frå Sør-Amerika og frå Afrika. Vi legg inn talet på utøvarar frå dei ulike verdsdelane i reknearket Excel. Vel Sett inn og sektordiagram i menyen øvst i reknearket. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 8 av 15

9 b) Finn gjennomsnittslengda og standardavviket for resultata til dei 0 utøvarane. Vi vel å lage ei liste med resultata i GeoGebra. Gjennomsnittet finn vi ved å bruke kommandoen Gjennomsnitt[Liste med data] Vi finn at gjennomsnittslengda er 8,8 meter Standardavviket finn vi ved å bruke kommandoen Standardavvik[Liste med rådata] Vi finn at standardavvik er 0,085 meter Sondre har funne resultata for utøvarane som står som nummer 1 40 på verdsstatistikken. Standardavviket for resultata til desse 0 utøvarane er tilnærma lik 0,058. c) Kva fortel dette om resultata til utøvarane som står som nummer 1 40, i forhold til resultata til dei 0 beste utøvarane? Standardavviket er eit mål for spreiinga i datamaterialet. Vi ser at standardavviket er langt mindre for utøvarane som står som nummer 1 40 samanlikna med dei første 0 utøvarane på verdsstatistikken. Det tyder at det skil mindre mellom resultata til utøvarane som står som nummer 1 40 enn dei 0 første. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 9 av 15

10 Oppgåve 4 (6 poeng) Tabellen ovanfor viser kor mange landskampar Jan Åge Fjørtoft spela, og kor mange mål han skåra per år i perioden a) Kor mange mål skåra Fjørtoft i gjennomsnitt per kamp i denne perioden? Vi legg saman talet på mål Fjørtoft har skåra i denne perioden og dividerer det på talet på kampar i perioden, sjå nedanfor. Gjennomsnitt talet på mål per kamp blir: , I kva for eit år skåra han flest mål per kamp? Vi studerer tabellen ovanfor og finn at han skåra flest mål per kamp i b) Teikn av tabellen nedanfor i svaret ditt, og fyll inn tala som manglar. Kva er den kumulative frekvensen for to mål per år, og kva fortel dette svaret? Tal mål per år Frekvens Kumulativ frekvens Den kumulative frekvensen for to mål per år er 7. Det tyder at Fjørtoft i 7 av desse åra skåra mål eller færre. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 10 av 15

11 Oppgåve 5 (6 poeng) Tabellen ovanfor viser talet på kilogram pølser som vart selt i ein butikk nokre månader i 011. a) Framstill datamaterialet i tabellen ovanfor som punkt i eit koordinatsystem der x -aksen viser månad og y -aksen viser talet på kilogram pølser. (La x 1 svare til januar, x til februar, x 3 til mars, osb.) Vi vel å bruke GeoGebra. Legg inn punkta i eit koordinatsystem, sjå nedanfor. 3 b) Bruk regresjon til å bestemme ein modell på forma f x ax bx cx d som kan brukast for å beskrive talet på kilogram pølser som vart selt per månad i løpet av dette året. Teikn grafen av f i same koordinatsystem som du brukte i a). Vi bruker kommandoen RegPoly[Liste med punkt, Polynomgrad] i GeoGebra, sjå graf i a). Polynomregresjon av 3. grad gir 3 f x 1,00x 10,41x 0,91x 14,65 Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 11 av 15

12 Butikken reknar med at pølsesalet vil vere 0 % høgare kvar månad i 01 samanlikna med tilsvarande månad i 011. c) I kva for månader i 01 vil butikken då selje meir enn 300 kg pølser per månad dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)? Vi teiknar grafen av 1, f x, sjå stipla graf i oppgåve a). Teiknar så grafen av linja y 300 og finn skjeringspunkta mellom desse grafane ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt i GeoGebra. Les av grafen at butikken vil selje meir enn 300 kg pølser frå slutten av april til byrjinga av oktober, sjå oppgåve a) Oppgåve 6 (4 poeng) Guri set eit pengebeløp i banken. Grafen ovanfor viser korleis beløpet veks dei 15 første åra. Vi reknar med at renta er den same kvart år. a) Set opp eit matematisk uttrykk som kan vere ein modell for kor mye pengar Guri har i banken etter x år. Vi ser at grafen byrjar på Det tyder at beløpet Guri set i banken er kroner. Rentefoten er den same kvart år. Det tyder at vi har eksponentiell vekst. Legg inn utvalde verdiar for dei første 15 åra i ei liste i GeoGebra og bruker kommandoen RegEksp[Liste med punkt] for å finne eit matematisk uttrykk. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 1 av 15

13 Vi finn at fx ,05 x er ein god modell for kor mye pengar Guri har i banken etter x år. Vi kan lese ut av funksjonsuttrykket at rentefoten er 5 %. b) Kor mye pengar vil Guri ha i banken etter 0 år ifølgje modellen du sette opp i a)? Når vil beløpet ho har i banken, passere kroner etter modellen? Vi finn kor mye pengar Guri har i banken ved å bruke modellen vi fann i a). 0 f , Guri vil etter denne modellen ha kroner i banken etter 0 år. Vi kunne også valt å løyse dette grafisk ved å leggje inn ei linje x 0 i same koordinatsystem som grafen av f. Skjeringspunktet mellom desse to grafane ville då gitt oss beløpet etter 0 år. Vi finn når beløpet har passert kroner ved å teikne linja y i same koordinatsystem som grafen av f. Bruker kommandoen skjering mellom to objekt og finn at det tar 33 år før beløpet passerer kroner. Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 13 av 15

14 Oppgåve 7 (6 poeng) Ovanfor ser du ein pyramide av hermetikkboksar. Det talet på boksar vi treng for å bygge pyramidar på denne måten, kallar vi pyramidetal. Det første pyramidetalet er P er P Då er det éin boks i pyramiden. Det neste pyramidetalet. Då har pyramiden fire boksar i det nedste laget og éin på toppen. a) Forklar at pyramidetal nummer n er gitt ved summen 1 3 n og bruk dette til å finne dei tre pyramidetala, P3, P4 og P 5. For kvart nytt lag får vi eit nytt kvadrat som aukar med 1 boks i lengd og breidd. P P P Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 14 av 15

15 I ei lærebok står det ein formel for pyramidetal. Etter denne formelen er pyramidetal nummer n gitt ved n n P n 1n 1 b) Vis at formelen i læreboka er rett for P 6. Vi set n 6 inn i begge formlane. P P Vi ser at formlane frå læreboka i alle fall stemmer for n 6. Bjarni har 1000 boksar. Han vil lage ein pyramide. c) Kor mange boksar må han byrje med i det nedste laget dersom han skal bruke så mange som mogleg av boksene i pyramiden? Kor mange boksar har han til overs når han er ferdig med pyramiden? Vi vel å setje opp likninga P n Løyser likninga ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Vi ser av løysinga at det største heiltalet er 13. Det tyder at Bjarni kan ha 13 boksar i det nedste laget. Det største talet på boksar han kan ha i nedste rad er Vi finn kor mange boksar Bjarni bruker i alt når han har 169 boksar i det nedste laget. P Talet på boksar Bjarni har til overs blir Eksamen MAT1015 Matematikk P Hausten 01 Side 15 av 15