Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Transkript

1 Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store. Gjør bruk av dette til å bevise at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. La ABC være en trekant, og la vinklene være u, v og w slik som på figuren nedenfor. Gjennom C konstruerer vi en linje parallell til linjestykket AB. Vi forlenger linjestykkene AC og BC, og setter navn på aktuelle vinkler, se figuren nedenfor. Her er u og u 1 samsvarende vinkler, og likeledes er v og v 1 samsvarende vinkler. Pga parallelliteten er de samsvarende vinklene like store, u = u 1 og v = v 1. Videre er v 1 og v toppvinkler, og derfor like store; og det samme gjelder u 1 og u. Dermed har vi u = u 1 = u og v = v 1 = v. Men u, v og w faller til sammen på ei rett linje, noe som betyr at de er 180 grader. Dermed har vi u + v + w = u + v + w = 180 o. b) Et matematisk bevis av den typen du så på i a) kan bli for abstrakt for mange elever. Skisser en aktivitet som kan brukes for å gi disse elevene en forståelse for resultatet om vinkelsummen. Noen forslag til aktiviteter. Det kreves ikke at du har skissert mer enn en aktivitet. La elevene tegne og klippe ut ulike trekanter, rive av hjørnene og legge hjørnene inntil hverandre. Da vil de kunne se at de faller på ei rett linje.

2 La elevene tegne ulike trekanter, måle vinklene med vinkelmåler og addere de tre vinklene. Da vil de se at summen er i nærheten av 180 grader. La elevene bruke GeoGebra. Der kan de tegne en vilkårlig trekant, få satt navn og verdi på vinklene og sette opp en funksjon som regner ut summen av vinklene. De kan da se at selv om de drar i hjørnene på trekanten, så forblir vinkelsummen den samme. Oppgave I en lærebok for grunnskolen finner vi denne oppgaven: Regn ut arealet av figuren under: a) Gerd sier at fordi det eneste som står er hvor lange tre av sidene er, så er det umulig å vite hva slags firkant det er og derfor umulig å regne ut arealet. Har Gerd rett? Ja, Gerd har rett. Det står ikke hvilken figur det er. Antagelig er det meninga at det skal være et trapes, men det står ikke at noen av sidekantene er parallelle. Det er heller ikke oppgitt hvor store noen av vinklene er. Antagelig er det meninga at to av vinklene skal være rette slik at sidekanten på 5 cm står i rett vinkel på de to kantene som er 8 cm og 10 cm, men dette framgår ikke av figuren eller teksten. La oss nå si at figuren i oppgaven er et trapes med to rette vinkler. Regn ut arealet av trapeset.

3 Ut fra opplysningen om at det er et trapes med to rette vinkler trekker vi slutningen at sidekantene på 8 og 10 cm er parallelle og at sidekanten på 5 cm står vinkelrett på disse. Det betyr at vi kan ta 5 cm som høyden i trapeset, og arealet blir ( 8cm + 10cm) 5cm = 45cm b) Gunnar sier at han ikke husker formelen for arealet av et trapes. Vis hvordan du kan hjelpe Gunnar med å finne arealet, f eks ved å dele trapeset inn i andre figurer. Her er det mange muligheter, noen er skissert nedenfor. I besvarelsen vil det ikke kreves at du viser mer enn en av disse. Et rektangel og en trekant. Gunnar vet kanskje hvordan han kan finne arealet av et rektangel og av en trekant: Rektangelet: 8 cm 5cm = cm 5cm Trekanten: = Til sammen 45cm 40cm 5cm To trekanter med samme høyde. Hvis Gunnar vet hvordan han kan finne arealet av en trekant, er det en ide å dele trapeset inn i to trekanter. Et trapes kan alltid deles inn i to trekanter med samme høyde, der høyden i begge trekantene er avstanden mellom de to parallelle sidekantene. Dette kan gjøres på to måter, se de to figurene over. 5cm 8cm 5cm 10cm Figuren over til venstre: + = 0cm + 5cm = 45cm 5cm 10cm 5cm 8cm Figuren over til høyre: + = 5cm + 0cm = 45cm Her vil antagelig de fleste elever synes at figuren til venstre er lettere å forstå enn figuren til høyre.

