Geometri løsninger. Innhold. Geometri R1

Transkript

1 Geometri løsninger Innhold. Formlikhet... Formlike trekanter... Kongruente trekanter Pytagoras setning Setningen om periferivinkler og Thales setning Geometriske steder Skjæringssetninger i trekanter Midtnormalene og den omskrevne sirkelen Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen... 3 Høydene Medianene Vektorer Regning med vektorer Addisjon av vektorer Multiplikasjon av vektor med et tall Skalarproduktet Vektorer på koordinatform Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform Multiplikasjon av vektor med et tall Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger En sirkel i planet Sirkelen beskrevet med funksjoner Eksempeloppgaver fra Udir Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen

2 . Formlikhet Formlike trekanter.. ABC og DEF ovenfor er formlike. Finn lengdene som ikke er oppgitt. Forholdstallet blir 9,6,5 6,4 Lengden EF er 4, cm,5 6,3 cm Lengden AC er 6,9cm 6,9cm 6,9cm,3cm 4,6 cm Se på figuren ovenfor og forklar hvorfor BTS og B T S er formlike. Trekantene har en felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike.

3 ..3 På figuren ovenfor er PQ parallell med RT. Forklar hvorfor PQS og RST er formlike. Hvilken side samsvarer med ST? Hvor lang er denne siden? PSQ RST fordi de er toppvinkler. Linjene PT og RQ skjærer de parallelle linjene PQ og RT. Vi har da at de samsvarende vinklene er like store. For eksempel vil SPQ STR. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Siden SPQ STR vil siden PS samsvare med siden ST. Lengden blir 4,7 m 5, m 5, m 3,4 m Vis at de to trekantene ovenfor er formlike. Trekantene er formlike dersom forholdene mellom samsvarende sider er like. AB ' ' 6,75 cm 5 AB 5,40 cm 4 AC ' ',75 cm 5 AC,0 cm 4 BC ' ' 5,40 cm 5 BC 4,3 cm 4 Forholdene er like. Trekantene er dermed formlike. 3

4 ..5 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en,0 m loddrett stav på bakken 0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven. Linja treffer bakken 0,50 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har en felles vinkel der siktelinjen treffer bakken, og både staven og treet danner 90 med bakken. Forholdstallet f er: 0,5 0,5 Høyden til treet er:,0 meter 4 meter...6 Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen, se skissen ovenfor. Vi måler avstander og finner at AB 5m, CD 00 m og BC,5 m. B D 90. Hva blir avstanden ut til Hatholmen? DCE og BCA er formlike fordi vinkel C er like i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklet. Forholdet mellom de samsvarende sidene CD og BC blir Avstanden DE ut til Hatholmen blir 5 meter meter Utfordring! Gå ut, gjør målinger og beregn en avstand ved hjelp av metoden som er brukt i denne oppgaven. 4

5 ..7 Rekrutter på førstegangstjeneste lærer forskjellige metoder for å bestemme avstander i terrenget. En metode går ut på å bestemme avstanden til et objekt med en kjent høyde. Man lærer å bestemme avstanden til for eksempel et hus som man vet er 0 m høyt, på følgende måte: Ta en pinne eller et grasstrå og hold det fast i loddrett stilling mellom tommelfinger og pekefinger. Strekk armen ut, og se mot huset slik at du ser husets topp på linje med toppen av grasstrået. Juster tommelens feste på grasstrået slik at du ser bunnen av huset på linje med oversiden av tommelen. Mål lengden a til den delen av grasstrået som er over tommelen. Lengden måles i centimeter. Avstanden til huset (i meter) finner du ved først å dele huset høyde på. Svaret multipliseres med 00. Dette tallet deles så på a, og du har avstanden til huset. Beregn avstanden til et hus som er 0 m høyt når du måler a til å være cm Avstanden til huset er m m 50 m Forklar metoden. (Vi regner at en gjennomsnittlig armlengde til en rekrutt er 0,5 meter) ABC og ADE er formlike. AD DE AB BC AD 0 0,5 a 00,5 AD a 0 AD a Vi må gjøre a om til meter. a acm m 00 0 m 0 00 AD m a m a Gitt trekanten ABC. Høyden fra C på AB treffer AB i D. 5

6 a) Vis at ABC CBD ABC CBD og ACB BDC BAC er dermed lik BCD Trekantene er dermed formlike. b) Tegn trekantene ved siden av hverandre slik at du lett ser samsvarende sider og hjørner. c) Sett opp tre forhold som gir det lineære forholdstallet. AB AC BC BC CD BD d) Finn det lineære forholdstallet når CD 4,0 og AC 5,0 5,5 4 e) Finn A (Tips: Bruk trigonometri). Se på den øverste trekanten, der finner vi trekanten ADC. Vinkel A blir: motstående katet sina hypotenus 4 sina 5 A 53,3 6

7 f) Beregn CB (Tips: Bruk trigonometri). CB tan A AC CB tan53,3 5 CB 6,7 g) Finn de ukjente sidene i de to trekantene. AC cos A AB 5 AB cos 53,3 AB 8,3 Forholdstallet er,5. Bruker dette og finner siden vi mangler. DB,5 CB 6,67 DB,5 DB 5,33 h) Finn andre par av formlike trekanter på figuren. For eksempel er ADC ACB. 7

8 ..9 Gitt trekanten ABC. E er midtpunkt på AC og F er midtpunkt på AB. a) Forklar at trekantene ABC og AFE er formlike. Trekantene ABC og AFE er formlike fordi forholdet mellom to par av sider er det samme AB AF AC AE og vinkelen mellom de aktuelle sidene er lik i begge trekantene. b) Bestem forholdet mellom BC og EF. BC AB EF AF c) Forklar at trekantene SBC og SEF er formlike. FE BC Vinkel S i trekantene SBC og SEF er like siden de er toppvinkler. Vinklene og er like fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle vinkelbein. Av samme grunn er også vinklene like. Altså er alle vinklene i de to trekantene like og trekantene er formlike. d) Bestem forholdet mellom SC og SF og mellom SB og SE. SB SC BC Siden trekantene er formlike er SE SF EF og 8

9 ..0 Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at x Avsatte linjestykket AB 0 og AC 7 der C ligger på AB.. Avsatte AD 5. D ligger ikke på AB. 3. Trakk CD og konstruerte en linje gjennom B parallell med CD. 4. Kaller skjæringspunktet mellom denne linja og AD for E. Da er trekanten ACD formlik med trekanten ABE (forklar det) og AE AB som er det samme som AD AC x 0 at der x AE Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at 3. 7 x. Avsatte AB 3 og AC 7. C ligger på forlengelsen av AB.. Avsatte AD. D ligger ikke på forlengelsen av AB. 3. Trakk BD og konstruerte en parallell med BD gjennom C. 4. Fant E som skjæringspunktet mellom denne parallellen og forlengelsen av AD. Da er trekanten ABD formlik med trekanten ACE og AB AD som er det samme som at 3 AC AE 7 x der x AE. 9

10 .. Bestem ved å bruke dynamisk programvare lengden av linjestykket x slik at 7 x x 3.. Avsatte AB 7 og AC 3. C ligger ikke på AB.. Trakk ei linje gjennom A ogc. 3. Slo en sirkel med sentrum i A med radius mellom 3 og 7. Sirkelen skjærer AB i E og forlengelsen av AC i D. 4. Trakk linjestykket EC og konstruerte en parallell med EC gjennom B. 5. Fant skjæringspunktet F mellom denne parallellen og forlengelsen av AC. 6. Flytter så punktet D slik at det faller sammen med punktet F. Det betyr at AB AD. AE AC Setter x AE AD. Dermed er 7 x x 3 0

