Løsningsforslag for 2P våren 2015

Transkript

1 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig kostet varen 100 %. 240 kr tilsvarer 100 % 20 % = 80 %. 1 % tilsvarer 240 = 24 = 3 kr % tilsvarer derfor 300 kr. Oppgave 3 a) 14 milliarder = = 1, = 1, år b) = = ( ) = ( ) = = 4, sekunder Oppgave 4 a) = = 1 4 b) (6a)2 b 2 = 36a2 b 2 b 2 = 4ab 4 9a b 2 9a Oppgave 5 a) Antall elever har minket med Lineær modell: y = 6x = 6 elever per år. b) Vekstfaktoren blir 1 0,5 = 1 0,005 = 0, Eksponentiell modell: ,995 x

2 Oppgave 6 a) Antar at midtpunktet er den beste antakelsen for alderen for hver gruppe. Gjennomsnittsalderen er derfor = 47 år (se tabell under) Alder Midtpunkt Frekvens Sum Bredde Høyde Relativ Kumulativ [20, ,1 10 [30, ,2 30 [40, ,3 60 [50, ,4 100 SUM b) Høyden i et histogram beregnes ved å regne ut antall i hver gruppe gruppebredde (se tabell over) c) Relativ frekvens er frekvens = frekvens totalt sum 100 (se tabell over) For gruppen [20, 30 vil det regnes ut slik: = 0,1

3 Oppgave 7 a) h(0) = = 15 h(1) = = 20 h(2) = = 15 h(3) = = 0 t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 h(t) 15 18, , ,75 0 b) c) h(0) er skjæring med y-aksen (se graf) og indikerer fra hvilken høyde ballen ble kastet fra ved tiden t=0. h(3) er skjæring med x-aksen (nullpunkt) og indikerer når ballen treffer bakken. Oppgave 8 Siden endringen av antall kilometer er den samme hver time (12 km/h), vil dette være en rett linje. Trenger da i prinsippet kun to punkt for å kunne tegne grafen. Det første punktet har vi allerede og er (0,30). Et annet punkt kan for eksempel være (2, ) = (2,6).

4 Del 2 NB! Løsningsforslaget på del 2 kan være litt mer utfyllende en hva som er forventet til eksamen. Den er laget med hensyn til at flest mulig 2P-elever skal forstå fremgangsmåten. På eksamen skal skrivemåter som 2^3 og 2*4 bli godkjent, selv om det egentlig skal skrives som 2 3 og 2 4. Det er altså unødvendig å stresse med skrivemåten. I løsningsforslaget er allikevel korrekt notasjon brukt for at det skal være mer leservennlig. Oppgave 1 Per har betalt 450 kr i renter, som tilsvarer % = 15 % økning av beløpet For Pål vil en 2,2 % månedlig økning gi en vekstfaktor på 1, ,14, som tilsvarer en økning på 14 % av beløpet. For Espen vil beløpet vokse til , kr, som tilsvarer % 14,6 % økning av beløpet Pål har det beste tilbudet, siden han betaler minst renter. Oppgave 2 a) Legger inn data i Geogebra sitt regneark og lager en liste med punkt. Bruker kommandoen Reglin(Liste1) for å få den lineære modellen y = 1483x b) 1483 kvinnelige studenter. c) Løser likningen 1483x = i CAS og får at det vil ta 22 år, altså i år Legg merke til at oppgaven ikke krever noen graftegning hvis man behersker CAS. Legger ved en graf for de som ønsker å løse det grafisk, men dette tar en del mer tid.

5 Oppgave 3 a) Legger inn data i Geogebra sitt regneark og lager en liste. Bruker kommandoene Gjennomsnitt og Standardavvik. Gjennomsnitt blir 19,9 o C. Standardavvik blir 1,67 o C. velger. Kan også benytte analyseverktøyet i Geogebra hvis man behersker det. b) By B har høyere gjennomsnittstemperatur, men siden standardavviket er mer enn dobbelt så stort så er temperaturen mer usikker enn hva den er i by A. Oppgave 4 a) 30 linjestykker b) En måte å forklare endringen på er at neste figur er lik forrige figur pluss 3 ganger figurnummer. Formelen i B2 ser slik ut: A2 + B1 3 Denne formelen er deretter kopiert videre i de andre cellene. c) Lager en «liste med punkt» av dataene og bruker deretter kommandoen RegPoly[Liste1, 2]. Modell: 1,5n 2 + 1,5n d) 1, ,5 20 = 630 linjestykker. Kunne også bare skrevet f(20). Dette stemmer selvfølgelig også med resultatene i b) Oppgave 5 a) En reduksjon på 10 % per år gir oss en vekstfaktor på = 0,90 Erstatningen (P 2000) må multipliseres med vekstfaktoren x ganger. b) F(7) = ( ) 0,9 7 = 3826 kr c) ( ) 0,9 x 150x d) ( ) 0, = 83 kr Du vil kun få utbetalt 83 kr etter 13 år. Etter dette vil du faktisk gå i minus, gitt at verdien av sykkelen minker 10 % hvert år.

6 Oppgave 6 Kommentar: I Geogebra er det i denne oppgaven viktig at man justerer på avrundingen som Geogebra benytter. a) Tegner grafen med kommandoen Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]. Justerer aksene og gir dem navn tilpasset oppgaven. Se grafen helt nederst. b) Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[ <Polynom> ] og leser av y-verdiene. Forskjell: 16,9 3,6 = 13,3 grader. c) Setter inn punktet (100,f(100)) og lager en tanget gjennom dette punktet. Får da f(100) = 8,5 og likningen til tangenten y = 0,1x 0,6 Etter 100 dager er temperaturen 8,5 grader og den dagen øker temperaturen med 0,1 grader. Oppgave 7 a) V = Grunnflate høyde = G h = (to halvsirkler + firkant) h = (en hel sirkel + firkant) h = (πr 2 + xy) h = (π ( x 2 )2 + xy) h b) bredde + lengde = x + y = 10 gir oss y = 10 x hvis man snur på likningen. bredde + høyde = x + h = 5 gir oss h = 5 x hvis man snur på likningen. c) Setter inn sammenhengene fra b) inn i utrykket for volumet i a). Får da V(x) = (π ( x 2 )2 + x(10 x)) (5 x) Tegner grafen og finner toppunktet med kommandoen Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]. Volumet blir størst mulig når x = 2,4 cm og da er volumet 59,2 cm 3.