( ) ( ( ) ) 2.12 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt
|
|
|
- Monica Økland
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 . til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i 0 følger av at ( i,i ) koordinatformlene: sin 0. Alternativt kan du bruke.. La a i 3j k og + 4 a. i j gir k. gir i osv. b. Finn (a) a b, (b) b a, (c) ( a + b ) ( a - b ) gir a b i j + k 4 3 0i + 3j + k () ( ) ( ) b. b a a `b 0i 3j k c. ( a + b) ( a b) a a a b + b a b b 0 ( ) ( ( ) )..3 La a 3i j + k, b i + j k og + i j c. Finn (a) ( a b ) c, (b) ( ) a b c. gir - 65
2 (( ) ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) a b i + j 3 + k 3 i + 7j + 5k ( ) a b c i j k 7 4i + 7j 5k - b c - i + j 4 + k 4 5j 5k - ( ) a b c 3 - i j k i + 5j 5k Finn arealet av trekanten med hjørner P(,3,), Q(,-,), R(-,,3). PQ, 4, Vi har ( ) ( ) ( ) og PR (,,), og trekantens areal: PQ PR 4 i ( 4 ) + j ( ) + k ( 8) 5i + j 9k Forklar hvorfor ( a b ) ( a c ) er parallell med a. a b står normalt på a og b. a c står normalt på a og c. ( ) ( ) a b a c står dermed normalt på to vektorer som begge står normalt på a, og må da være parallell med a...6 Bevis at ( ) ( ) a b + a b a b ( a b) ( a b) ( a b sin( a, b) ) ( a b cos ( a, b) ) ( sin (, ) + cos (, )) + + a b a b a b a b 66
3 ..7 Vis at hvis A, B og C er hjørner i en trekant, så er AB BC BC CA CA AB. Vis sin sin sin hvordan sinusproporsjonen A B C følger av dette. a b c Hvis p AB, q AC, er BC q p og AB BC p ( q p) p q, BC CA ( q p) ( q) p q og CA AB ( q) p p q. Det viser at AB BC BC CA CA AB Av denne følger at c a sin B a b sin C b c sin A. sin sin sin Divisjon med a b c gir A B C. a b c..8 Vis at om A, B, C og D er fire punkter i rommet, så er AB CD DA DB + CB CA AC AD + BD BC Hvis AB b, AC c, AD d, er AB CD b ( d c) b d b c, DA DB + CB CA ( d) ( b d) + ( b c) ( c) b d b c AC AD + BD BC c d + d b c b c d + d c d b b c b d b c..9 ( ) ( ) Regn ut ( i 3j) ( i + j - k ) ( 3i k ) Vis at a a c a. ( ) 0 b. a ( b c) b( a c) c( a b ) og (b) ( a b) c b( a c) a( b c ) c. ( a b) ( c d) ( a c)( b d) ( a d)( b c ) d. a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) 0 e. [ a, b, c + t a + u b] [ a, b, c ] f. [ a + b, b + c, c + a] [ a, b, c ] 67
4 a a c a, a, c a a b 0 b 0 a. ( ) [ ] ( ) b. ( ) ì j k a b c a b b b a a a 3 3 c c c b c b c b c b c b c b c i ( a ( b c bc ) a3 ( b3c b c3 )) + j ( a3 ( bc3 b3c ) a ( b c bc )) + k ( a ( b3c b c3 ) a ( bc3 b3c )) i (( ac + ac + a3c3 ) b ( ab + ab + a3b3 ) c ) + j ( ac + ac + a3c3 ) b ( ab + a ) k (( ac + ac + a3c3 ) b3 ( ab + ab + a3b3 ) c3 ) ( a c) b ( a b) c ( a b) c c ( a b) a( b c) b( a c) b a c a b c c. d. ( b a3b3 c ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) a b c d a b c d b a c a b c d a c b d a d b c a b c + b c a + c a b b a c c a b + c a b a b c + a b c b a c 0 e. [ a, b, c + t a + u b] + t[ a, b, a] + u[ a, b, b] [ a, b, c ] f. [ a b, b c, c a] [ a, b c, c a] [ b, b c, c a] [ a, b, c a] [ a, c, c a] [ b, b, c + a] + [ b, c, c + a] + [ a, b, a] + [ a, c, + [ a, c, a] + [ b, c, + [ b, c, a] [ a, b, Forklar at volumet av et tetraeder med hjørner A, B, C og D er V 6 AB, AC, AD Volumet av et tetraeder er 3 av arealet av grunnflaten ganger høyden, og arealet av trekanten i grunnflata er halvdelen av arealet av parallellogrammet utspent av to av sidene... Beregn volumet av tetraederet med hjørner A(-,3,0), B(,7,-), C(-,7,-5) og D(,5,-3). AB ( 3, 4, ) 3 4 AC ( 0, 4, 5 ), så V AD ( 3,, 3) 3 3,
