Oppgaver i kapittel 6

Transkript

1 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v, så vi har: v og u a) Periferivinkel ACB APB 60 AC r 8 cm Thales (s. 45): ABC 90 (Eller periferivinkel til ASC 180 ) Vinkelsum trekant: BAC 180 ABC ACB AB ACcos [cm] BC ACsin [cm] b) Bue AB er lik sentralvinkelen ASB APB 10 c) Bue AC er lik sentralvinkel ASC 180 d) Bue BC er lik sentralvinkel BSC BAC Viktig spesialtilfelle av setningen om periferi- og sentralvinkler! a) BAS AS,t AB,t b) Likebenet trekant: SBA SAB 40 Vinkelsum: ASB 180 SAB SBA Skjæringspunkt mellom diameter gjennom AS og BC: D SDC 180 SDB Vinkelsum SDC: SCB SBC likebenet: SCB SBC 60 Vinkelsum SDB: BSD ASB 180 BSD Figur 1: Har da vist periferivinkelsetningen når et felles vinkelben er diameter i sirkel. Figur : Bruker det vi viste i Figur 1: 1) ) ) satt inn i ): Figur 3: Bruker det vi viste i Figur 1: 1) Ulven av 6 oppgaver.tex

2 ) 609 a) Sentralvinkler: ASC x, BSD y b)c) Periferivinkler: ADC x, d) ADE : DAE y ADE 180 ADC 180 x Vinkelsum: v 180 ADE DAE x y x y Artig resultat, verdt å merke seg! e) Bruker resultatet i d): v x y a) Periferivinkel: Bue AB 46 Vinkelsum: CAB 180 ABC BCA Periferivinkel: Bue BC CAB 34 b) Periferivinkel: D bue AB bue BC c) Periferivinkel: ADB 46 Vinkelsum: ABC 180 ADB BAD b) ABC likebenet: AD DB 1 6 [cm] ACD BCD (Like og likeformet) ABE ACD BCD : -En felles vinkel: DAC -En lik vinkel: AEB ADC 90 (Siste vinkel lik pga. vinkelsummen i en trekant.) AE c) AB DB AB AE [cm] DB BC BC 18 d) ACD FCE: En felles vinkel og en 90 vinkel. e) EF DA EC DC Må regne ut EC og DC: EC AC AE [cm] DC [cm] EF DA EC DC Denne setningen må vi kunne! 4.95 Bevis: ABC EDC : BCA DCA ABC EDC 90 Vinkelsummen gir oss da at også den tredje vinkelen må være lik; u v. 68 Ulven av 6 oppgaver.tex

3 AED og EBD har samme areal fordi de har samme grunnlinje og samme høyde. Hjelpelinjer er hovedtrikset i geometri: Trekk en parallell med AB gjennom D; FD Da er FDC ABC : AB CD FD FD AB CD CB CD CB CB Hvis vi kaller høyden i ABC for H og høyden i FDC for h, får vi forholdet: h h H 6 H H 18 3 Da blir: A ADC A AFD A FDC FD h 16 3 H 8 H 3 A ABC AB H 16 H 8H Altså er A ADC A ABC 3, QED Mellomproporsjonal Se også oppgave 641 og 647! FD H h FD H Konstruksjoner av mellomproporsjonaler er en svært nyttig geometrisk grunnteknikk, som av en eller annen grunn ikke er med i læreplanen. Likevel bør dere lære dette, da teknikken kan brukes i mange forskjellige oppgavetyper og godt kan dukke opp på eksamen i form av en oppgave som denne. Se også notatet "Grunnleggende konstruksjon" fra fagdag 7 uke 11. a) a x x b x ab x ab (x,a og b alle positive lengder.) Hvis vi kan konstruere mellomproporsjonalen x kan vi også konstruere -Kvadratrøtter (Se oppgave 641.) -Det Gyldne Snitt (Se oppgave 647.) b) Bokstaver som i c): C er hjørnet med 90 vinkel og D er fotpunktet for høyden. Kaller høyden for x. ADC CDB : AD DC CD DB a x x b c) Med tall: AD a, DB b 8 Høyden: x x 8 x 16 4 [cm] Areal: AB x [cm ] Ekstra: Konstruksjon av mellomproporsjonalen: (Nyttig å kunne, dukker stadig opp!) Ulven av 6 oppgaver.tex

4 Gitt AD og DB. DC skal konstrueres som mellomproporsjonal mellom AD og DB: Sett av AD og DB langs rett linje. Konstruer en normal på AB gjennom D. Konstruer midtpunktet M mellom A og B. Slå sirkel om M med radius MA. Skjæringspunktet mellom normalen og sirkelen blir da hjørnet C. (Som har vinkel 90 etter Thales setning.) DC er da mellomproporsjonalen mellom AD og DB. 63, 633 Klassiske teknikker det er nyttig å kunne! Bør gjøres med GeoGebra, teknikkene her kan dukke opp i eksamensoppgaver! 641 Det står at man kan bruke Pythagoras, men mellomproporsjonalen x ab kan også brukes! Da kan man konstruere roten av hva det skulle være, noen eksempler: Ulven av 6 oppgaver.tex

5 K6: Geometri Katet: Katet: Hypotenus: Som mellomproporsjonal: Det Gyldne Snitt: Flere måter å konstruere det gyldne snitt på, her er en: Konstruer 5 som hypotenus i rettvinklet trekant med sider 1 og. Legg til linjestykke med lengde 1. Finn midtpunktet av den samlede lengden. Figuren viser konstruksjon av et gyldent rektangel ABGF: AB 1 Sirkel om B med radius BA gir AC AB Slår AB opp til D. BD blir da 5 som hypotenus i rettvinklet trekant med sider 1 og. Slår BD ned på forlengelsen av AB, slik at AE 5 1 Ulven av 6 oppgaver.tex

6 Finner midtpunktet M av AE, slik at AM 5 1 Slår AM opp på normalen, slik at AF AM 5 1 ABGF er da et gyldent rektangel Ulven av 6 oppgaver.tex