11 ..3 Gitt et linjestykke AB med lengde 0 cm. Du skal ved konstruksjon finne et punkt C på AB slik at AC 3 AB 7.. Avsatte AB 0.. Avsatte AD 3 og AE 7. E ligger på forlengelsen av AD. D og E ligger ikke på AB. 3. Trakk linjestykket BE og konstruerte en parallell til BE gjennom D. 4. Kaller skjæringspunktet mellom denne parallellen og AB forc. Dermed er AC 3 AB 7

12 ..4 I den rettvinklede trekanten ABC halverer AD vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. Se figuren. a) Forklar at AEDF er et kvadrat. Vi vet at tre av vinklene i firkanten er rette. Da må også den fjerde være rett. EAD 45 og AED 90 Da er også ADE 45 og AE=ED. Da må AEDF være et kvadrat Sett AC 4 og AB 7. 6 b) Vis at CF. FDC ABC Da har vi at CF DF AC AB CF 4 CF 4 7 7CF 6 4CF CF 6 6 CF c) Finn BE. BE ED AB AC 6 4 BE BE BE 4 49 BE

13 Sett AC a og AB b. a d) Vis at CF a b. CF DF AC AB CF a CF a b bcf a acf ( a b) CF a e) Finn BE. a CF a b BE a CF b a a a BE a b b a a ab a abe b a b b ab BE a a b b BE a b 3

14 ..5 I den rettvinklede trekanten ABC er BC dobbelt så lang som AC. AD halverer vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. a) Hvor store er de spisse vinklene i trekanten ABC? Siden hypotenusen er dobbelt så lang som den minste kateten, vet vi at de spisse vinklene er 30 og 60 Sett AC 4 og BC 8 b) Vis at AB 4 3 og at AB BC AC CF 4 3 CF DF AC AB CF 4 CF CF 4CF ( 3 ) CF 4 CF c) Finn BE. BE ED AB AC 4 BE BE BE 3 BE 3 4

15 Kongruente trekanter..6 Vis at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram halverer diagonalene. Kaller skjæringspunktet mellom diagonalene for S. Vi skal da vise at BS DS og AS CS. Trekantene ABS og CDS er formlike fordi. BSA DSC Toppvinkler. BAS DCS Motsvarende vinkler ved parallelle linjer Siden AB CD må trekantene være kongruente og da er BS DS og AS CS...7 Gitt en rettvinklet trekant ABC. AD halverer vinkel A. DE står normalt på AB og DF står normalt på AF. Hvor store må vinklene i trekanten ABC være for at trekantene EBD og FDC skal være kongruente? Hvis trekantene skal være kongruente, må BD DC og ED FC. Siden ED DF må FC DF. Da må C 45. Da må også B Figuren viser en sirkel med to tangenter som skjærer hverandre i punktet B. Forklar at trekantene ASB og DSB er kongruente. En av kongruenssetningene lyder: To trekanter er kongruente dersom to sider er parvis like lange og de motstående vinklene til de lengste av disse sidene er like store. Begge trekantene er rettvinklede. Hypotenusen er felles og en av katetene i begge trekantene er lik radius i sirkelen. Da er kravene i kongruenssetningen oppfylt og vi har vist at trekantene er kongruente. 5

16 . Pytagoras setning.. Gitt en rettvinklet trekant ABC med sidelengder a, b og c. Normalen fra C treffer linjen gjennom AB i D. Sett AD x og BD y. Se figuren. a) Vis at trekant ABC er formlik med trekant ACD Trekant ABC er formlik med trekant ACD siden A er felles og begge trekanter har en vinkel på 90. b) Vis at trekant ABC er formlik med trekant BCD Trekant ABC er formlik med trekant BCD siden B er felles og begge trekanter har en vinkel på 90. c) Forklar at vi kan sette c a og a y c b b x Trekantene ACD og BCD er formlike siden begge disse trekantene er formlike med trekant ABC. (Se a) og b)) Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er det samme for alle par av samsvarende sider, og vi kan dermed sette c a og a y c b b x d) Vis at vi kan sette c a a a a y a c y c y a a c y a og c y og c b b b b x b c x c x b b c x b c x e) Vis at a b c. a b cy c x c y x Fra figuren ovenfor har vi at c x y. Vi får dermed at: a b cc c. 6

17 .. Lag et geometrisk bevis for Pytagoras læresetning. Bruk gjerne GeoGebra. Eksempel: Vi lager et kvadrat og deler sidelengdene i to deler a og b. Trekker linjer som figuren viser og får på denne måten 4 like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kalles c. Det rosa arealet er et kvadrat med sidelengde c og areal c. Flytter på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. Arealet i de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik a b. Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene. Det må bety at det blå arealet i de to figurene er like stort, altså at Pytagoras setning for våre rettvinklede trekanter. a b c. Dette er nettopp..3 Finn et bevis for Pytagoras setning på internett og skriv det inn her. 7

18 .3 Setningen om periferivinkler og Thales setning..3. a) Finn de ukjente vinklene i trekantene ABC, ASC og BSC på figuren. S er sentrum i sirkelen. Se figuren. Setningen om periferi- og sentralvinkel gir at ASC 40 og Thales setning gir at ACB 90. Trekantene ASC og BSC er likebeinte. Dette sammen med at vinkelsummen i en trekant er 80 gir vinklene SAC SCA (80 40 ) 70, BCS 0 og BSC b) Firkanten ABCD er innskrevet i en sirkel der buen AB 77,0, buen AD 63,0 og buen CD 4,0. Se figuren. Finn vinklene i firkanten ABCD. Når en korde spenner over en bue med et bestemt gradtall, er sentralvinkelen som spenner over denne korden lik gradtallet til buen. Setningen om sentral- og periferivinkler sier at da er periferivinkelen som spenner over samme bue halvparten av sentralvinkelen. Dette gir vinklene A 0,0 63,0 4,0 B 88,5 63,0 77,0 C 70, D 9,5 8

19 .3. Gitt figuren til høyre. Punktet S er sentrum i sirkelen. a) Finn buen AC uttrykt i grader. ABC spenner over buen AC. Sentralvinkelen ASC er er. Buen AC er dermed 76 b) Finn BSD. Sentralvinkelen BSD c) Finn vinkel C. Fra oppgave b) har vi at BSD er 3. Vinkel C blir dermed d) Finn SDB Trekanten SDB er likebeint. Da er SDB SBD. SDB blir dermed På figuren er A sentrum i en sirkel og AB BJ Bestem alle vinklene på figuren. Siden AB = BJ er BAJ BJA 80 og ABJ E spenner over samme bue som 80 BAD og er dermed 40 EJD BJA 80 (toppvinkler) JDE AJE BJD JBC C

20 .3.4 På figuren er AB diameter i en sirkel og punktet C ligger på sirkelen. Bestem de ukjente vinklene på figuren. Trekantene BCS og ASC er likebeinte. Da er B SCB 40 og BSC ACB 90 (Thales setning). Da er SCA , A SCA 50 og ASC På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem alle vinklene på figuren. ASC er sentralvinkel og spenner over samme bue som periferivinkelen ABC. Derfor er ASC 60 0 Trekanten ASB er likebeint. Derfor er 80 0 SAC SCA 30. Ser på trekanten ABC og finner C. C 80 A B 80 (30 30 ) Dermed er SCB