4 Utvidelse til et parallellogram (her faktisk et rektangel). Ved å legge to kopier av trapeset inntil hverandre får vi et parallellogram. I vårt tilfelle blir det et rektangel. Rektangelet har areal 5 cm (8cm + 10cm) = 90cm. Trapeset er halvparten av rektangelet, så arealet til trapeset er 45 cm. c) Regn ut omkretsen av trapeset. Tre av sidekantene er oppgitt, så det gjenstår å finne den siste. Vi kan bruke Pythagoras setning, men da trenger vi en rettvinklet trekant. Dette ordner vi ved å felle ned en normal fra det som på figuren under er kalt punkt D. Her kjenner vi de to katetene i trekanten. Hvis vi kaller hypotenusen h, gjelder at h = 5 + = = 9. Dermed blir h = 9cm og omkretsen blir 10 cm + 5 cm + 8 cm + 9 cm = 3cm + 9cm 8,4cm d) Beskriv kort hovedmomentene i begrepene instrumentell og relasjonell forståelse. Belys begrepene ut fra punkt b) over. For begrepene relasjonell og instrumentell forståelse viser vi til Skemps artikkel. I tilfellet med Gunnar kan vi tolke det at han er avhengig av formelen som et uttrykk for at han har instrumentell forståelse for areal. En relasjonell forståelse vil derimot innebære å se sammenhengen mellom areal av ulike mangekanter. Dermed kan man med utgangspunkt i for eksempel kjennskap til arealet av et rektangel kunne utlede arealet for andre mangekanter. Figurene som er presentert i b) vil vise hvordan dette kan være.

5 Oppgave 3 En gruppe elever på ungdomstrinnet jobber med ulike typer likninger. a) Oliver, Rune og Katinka skal finne verdien for i likningen. De har 7 løst oppgaven slik: Olivers løsning = 1 = Runes løsning = = 7 6 = = 8 = 7 Katinkas løsning 7 = 7 7 = 7 = = 7 Gjør greie for hvordan du tror at hver av de tre elevene har tenkt. Kommenter eventuelle feil hos hver av de tre elevene. Oliver: Til linje : Forkorter med 7 i brøken. Dette er feil siden det er en differanse i nevneren. Til linje 3: Forkorter med i brøken. Samme feiltype som over. Til linje 4: Stryker 1 mot 1 i brøken og står igjen med. De to enerne blir bare borte. Til linje 5: Teller nedover. Ser at3 = 1. Dette er riktig. Rune: Til linje : Multipliserer med fellesnevner som er 7. Har ikke parentes rundt uttrykket.. Til linje 3: Multipliserer kun det første leddet med 3 på venstre side. På høyre side blir det riktig siden det er multiplikasjon med 1. Til linje 4: Samler -ene på venstre side og tallene på høyre side av likhetstegnet. Det er en fortegnsfeil på den ene 7-eren. Til linje 5: Trekker sammen riktig. Til linje 6: Bruker tabellkunnskap og finner riktig verdi for. Katinka: Til linje : Dekker over brøken og ser at verdien av brøken må være. Til linje 3: Dekker over nevneren i brøken og ser at verdien av nevneren må være 7. Til linje 4: Samler tallene på høyre side av likhetstegnet. Til linje 5: Tabellkunnskap. Likningen er løst riktig. b) Gerd og Gunnar skal løse andregradslikningen = 0. Gerd sier: Jeg husker ikke formelen så jeg får det ikke til. Gunnar svarer: Jeg husker heller ikke formelen, men det spiller ingen rolle for det er ingen løsning. Det er jo pluss mellom alle leddene og da er det ingen verdi av som passer. Det sa læreren da vi hadde en slik likning da vi skulle finne lengden av sidene i et rektangel.

6 Har Gunnar rett? Løs likningen ved å lage fullstendig kvadrat. Tegn figur. Gunnar har ikke rett. En sånn type andregradslikning kan ha bare negative reelle løsninger. La oss si at løsningene er = a og = b der a og b er positive heltall. Da er ( + a)( + b) = + (a + b) + ab = 0 en andregradslikning med bare positive koeffisienter, mens løsningene er negative tall. Årsaken til lærerens utsagn i forbindelse med lengden av sidene i et rektangel er at der er vi bare ute etter positive verdier. Der kan ikke negative verdier brukes. La oss se på hvordan likningen kan løses: = = = ( + ) Dette gir + = 1 = 1 eller + = 1 = 3 = 1 c) Polynomlikninger av høyere grad enn to blir ikke behandlet i grunnskolen, men læreren viser elevene eksempler på polynomlikninger av første, andre og tredje grad. Eksemplene er slik = = = 0 Finn løsningen til hver av disse tre likningene. Du kan selv velge metode. Beskriv sammenhengen mellom de tre likningene. = 0 Ser at = 0 = 0 = = 0

7 Lager fullstendig kvadrat = 0 4 = = ( ) = 1 Dette gir = 1 = 3 eller = 1 = 1 Alternativt kan du bruke formelen, eller andre metoder som å prøve deg fram = 0 Ser at = passer i likningen. Bruker polynomdivisjon : ( ) = Dermed er = ( )( 4 + 3) Løsningene til andregradslikningen har vi funnet tidligere i oppgaven. Dermed er løsningene = 1, = og = 3. Alternativt kan det vises at for eksempel = 1 er løsning i tredjegradsligningen. Da blir det en annen andregradslikning, men de tre løsningene vil fortsatt være = 1, = og = 3. Det er også mulig å finne løsning på tredjegradslikninga ved å prøve ulike verdier. Vi ser også at tredjegradslikningen er = ( )( 4 + 3) = ( 1)( )( 3) og den er derfor lik produktet av de to andre likningene.