5 ..3 A(,3,-), B(5,,), C(,4,3), A (,-,6), B (6,-,8) og C (3,0,0) er seks punkter i rommet. Vis at de er hjørner i et trekantet prisme, og beregn volumet av dette prismet. AA' BB ' CC ' DD ', 4,7 Vi finner ( ), så da må trekanten A B C være en parallellforskjøvet kopi av trekanten ABC. Volumet blir 4 AB, AC, AA' Punktene A(4,0,), B(3,-,5) og C(,3,6) bestemmer et plan. a. Hva må til for at et punkt P(x,y,z) skal ligge i dette planet? b. Påvis at punktet Q(3,,)ikke ligger i planet. c. Bestem punktene A(a,0,0), B(0,b,0) og C(0,0,c) slik at QA, QB og QC alle parallelle med planet ABC. d. Undersøk om noen av punktene D(,4,-3), E(-5,3,0) eller F(3,3,3) ligger på samme side som Q av dette planet. a. P(x,y,z) ligger i planet utspent av A, B og C hvis og bare hvis x 4 y z AP, AB, AC 4 ( x 4) ( 5 ) + y ( 8 + 5) + ( z ) ( 3 ) 3 5 7x y 5z + 5 7x 3y 5z eller ekvivalent 7x + 3y + 5z 73 b viser at Q(3,,) ikke ligger i planet utspent av A, B og C. c. Normalen til planet utspent av A, B og C er AB AC i j k -3-7i 3j 5k 7i + 3j + 5k ( ) Et vektor som er parallelt med dette planet må stå normalt på n 7 i+3 j+5k. Skal QA være parallell med planet, der A(a,0,0), må 7 a a 0, så Hvis B(0,b,0) og QB skal være parallell med planet, må b 5 3b 0 b a. A må være punktet ( ) ( ) + ( ) + ( ). B må være punktet ( ) Hvis C(0,0,c) og QC skal være parallell med planet, må c 5c 0 c 3 7 0,,0. ( ) + ( ) + ( ), så C må være punktet ( ) 5 3 7,0,0 0,0,. 5 69
6 d. 4 AB, AC, AQ AB, AC, AD AB, AC, AE AB, AC, AF Q og F ligger på samme side av planet, D og E ligger på motsatt side...5 Vis ved å bruke regnereglene for trippelproduktet at hvis AB, AC, AD 0, så er også AD, BD, CD 0. Hva uttrykker ligningen AB, AC, AD 0 geometrisk? AD, BD, CD AB BD, BD, CD AB, BD, CD BD, BD, CD + + AB, BA + AC + CD, CD AB, AC, CA + AD AB, AC, AD Det følger at AD, BD, CD 0 AB, AC, AD 0 AD, BD, CD 0 er ekvivalent med at A, B, C og D ligger i samme plan, eventuelt at to eller flere av dem faller sammen..6 a b b c c a a b c Vis at [,, ] [,, ] Vi har x ( c a) c( x a) a( x c ) Det gir (med x b c ) [ a b, b c, c a] ( a b) ( x ( c a) ) ( a b) c( x a) a( x c) [ b, c, a] a [ b, c, a, b, c ( ) [ ] 70
7 ..7 La a, b og c være tre vilkårlige vektorer, og la Vis at hvis [ a b c ] a' b c,,,, 0, så er (a) a' a b ' b c ' c, (b) a ' b a ' c 0, b ' a b ' c 0 (c) Hvis [ a, b, c ] V, så er [ a b c ] ', ', ' V b ' c a,, c' a b a, b, c. [ a b c ], [ a b og [ ] (d) Hvis a, b og c ikke ligger i ett plan, så heller ikke a, b og c i ett plan. ( b c) a [ b, c, a] ( c a) b [ c, a, b] ( a b) c (a) a ' a, b ' b, c' c a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (b) [ a, b, b c c a a b [ a b, b c, c a] [ a ', b ', c' ],, 3 3 [ a, b, [ a, b, b c b b c c c a a c a a a' b 0, a' c 0, b ' a 0, b ' c 0 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer
Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,
1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det
1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
Geometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
Innlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo
Universitetet i Oslo 27. oktober 2011 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen
MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
Geometri R2, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt punktene P 1, 1,5 og Q 1,4,0 a) Bestem avstanden mellom punktene Avstanden mellom punktene er lengden av PQ PQ 1 1,4