21 .3.6 På figuren er S sentrum i sirkelen. Bestem ukjente vinkler på figuren. ASC er sentralvinkel og spenner over samme bue som periferivinkelen ABC. Derfor er ASC Trekanten ASC er likebeint. Derfor er SAC SCA 0. Ser på trekanten ABC og finner C. C 80 A B 80 (0 0 ) Dermed er SCB a) Forklar at trekantene IHJ og GFJ på figuren er formlike. IJH FJG (toppvinkler) H F (periferivinkler som spenner over samme bue). Da er også den tredje vinkelen lik. Altså er vinklene i de to trekantene parvis like og trekantene er formlike. b) Vis at JF IJ HJ JG Siden trekantene er formlike har vi: JF JG HJ IJ JF IJ HJ JG

22 .3.8 Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. To linjer går gjennom A og skjærer sirkelen i henholdsvis F og G og i H og I. Vi trekker linjestykkene GH og IF. De skjærer hverandre i J. Se figuren. a) Forklar at trekantene AHG og AFI er formlike A er felles i de to trekantene. G I(periferivinkler som spenner over samme bue). Da er også den tredje vinkelen lik. Altså er vinklene i de to trekantene parvis like og trekantene er formlike. b) Vis at AF AG AH AI Siden trekantene er formlike har vi: AF AI AH AG AF AG AH AI

23 .3.9 Gitt en sirkel og et punkt A utenfor sirkelen. Gjennom A går det ei linje som tangerer sirkelen i F og ei linje som skjærer sirkelen i H og I. Se figuren. a) Forklar at HIF HSF HIF HSF (periferivinkel og sentralvinkel over samme bue.) b) Forklar at vi kan skrive AFH 90 HFS SFA 90, radien i en sirkel, (SF i vår oppgave), står alltid normalt på en tangent til sirkelen. Dermed er AFH 90 HFS. c) Vis at HFS 90 HSF SHF HFS (likebeint trekant.) Dermed er HSF 80 HFS HFS 80 HSF HFS 90 HSF d) Vis at AFH AIF Fra b) har vi at AFH 90 HFS og fra c) har vi HFS 90 HSF. Det betyr at AFH HSF AFH HSF Setning om sentralvinkel og periferivinkel gir at HSF HIF Videre er HIF AIF Dermed har vi vist at AFH AIF 3

24 e) Forklar at trekantene AFH og AIF er formlike. A er felles i trekantene AFH og AIF. I a) viste vi at HIF AFH Siden to av vinklene i trekantene er parvis like må også den tredje være det og trekantene er formlike. f) Vis at AF AH AI Siden trekantene er formlike har vi: AF AH AI AF AF AH AI g) Bruk det du viste i f) til å bestemme lengden av BE på figuren til høyre. Linja gjennom Bog E er tangent til sirkelen, lengden til BC er 3 og lengden til diameteren CD er 0. Vi får at BE BC BD BE 39 h) Sjekk svaret i g) ved å bruke Pytagoras setning. Kaller sentrum i sirkelen for S. Radien SE i sirkelen står normalt på tangenten gjennom BE. Bruker Pytagoras setning og finner SC CB SE BE BE BE BE

25 .4 Geometriske steder.4. Merk av et linjestykke AB 5 cm. Konstruer det geometriske sted for alle de punktene som ligger like langt fra A som fra B. Hva kalles dette geometriske stedet? Det geometriske sted for alle de punkter som ligger like langt fra linjestykkets endepunkter kalles midtnormalen.4. Gitt to linjer mog nsom skjærer hverandre. Finn mengden av alle de punktene som ligger like langt fra mog n. Hva kalles dette geometriske stedet? Vinkelhalveringslinjene 5

26 .4.3 Konstruer samlingen av alle de punktene som ligger 3 cm fra et punkt P. Hva kalles dette geometriske stedet? Løsning i GeoGebra. Avsett først et linjestykke på 3 cm. Velg passer Velg linjestykke Velg punkt dvs. sentrum i sirkelen.4.4 Finn det geometriske sted for de punktene som ligger 4 cm fra en gitt linje l. Hva kalles dette geometriske stedet? Avsett en linje Konstruer to midtnormaler til linjen Avsett punkter på midtnormalen 4 cm fra linjen Konstruer paralleller til linjen gjennom punktene Stedet kalles parallelle linjer. 6

27 .4.5 En tangent til en sirkel er en linje som berører sirkelen i bare ett punkt. Tangenten står alltid normalt på radien i tangeringspunktet. Bruk setningen om periferivinkler og sentralvinkler til å konstruere tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. Løsning:. Tegner en sirkel med sentrum i O (blå sirkel). Vi lar P være et punkt utenfor sirkelen.. Konstruerer en ny sirkel med sentrum i midtpunktet M på linjestykket fra P til O (grønn sirkel). 3. Vi kaller skjæringspunktene mellom sirklene for A og B. Vi har da at PBO PAO 90 siden begge er periferivinkler i en sirkel hvor vinkelbeinene spenner over en diameter. Vi ser at lengdene av de to tangentstykkene er like lange. PA PB. Dette er riktig fordi PAO og PBO er kongruente. 7

28 .4.6 En trekant ABC er gitt ved at AB 7,0 cm, ACB 90 og AC 3,0 cm. Konstruer trekanten. Løsning GeoGebra:. Avsatte linjestykket AB 7,0 cm.. Lar linjestykket AB være diameter i en sirkel (grønn sirkel). Periferivinklene på sirkelbuen vil da være Konstruerte det geometriske sted for C slik at AC 3,0 cm (rød sirkel). Vi får to muligheter for punktet C..4.7 Per bor 4 km fra skolen og km fra treningssenteret. a) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra. Marker skolen og treningssenteret som to punkt. Vis hvor Per kan bo i forhold til disse punktene.. Avsetter to punkter som markerer treningssenteret og skolen.. Avsetter en sirkel med radius med treningssenteret som sentrum og en sirkel med radius 4 med skolen som sentrum. Per bor der disse to sirklene skjærer hverandre. På figuren ovenfor er det to alternativer for hjemmet. Vil det alltid være to alternativer? 8

29 Sett avstanden fra der Per bor til skolen som x og avstanden til treningssenteret som x. b) Bruk dynamisk programvare for eksempel GeoGebra og finn det geometriske stedet for hvor Per nå kan bo.. Avsetter et linjestykke x og et linjestykke x på en linje. Bruker så samme fremgangsmåte som i oppgave a).. Høyreklikk på punktene som markerer hjem og sett på sporing. Dra så i punktet A slik at avstanden x og x endrer seg. Det geometriske stedet ligger på den røde sirkelen. 9

30 .5 Skjæringssetninger i trekanter Midtnormalene og den omskrevne sirkelen.5. Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den omskrevne sirkelen til trekanten.. Konstruerte midtnormalene til sidekantene i trekanten.. Tegnet så en sirkel med sentrum i skjæringspunktet til midtnormalene, og med radius lik avstanden fra skjæringspunktet til ett av hjørnene i trekanten..5. Fortsett med trekanten fra oppgave.5.. Dra i hjørnene til trekanten slik at sentrum i den omskrevne sirkelen veksler mellom å ligge inne i trekanten, på en av sidene eller utenfor trekanten. Kan du finne noe mønster når det gjelder vinklene i trekanten? Ser du noen sammenhenger med setningen om periferivinkler og sentralvinkler? Når skjæringspunktet ligger inne i trekanten, ser det ut som alle vinklene i trekanten er mindre enn 90 grader. Sidekantene danner da korder i sirkelen. Setningen om periferi- og sentralvinkel sier at Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over den samme sirkelbuen, er sentralvinkelen dobbelt så stor som periferivinkelen. Når skjæringspunktet ligger inne i trekanten, vil buen som spenner over sidekantene aldri bli større enn 80 grader. Når skjæringspunktet til midtnormalene ligger på en av sidene i trekanten, vil vi få en rettvinklet trekant. Denne siden blir da diameteren i sirkelen. Den motstående vinkelen til denne siden blir rett, jfr. Thales setning. Når skjæringspunktet ligger utenfor trekanten, vil en av vinklene bli større enn 90 grader. Buen som spenner over en av kordene vil alltid bli større enn 80 grader. 30

