Eksamen MAT1005 matematikk 2P-Y va ren 2015

Transkript

1 Eksamen MAT1005 matematikk P-Y va ren 015 Oppgåve 1 ( poeng) Dag Temperatur Måndag 4 C Tysdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Laurdag Tabellen over viser korleis temperaturen har variert i løpet av nokre dagar. Kva må temperaturen vere på laurdag om medianen av målingane skal bli 7 C? Medianen er det mellomste talet når tala er plasserte i stigande rekkefølgje. Om det er to tal i midten, er medianen gjennomsnittet av desse to tala. 4 C 5 C 6 C x C 10 C 1 C x må vere 8 C, ettersom Om medianen skal bli 7 C, må temperaturen på laurdag vere 8 C Oppgåve (1 poeng) Ei vare kostar i dag 40 kroner. Prisen er då sett ned med 0 %. Kor mykje kosta vara før prisen vart sett ned? Vekstfaktoren er 0,8. x 0, x 300 0,8 8 Vara kosta 300 kroner før prisen vart sett ned. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

2 Oppgåve 3 (1 poeng) Rekn ut (6 a) b 36a b 36 9ab 9ab 9 1 ( ) 4 a b 4a b Oppgåve 4 (5 poeng) Tenk deg at du har ti bananar i skapet. Fem av dei er gule, tre er grøne, og to har blitt brune. Du tar tilfeldig to bananar. a) Bestem sannsynet for at du ikkje tar ein brun banan. Dette kan skje på fire måtar: gul og gul, grøn og grøn, gul og grøn eller grøn og gul. P(ikkje brun banan) b) Bestem sannsynet for at du tar éin gul og éin grøn banan. Dette kan skje på to måtar: gul og grøn eller grøn og gul P(éin gul og éin grøn banan) c) Bestem sannsynet for at du tar to bananar med same farge. Dette kan skje på tre måtar: gul og gul, grøn og grøn eller brun og brun. P(to bananar med same farge) Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

3 Oppgåve 5 (6 poeng) Alder Frekvens 0, , , ,70 40 Tabellen over viser aldersfordelinga for lærarane ved ein skole. a) Bestem gjennomsnittsalderen for lærarane ved skolen. Gjennomsnittsalderen er summen av klassemidtpunkt multiplisert med frekvens, og dividert på det totale talet på lærarar: Gjennomsnittsalderen for lærarane ved skolen er 47 år. b) Lag eit histogram som viser aldersfordelinga for lærarane. Eg finn først histogramhøgdene ved å dividere frekvens på klassebreidde: Histogram: Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

4 c) Utvid tabellen med ei kolonne som viser relativ frekvens, og ei kolonne som viser kumulativ frekvens. Alder Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens 0, , ,40 0 0, 30 40, , , ,4 100 Sum Oppgåve 6 (6 poeng) Karl står på balkongen og kastar ein ball opp i lufta. Etter t sekund er ballen tilnærma h(t) meter over bakken, der h( t) 5t 10t 15 a) Fyll ut tabellen under t 0 0,5 1 1,5,5 3 ht () 15 18, , ,75 0 Utrekningar: h(0) h(0,5) 5 0,5 10 0,5 15 1, ,75 h(1) h(1,5) 5 1,5 10 1, , ,75 h() h(,5) 5,5 10, , ,75 h(3) Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

5 b) Teikn grafen til h. c) Gi ei praktisk tolking av verdiane av h(0) og h(3). h(0) = 15 fortel oss at steinen var 15 meter over bakken då han vart kasta. h(3) = 0 fortel oss at steinen treff bakken etter tre sekund. Oppgåve 7 (3 poeng) Sigurd er 30 km frå heimen sin. Han syklar heimover med ein konstant fart på 1 km/h. Lag ei grafisk framstilling som viser samanhengen mellom talet på timar og talet på kilometer han er heimafrå. Kor lang tid tar det før han kjem heim? Eg plottar dei to punkta (0, 30) og (1, 18) i eit koordinatsystem, og teiknar ein stråle gjennom desse to punkta og ned på x-aksen. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