Arbeidsoppgaver i vektorregning
Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16
Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir
Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 8 5.1 9 La l og m være to parallelle linjer. Vi skal vise at det finnes ei linje
R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering i FORK1100 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 19. oktober 2018 kl. 14:30 Antall oppgaver: 15 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende
NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
R2 - Vektorer Løsningsskisser
K.. -.5 I R2 - Vektorer 25.09.09 Løsningsskisser Gitt vektorene u,2,3 og v 2, 3,5. Regn ut: a) u v b) u v c) u v d) 5u 2v e) v f) Vinkelen mellom u og v Oppgave I: Krever lavt kompetansenivå: Grunnleggende
Geometri 1P, Prøve 2 løsning
Geometri 1P, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 a) Regn ut lengden AC. Vi bruker Pytagoras setning. AC AB BC AC 5 4 b) Regn ut arealet av ABC. Arealet er 1 4 6. c) Regn
Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Eksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
R2 - Vektorer i rommet
R2 - Vektorer i rommet - 26.01.17 Del I - Uten hjelpemidler Løsningsskisser - versjon 31.01.17 Oppgave 1 Gitt vektorene u 1, 2, 3 og v 2, 1, 4. a) Regn ut u v b) Regn ut u v c) Regn ut w u t v d) Løs vektorligningen
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD
Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Geometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
Geometri 1T, Prøve 2 løsning
Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i
Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver
5.4 Kapittel 5 - Vektorer - Oppgaver 5.4, 5.5, 5.45, 5.49, 5.300, 5.306 a) Kabeles legde: BA 6, 7, 6 6 7 6 b) Dette er e parameterfremstillig (på vektorform) for e lije: OT 6t,7t, 6t 0, 0, t6, 7, 6 OB
1.9 Oppgaver Løsningsforslag
til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45
Fagdag torsdag
Fagdag torsdag 30.04.2015 Flere treningsoppgaver i CAS: Med løsningsskisser Oppgave 1 Bruk CAS til å bevise at gjennomsnittet av x-verdiene til nullpunktene er lik gjennomsnittet av x-verdiene til vendepunktene
JULETENTAMEN 2016, FASIT.
JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:
Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn
Geometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
Oppgaver i kapittel 6
Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,
FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009
FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert
VEDLEGG 5. 1 Støy og skyggekast. 1.1 Resultater støy
VEDLEGG 5 Ifølge regelverket skal støynivået ved helårsboliger og fritidsboliger ikke overstige den anbefalte grenseverdien på Lden 45 db. Dersom det vurderes som nødvendig for vindkraftverkets realiserbarhet
b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.
5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like
Eksamen REA 3022 Høsten 2012
Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x 1 1 1 g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.
1T eksamen våren 2018
1T eksamen våren 018 DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter 3 timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 ( poeng) Løs
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 6.1 1 Anta at alle trekanter i nøytral geometri har samme defekt 1 c vi skal vise at vi må ha c = 0.
