Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Transkript

1 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = = 317 ii) 346 ti = = 532 åtte b) Tallet 64 er skrevet i et ukjent tallsystem. Vi vet imidlertid at tallet tilsvarer 58 i titallssystemet. Hvilket tallsystem er 64 skrevet i? Forklar hvordan du kommer frem til svaret. : Vi kaller det ukjente tallsystemet for x tallsystemet. Vi har da 64 x = 58 Dette gis oss videre 6 x + 4 = 58 Løser vi denne likningen så får vi 6x = x = 54 x = 9 Med andre ord, det ukjente tallsystemet er nitallssystemet.

2 Side 2 av 12 c) Regn ut i det angitte tallsystemet i) 674 ni ni = ii) 3012 seks 414 seks = iii) 65 åtte 56 åtte = : i) 674 ni ni = 1001 ni ii) 3012 seks 414 seks = 2154 seks iii) Under er utregningen på gangestykket vist. Dette er regnet i åttetallsystemet, men jeg har tatt indeksene vekk da det ble så rotete hvis jeg tok dem med. (Strekene kom over indeksene.) d) Regn ut delestykket under ved å bruke divisjonsalgoritmen. Vis utregningene = Ta utgangspunkt i oppgaven over og forklar hvordan du vil jobbe med divisjonsalgoritmen i klassen din. Målet er at elevene skal forstå tenkemåten i algoritmen og ikke bare lære den mekanisk. 729 : 3 =

3 Jeg ville brukt penger til å illustrere dette. Vi kan følge samme tankemodell som i spørsmål e) Jeg ville ført det som vist under Side 3 av : 3 = = Tankemodellen blir da at vi først deler ut 200 kroner til hver. Da har vi brukt opp 600 kroner og står igjen med 129. Vi deler deretter ut 40 kroner til hver. Da har vi brukt ytterligere 120 kroner og står igjen med 9 kroner. Disse 9 kronene deles ut til de tre personene og det gir 3 til hver av dem. e) I fjerdeklasse begynner en vanligvis med subtraksjonsstykker der en må låne. Et eksempel på det er vist under: = 26 Lille Ole som går på skole A, løser oppgaven slik: - Vi ser at 4-8 ikke går. Vi må derfor låne. Vi låner en tier fra 6-tallet. - Vi regner så ut 10+4 som er 14. Deretter tar vi 14 og trekker fra 8 som blir 6. - Til slutt tar vi 5-3 og får 2. (Husk at vi har lånt en tier.) - Svaret blir altså 26. Lille Kari som går på skole B løser oppgaven slik: - Vi ser at 4-8 ikke går. Vi må derfor låne. Vi låner en tier fra 6-tallet. - Vi regner ut 10-8 som blir 2. Vi tar deretter 2 og adderer med 4 som blir 6. - Til slutt tar vi 5-3 og får 2. (Husk at vi har lånt en tier.) - Svaret blir altså 26. Drøft hvilken metode du synes er den beste. I besvarelsen skal du vurdere styrker og svakheter med begge metodene, samt trekke en konklusjon med hva du mener er den beste metoden. sforslag: Hvis en metode hadde vært mye bedre enn den andre hadde vi selvsagt bare brukt den beste. Med andre ord har begge metodene sine styrker og

4 Side 4 av 12 svakheter. Et vesentlig argument for metoden til Kari er at vi unngår tieroverganger. Det blir enklere tall å regne på og når vi subtraherer underveis kan vi utnytte det ungene har lært om tiervenner. Et argument for metoden til Ole er at den er mer direkte. Vi jobber oss fra toppen og nedover. Det kan argumenters for at den er noe mer logisk. Flertallet av didaktikere heller nok mot at fordelene med Kari sin metode er større enn Ole sin og at Kari sin er den beste, men som sagt meningene er delte både i Norge og internasjonalt. Oppgave 2 (vekt 25 %) a) Konstruer en 60 graders vinkel og en 45 graders vinkel.. Under ser du konstruksjonen av 60 graders vinkel. Prinsippet her er at vi slår en sirkelbue. Vi beholder deretter samme passeråpning og flytter passeren til der hvor buen skjærer linjen. Vi slår en ny bue med samme åpning og deretter trekker vi en linje gjennom punktet vi startet og det nye punktet vi har laget. Under ser du konstruksjonen av 45 graders vinkel.