31 Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen.5.3 Tegn en tilfeldig trekant. Konstruer den innskrevne sirkelen til trekanten.. Konstruer vinkelhalveringslinjene til vinklene i trekanten.. Konstruerer normalen fra skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene til en av sidene i trekanten. 3. Tegner en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene, og med radius lik avstanden til en av sidene..5.4 a) Konstruer den innskrevne sirkelen i en likesidet trekant ABC. 3

32 b) Finn et eksakt uttrykk for radien r i den innskrevne sirkelen når sidene i trekanten er lik 4 cm. Vinklene i en likesidet trekant er 60. I trekanten ADS er ADS 90, SAD 30 og ASD 60. Hypotenusen AS i trekanten ADS er dobbel så lang som kateten DS (30, 60, 90 trekant). Vi har radius= DS x. Bruker Pytagoras læresetning og får likningen x x 4x x 4 x x Radius blir AD cm. Setter AS x. Da er c) Vi setter nå lengden til sidene i trekanten ABC s. Finn et uttrykk for radien r i den innskrevne sirkelen uttrykt ved s. Hypotenusen AS i trekanten ADS er dobbel så lang som kateten DS (30, 60, 90 trekant). Bruker Pytagoras læresetning og finner radius ved å løse likningen. 4r r r r r s r s 4 s s s r s r 3 3

33 .5.5 Gitt en trekant ABC med sider a) Vis at trekant ABC er rettvinklet AB 3 cm, BC 4 cm og AC 5 cm. Pytagoras læresetning viser at dette er en rettvinklet trekant. b) Konstruer den innskrevne sirkelen. La S være sentrum i den innskrevne sirkelen og SD vere avstanden fra S til linja gjennom AB. Videre er E skjæringspunktet mellom vinkelhalvveringslinja gjennom C og linja gjennom AB. c) Forklar at EBC EDS. Vi har at SD BC. Linja gjennom EC skjærer SD og BC. Setningen om samsvarende vinkler gir da at BCE DSE. Begge trekantene er rettvinklete. Det betyr at trekantene må være formlike. d) Vis at BCE 8,45. Finner først BCA ved å bruke definisjonen til tangens.(vi kunne her ha brukt definisjonene til sinus og cosinus også, da vi kjenner alle sidene i trekanten ABC ). 3 tanbca 4 BCA 36,9 Linja EC er vinkelhalveringslinja til vinkel C. Vi har dermed BCE 36,9 8,45 33

34 e) Vis at lengden EB,33 Finner lengden EB ved å bruke definisjonen av tangens. EB tanbce BC EB tan8,45 4,00cm EB,33cm f) Forklar at ED EB r Linjene DS og BC er parallelle. Det betyr at EB DS r. Vi har da at ED EB r. g) Regn ut radien i den innskrevne sirkelen. Bruker at trekantene EDS og EBC er formlike. Vi har da ED DS EB BC EB r r EB BC Husk at ED EB r og DS r EB r BC r EB r,33 4 r,33 r,00 34

35 Høydene.5.6 a) Tegn en tilfeldig trekant og finn skjæringspunktet S mellom høydene ved konstruksjon. b) Hva kan du si om trekantens vinkler hvis dette skjæringspunktet ligger. inne i trekanten? Alle vinklene er spisse.. i et av trekantens hjørner? Vi får en rettvinklet trekant. 3. utenfor trekanten? En av vinklene blir stump. 35

36 Medianene.5.7 a) En median deler alltid en trekant i to like store deler (arealer). Kan du vise dette ved hjelp av arealsetningen eller på en annen måte? Punktet S på trekanten til høyre ligger midt mellom A og C. Vi vil vise at arealet til trekanten ABC er dobbelt så stort som arealet til trekanten ABS. Arealet til ABS AB AS sin A AB AC sin A AB AC sin A 4 AB AC sina Arealet til ABC b) Klipp ut en trekant av et stivt papir eller papp. Fest trekanten i et hjørne og la den henge fritt. Finn loddlinjen gjennom opphengingspunktet. Hvor treffer loddlinjen den motsatte siden? c) Skjæringspunktet mellom medianene i en trekant kalles også for trekantens tyngdepunkt. Kan du forklare hvorfor? d) Hvordan kan du få en trekantet metallplate til å balansere vannrett når du plasserer den på en loddrett spiker? 36

37 .6 Vektorer Regning med vektorer.6. Gi eksempler på 3 vektorstørrelser og på 3 skalare størrelser. 0 km vest er en vektor Temperatur er en skalar Kraft er en vektor Volum er en skalar Forflytning er en vektor 30 kr er en skalar.6. Figuren viser en bil som er påvirket av to krefter. En rute svarer til en kraft på 00 N. Hvor store er kreftene? K er en kraft på 000 N =,0 kn og virker mot høyre. R er en kraft på 550 N = 0,55 kn og virker mot venstre..6.3 a) Hvilke vektorer har samme retning? Vektorene a og e har samme retning. Vektorene b og d har samme retning. b) Hvilke vektorer har samme lengde? Vektorene a og e har samme lengde. Vektorene c og f har samme lengde. c) Hvilke vektorer er like? Vektorene a og e har samme retning og lik lengde. Vektorene a og e er dermed like. 37

38 .6.4 Figuren viser en rombe ABCD. Tegn vektorer mellom hjørnene. a) Hvilke vektorer er like? AB DC BC AD DA CB BA CD b) Hvilke vektorer er motsatt rettet? AB og BA er for eksempel motsatt rettet c) Hvilke vektorer er like lange? I en rombe er alle side like lange. Vektorene AB, BA, BC, CB, CD, DC, AD og DA er dermed like lange..6.5 a) Tegn en regulær femkant ABCDE (alle sidene er like lange) i for eksempel GeoGebra. b) Tegn vektorene mellom hjørnene i femkanten. c) Hvor mange ulike vektorer finnes det? Dersom vi tar med vektorene langs sidekantene, er det i alt 0 ulike vektorer. 38

39 .6.6 Tegn to vektorer i GeoGebra. Summer vektorene. Skjermbildet viser et eksempel på hvordan du kan gå frem. a) Flytt på vektorene du tegnet ved å dra i selve vektoren, og i endepunktene til vektoren. Hva observere du? Vektorsummen, lengden på den røde vektoren, endrer seg. b) La u og v være like. Hva observerer du? Lengden av w er lik summen av lengden til u og v. c) La u og v være like lange, men motsatt rettet. Hva observerer du? Lengden av w blir 0. d) La u og v stå vinkelrett på hverandre. Hva kan du nå si om lengden til w? Vi kan finne lengden til w ved hjelp av Pytagoras læresetning. 39