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante
Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene
Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningssystemet 5x y 4 3x 4y 6 Oppgave (1 poeng) Løs likningen x 310 3000 Oppgave 3 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 6 0,5 10 0, 10 310 4
5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =
til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin
Eksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
1.14 Oppgaver. Løsningsforslag
til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel
Geometri R1, Prøve 1 løysing
Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med
Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 31.05.011 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn
Eksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret
Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578
Eksamen R2 Høsten 2013
Eksamen R2 Høsten 203 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos b) g sin 2 Oppgave 2 (3
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2015 2016. Finale 1. mars 2016 Oppgave 1. Fargelegg et 2016 1010-rutenett som et sjakkbrett, med rute (i, j) hvit når i + j er et partall og svart når i + j er et
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs
R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1
Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x
Eksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl. 9.00-4.00 Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 2,510 3,010 15 5 Oppgave 2 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 2 0 1 3 2 9 6 4
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for
Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Onsdag 13. mai 2015. Tid for eksamen: 10.00 14.00. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0
Eksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
1T eksamen våren 2018
1T eksamen våren 018 DEL 1 Utan hjelpemiddel Tid: Del 1 skal leverast inn etter 3 timar. Hjelpemiddel: Del 1 Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve 1 ( poeng) Løys
Heldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon:
R -Heldagsprøve V10 Heldagsprøve Matematikk - R 9. April 009 Løsningsskisser Ny versjon: 05.05.10 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f sinln Deriver funksjonen f 3sin 1 c) Bestem summen av rekken 4
Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
5.4 Konstruksjon med passer og linjal
5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD 1. Innledning Dette er kompendiet i Euklidsk plangeometri leder til beviser av Pappos setning og Pascals setning. En rekke kjente setninger er vist underveis, med argumenter
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
A269 Riving av Tak Revisjon (1) 22.05.2008
Block Name Count MATERIAL NR HVA BREDDE LENGDE AREAL A269 Riving av tak 1 Raftutstikk B.300b Ekstrakostnader for spesialtilpassing for nytt Raftutstikk, tilkappes på plassen 0,5 60,5 30,25 A269 Riving
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Deriver funksjonene. ( ) x e x. Skriv så enkelt som mulig.
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3 ( ) 5 4 b) g ( ) e c) h ( ) 3 Oppgave (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) b) 3 1 5 9 3 3 3 ln( a b ) 3ln b a Oppgave 3 (4 poeng)
Løsningsforslag ST2301 Øving 10
Løsningsforslag ST2301 Øving 10 Kapittel 5 Exercise 6 Hva er innavlskoeffisienten for individ I i følgende stamtre? Svar: Her er det best å bruke en annen metode enn løkkemetoden. Slektskapskoeffisientmetoden
Eksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
Oppfriskningskurs dag 1
Oppfriskningskurs dag 1 og ligninger Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Outline 1 Outline 1 Typiske problem Ranger følgende brøker etter størrelse: 1 2, 7 12, 2 3, 5 8, 17 24
Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR
Taes med av RIV Taes med av RIE Kjøkkeninnredning ARK Fast inventar AR HC med håndgrep med skult. ( rustfritt stål med benk og skap Volumhette- for mopper Mini med innebygd kjøleskap og komfyr HC tilpasset
1P eksamen høsten Løsningsforslag
1P eksamen høsten 2017 - Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
!"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./ !"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #
!"#$%& ' & (!"#$%"&' "# " %! ' &% "% (("'%)* +" ', -.%/ "+ 0% # 1/+" $" % "+"." %! $( - '+% " )*#+,-./01 23 4567 -!"# $%& ' % 89:; 2%3 2 - (45 < =>? #@A)BCDE 2 - )*+ ',-. / 01 55 6 FGH IJ 23K 7 6 LM -
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT03 Matematikk T Høsten 04 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng)
Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.
Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5
OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD
OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten
Løsning eksamen R1 våren 2009
Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )
2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
MA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 5.6 5 La ABC være en trekant, og la m A,m B og m C være midtnormalene på de
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:
1T eksamen våren 2018 løsningsforslag
1T eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1
Løsning eksamen R1 våren 2008
Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y
Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7
Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså
R1 eksamen høsten 2015
R1 eksamen høsten 2015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x x 2 ( ) 3 5 2 b) g( x)
Eksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen