Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013

Transkript

1 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (5 poeng) Ein kveld køyrde ein taxisjåfør 10 turar. Nedanfor ser du kor mange passasjerar han hadde med på kvar av turane a) Bestem medianen, gjennomsnittet og typetalet for dette datamaterialet. Når vi ordnar talet på passasjerar i stigande rekkjefølgje, er medianen den midtarste, eller gjennomsnittet av dei to midtarste. Typetalet er det som førekjem oftast. Vi ordnar dataa i stigande rekkjefølgje: Medianen: 2, Gjennomsnittet: 2, Typetalet: 1 b) Set opp ein tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens for talet på passasjerar på turane. Tal passasjerar Frekvens Kumulativ frekvens Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 1

2 Oppgåve 2 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 0, ,5 10 Oppgåve 3 (2 poeng) Kva for ein av dei to brøkane A og B nedanfor har størst verdi? A: B: Brøk B har størst verdi. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 2

3 Oppgåve 4 (5 poeng) Sigvald får følgjande tilbod frå foreldra sine: a) Set opp eit matematisk uttrykk som kan vere ein modell for tilbod 1, og eit matematisk uttrykk som kan vere ein modell for tilbod 2. Tilbod 1: y 5x 100 Tilbod 2: y 10x 50 b) Skisser grafen av kvar av modellane, og gi Sigvald råd om kva for eit tilbod han bør velje. Dersom Sigvald reknar med å ta mindre enn 10 oppvaskar per veke, er det mest lønnsamt å velje tilbod 1. Dersom Sigvald reknar med å ta meir enn 10 oppvaskar per veke, er det mest lønnsamt å velje tilbod 2. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 3

4 Oppgåve 5 (2 poeng) Teikn av tabellen nedanfor i svaret ditt, gjer utrekningar, og fyll inn det som manglar Plassverdisystem med grunntal 10 Plassverdisystem med grunntal Oppgåve 6 (3 poeng) Stian har kjøpt ein bruktbil. Bilen kosta kroner. Gå ut ifrå at verdien vil minke med 10 % per år. a) Set opp ein modell f som Stian kan bruke for å rekne ut verdien av bilen i åra som kjem. Verdien av bilen etter x år: f x ,9 x b) Kva for ein av grafane nedanfor er grafen av f? Gi grunn for svaret ditt. Funksjonen f minkar når x veks fordi vekstfaktoren er mindre enn 1. Verdien minkar med 10 % av ein verdi som blir stadig mindre. Det tyder at verditapet også blir mindre for kvart år. Grafen av f vil difor søkke mindre og mindre for kvart år. Det er difor berre graf C som kan vere Grafen av f Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 4

5 Oppgåve 7 (2 poeng) Tabellen nedanfor viser inntektae til personane i eit burettslag. Bestem gjennomsnittsinntekta til personane i burettslaget Gjennomsnittsinntekta : Gjennomsnittsinntekta er på kr Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 5

6 Oppgåve 8 (4 poeng) Vinkelsummen i ein trekant er 180 o. a) Bruk figurane ovanfor til å bestemme vinkelsummen i ein firkant og i ein femkant. Ein firkant er sett saman av to trekantar, kvar med vinkelsum 180 o. Det tyder at vinkelsummen i ein firkant er to gonger 180 o, altså lik 360 o. Ein femkant er sett saman av tre trekantar, kvar med vinkelsum 180 o. Det tyder at vinkelsummen i ein femkant er tre gonger 180 o, altså lik 540 o. b) Bestem vinkelsummen i ein sekskant og i ein åttekant. Eg finn mønsteret i oppgåve a) og utvidar til sekskantar og åttekantar Vinkelsummen i ein 4-kant: Vinkelsummen i ein 5-kant: Vinkelsummen i ein 6-kant: Vinkelsummen i ein 8-kant: Trekantar, firkantar, femkantar og så vidare kallar vi mangekantar. c) I ein mangekant er vinkelsummen 1800 o. Kor mange kantar har denne mangekanten? Eg utvidar mønsteret til ein n-kant. Vinkelsummen i ein n-kant: n Når vinkelsummen er 1800 o, får vi likninga n Det tyder at n 2 10, som igjen tyder at n 12 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 6