40 Addisjon av vektorer.6.7 En bil kjører 5 km mot øst. Så svinger den 90 mot nord og kjører 4 km i denne retningen. Bilen dreier så 90 og kjører 8 km mot vest. a) Illustrer de aktuelle forflytninger ved vektorer. Finn summen av forflytningene (resultantforflytningen). b) Bestem lengden og retningen til resultantforflytningen. Resultantforflytningen er representert ved den røde vektoren i figuren ovenfor. Lengden til denne vektoren er km 5 km 5 km og retningen er mot nordvest. Vi kan angi retningen mer presist ved å bruke trigonometri. c) Resultantforflytningen er summen av forflytningene. Kan du på dette grunnlaget foreslå en måte å summere vektorer på? Vi summerer vektorer ved å henge dem etter hverandre. Summen av forflytningene starter der den første starter og slutter der den siste slutter. 40

41 .6.8 Vektorene AB, BC, CD, DE og EA danner en femkant slik figuren viser. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig. a) AB BC AC b) DC CB BA DA c) EA AB EB d) EA AB BC EC e) BE ED BD f) AB CB AF g) BA AE BG 4

42 .6.9 Gitt vektorene a og b. Finn vektorene a b og b a. Hva oppdager du? Når vi adderer to vektorer, får vi samme resultat uansett hvilken rekkefølge vi adderer vektorene i. 4

43 .6.0 Vi har gitt tre vektorer som vist på figuren. Tegn vektorene a) a b b) c a c) b c 43

44 .6. Gitt et rektangel ABCD. Tegn følgende vektorer og skriv dem enklere hvis det er mulig. a) AB BC AC b) AD DC AC c) BC AC BA d) DC AC DA e) AB DC 0 44

45 Multiplikasjon av vektor med et tall.6. Vi har gitt tre vektorer i et koordinatsystem. Se figuren. Tegn vektorene a) b) c) a b b c 3 3 a b c 45

46 .6.3 Vektorene a, b, c og d er gitt i figuren. Bruk for eksempel GeoGebra og finn a) a b c d b) c) d) a b c a b c a b c d 46

47 .6.4 Gitt vektorene nedenfor. a) Uttrykk vektorene c, d, e og f ved hjelp av vektorene a og b. c 3a d b e a b f a b a b b) Uttrykk vektorene a og b ved hjelp av vektorene c og d. a c 3 b d 47

48 .6.5 Denne oppgavene egner seg godt for bruk av dynamisk programvare, for eksempel GeoGebra. a) Tegn en vilkårlig firkant ABCD. b) Finn av midtpunktet på hver av sidene. Kall midtpunktet på AB for E, på BC for F, på CD for G og på AD for H. c) Tegn firkanten EFGH. d) Mål lengden på sidene i firkanten EFGH. e) Dra i hjørnene på den opprinnelige firkanten ABCD. Hva observerer du? Det ser ut til at firkanten EFGH er et parallellogram uansett hvordan formen til firkanten ABCD er. Vi setter nå AB a, BC b og CD c.. EF AB BC a b a b f) Vis at EF kan skrives som: EF a b. g) Vis at HD kan skrives som: HD a b c HD AD a b c h) Uttrykk HG ved hjelp av a, b og c. HG HD CD a b c c a b 48

49 i) Hva kan du si om vektorene EF og HG? Vektorene er like, EF HG j) Vis at EH FG. Vi går frem på samme måte som over. Uttrykket først vektor FG ved hjelp av vektorene b og c. FG BC CD b c b c Vi har at AH AD a b c Det gir EH AB AH a a b c b c Dermed at EH FG Vi har dermed bevist at firkanten EFGH alltid vil være et parallellogram. 49

50 Skalarproduktet.6.6 Tegn en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Sett lengden til den korteste kateten lik. a) Finn de andre sidene i trekanten. I en 30, 60, 90 trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. I denne trekanten blir lengden. Den andre kateten blir 3 b) Bestem verdien til cos30 og cos60 cos30 hosliggende katet 3 hypotenus cos60 hosliggende katet hypotenus Disse resultatene får du bruk for i en del av oppgavene nedenfor..6.7 Vi har gitt vektorene a og b. a 5, 4 Finn skalarproduktet mellom a og b. b og ab Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b. Vi setter inn og finner a b a b a b, 60. cos, 54cos

51 .6.8 Vi har gitt vektorene p og q. Lengden av p er 7, lengden av q er 3 og vinkelen mellom vektorene er 30. a) Regn ut pq. 3 3 pq p q cos p, q 73cos30 b) Regn ut q p. 3 3 q p q p cos q, p 37cos30 c) Hva er skalarproduktet mellom p og q? Samme som i oppgave a) og b). d) Hva er prikkproduktet mellom p og q? Samme som i oppgave a) og b). e) Finn p. p p p p p p p cos, 77cos (Vinkelen mellom to like vektorer er 0 og cos0 ) f) Finn q. q q q q q q q cos, 33cos

52 .6.9 Gitt vektorene a og b der Finn lengden til b. a og ab Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b Vi setter inn og finner lengden til b. 4 b cos60 4 b cos60 4 b 4 6, 60. Skalarproduktet mellom a og b er Vi har gitt at u 6. Finn u. Skalarproduktet er gitt ved u u u u u cos u, u Vi setter inn og finner u. 6 u u cos 0 u u 6 cos0 6 u Gitt vektorene a og b der a og b 5.. Skalarproduktet mellom a og b er 30. Finn vinkelen mellom vektorene a og b. 30 5cos ab, 30 cos ab, 60 ab, 60 5

53 .6. a) Tegn en likebeint rettvinklet trekant der lengden til katetene er. b) Finn lengden til hypotenusen. h c) Bestem cos45 hosliggende katet cos45 hypotenus Dette resultatet får du bruk for i en del av oppgavene nedenfor..6.3 Gitt vektorene a og b der a 3 og b 8. Finn skalarproduktet mellom a og b når a) ab, 0 ab 38cos0 4 b) ab, 45 ab 38cos45 38 c) ab, 90 ab 38cos90 0 d) ab, 35 ab 38cos35 38cos45 e) ab, 80 ab 38cos80 4 Kan du se noe mønster i svarene dine på denne oppgaven? Skalarproduktet blir 0 når vektorene står vinkelrett på hverandre. Absoluttverdien av skalarproduktet har størst verdi når vektorene er parallelle og har samme retning. 53

54 .6.4 Vi har gitt vektorene F og s. F 50, s 0. a) Finn skalarproduktet mellom F og s når vinkelen mellom vektorene er 30. Skalarproduktet er gitt ved a b a b cos a, b Vi setter inn og finner skalarproduktet. F s F s cos F, s 50 0 cos La F være den kraften Magnus bruker når han drar kjelken sin over isen. Siden en kraft måles i N(Newton), sier vi at F 50 N. Magnus drar kjelken sin 0 m. Vi sier at forflytningen er 0 m eller at lengden til forflyttingsvektoren, s, er 0 m, retning 30 i forhold til forflytningen. s 0 m. Magnus drar med en kraft som har Vi definerer arbeidet som Magnus utfører som skalarproduktet mellom F og s. b) Hvor stort arbeid utfører Magnus? Arbeidet er definert som skalarproduktet mellom F og s. Arbeidet som Magnus utfører blir dermed Nm c) Lag en tegning som illustrerer situasjonen. Vis de aktuelle vektorene på tegningen d) Hva blir måleenheten for arbeidet? Måleenheten for arbeidet er Nm og kalles ofte Joule, J. 54

