Geometri R1, Prøve 1 løysing

Transkript

1 Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med sentrum i S og ein sirkel med sentrum i B. Sjå figuren til høgre. Bestem ASB, ACB og ABC. ABS og ABC er likebeinte fordi to sider i kvar av trekantane er radius i same sirkel. ASB Periferivinkelen ACB og sentralvinkelen ASB spenner over same sirkelboge. Vi får då ACB 4 =6 ABC Oppgåve Gjeve to vektorar u og v. uv, 75, u =4 og v 6 Du får også gjeve opp at cos75 a) Bestem uv uv u v cos u, v b) Teikn u og v i svaret ditt. Teikn så vektorane u v og u v.

2 c) Bestem u vu v u v u v u v Oppgåve 3 I firkanten ABCD er AB 6 cm, CD 4 cm, diagonalen AC 8 cm, B 60 og D 90. Teikn ein hjelpefigur og konstruer firkanten. Hugs konstruksjonsforklaring! ) Eg sette av AB 6 cm. ) Eg konstruerte B 60. 3) Eg slo ein sirkel om A med radius 8 cm og fann C som skjeringspunktet mellom denne sirkelen og høgre vinkelbein til B. 4) Eg trekte AC, konstruerte midtpunktet på AC og slo ein sirkel med sentrum i midtpunktet og radius lik avstanden frå midtpunktet til A. 5) Eg slo ein sirkel om C med radius 4 cm og fann D som skjeringspunktet mellom denne sirkelen og sirkelen i 4). (Thales setning.) 6) Eg trekte opp firkanten.

3 Oppgåve 4 Gjeve punkta A, og B 6,. a) Bestem koordinatane til AB. AB 6, 4,0 Aog Ber hjørne i ABD. B 90 og AD har lengde 5. b) Vis ved rekning at punktet D har koordinatar6,5. Vi ser at AB x -aksen. Sidan B 90, veit vi at BD y aksen. Difor veit vi at x -koordinaten til D er lik x-koordinaten til B, altså 6. Vi set D 6, y. AD 5 6, y 5 4 y 5 6 y 4y 4 5 y 4y y y y 5 Sidan ABD skal gå «mot klokka», får vi y 5 og D har koordinatar 6,5. Saman med punkta A, B og D dannar punktet C eit parallellogram. c) Bestem koordinatane til C ved rekning. Vi veit at BC AD 6,5 4,3 AD 6, 4,3 0,5 OC OB AD Punktet C har då koordinatane 0,5. Punktet E ligg på AD. AEB 90 c) Bestem koordinatane til E ved rekning. Sidan E ligg på AD, kan vi setje AE k AD k4,3 4 k,3k OE OA AE, 4 k,3k 4 k, 3k og får E 4 k, 3k Vi får då BE 4k 6,3k 4k 4,3k 3

4 AEB 90 ADBE 0 ADBE 0 k k 4,3 4 4,3 0 6k6 9k 0 5k 6 k E 4 k, 3k,,

5 Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel. Ikkje Internett eller andre former for kommunikasjon. Oppgåve 5 Gjeve punkta A,, B8,, C 0,4, D4, 6 og E5,6 a) Undersøk, ved rekning, om CD AB. AB 8, 0,4 CD 4 0, 6 4 4, 0 CD AB CD AB 0 CD AB 0,4 4, Har då vist at CD AB b) Undersøk, ved rekning, omce AB. AB 0,4 CE 5 0,6 4 5, CE AB CE k AB 5, 0,4 Har då vist at CE AB.. Punkta A, B og C gjevne ovanfor er hjørne i ABC. c) Bestem koordinatane til skjeringspunktet mellom medianane i trekanten ved rekning. Vi veit at alle tre medianar skjer kvarandre i same punkt og at skjeringspunktet delar medianane i forholdet : Vi kallar midtpunktet på AB for E og finn koordinatane. OE OA AB, 0,4 3,0 Punktet E har då koordinatane 3,0. Vi kallar skjeringspunktet mellom medianane S og får 0 4 OS OA AS OA AF, 4,3,, Punktet S har koordinatane 4,. 3 5

6 Oppgåve 6 Ovanfor ser du ein sirkel med sentrum i S. Punktet P ligg utanfor sirkelen. To sekantar til sirkelen går gjennom P. Den eine sekanten skjer sirkelen i C og D. Den andre skjer sirkelen i Aog B. Denne sekanten går gjennom sentrum i sirkelen. a) Lag ein tilsvarande figur med dynamisk programvare og undersøk tilhøvet mellom ACP og DBP når punktet D flyttast langs sirkelperiferien. Vi lagar figuren og set på dei aktuelle vinklane. Når vi flyttar punktet D langs sirkelperiferien, ser vi at dei to vinklane alltid er like store. b) Vis ved rekning at ACP DBP uavhengig av kvar på sirkelperiferien D ligg. Periferivinkelen DBP spenner over bogen AD AD og har difor eit gradtal lik. Periferivinkelen ACD spenner over ein boge som er 360 AD og har eit gradtal som er 360 AD AD DBP. Vi får då at ACP ACD DBP DBP c) Forklar at PAC og PDB er formlike. Sidan dei to trekantane har ein vinkel felles og vi har vist at to andre vinklar også er like, veit vi at trekantane er formlike. 6

7 d) Vis at PC PD PA PB. Sidan PAC og PDB er formlike, har vi at PC PA PC PD PA PB. PB PD Radius i sirkelen på figuren under er r. Avstanden PS er r. CSD 60 r e) Bruk resultatet frå d) til å vise at 3 CSD er likesida. Difor er CD r kan setje opp likninga r 3r PC PC r PC.. Avstanden frå P til sirkelen er r. Vi brukar resultatet frå d) og som vi løyser med GeoGebra: r Vi ser bort frå den negative løysinga og har vist at 3 PC. Resultatet vi kom fram til i oppgåve 6d, kallast eit punkts potens med omsyn på ein sirkel, og det kan formulerast slik: Om ein har eit punkt P utanfor ein sirkel og trekkjer ein sekant til sirkelen gjennom P, vil produktet ein får, når lengda langs sekanten frå P til første skjeringspunkt med sirkelen multipliserast med lengda frå P til det andre skjeringspunktet, vere det same for alle sekantar gjennom P. Produktet kallast punktets potens med omsyn til sirkelen. 7