Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Transkript

1 Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

2 Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9 m

3 Kapittel 0 GEOMETRI Trekanter Areal = gh

4 Kapittel 0 GEOMETRI Parallellogram og romber Areal = l a l

5 Kapittel 0 GEOMETRI Trapes Areal trekant ABC : a h + Areal trekant CDA : b h = Areal trapes : a h + b h = ah + bh = (a + b)h Areal trapes = (a + b) h

6 Kapittel 0 GEOMETRI Areal rektangel: 150 m 100 m = ,0 m 145 m 0 m + Areal trekant: = 175,0 m + Areal parallellogram: 150 m 40 m = 6000,0 m (150 m m) 45 m + Areal trapes: = 596,5 m = Samlet areal av hele jordstykket : 9 17,5 m Kunne bonden delt jordstykket på en annen måte slik at antall nødvendige lengdemål ble færre? Areal rektangel = l b Areal parallellogram = l a Areal trekant g h = (a + b) h Areal trapes =

7 Kapittel 0 GEOMETRI Sirkler π =, π diameter = omkrets Omkrets sirkel = πr Arkimedes (87 f.kr. 1 f.kr.) g h O r Areal trekant = = = areal sirkel O r π r r O = πr = = π r r Areal sirkelflate = π r

8 Kapittel 0 GEOMETRI Areal kvadrat = s Areal rektangel = l b Areal trekant = g h Areal parallellogram = l a Areal trapes = (a + b) h Omkrets sirkel = πr Areal sirkelflate = π r

9 Kapittel 0 GEOMETRI Hvordan kan vi finne arealet av dette fiskevannet?

10 Kapittel 0 GEOMETRI V= G h V= G h : h V G h = = G h h V G = h Kan vi finne arealet av fiskevannet ved å sage ut en plate med omrisset av vannet og veie platen? Har du andre forslag?

11 Mnd Utslipp J,45 F,00 M 1,79 A 1,76 M 1,85 J,00 J,15 A,4 S,1 O,00 N 1,55 D 0,80 SUM,80 Kapittel 0 GEOMETRI

12 Kapittel 0 GEOMETRI Beregning av arealet mellom x-aksen og grafen til en polynomfunksjon f(x) når grafen ligger over x-aksen. Hvert ledd i polynomfunksjonen f(x) er av typen n ax. For hvert n ax -ledd i f(x) lager du et nytt ledd slik: 1 n + 1 a x n + 1 Samle de nye leddene til en ny polynomfunksjon. Kall den nye funksjonen F(x). Når grafen til f(x) ligger over x-aksen, er arealet mellom x-aksen og grafen til f(x), fra x = a til x = b, lik F(b) F(a)

13 Kapittel 0 GEOMETRI u(x) = 0,01x + 0,18x 0,9x +, 0 0, =, 1 =, x =,x u(x)-ledd U(x)-ledd n ax 1 n + 1 a x n ,01x ( 0,01) x = ( 0.01) x = 0,005x ,18x (0,18) x = 0,18 x = 0,06x ,9x = 0,9x ( 0,9) x = ( 0,9) x = 0,46x , =,x , x =, x = 1, x =,x Nå har vi den nye funksjonen U(x): 4 U(x) = 0,005x 4 + 0,06x 0,46x +,x 4 U(1,5) U(0,5) = ( 0,005 1,5 + 0,06 1,5 0,46 1,5 +, 1,5) 4 ( 0,005 0,5 + 0,06 0,5 0,46 0,5 +, 0,5) =,785 Samlet årsutslipp er,800. Arealet er,785. Differansen er sannsynligvis akseptabel.

14 Kapittel 0 GEOMETRI f (x) = x (egentlig f (x) = x +0x+0) f(x)-ledd F(x)-ledd n ax 1 n + 1 a x n + 1 x = 1 x x = x f (x) = x + 1 F(x) 1 = x Areal = F() F(0) = = = = 9 0 = 9

15 Kapittel 0 GEOMETRI Linjer og vinkler Vinkler med parvis normale ben Dersom vinkelbenene til to vinkler står parvis vinkelrett (normalt) på hverandre, så er vinklene like store. Vinkler med parvis parallelle ben Dersom to vinkler har parvis parallelle vinkelben, så er vinklene like store.

16 Kapittel 0 GEOMETRI Summen av vinklene i en trekant er 180 ABC + u + v = 180 CAB og v har parvis parallelle vinkelben og må følgelig være like store. Det samme gjelder for BCA og u. u = BCA v = CAB ABC + BCA + CAB = 180 Summen av de tre vinklene i en trekant er 180.

17 Kapittel 0 GEOMETRI Likesidete trekanter 180 : = 60 I en likesidet trekant er de tre sidene like lange, og hver vinkel er 60. Likebente trekanter I en likebent trekant er vinklene ved grunnlinjen like store. Normalen fra toppunktet på grunnlinjen halverer toppvinkelen og grunnlinjen.

18 Kapittel 0 GEOMETRI Kongruente trekanter Når to figurer er helt like både i form og størrelse, sier vi at de er kongruente. Kongruenskriteriene for trekanter To sider og den mellomliggende vinkelen. De tre sidene. To vinkler og den siden begge har som vinkelben. To sider og den motstående vinkelen til den lengste av de to sidene.

19 Kapittel 0 GEOMETRI Formlike trekanter AB DE = AC DF = BC EF = f Eksemplene bruker trekanter, men tilsvarende gjelder for alle formlike figurer.