55 .6.5 Gitt vektorene a og b der a 5, 4 Regn ut a a b a 3b. 3 6 b og ab a a b a b a ab a b a 8ab Finner at ab 54cos60 0 og a 5 5 cos0 5 Setter inn og finner at a 8a b , Gitt vektorene a og b der a 3 og b 4. Vinkelen mellom vektorene er 60. Vektorene u og v er gitt ved u a b og v 3a 4b. a) Finn ab, a og b. ab a b cos a, b ab 34cos a a a a a cos, 33cos b b b b b cos, 44cos b) Finn uv. 3 4 u v a b a b u v 3a 4a b 6a b 8b u v 3a a b 8b uv

56 c) Finn vinkelen mellom u og v. Vi finner først lengden av vektorene. u a b a 4ab 4b v 3a 4b 9a 4ab 6b Så kan vi finne vinkelen mellom vektorene. uv 89 cos uv, u v uv, 30,6.6.7 La a 5, b 3 og ( ab, ) 60. Gitt u a b ogv a b. a) Finn lengden til u og lengden til v. u Finner u u. u a b a b a ab b 5 53cos Lengden av u u blir dermed: u 49 7 v Finner v v. v a b a b a ab b 5 53cos Lengden av v blir dermed: v 9 56

57 b) Finn vinkelen mellom u ogv. Bruker skalarproduktet og finner vinkelen. u v u v cos u, v cos uv, cos uv, a b cos uv, cos uv, 7 9 uv, 58,4 uv u v a ba b

58 .7 Vektorer på koordinatform.7. a) Skriv vektorene i koordinatsystemet nedenfor uttrykt ved enhetsvektorene og på koordinatform. Vektoren skrevet med enhetsvektorene a e e x y a, b e x e y Vektoren skrevet på koordinatform b, c 3e 0e 3e x y x c 3, 0 d e e d, x f e x e y y f, g 0e e e x y y g 0, b) Hvilke vektorer er parallelle? b f siden b f a d siden a d c) Hvilke vektorer er like? b f 58

59 .7. Tegn følgende vektorer i et koordinatsystem a,5 b 3, c 5, 3 d 4, e 3,0 f 0, Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. a),5 e 5 b) 3, e x 3e e c) 4,0 4e 0 e x x y y y 59

60 Sum og differanse mellom vektorer på koordinatform.7.4 Gitt vektorene a,3, b 3, 5 og, 6 Finn a) a b,3 3,5 3,3 5,8 c. b) a b,3 3,5 3,35 5, c) a b c,3 3,5, 6 3,3 56, d) c b a, 6 3,5,3 3, , a) Uttrykk a, b og c fra oppgave.7.4 ved hjelp av enhetsvektorene. a,3 e 3e b 3,5 3e 5e c, 6 e 6e e 6e x y x y x y x y b) Gjør oppgave.7.4 a og c når vektorene skrives på denne formen. Får du samme resultat som i oppgave.7.4? a b e 3e 3e 5e e 3e 3e 5e e 8e x y x y x y x y x y a b c e 3e 3e 5e e 6e e 3e 3e 5e e 6e e e Ja vi får samme svar! x y x y x y x y x y x y x y 60

61 .7.6 Gjør oppgavene i.7.4 ved å tegne vektorsummene. Sjekk om du får samme svar. Svarene blir like. 6

62 Multiplikasjon av vektor med et tall.7.7 Gitt vektorene a,3, b 3,5 og, 6 Regn ut a) 3a b 4c c. 3,3 3,5 4, 6 6,96,0 4, , ,43 b) 5a 3c 4b 5,3 3, 6 4 3,5 0, 5 3, 8,0 0 3, 5 8 0, Gitt punktene A4,0, B3,5, C 0,7, D 3,5, E 4,0, F 3, 5 og G3, 5 a) Bestem vektorene AB, CD, EF, GC, FA og EC. AB 3 4,5 0,5 CD 3 0,57 3, EF 3 4, 5 0, 5 GC 0 3,7 5 3, FA 4 3,0 5 7,5 EC 0 4,7 0 4,7. b) Uttrykk vektorene i a) ved hjelp av posisjonsvektorene til endepunktene. ( For eksempel: Start i punkt A og kom til punkt B ved hjelp av posisjonsvektorene.) AB OA OB OB OA CD OC OD OD OC EF OE OF OF OE GC OG OC OC OG FA OF OA OA OF EC OE OC OC OE 6

63 c) Finn lengdene til vektorene i a). AB 5 6 CD 3 3 EF 5 6 GC 3 53 FA EC Gitt vektorene 3, og,4. a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene. 3, 3ex ey,4 ex 4ey b) Vis at 3ex ey ex 4ey kan skrives som 3e 4e e 8e. x x y y 3ex ey ex 4ey 3ex ex ex ey ey ex 8ey ey 3ex 4exey 8ey c) Vis at skalarproduktet e e e og e e e. x x x y y y Vinkelen mellom to like vektorer er 0. Lengden av enhetsvektoren er. Vi får da e e e e cos e, e cos0 x x x x x x e e e e cos e, e cos0 y y y y y y d) Vis at skalarproduktet e e 0. x Vinkelen mellom enhetsvektorene e og e er 90. Vi får da y e e e e cos e, e cos x y x x x y e) Regn ut skalarproduktet du fant i oppgave b). ex ey ex ey ex exey ey f) Forklar at skalarproduktet mellom vektorene 3, og,4 kan skrives som 3,, Dette har du vist i deloppgavene ovenfor x y 63

64 .7.0 Vi har gitt vektorene a,3, 3, 5 b. a) Finn skalarproduktet mellom vektorene.,33, Alternativt b) Finn lengden til vektorene. a 3 3 b c) Finn vinkelen mellom vektorene. Bruker a b a b cos a, b cos ab, og får; ab, 64,7 64

65 .7. Gitt koordinatsystemet og vektorene på figuren. Du ser for eksempel at vektoren c har koordinatene 4,3. a) Skriv alle vektorene på koordinatform. a 6,0, b 0, 4, c 4,3, d 3, 3, 8, 6, 4,, 3,4 e f g b) Finn a b og c d. a b6,00, 4 6 0,0 4 6, 4 4,3 3, 3 4 3,3 3,6 cd c) Finn lengdene av e og g. e 8, g 3, d) Sjekk ved regning om c d. Bruker skalarproduktet og finner 4,3 3, Skalarproduktet blir ikke 0. Vektor c står ikke vinkelrett på vektor d. e) Sjekk ved regning om c e. Sjekker om c t e. 65

66 4, 3 t 8, t og 3 6t t og t Vi kan skrive c e. Vektor c er dermed parallell med vektor e. 66

67 .8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger..8. I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Gitt firkanten ABCD hvor A,3, B 7,4, C 8,6 og,5 D. Undersøk om firkanten ABCD er et parallellogram. Velger først å tegne firkanten i GeoGebra selv om dette ikke er nødvendig. For å vise at firkanten er et parallellogram, viser vi i at AB DC og at AD BC. AB 7, 4 3 6, DC 8, 65 6, AD, 53, BC 8 7, 6 4, Vi har AB DC og AD BC. Firkanten ABCD er et parallellogram. NB! Det er egentlig nok å vise at to vektorer er like. De to andre vektorene er dermed like. Kan du gi en forklaring på dette til en medelev? 67