5 Vi starter først med å konstruere en 90 graders vinkel. Deretter halverer vi denne. Side 5 av 12 b) I en trekant ABC er AB = 6 cm, A = 45 o og B = 90 o. Hvor stor er C? Finn hvor lang sidene AC og BC er. Her har vi en trekant med en vinkel på 45 grader og en vinkel på 90 grader. Vinkel C blir dermed = 45 grader. Dette er en likebeinet trekant og dermed at BC = AB = 6 cm AC finner vi ved å bruke Pytagoras setning. Vi kaller AC for x = x = x 2 72 = x 2 x = 72 = 8,49 c) Figurene under er formlike. Regn ut sidene AC, B C og A C Det er flere måter å løse denne på. Her er et alternativ. For å finne AC må vi bruke Pytagoras. Det gir oss = x = x 2 34 = x 2

6 Side 6 av 12 x = 34 = 5,83 For å finne B C og A C må vi bruke formlikhet. Ser vi på størrelsesforholdet mellom AB og A B så ser vi at det er A B AB = 7 5 = 1,4 Vi finner derfor at B C = 1,4 BC = 1,4 3 = 4,2 Vi finner AC på samme måte. A C = 1,4 AC = 1,4 5,83 = 8,16 d) I figuren under ser du en trekant. I trekanten er linjene AB og ED parallelle. Lengden på linjestykkene er: AB = 7 cm, ED = 5 cm og AE = 3 cm Finn lengden på linjestykket EC. Vil det være mulig å finne lengden på CB ut i fra opplysningene i oppgaven. Begrunn svaret. Vi kaller linjestykke EC for x. Vi kan da sette opp følgende uttrykk AB ED = AC EC Det gir oss 7 5 = x + 3 x

7 Side 7 av 12 7x = 5 (x + 3) 7x = 5x x = 15 x = 7,5 Ut i fra de gitte opplysningene er det ikke mulig å regne ut CB. Prøver vi å sette opp ett uttrykk får vi to ukjente i uttrykket. e) En elev i klassen din har hørt at i en rettvinklet trekant der vinklene er 30, 60 og 90 grader så vil alltid hypotenusen være dobbelt så lang som den minste kateten. Eleven skjønner imidlertid ikke hvorfor det er slik. Hvordan vil du forklare denne sammenhengen til eleven din. Se på figuren under Trekant ABC er en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader. Trekanten er deretter speilet om linjen AB, slik at vi får en ny trekant ACC. Denne nye trekanten er en likesidet trekant der siden alle vinklene er 60 grader. Vi ser videre at BC er halvparten av CC siden vi speilet trekanten om linjen AB. Siden AC = CC vil hypotenusen være dobbelt så lang som minste kateten.

8 Side 8 av 12 Oppgave 3 (vekt 8 %) Gjør rede for eventuelle symmetrier i disse figurene: a) b) c) d) a) Denne kan roteres 180 grader. b) Denne har flere speilsymmetrier. Se figur. I tillegg kan den også speiles om «linjene» som ligger mellom de røde linjene. Den kan i tillegg roteres 45 grader c) Den kan speiles om linjen som er vist på figuren. Den har ingen rotasjonssymmetrier. d) Denne har ingen symmetrier. Oppgave 4 (vekt 7 %) Tegn et kvadrat. Med utgangspunktet i dette kvadratet skal du tegne en rotasjonssymmetri med en rotasjonsvinkel på 90⁰. Rotasjonspunktet skal ligge midt på en av sidene til kvadratet I figuren under er det vist hvordan vi kan rotere et kvadrat 90 grader om midtpunktet på en av sidene. Her er det svarte rektangelet som er utgangspunktet. Den røde får vi etter

