Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 2014

Transkript

1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform , ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgåve (1 poeng) Løys likninga 16 lg lg16 lg lg lg l g lg lg Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

2 Oppgåve 3 (1 poeng) Løys likninga lg( 3) lg(3) Oppgåve ( poeng) Løys ulikskapen 0 Finn nullpunkta til andregradsuttrykket: b b ac a ( ) v Andregradsutrykket er lik 0 for og 1, og kan skrivast: ( )( 1) 1 Eg sjekkar så når uttrykket er positivt og negativt ved å velje ein -verdi frå kvart av intervalla,,,1 og 1,. 3 : ( 3 )( 3 1) ( 1)( ) 0 : (0 )(0 1) ()( 1) : ( )( 1) ()(1) positiv negativ positiv for, og 1, Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

3 Oppgåve 5 ( poeng) I ein klasse er det seks gutar og fire jenter. To elevar blir valde tilfeldig til å vere med i ei spørjeundersøking. Teikn eit valtre, og bruk dette til å bestemme sannsynet for at éi jente og éin gut blir valde ut. 6 6 P(gut) 6 10 P(jente) 6 10 Ein kan trekkje éin gut og éi jente på to måtar: først guten og så jenta, eller først jenta og så guten P (gut og jente) Sannsynet for at éin gut og éi jente blir vald ut er 8/15. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

4 Oppgåve 6 (3 poeng) Ovanfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f. a) For kva verdiar av er f() 0? For kva verdiar av er f () < 0? f() 0 når = 0 og 3. Den deriverte er negativ der grafen fell. f () < 0 når 0 < <. b) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til f frå = 0 til =. y f() f(0) a 0 0 Den gjennomsnittlege vekstfarten til f frå = 0 til = er -. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

5 Oppgåve 7 ( poeng) Trekk saman og skriv så enkelt som mogleg ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3) Oppgåve 8 (3 poeng) Forklar kvifor kvar av påstandane nedanfor er riktige. a) ,5 5 5 Uttrykket til venstre kan ein skrive som,5, som er større enn. b) tan51 motstående katet Definisjonen av tangens, tanv, gjeld for rettvinkla trekantar. I ein hosliggende katet rettvinkla trekant der den eine vinkelen er 5, må også den siste vinkelen vere 5, ettersom Vi har dermed ein likebeint rettvinkla trekant. Det tyder at tangensverdien blir lik 1. c) log00 lg Definisjonen av logaritme gir 10 a a. Det gjer lg Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

6 Oppgåve 9 ( poeng) Gitt ABC. Punktet D ligg på AB og punktet E ligg på AC slik at DE ǁ BC. Sjå skissa ovanfor. AB = 8, AE = 3 og arealet ABC er 16. a) Bestem AC og AD ved rekning. 1 A ABC AB AC 1 8 AC 16 AC 16 AC Ettersom DE og BC er parallelle, blir vinkel ADE og ABC like store. Det same gjeld vinkel AED og ACB. Trekantane er difor formlike, og vi kan setje opp følgjande uttrykk: AD AB AE AC AD AD 3 6 b) Vis ved rekning at BC DE 5 BC AB AC DE AD AE BC DE Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

7 Oppgåve 10 (5 poeng) n n1 Karin har lært at det er mogleg å bruke derivasjonsregelen ( )' n til å derivere funksjonen f ved f ( ) 1 Ho startar med å skrive f( ) Så deriverer ho f '( ) 1 1 a) Skriv om uttrykket for f () ovanfor, og vis at 1 f'( ) f '( ) Funksjonane g og h gitt ved g ( ) derivasjonsregelen ovanfor. b) Bestem g'( ) og h'( ). og h() kan også deriverast ved å bruke g( ) g'( ) h( ) h'( ) 1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

8 Oppgåve 1 ( poeng) 0,6,5 5, 7,8 9,6 y Det er ein tilnærma lineær samanheng mellom storleikane og y. Sjå tabellen ovanfor. Bruk regresjon til å bestemme denne samanhengen. Eg plottar punkta inn i GeoGebra, ved å skrive (0.6, 50, (.5, 80) osv. i innskrivingsfeltet. Deretter brukar eg kommandoen beste tilpassa linje. Den beste tilpassa lineære samanhengen mellom storleikane og y er y = 9,5 + 00,3. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