68 .8. a) Finn koordinatene til punktet B når AB,3 og A har koordinatene A 4,5 Setter B x, y OB OA AB. Bruker posisjonsvektoren og setter x 0, y 0 4 0, 5 0,3 x, y 4, 5,3 x 4 og y 5 3 x6 og y8 Koordinatene til punktet B er 6, 8. Figuren til høyre illustrer løsningen. Vi kan også finne punktet B slik: AB x 4, y 5, 3 x 4, y 5 x 4 og y 5 3 x6 og y8 b) La C være midtpunktet på AB. Finn punktkoordinatene tilc. Når C er midtpunktet på AB kan vi sette OC OA AB x, y 4, 5,3 3 x 4 og y 5 3 x5 og y Koordinatene til punktet C er 3 5, 68

69 .8.3 Gitt trekanten ABC, der A,, B 4,6 og C 4, 4. a) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av skalarproduktet. Finner vinkel A ved hjelp av AB 4,6 6,4 AC 4, 4 6, 6 Bruker definisjon på skalarproduktet og finner vinkel A. AB AC AB AC cosa A 78,7 AB og AC og skalarproduktet mellom vektorene AB og AC. Finner vinkel B ved hjelp av BA og BC og skalarproduktet. BA 4,66, 4 BC 4 4, 4 60, 0 BABC BA BC cosb B 56,3 69

70 Vinkel C blir: 80 78,7 56,3 45 b) Finn vinklene i trekanten ved hjelp av cosinussetningen. Cosinussetningen: a b c bccos A BC AC AB AC AB cosa AC AB BC cosa AC AB cosa 7 5 A 78,7 BC AB AC cosb BC AB cosb 0 5 B 56,3 Vinkel C blir: 80 78,7 56,

71 .8.4 Gitt punktene A,4, B 4, og 7,6 C. a) Finn vinklene i trekanten ABC ved vektorregning. Bruker skalarproduktet til å finne to av vinklene. AB AC AB AC cosa 3, 3 6, 3, 3 6, cosa A 63,4 BABC BA BC cosb 3,3 3,5 3,3 3,5 cosb B 76,0 Vinkel C blir 80 64,4 76,0 40,6 7

72 La D være et punkt på linjen gjennom A og B slik at CD står vinkelrett på AB. b) Bruk vektorregning og finn koordinatene til punktet D. Lager en skisse som viser problemstillingen. Dersom skalarproduktet AB CD er 0 vil vektorene AB og CD stå vinkelrett på hverandre. Finner først koordinatene til punktet D x, y ved å bruke at AD t AB. x, y 4 t3, 3 x 3t y 4 3t x 3t y 3t 4 Bruker skalarproduktet og finner t. ABCD 0 t t 3, 33t 6, 3t 0 3, 3 3 7, t8 9t 6 0 8t t 3 Koordinatene blir x 3 y x 3 y Punktet D har koordinatene 3,. c) Bestem høyden DC i trekanten. Høyden er det samme som lengden av CD. 3 7, 6 4, 4 4, CD Høyden= CD 4 4 7

73 .8.5 Vis ved vektorregning at diagonalene i en rombe alltid står vinkelrett på hverandre. En rombe er en firkant der alle sidene er like lange. Se figuren. Motstående sider er parallelle. Setter AB a og BC b. Det medfører at DC a og AD b. Vi uttrykker diagonalene med a og b. AC a b og BD a b Skalarproduktet mellom vektorene AC og BD er AC BD a b a b AC BD a a a b b a b b AC BD a a b b AC BD a b I en rombe er sidene like lange. Lengdene av vektorene a og b er dermed like lange. Definisjonen av skalarproduktet gir a a. Skalarproduktet blir altså 0. Diagonalene står dermed vinkelrett på hverandre. 73

74 .8.6 utfordring!! Du starter en fotballkamp i midtsirkelen (origo). I løpet av de første tre pasninger beveger fotballen seg på følgende måte. Den går først 5 meter i retningen gitt ved vektoren,. Deretter beveger den seg 30 meter i retningen 8,3, 4., for til slutt å bevege seg meter i retningen a) Hvor befinner ballen seg etter tre pasninger? (Hvilken posisjon har den?). Her vil det være naturlig å bruke et digitalt hjelpemiddel. Tips. Lag en skisse av situasjonen Vi må finne ut hvilket tall de tre ulike vektorene må multipliseres med slik at lengden av vektoren får de oppgitte målene., k 5 k 5 5 k 6,7 5 8,3 n 30 n 8 3 n 30 30,97 5,6, 4 m 4 m m,9 7 Vi finner så vektorsummen,6,78,3,97, 4,9 6.4, 7.39 Ballen befinner seg i posisjonen 6., 7.4 b) Hvor langt har ballen forflyttet seg? 6., 7.4 8, Ballen har forflyttet seg 8, m bort fra midtsirkelen 74

75 .9 En sirkel i planet.9. Gitt en sirkel med sentrum i, og radius 3. Finn likningen for sirkelen. x y x y x y x, y Likningen for en sirkel med sentrum i, og radius 3 er x y 3.9. Gitt en sirkel med sentrum i, og diameter 6. Finn likningen for sirkelen. Radius i sirkelen blir 3, og vi kan sette y x, 3 x y 3 x y 3 x y 3 Likningen for en sirkel med sentrum i, og diameter 6 er x y 3 75

76 .9.3 Bestem sentrum og radius til sirklene: a) Sirkel er gitt ved likningen x y 3 Vi sammenlikner med likningen 0 0 Vi ser at sirkelen har sentrum i, 3 og r. b) Sirkel er gitt ved likningen x y x x y y r Vi sammenlikner med likningen x x y y r Vi ser at sirkelen har sentrum i, 6 og r 3. c) Sirkel er gitt ved likningen x y 00 Vi sammenlikner med likningen 0 0 Vi ser at sirkelen har sentrum i 0, 0 og r 0. x x y y r 76

77 .9.4 Finn sentrum og radius i sirklene gitt ved likningene: a) x x y y 4 4 Vi lager fullstendige kvadrater 4 4 x 4x y y 4 x 4x y y 4 x x y y x y x y 3 Dette er likningen for en sirkel med sentrum i, og radius r 3 b) x 4x y Vi lager fullstendige kvadrater x 4x y x y 4 x y 4 x 4x y Dette er likningen for en sirkel med sentrum i, 0 og radius 4. c) x x y 3y 3 Vi lager fullstendige kvadrater x x y 3y 3 x x y 6y x x y 6y 6 x y x y Dette er likningen for en sirkel med sentrum i, 3 og radius 6. 77

78 .9.5 Undersøk om likningene representerer sirkler, og finn i så tilfelle sentrum og radius. a) x 4 y 9 4 Vi ordner likningen x y x y Dette er likningen for en sirkel med sentrum i 0, 0 og radius. b) 4x 4y 4x y 6 0 Vi ordner og lager fullstendige kvadrater 4x 4x 4y y x x y 3y 6 x x y 3y x y x y 3 Dette er likningen for en sirkel med sentrum i, og radius. c) x x y y Lager fullstendige kvadrater x x y y 8 8 x 8x y y x y 4 Dette kan ikke være likningen for en sirkel siden vi får negativ høyre side. Likningen kan aldri bli oppfylt siden venstresiden alltid er positiv eller null, og høyresiden alltid er negativ. d) x x 3y y 4 Dette kan ikke være likningen for en sirkel. Grunnen er at vi ikke har samme tall foran alle andregradsleddene. 78

79 .9.6 Vi har gitt punktene A4, 5 og B 6,. En sirkel har AB som diameter. Bestem likningen for sirkelen. Sentrum for sirkelen blir midtpunktet Mx, y på AB. Finner først midtpunktet OM OA AB x, y 4, 5 6 4, 5 x, y 4, 5,6 x, y 4, 5 3 x, y 5, 8 Vi har da midtpunktet M 5, 8 Diameteren i sirkelen er gitt ved AB, Radius i sirkelen blir 0, og vi kan sette x 5, y 8 0 x y x 5 y 8 0 x y Alternativ x 5 y 8 0 x y Likningen for sirkelen er x y

