( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.

Transkript

1 .9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = = c. ( i j k ) ( i j k ) =,,3 3,, = =.9. Hvis a = i + 3j k og = 4i j + 4k, finn (a) a, () a, (c), (d) 3 + a, (e) ( a + ) ( a ) a. a =,3, 4,, 4 = = 0 a = = 4,. ( ) = + + = = c. ( ) 3a + = 3,3, + 4,, 4 =,5,, 3a + = = 50 = 5 d. ( ) e. ( ) a + a = a a 4 a + a = a 3 a = = Finn vinkelen mellom (a) a = 3i + j k og = 4i 3j + k () c = 4i j + 4k og d = 3i j k a.. a 3,, 4, 3, cos( a,) = = = = 0 a ( a, ) = 90 ( ) ( ) c d 4,, 4 4,, cos( c,d) = = = = = c d ( c,d ) = 3 ( ) 58

2 .9.4 For hvilke verdier av t står vektorene a = t i j + k og = t i + t j 4k normalt på hverandre? Vi har a = t t t 4 = t t 4 = t ( t t ) = ( t + )( t ) a = 0 t = t =, så.9.5 Finn retningscosinene til linja som forinder (3,,-4) og (,-,). ( 3,, 4 ) (, 3, ) En vektor langs linja er ( ) =, og vi har 3 (, 3, ) = ( ) + ( 3) + = 7. Retningscosinene er derfor ( 7, 7, 7 ) 3 (,, )) Finn skalarprojeksjonen av vektoren i 3j + k på i + j + k. Skalarprojeksjonen er ( i j + k ) ( i + j + k ) + ( i j k ) (eller = = = Finn en enhetsvektor som står normalt på åde a = 4i j + 3k og = i + j k Hvis vektoren er r = ( x, y, z), må r = (,, ) ( x, y, z) = x + y z = 0 a r = 4,,3 x, y, z = 4x y + 3z = 0 og. Vi legger disse to ligningene sammen og får x + z = 0 eller z = x og y = 4x + 3z = 4x x = x. Vektoren r må derfor være på formen x (,, ). Siden r skal være en enhetsvektor, må ( ( ) ( ) x ) x r = (,, ) eller = (,, ) + + = 9 =, så vi må ha x = ±. Vi må derfor enten ha r Vis at hvis punktet C ligger på en halvsirkel der AB er diameter, så er C en rett vinkel. 3 59

3 AC BC = ( AD + DC) ( BD + DC ) = AD BD + AD DC + DC BD + DC = AD + AD + BD DC + DC = r + 0 DC + r = 0. Det viser at ACB er rett..9.9 ( ) a (,, ) være stedvektoren til et gitt punkt i rommet og r = ( x, y, z) stedvektoren til La = a a a3 et punkt i rommet. Beskriv de mengdene som er eskrevet ved følgende vilkår: (a) r - a = 3, () ( r - a) a = 0, (c) ( r - a) r = 0 a. Mengden av punkter som har avstanden 3 fra punktet a, dvs. en sirkel med sentrum i a og radius 3.. Mengden av punkter slik at a er normal på r-a, eller planet gjennom a med a som normalvektor. c. ( ) (( ) ) 0 r - a r = 0 r - a - a r - a + a = r - a = a. Dette lir mengden av punkter som har avstanden a fra punktet med stedvektoren a, altså en kuleflate med vektoren a som diameter..9.0 La A, B, C og D være fire punkter i rommet. a. Bevis at AB CD + AC DB + AD BC = 0. Vis at vi av formelen ovenfor kan utlede følgende to geometriske setninger: i. i Når to motstående sider i et tetraeder står parvis normalt på hverandre, gjør også det tredje paret det. ii. ii Høydene i en trekant møtes i ett punkt. Vink: Uttrykk alle vektorene ved AB = p, AC = q og AD = r AB CD + AC DB + AD BC = AB AD AC + AC AB AD + AD AC AB = a. ( ) 0. (i) Av (a) følger at hvis to av produktene i produktsummen er 0, må også det tredje være det. Det er ekvivalent med påstanden (i) (ii) La D være skjæringspunktet mellom normalene gjennom A og C. Da er AB CD = 0 og AD BC = 0 Av (a) følger da at AC DB = 0, dvs. DB står normalt på AC..9. I en trekant OAB settes OA = a, OB =. Uttrykk høyden OP fra O på AB ved a og. 0