6 Det tar to og ein halv time før Sigurd er heime. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

7 Oppgåve 1 ( poeng) Tabellen nedanfor viser kor mykje frukt ein daglegvarebutikk har seld i ein periode. Frukt Kilogram (kg) Banan 10 Sitrusfrukt 17 Eple 15 Drue 7 Melon 66 Pære 56 Anna 0 Bruk rekneark til å lage eit sektordiagram som illustrerer opplysningane som er gitte i tabellen over. Det skal gå klart fram av diagrammet kor mange prosent kvar fruktsort utgjer av det totale salet. Eg skriv tabellen i Excel, markerer han og vel «sett inn sektordiagram». Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

8 Oppgåve (3 poeng) Tala nedanfor viser temperaturen målt i grader celsius klokka 16 den 30. juni dei siste 0 åra i by A a) Bruk rekneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for datamaterialet. Med formlar: Gjennomsnittstemperaturen er 0 C, og standardavviket er 1,7 C. Tilsvarande data er samla inn i by B. Gjennomsnittet her er 0,8 C, og standardavviket er 3,4 C. Nokon planlegg eit større utearrangement 30. juni neste år, og er avhengige av varmt vêr. Arrangementet skal vere anten i by A eller i by B. b) Kva råd vil du gje arrangørane ut frå dei oppgitte dataa? Gjennomsnittstemperaturen i by B er høgare enn i by A, men standardavviket er større i by B. Det betyr at det er meir variasjon i temperaturen frå dag til dag i by B enn i by A. På grunnlag av dette vil eg rå arrangørane å velje by A, ettersom dei der kan rekne med ein temperatur på 0 ± 1,7 C Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

9 Oppgåve 3 (3 poeng) Tabellen nedanfor viser talet på kvinnelege studentar i Noreg nokre utvalde år. År Talet på kvinnelege studentar La x = 0 svare til år 000, x = 1 til år 001, og så vidare. a) Bruk opplysningane i tabellen til å bestemme ein lineær modell som viser korleis talet på kvinnelege studentar har utvikla seg i denne perioden. Eg brukar CAS i GeoGebra: Den lineære modellen blir f( x) 148,86 x 5380,57 b) Kor stor har auken i talet på kvinnelege studentar vore i gjennomsnitt per år i denne perioden? Stigingstalet i modellen er 148,86. Den årlege auken i talet på kvinnelege studentar har i snitt vore på ca kvinner per år. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

10 Oppgåve 4 (4 poeng) Tenk deg at du har fått i oppgåve å teste eit nytt vitamintilskot. Du vel tilfeldig ut 80 personar. Alle 80 trur dei får vitamintablettar, men i røynda får berre 60 av personane vitamintablettar, medan resten får tablettar utan vitamin. Etterpå svarar 50 personar at de føler seg meir opplagde. Av desse 50 er det 4 som ikkje har fått vitamintablettar. a) Systematiser opplysningane over i eit venndiagram eller i ein krysstabell. Krysstabell: Har fått tablettar med vitamin Har fått tablettar utan vitamin Føler seg meir opplagd Føler seg ikkje meir opplagd Sum Sum Venndiagram: 80 Har fått vitamintablettar Føler seg meir opplagde 4 16 b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald person som har fått vitamintablettar, føler seg meir opplagd etterpå. P(meir opplagd har fått vitamintablettar) 46 76,7 % 60 Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