9 Oppgåve (6 poeng) Grete observerer ein bakteriekultur. Funksjonen B gitt ved 3 B( ) 0,1 5, viser talet på bakteriar B() i bakteriekulturen timar etter at ho starta observasjonane. a) Teikn grafen til B for [0,60] Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

10 b) Bestem toppunktet på grafen og skjeringspunkta mellom grafen og aksane. Eg finn toppunktet ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[B] i innskrivingsfeltet. Eg finn skjeringspunktet med -aksen ved å skrive inn kommandoen Nullpunkt[B]. Konstantleddet fortel oss kva skjeringspunktet med y-aksen er. Toppunktet er (31.3, 97871), skjeringspunktet med -aksen er (56.7,0) og skjeringspunktet med y-aksen er (0, ). c) Kva fortel svara i oppgåve b) om bakteriekulturen? 0, ,6 Ved starttidspunktet er det bakteriar i kulturen. Talet stig opp til ein topp på ca , før det byrjar å minke. Etter 56 timar og 0 minutt er det ingen bakteriar igjen. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

11 d) Bestem den momentane vekstfarten til bakteriekulturen etter 0 timar. Eg markerer punktet (0, B(0)) på grafen, og brukar kommandoen «tangentar» til å teikne ein tangent i dette punktet. Stigingstalet til tangenten er den momentane vekstfarten etter 0 timar. Den momentane vekstfarten etter 0 timar Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

12 Oppgåve 3 ( poeng) I ein klasse er det 13 gutar og 17 jenter. 8 av gutane og 9 av jentene har teke trafikalt grunnkurs. Vi vel tilfeldig ein elev frå klassen. Eleven har ikkje teke trafikalt grunnkurs. a) Bestem sannsynet for at eleven er ei jente. Eg lagar ein krysstabell: Har teke trafikalt grunnkurs Har ikkje teke trafikalt grunnkurs Gut 8 5 Jente 9 8 SUM SUM P (jente ikkje trafikalt grunnkurs) 8 13 Vi vel tilfeldig to elevar frå klassen. b) Bestem sannsynet for at minst éin av dei har teke trafikalt grunnkurs. P(minst éin har trafikalt grunnkurs) 1 P (ingen har trafikalt grunnkurs) Reknar i CAS i GeoGebra: P (minst éin har trafikalt grunnkurs) 0,8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

13 Oppgåve ( poeng) Ei tomt har form som vist på figuren ovanfor. Bestem arealet av tomta ved rekning. Eg delar tomta i to ved å trekkje opp diagonalen BD. A ABD 70 m80 m 800 m Finn lengda av BD ved å bruke Pytagoras setning. Reknar i CAS i GeoGebra. Finn så vinkel C ved å bruke cosinussetninga. Finn så arealet av trekant BCD, og legg saman med areal av trekant ABD. Arealet av tomta ABCD er ca. 618 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

14 Oppgåve 5 ( poeng) Gitt to ulike trekanta r ABC som er slik at A 0, BC 6,0 cm og AC 9,0 cm. a) Lag ei skisse som viser korleis dei to trekantane kan sjå ut. b) Set opp uttrykk som du kan bruke til å bestemme lengda av sida AB i kvar av trekantane. Bruk uttrykka til å bestemme dei to lengdene. Brukar cosinussetninga. Reknar i CAS i GeoGebra: Dei to moglege lengdene av sida AB er 5,3 cm og 8,5 cm. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

15 Oppgåve 6 ( poeng) Funksjonane f og g er gitt ved f( ) a g( ), `0 a) Illustrer grafisk at likninga f( ) g( ) kan ha inga løysing, éi løysing eller to løysingar, avhengig av verdien av a. Eg teiknar dei to grafane i GeoGebra. For f() vel eg ein glidar for a. f() er den raude linja, medan g() er den blå grafen. Ved å dra i glidaren kan vi variere verdien av a. Dette er stigingstalet, og di større dette talet er, di brattare blir linja. Er linja negativ, fell linja. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