4 OA AB a OP = OA + AP = OA + AB = a + AB - a ( - a) ( - a ).9. Gi et evis for cosinussetningen ved å enytte skalproduktet av vektorer. ( a - ) = a + a = a + a cos ( a, ).9.3 Bevis følgende setning: Et parallellogram er en rome hvis og are hvis diagonalene står normalt på hverandre. Diagonalene i et parallellogram med sidevektorer a og er -a og a+. Siden - a + a = a, følger at parallellogrammet er en rome hvis og are hvis = a, som er ekvivalent med at ( ) ( ) = 0 diagonalene står normalt på hverandre. - a + a, som er ekvivalent med at.9.4 La, a, og c være egentlige vektorer (dvs. 0). Hva er den nødvendige og tilstrekkelige a c = a c? etingelsen for at ( a ) c er en vektor langs c, mens a ( ) c er en vektor langs a. Skal disse være like, må c og a være parallelle, dvs. det må finnes et reelt tall t slik at c = t a. I så fall er a c = a ta = ta a = a ta = a c Konklusjonen er at ( ) ( a ) c = a ( c ) hvis og are hvis a og c er parallelle..9.5 Hjørnene i en trekant har koordinater P(-3,,), Q(,,-) og R(3,0,) i forhold til et kartesisk koordinatsystem. a. Finn lengden av sidene.. Finn cosinus til vinklene. PQ = ( ( 3 ),, ) = ( 5,0, ), PQ = 5 + ( ) = 9 PR = ( 3 ( 3 ),0, ) = (,,5 ), PR = ( ) = 5 QR = 3, 0, =,, 7, QR = = 5 = 3 ( ( ))

5 PQ PR ( ) + ( ) 5 0 cos P = = =, P =. PQ PR QR QP (,, 7) ( 5, 0, ) ( 5) + ( ) cos Q = = = =, Q = 84.8 QR QP R = 80 P Q = = Hjørnene i et tetraeder har koordinater A(0,0,0), B(5,0,0), C(3,4,) og D(,,7) i forhold til et kartesisk koordinatsystem. La AE etegne høyden fra A på BC og DF høyden fra D på AE. Beregn: a. Koordinatene til AE. Koordinatene til en enhetsvektor med samme retning som AE c. Koordinatene til AF d. Delingsforholdet AF:FE cos AD, AE e. ( ) f. Kontroller til slutt regningen ved å regne ut DF AE. Vink: AF er projeksjonen av AD på AE. a. BC = ( 3, 4, ) ( 5,0,0) = (,4,), så BA BC ( 5,0,0) (, 4, ) AE = AB + BE = AB + BC = ( 5,0,0) +,4, BC ( ) c. = ( ) ,0,0 +,4, = 5,0,0 +, 4, = 5,, =,, AE = = 750 = 30, så en enhetsvektor i retning av AE er ,, = ( 5,, ) AD AE (,, 7)( 5,0,5) 7 AF = AE = ( 5,0,5) = ( 5,,) = AE AE d. AF 5 FE = = 4 5 4

6 e. cos ( AD, AE), = 59.5 ( AD AE) AD AE ( ) ( ) 5 5,,7 5,, 7 = = = = 5 5 AD AE f. DF AE ( DA AF ) AE = + =,, 7 + 5,, 5,, = Linjene L og L har retningstall hhv. (3:-5:) og (:3:-) Finn retningstall for en linje som står normalt på åde L og L. Hvis retningstallene for en slik linje er ( : : ) x y z, må 3x 5y + z = 0 og x + 3y z = 0. Vi 3 eliminerer z: 3x + 5y = x + y eller 7 y = 7 x eller x = y og z = 3x + 5y = y.,,. Retningstallene kan da være ( ).9.8 Finn ligningen for et plan som står normalt på vektoren a = i + 3j + k og går gjennom punktet B(,5,3). For at et punkt med stedvektor r skal ligge i planet, må r OB stå normalt på a, så ligningen for planet er a ( r OB) = 0 x + 3 y 5 + z 3 = 0 eller x + 3y + z = 35 eller ( ).9.9 Finn avstanden fra origo til planet i forrige oppgave. Avstanden må være skalarprojeksjonen av OB på a, som er OB a (,5,3 ) (,3, ) = = = = 5 a Finn skalarprojeksjonen av a = i - j + k på = 4i - 4j + 7k. Skalarprojeksjonen er a = = ( ) 3

7 .9.. Finn vektorprojeksjonen av a på, der a og er som i forrige oppgave. a Vektorprojeksjonen er = ( 4, 4, 7) = ( 4i 4j + 7k ) 4