11 c) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald person som føler seg meir opplagd etterpå, har fått vitamintablettar. P(har fått vitamintablettar meir opplagd) 46 9 % 50 Oppgåve 5 (7 poeng) Over ser du tre figurar F 1, F og F 1. Tenk deg at du skal halde fram med å lage figurar etter same mønster. a) Kor mange linjestykke vil det vere i F 4? I F 1 er det 3 linjestykke. I F er det 9 linjestykke. I F 3 er det 18 linjestykke. I F 4 vil det vere 4 3 = 1 linjestykke meir enn i F 3. Det vil vere 30 linjestykke i F 4. b) Forklar korleis talet på linjestykke endrar seg frå figur til figur, og lag eit rekneark som gir ei oversikt over talet på linjestykke i dei 0 første figurane F 1, F,..., F 0 I F 4 vil det vere 4 3 = 1 linjestykke meir enn i F 3, i F 5 vil det vere 5 3 = 15 linjestykke meir enn i F 4, i F 6 vil det vere 6 3 = 18 linjestykke meir enn i F 5 osv. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

12 Rekneark: Med formlar: Talet på linjestykke i figur F n kan vi skrive som eit andregraduttrykk. c) Bruk regresjon til å bestemme dette andregraduttrykket. Eg legg inn tala i b) i eit rekneark i GeoGebra, markerer området og vel så kommandoen Lag liste med punkt. Lista får då namnet Liste1, og eg skriv så inn kommandoen RegPoly[Liste1, ] I CAS for å finne andregraduttrykket. Andregraduttrykket blir F(n) = 1,5n + 1,5n d) Bruk andregraduttrykket du fann i oppgåve c) til å bestemme kor mange linjestykke det vil vere i F 0 F (0) 1,5 0 1, Det vil vere 630 linjestykke i F 0. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

13 Oppgåve 6 (6 poeng) Du skal kjøpe ny sykkel, og du vil forsikre han. Om sykkelen blir stolen, må du betale 000 kroner i eigendel på forsikringa. Gå ut frå at sykkelen kostar P kroner som ny. Om sykkelen blir stolen før det har gått eitt år, vil du få utbetalt (P - 000) kroner i erstatning frå forsikringsselskapet. Erstatninga går ned med 10 % per år. a) Forklar at F( x) P 000 0,9 x er ein modell for kor mykje du får utbetalt om sykkelen blir stolen etter x år. Sykkelen går ned i verdi med 10 % kvart år. Vekstfaktoren blir 0,9. Om sykkelen blir stolen etter eitt år, må du betale (P 000) kroner multiplisert med 0,9. Om sykkelen blir stolen etter x tal år, må ein opphøge vekstfaktoren i x. Du vel å kjøpe ein sykkel som kostar kroner. b) Kor mykje får du utbetalt om sykkelen blir stolen etter 7 år? 7 ( ) 0,9 386,38 Om sykkelen blir stolen etter 7 år får du utbetalt 386 kroner. For å forsikre sykkelen, må du betale 150 kroner i forsikringspremie per år. Gå ut frå at sykkelen blir stolen etter x år. c) Sett opp ein modell som viser kor mykje du totalt sitt igjen med når du tar omsyn til det du har betalt i forsikringspremie i løpet av desse x åra. x ,9 150x Venen din, Ronny, meiner at du bør seie opp forsikringsavtalen etter 13 år. d) Ta utgangspunkt i modellen du fann i oppgåve c), og kommenter det Ronny seier. Ved å setje funksjonsuttrykket i c) lik 0, finn eg tidspunktet der det eg får utbetalt om sykkelen blir stolen, utgjer like mykje som det eg til saman har betalt inn i årleg forsikringspremie dei åra eg har hatt sykkelen. Eg reknar i CAS i GeoGebra: Etter 13,3 år har eg betalt like mykje i forsikringspremie som det eg kjem til å få igjen om sykkelen blir stolen. Det er nok dette Ronny tenkjer på, men eg vil jo framleis få igjen meir på forsikringa i dei påfølgjande åra enn det eg betaler i årleg forsikringspremie, om sykkelen skulle Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