9 Side 9 av 12 rotasjon på 90 grader, den grønne etter 180 grader og den blå etter 270 grader. Oppgave 5 (vekt 10 %) a) Forklar hvorfor det er slik at enhver trekant tesselerer. b) Kari prøver å få regulære åttekanter til å tesselere, men det går ikke. Det blir noen huller mellom åttekantene. Forklar hva slags figurer må hun fylle disse hullene med for at det skal tesselere. Har vi to helt like trekanter kan de alltid settes sammen til et parallellogram (rektangel, kvadrat i spesialtilfeller). Både parallellogram, rektangel og kvadrat tesselerer, så dermed vil også en vilkårlig trekant tesselere. Se figur under. (Ikke helt nøyaktig, men dere ser hvordan trekanter settes sammen til parallellogram og hvordan den tesselerer) Hvis vi prøver å dekke en flate med regulære åttekanter får vi figuren som er vist under. Vi ser der at vi får et kvadrat mellom åttekantene. Se figuren under. Alle sidene i åttekanten er like lange, og dermed må alle sidene i figuren mellom åttekantene også være like lange. Det

10 Side 10 av 12 er kun rombe og kvadrat som har egenskapen med at alle sider er like lange. Vinklene i en åttekant er 135 grader. (6 180 = 135). Siden et hjørne består av to vinkler på 135 grader må 8 den siste være = 90 grader. Dermed blir figurene i midten et kvadrat. Oppgave 6 (vekt 20 %) a) For å foreta en måling er det tre faktorer som må være på plass. Hvilke?. Vi trenger måleredskap, måleenhet og måltall b) Et fly kjører i en hastighet på 200 m/s. Hva tilsvarer denne hastigheten, angitt i km/t. : 200 3,6 = 720 km/t c) Lille Oda har fått en oppgave der hun skal regne om 80 km/t til m/s. Hun har fått hjelp av sin far til dette og han forteller Lille Oda at hun skal dele 80 på 3,6 og da får hun svaret i m/s. Lille Oda regner ut dette og finner da at hastigheten tilsvarer 22,22 m/s. Lille Oda funderer på hvorfor hun må dele på 3,6. Forklar til Lille Oda hvorfor en må dele på 3,6 når en skal gjøre om fra km/t til m/s. Vi bruker eksempelet til å illustrere dette. Saken er at vi har en hastighet på 80 km/t. Vi kan f. eks tenkes oss at det er en bil som kjører med denne hastigheten. Det betyr at bilen har kjørt meter på en time. Vi vet videre at det er 3600 sekunder i en

11 Side 11 av 12 time. Dermed har bilen kjørt meter på 3600 sekunder. Det vil igjen si at bilen har kjørt i løpet av 1 sekund har kjørt = 22,22 meter. Dette betyr at hastigheten er 22,22 m/s. Ser vi litt nøyere på uttrykket over så kan vi korte med 1000 over og under. Da får vi 80 3,6 = 22,22 meter Dermed har vi sammenhengen som faren har gitt Lille Oda. d) Oljeprisen ligger nå på 50 dollar per fat. Et fat er 159 liter, og en dollar er verdt åtte kroner. Hva koster oljen i kroner per liter? Vi ser hva en liter koster først = 0,31 Altså en liter olje koster 0,31 dollar. En dollar er verdt 8 kroner og det gir at en liter olje koster 8 0,31 = 2,48 kroner e) Et hus skal males utvendig. Det totale veggarealet er 200 m 2. Vi regner at malingslaget som skal legges på er en kvart millimeter tykt. Hvor mange liter maling vil det gå med? Her må vi passe på å regne alt i samme enhet. Om vi bruker meter, desimeter har ikke så mye å si. Jeg bruker meter. Arealet er i kvadratmeter så det gjør vi ikke noe med. Tykkelsen på malingslaget er i mm, så det gjør vi om til meter. 0,25 mm = 0,25 m = 0,00025 meter 1000 For å finne hvor mange kubikkmeter med maling vi trenger så må vi gange sammen arealet på flatene vi skal male med tykkelsen på malingen. Det gir oss

12 Side 12 av ,00025 = 0,05 m 3 Nå vet vi videre at 1 m 3 = 1000 dm 3 = 1000 liter Det betyr derfor at vi trenger 0, = 50 liter med maling