7 DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 1 (6 poeng) a) Lag eit sektordiagram som illustrerer opplysningane gitt i tabellen ovanfor. Eg skriv inn tabellen i Excel, markerer tabellen og vel «sett inn sektordiagram». Eg vel ein passande diagramtype. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 7

8 b) Lag eit passande diagram som illustrerer opplysningane gitt i tabellen ovanfor. Eg gjer tilsvarande som i oppgåve a). Men no vel eg eit passande stolpediagram. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 8

9 Oppgåve 2 (6 poeng) Familien din er på ferie og skal leige ein bil. Tabellen nedanfor viser kor mye det kostar å leige bilen dersom de køyrer 100 km, og kor mye det kostar dersom de køyrer 150 km. Det er ein lineær samanheng mellom talet på kilometer og pris. a) Kva vil det koste å leige bilen dersom de skal køyre 300 km? Sidan det er ein lineær samanheng, kan eg tenkje slik: Når talet på kilometer aukar med 50, så aukar utgiftene med kroner. Når talet på kilometer aukar med 200, altså med 4 gonger 50, så aukar utgiftene med 4 gonger 125 kroner, altså med 500 kroner. Leigeprisen ved køyrde 300 km blir då: 500 kr 500 kr 1000 kr Dersom de køyrer x km, må de betale y kroner. b) Bestem ein modell på forma y ax b som viser samanhengen mellom x og y Stigingstalet til den lineære funksjonen: a 2, Eg teiknar ei rett linje gjennom punkta 100,500 og 150,625 i GeoGebra og finn konstantleddet som y -verdien til linja sitt skjeringspunkt med y -aksen. Eg finn b 250. Den lineære modellen blir då y 2,5x 250 For å finne konstantleddet, kan vi alternativt løyse likninga 500 2,5 100 b. Løysinga blir 500 2,5 100 b b 2, b b 250 c) Gi ei praktisk tolkning av tala a og b i denne oppgåva. Stigingstalet a viser prisen per køyrde kilometer. Konstantleddet b fortel kva det kostar berre å leige bilen, utan køyring. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 9

10 Oppgåve 3 (3 poeng) Petter vil sende ein e-post med ei matematikkoppgåve til to personar 1. januar. Gå ut ifrå at kvar av dei to personane sender e-posten vidare til to nye personar dagar etter, at kvar av dei fire som då får han, også sender han vidare til to nye personar dagen etter at dei mottok han, og at e-posten held fram å spreiast på same måte i dagane framover. a) Kor mange personar vil motta e-posten 6. januar? Den første dagen, 1. januar, er det 2 personar som mottar e-posten. For kvar dag som går blir talet på mottakarar dobla januar januar januar januar januar januar Den 6. januar mottar 64 personar e-posten. b) På kva for ein dato vil talet på mottatte e-postar på éin dag for første gong blir større enn éin milliard? På dag x ut i året er det 2 x personar som mottar e-posten. Eg løyser likninga 2 x i GeoGebra. Det tyder at talet på mottatte e-postar på éin dag for første gong blir større enn éin milliard den 30. januar. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 10

11 Oppgåve 4 (7 poeng) Tabellane nedanfor viser resultata for dei åtte beste utøvarane på 1500 m skeiser for menn under OL i 1968 og under OL i a) Kor mange prosent sokk vinnartida med frå 1968 til 2010? Eg reknar med CAS i GeoGebra. Vinnartida vart redusert med 14,45 % Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 11