14 bli stolen då. Ved å setje uttrykket ,9 x lik 150 kan eg finne ut kva tid det eg vil få igjen på forsikringa er lågare enn det eg betaler i årleg forsikringspremie. Eg reknar i CAS i GeoGebra: Etter 37 år bør eg uansett seie opp avtalen, fordi eg då får igjen mindre enn dei 150 kronene eg må betale i forsikringspremie, men akkurat kva tid det er lurast å seie han opp, er ikkje så lett å 13 svare på. Etter 13 år vil eg framleis få igjen 8000 kr 0,9 030 kr, som jo er monaleg meir enn dei 150 kronene eg betaler i forsikringspremie det året. Om sykkelen ikkje blir stolen ville eg venta nokre år til, til beløpet eg ville fått utbetalt hadde blitt så lågt at eg ikkje lenger følte at det var noko særleg poeng i å betale forsikring. Til dømes etter 5 år, når eg ikkje ville fått igjen meir 5 enn 8000 kr 0,9 570 kr. Oppgåve 7 (6 poeng) Funksjonen f gitt ved 3 f( x) 0, x 0,001x 0,05x 3,8 0 x 300 viser temperaturen f (x) grader celsius i sjøen ein stad på Sørlandet x dagar etter 31. desember 013. a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f. Eg teiknar grafen i GeoGebra: Bestem forskjellen mellom høgste og lågaste temperatur. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

15 Eg finn topp- og botnpunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[f]. 16,91 3,64 13,7 Forskjellen mellom høgste og lågaste temperatur er 13,3 C. b) Bestem f(100) og den momentane vekstfarten til f når x = 100. Kva fortel desse svara? Eg skriv inn koordinatane (100, f(100)) i innskrivingsfeltet og får dette punktet markert på grafen. Så brukar eg kommandoen Tangentar for å finne den momentane vekstfarten til f i dette punktet. Den momentane vekstfarten er stigingstalet til tangenten. f(100) = 8,5 og den momentane vekstfarten er 0,09. Dette vil seie at temperaturen 100 dagar etter 31. desember 013 er 8,5, og at temperaturen denne dagen aukar med ein fart på 0,09 C per dag. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

16 Oppgåve 8 (5 poeng) Tenk deg at du skal lage ein boks. Botnen og toppen av boksen skal vere sett saman av eit rektangel og to halvsirklar, og ha form som vist på figuren over. Sideflata skal stå vinkelrett på topp og botn. Sett breidda i rektanglet lik x cm, lengda lik y cm og høgda lik h cm. a) Forklar at volumet V av boksen er gitt ved x V x y h Vi kan dele boksen i to romfigurar: Éin sylinder og eitt rett firkanta prisme. Sylinderen har ein radius på x cm og ei høgde på h cm. Volumet blir då x V sylinder h Prismet er x cm breitt, y cm langt og h cm høg. Volumet blir då V x y h Volumet av boksen blir summen av desse to voluma: x x V h x y h x y h prisme Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

17 Summen av lengda og breidda i rektanglet skal vere 10 cm, og summen av breidda og høgda skal vere 5 cm. b) Forklar at y 10 x og h 5 x, og bruk dette til å setje opp eit uttrykk for volumet av boksen uttrykt med x. Summen av lengda og breidda skal vere 10 cm, dvs. y x 10. Ved å snu litt rundt på dette får vi y 10 x. Summen av breidda og høgda skal vere 5 cm, dvs. x h 5. Ved å snu litt rundt på dette får vi h 5 x. Eg set dette inn i formelen i a), og får: x V x 10 x 5 x, x 0,5 c) Bruk grafteiknar til å bestemme kor brei boksen må vere for at volumet skal bli størst mogleg. Eg teiknar grafen til uttrykket i b) i GeoGebra, og finn toppunktet ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[V]. Volumet blir størst når breidda er,4 cm. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing

18 Biletliste Bilete, teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1005 matematikk P-Y våren løysing