80 Sirkelen beskrevet med funksjoner.9.7 a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x. x y 3 x y 3 y 9 x y 9 x y 9 x, x 5, For at y skal være en funksjon av x, må hver verdi av x gi én verdi av y. Vi trenger derfor to funksjoner for å beskrive sirkelen og y x x y 9 x, x 5, 9, 5, b) Tegn sirkelen. Vi tegner disse to funksjonene i et koordinatsystem og ser at de beskriver hver sin halvdel av sirkelen. 80

81 .9.8 a) Ta utgangspunkt i sirkellikningen og uttrykk y som en funksjon av x. 3 x y 3 x y 3 y x 3 y x 3 3 y x, x, For at y skal være en funksjon av x, så må hver verdi av x gi én verdi av y. Vi trenger derfor to funksjoner for å beskrive sirkelen 3 3 y x, x, og 3 3 y x, x, b) Tegn sirkelen. Vi tegner disse to funksjonene i et koordinatsystem og ser at de beskriver hver sin halvdel av sirkelen. 8

82 .9.9 Gitt en rettvinklet trekant ABC der A0,0, B3,0 og C 3,4, se figur a) Finn lengden AC. AC AB BC AC 3 4 AC 5 Sett AB x og BC y b) Finn y uttrykt ved x. y 5 x 5 5,5 y x x c) Tegn funksjonene du fant i b). Hva beskriver funksjonene? Funksjonene beskriver hver sin halvdel av sirkelen i figuren. Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5. 8

83 .0 Eksempeloppgaver fra Udir.0. Eksempelsett R, april 007 APB, som spenner over buen AB, kaller vi en periferivinkel. AOB, som spenner over buen AB, kaller vi en sentralvinkel. a) Tegn inn en annen periferivinkel som spenner over buen AB. Vinkelen er tegnet med røde vinkelbein. En setning i geometrien sier: En periferivinkel er alltid halvparten så stor som den sentralvinkelen som spenner over samme bue. For å bevise denne setningen tegner vi diameteren PQ. b) Forklar at POA og POB er likebeinte. I begge trekantene er to av sidene lik radien i sirkelen. c) Bruk b) til å forklare at BOQ BPO AOQ APO La v OPB OBP Da er BOQ 80BOP v v BPO La u OPA OAP Da er AOQ 80AOP u u APO d) Bruk c) til å bevise setningen ovenfor. La v OPB OBP Da er BOQ 80BOP v v BPO La u OPA OAP Da er AOQ 80AOP u u APO 83

84 .0. Eksempelsett R, desember 007 Vi har gitt en trekant ABC. Punktet D ligger på AB, punktet E ligger på BC, og punktet F ligger på AC. Se figuren. Cevas setning sier: Linjestykkene AE, BF og CD skjærer hverandre i ett punkt hvis og bare hvis AD BE CF DB EC FA Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. En median i en trekant er linjestykket fra et hjørne til midtpunktet på motstående side i trekanten. Vi lar AE, BF og CD være medianer i en vilkårlig trekant ABC. Da har vi at: AD AD DB DB BE AD BE CF BE EC EC DB EC FA CF CF FA FA Da sier Cevas setning at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. 84

85 .0.3 Eksempelsett R, desember 007 Bildet til venstre viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene R og r. Berøringspunktet mellom ballene og bordet kalles henholdsvis A og B. Berøringspunktet mellom ballene kalles C. I denne oppgaven skal vi undersøke egenskaper ved ABC. Figur viser et snitt gjennom sentrene i ballene, M og N. a) Forklar at BAM NBA 90, og at MNB 80 AMC. AB er tangent til begge sirklene (ballene). Radien i en sirkel står normalt på tangenten til sirkelen. Vi har da at BAM NBA 90. Presenterer to løsninger på neste oppgave. Alternativ Linjen gjennom MN skjærer de parallelle linjene (radiene) AM og BN. Vi har dermed samsvarende vinkler og kan skrive MNB 80 AMC.. Alternativ Bruker at vinkelsummen i firkanten ABNM er 360. MNB AMC BAM NBA 360 MNB AMC MNB 360 AMC MNB 80 AMC 85

86 b) Vis at AB Rr. (Tips: Bruk Pytagoras setning). Av figur med røde tilføyelser ser vi at AB R r R r AB R r R r AB R Rr r R Rr r AB R Rr r R Rr r AB 4Rr AB Rr Vi setter AMC v, BCN u og ACM w. c) Vis at uw 90, og at ACB 90.. Figur 3 viser figur med vinklene u og w. Av figuren fremgår det at og u v w v 80 Vi kan da skrive w v u 80v 80 w u u w 80 u w 90 ACB 80 u w

87 I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med R4 cm og r cm. d) Bruk b) til å finne lengden av AB. AB Rr 4 4 e) Konstruer med passer og linjal figur med R 4 cm og r cm konstruksjonen.. Skriv en forklaring til. Avsatte linjestykket AB 4 cm.. Konstruerte en normal til linjen AB i A og avsatte et punkt M i avstand 4 cm fra A. 3. Konstruerte en sirkel med sentrum i M med radius 4 cm (blå sirkel). 4. Halverte AB, fant midtpunktet og konstruerte en halvsirkel(grønn) med AB som diameter. 5. Fant C som skjæringspunktet mellom den blå og den grønne sirkelen. 6. Trakk ei linje gjennom M og C, slo en sirkel om M med radius 5 cm(ikke vist) og fant N som skjæringspunktet mellom denne sirkelen og linja gjennom M og C. f) Slå en halvsirkel med AB som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom C. Dette ble gjort i oppgaven ovenfor. 87

88 .0.4 Eksempelsett R, april 007 En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. a) Skriv opp vektorene AB, AC og BC. 4,0,4 3,4 AB AC BC M er midtpunktet på siden AB, og M er midtpunktet på siden AC. b) Vis ved regning at koordinatene til punktet M er,0 og til punktet M er,. Setter punktet M x y., AM AB x 0, y 0 4, 0 x 0 y 0 0 x y 0 Punktet M har koordinatene,0. Setter punktet M x y., AM AC x 0, y 0, 4 x 0 y 0 x y Punktet M har koordinatene,. 88

89 Vi kaller skjæringspunktet mellom CM og BM for S. En metode for å finne koordinatene til S består i å skrive CS på to måter. To ulike veier fra C til S gir Dette gir oss vektorlikningen CS kcm og CS CB t BM kcm CB t BM c) Sett inn koordinatene til CM, CB og BM, og vis at vektorlikningen kan skrives som Setter inn og finner 7t k, 4k 3, 4 t k CM CB t BM k, 0 4 4,0 4 t 4, 0 7 k, 4 3, 4 t, 7t k, 4k 3, 4 t 89

90 d) Løs vektorlikningen, og vis at k og t t k, 4k 3, 4 t 7t k 3 4k 4 t 7t 7t k t 7t k 3 4t 4 t 7t k 3 t 8 7 k 3 t 3 3 k t 3 3 e) Bestem CS og koordinatene til punktet S. Fra oppgave c) har vi at CS kan skrives som CS k CM CS, CS, 3 3 Finner så koordinatene til punktet S. 8 CS, x, y 4, x y x y Skjæringspunktet S har koordinatene,