12 b) Bestem gjennomsnittstida for dei åtte beste i 1968 og for dei åtte beste i Sjå oppgåve c) c) Bestem standardavviket for dei to talmateriala. Kvifor er standardavviket større i 1968 enn i 2010? Eg skriv inn tidene i Excel og buker kommandoane «GJENNOMSNITT» og «STDAV» slik som vist nedanfor. Gjennomsnittstida for dei åtte beste i 1968 var på 125,06 sekund. Gjennomsnittstida for dei åtte beste i 2010 var på 106,36 sekund. Standardavviket for dei åtte beste i 1968 var på 0,76 sekund. Standardavviket for dei åtte beste i 2010 var på 0,41 sekund. Standardavviket er eit mål for samla avstand frå gjennomsnittet. I 1968 er vinnertida så suveren at den gjer standardavviket stort. Også den dårlegaste tida avvik sterkt frå gjennomsnittet. I 2010 er alle tidene meir samla. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 12

13 Oppgåve 5 (8 poeng) Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom diameteren av ein dorull og kor mange meter papir som er brukt av dorullen. a) Teikn eit koordinatsystem med meter som eining langs x -aksen og millimeter som eining langs y -aksen. Marker verdiane frå tabellen ovanfor som punkt i koordinatsystemet. Eg skriv inn punkta 2,96 osb. i GeoGebra. 0,102, b) Bruk regresjon til å bestemme ein lineær funksjon som passar godt med punkta frå oppgåve 5 a). Teikn grafen av funksjonen i same koordinatsystem som du brukte i oppgåve 5 a). Eg brukte kommandoen «RegLin» og fann linja Y 2,9x 102 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 13

14 Ein tom dorull har ein diameter på 38 mm. c) Kor mange meter papir er det på ein ny dorull etter modellen i oppgåve 5 b)? Eg finn skjeringspunktet med linja y 38. Det viser at det på ein ny dorull er 22 meter papir. På pakken med dorullar står det at kvar dorull inneheld 160 ark. Kvart ark er 14 cm langt. d) Korleis stemmer modellen i oppgåve 5 b) med dette? Etter opplysningar på pakken skal ein dorull innnehalde 14 cm cm 2240 cm 22,4 m. I oppgåve a) og b) såg vi at punkta berre omtrentleg låg på ei rett linje. På denne bakgrunn må vi seie at vår modell stemmer ganske bra! Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 14

15 Oppgåve 6 (6 poeng) I 2011 kjøpte Helene ein bruktbil. Ho fann då tabellen ovanfor på Internett. Alle beløp er oppgitt i kroner. a) Forklar at det årlege verditapet på bilen er rekna ut ved hjelp av ein lineær modell, og bestem denne modellen. Det årlege verditapet er konstant. Det viser at verdien av bilen som funksjon av talet på år etter at bilen var ny, er ein lineær funksjon. Stigingstalet er lik det årlege verditapet og er lik kroner per år. Konstantleddet svarar til nybilprisen og er lik kroner. Modellen blir då: y x Helene lurer på om det vil vere meir realistisk å bruke ein eksponentiell modell. b) Bestem ein eksponentiell modell som totalt gir same verditap på bilen frå 2006 til 2011 som den lineære modellen. Ved ein eksponentiell modell er verdien kvart år lik fjorårsverdien multiplisert med vekstfaktoren. Frå 2006 til 2011 er det 5 år. Eg kan då finne vekstfaktoren, x, ved å løyse likninga x Eg bruker CAS i GeoGebra. Dette viser eit årleg prisfall på 10,6 %. Den eksponentielle modellen blir: y ,894 x c) Kva er bilen til Helene verd i 2013 etter den lineære modellen? Kva er bilen til Helene verd i 2013 etter den eksponentielle modellen? I 2013 er det 7 år sidan bilen var ny. Eg reknar med CAS i GeoGebra. Etter lineær modell er verdien kr Etter eksponentiell modell er verdien kr Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 15

16 Kjelder: Oppgåver med bilde, figurar og grafar: Utdanningsdirektoratet Løysingar med løysingsfigurar og grafar Olav Kristensen/NDLA Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2013 Side 16