16 Ved å la a = 0, får vi berre éi løysing: Ved å la a = -, får vi berre éi løysing: Ved å la a < -, får vi inga løysing: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

17 Når a,0 0,, får vi to løysingar. Når a < -, får vi inga løysingar. Når a = - og a = 0, får vi berre éi løysing. Når a,0 0,, får vi to løysingar. b) Bestem ved rekning verdiane av a slik at likninga f( ) g( ) har inga løysing ei løysing to løysingar a a 0 b b ac a a a ( ) for alle a a a Vi kan ikkje finne kvadratrota av negative tal, så vi får heller inga løysing når 16 8a < a 0 8a 16 a Vi får berre éi løysing når uttrykket under kvadratrot er lik 0, dvs. når a = -. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

18 Høvet når a=0 a 0 1 berre ei løysing Når a < -, får vi inga løysingar. Når a = - og a = 0, får vi berre éi løysing. Når a,0 0,, får vi to løysingar. Oppgåve 7 ( poeng) Gitt punkta A (0,0), B(5,0) og C (0,). Eit punkt P ligg på den rette linja l som går gjennom punkta B og C. a) Forklar at koordinatane til P kan skrivast på forma, 5 Må først finne likninga til den rette linja. y 0 Finn stigingstalet: a Brukar så eittpunktsformelen: y 0 ( 5) 5 y 5 Om punktet P skal liggje på linja l, må y. 5 Koordinatane til P kan difor skrivast som,. 5 b) Bestem ved rekning koordinatane til P slik at arealet av ABP blir halvparten så stort som arealet av ABC. Eg teiknar ei skisse av dei to trekantane i koordinatsystemet: Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

19 Dei to trekantane har same grunnlinje, AB. Høgda i trekant ABC er. For at arealet av trekant ABP skal vere halvparten av trekant ABC, må høgda vere. Eg set y =, og løyser likninga: Koordinatane til punktet P blir 5, Oppgåve 8 ( poeng) Per og Kari er på veg opp trappene i eit tårn. Per er heile tida 5 trappetrinn framfor Kari. Når Per er kommen halvvegs opp, roper han til Kari: «Når eg er heilt oppe, er du kommen tre gonger så langt som du er no.» Kor mange trappetrinn er det i tårnet? Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

20 Eg lagar eit likningssett, der er kor mange trinn Per har gått når han er halvvegs, og y er kor mange trinn Kari då har gått. y5 3y 5 Eg løyser likningssettet i CAS i GeoGebra: Det er 08 trappetrinn i tårnet. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

21 Oppgåve 9 (6 poeng) Figuren ovanfor er sett saman av eit rektangel med lengd og breidd b, og eit kvadrat med sider. Figuren har areal lik c. a) Forklar kvifor må være ei løysing av likninga b c Den samansette figuren er eit rektangel med lengde og breidde b +. Arealet blir då c ( b ) b må difor vere ei løysing av likninga b c Allereie for 000 år sidan var babylonarane i stand til å løyse andregradslikningar av same type som likninga i oppgåve a). Babylonarane brukte eit geometrisk resonnement. Dei starta med figuren i oppgåve a) og teikna så rektangel og kvadrat som vist nedanfor. b b) Vis at arealet av kvadratet ABCD er gitt ved c b Det vesle kvite kvadratet har sidekantar b b Arealet blir då c c Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

22 c) Forklar kvifor må være den positive løysinga av likninga b b c Firkant ABCD er eit kvadrat med sidekant b Arealet kan då skrivast som b Ved å setje dette uttrykket lik uttrykket for arealet av ABCD i b), får vi uttrykket over. d) Bruk oppgåve c) til å vise at b b c b b c b b c b b c b c b b c b b b c Arealet er positivt Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing

23 Bileteliste Teikningar, grafar og figurar: Utdanningsdirektoratet Løysingar: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 - Løysing