20 Kapittel 0 GEOMETRI Symmetri Translasjon Vi translerer en figur når vi flytter den langs en linje (translasjonslinjen). Refleksjon (speiling) Vi reflekterer en figur når vi speiler den om en linje (refleksjonslinjen). Gliderefleksjon Vi glidereflekterer en figur når vi translerer den og reflekterer den, for eksempel slik: Rotasjon Vi roterer en figur når vi vrir den et gitt antall grader om et punkt, for eksempel slik (her har vi i rekkefølge rotert 90, 180, 70 og 60. Vi ser at en rotasjon på 60 bringer figuren tilbake til sin opprinnelige posisjon og orientering. Symmetrioperasjonene kopierer (flytter ikke) Tegneprogrammet Paint i Windows kan være et enkelt og greit verktøy for å prøve ut de forskjellige symmetrioperasjonene.

21 Kapittel 0 GEOMETRI

22 Kapittel 0 GEOMETRI

23 Kapittel 0 GEOMETRI Med et digitalkamera og et passende PC-program, for eksempel Paint, kan du undersøke hvor speilsymmetrisk du er.

24 Kapittel 0 GEOMETRI Perspektivtegning Hva ser du? Punktet i det fjerne kaller vi forsvinningspunktet (the vanishing point).

25 Kapittel 0 GEOMETRI Den vannrette linjen gjennom forsvinningspunktet kaller vi horisontlinjen.

26 Kapittel 0 GEOMETRI To-punkts-perspektiv

27 Vi fjerner linjer og fortsetter slik: Kapittel 0 GEOMETRI

28 Kapittel 0 GEOMETRI Tre-punkts-perspektiv Forslag Lek litt med ett-, to- og tre-punkts-perspektiv, for eksempel med Windowstegneprogrammet Paint. Søk også på nettet på perspektivtegning og perspective drawings.

29 Kapittel 0 GEOMETRI Vi kan blant annet tegne med ett-, to- og tre-punktsperspektiv. Er noen av disse metodene brukt i tegningene under (gjengitt med tillatelse fra Rysted 6150 Ørsta -

30 Kapittel 0 GEOMETRI Pytagoras setning Mer om rettvinklete trekanter c = a + b Summen av kvadratene av de to katetene er lik kvadratet av hypotenusen. Dersom de tre sidene (a,b og c) i en trekant er slik at c = a + b, så er trekanten rettvinklet med c som hypotenus. a b 4 a b 4 = = a b = ab (a b) = a ab + b ab + a ab + b = a + b = c c = a + b Prøv selv med

31 Kapittel 0 GEOMETRI Trigonometri sin u er b dividert på c, dvs. c b cos u er a dividert på c, dvs. c a tan u er b dividert på a, dvs. a b cot u er a dividert på b, dvs. b a Vg-matematikken krever ikke at du skal kunne cot

32 Kapittel 0 GEOMETRI

33 Kapittel 0 GEOMETRI sin 0 = 0 og sin 90 = 1 sinus vokser når vinkelen vokser. cos 0 = 1 og cos 90 = 0 cosinus avtar når vinkelen vokser. tan u = sin u cos u Sinus (telleren) vokser når vinkelen u vokser. Cosinus (nevneren) avtar når vinkelen u vokser. Brøken blir større (vokser) når vinkelen u vokser. tan 0 = 0 Tangens vokser når vinkelen vokser. Når vinkelen vokser mot 90, vokser tangens mot uendelig. Tangens til 90 eksisterer ikke.

34 Kapittel 0 GEOMETRI 1 = (cos u) + (sin u) (cos u) skriver vi vanligvis cos u. (sin u) skriver vi vanligvis sin u cos u + sin u = 1

35 Kapittel 0 GEOMETRI Vinkel Sinus Cosinus sin 0 = 0 cos 0 = Positiv Positiv sin 90 = 1 cos 90 = Positiv Negativ sin 180 = 0 cos 180 = Negativ Negativ sin 70 = 1 cos 70 = Negativ Positiv sin 60 = 0 cos 60 = 1 Mange er blitt fascinert av denne kurven og sier for eksempel "som en sinus-kurve" når de skal fortelle at noe har en bølgebevegelse. Nå passer det at du selv prøver å skissere cosinus-kurven.

36 Kapittel 0 GEOMETRI sin u tan u = cos u sin u cos u har flere nullpunkt. I første omløp er cos u = 0 når u = 90 og når u = 70.

37 Kapittel 0 GEOMETRI Noen ganger angir vi størrelsen på en vinkel med hvor mange radier vi kan legge langs vinkelbuen. Da kaller vi enheten radian. Vi kan legge π 6, 8 radier langs sirkelbuen. En vinkel på 60 grader kan vi alternativt si er en vinkel på π radianer. Det gir at 180 svarer til π radianer 90 svarer til π radianer 45 svarer til 4 π radianer π 70 svarer til radianer. Når vi bruker vinkelmålet radianer, er det vanlig å utelate benevning. π For eksempel er vinkelen en rett vinkel.

38 Kapittel 0 GEOMETRI Grader π Radianer = 60 Radianer 60 Grader = π

39 Kapittel 0 GEOMETRI Grader Radianer sin (90 u) = cos u sin ( π u) = cos u cos (90 u) = sin u cos ( π u) = sin u sin (180 u) = sin u sin (π u) = sin u cos (180 u) = cos u cos (π u) = cos u sin ( u + n 60 ) = sin u n N sin ( u + n π) = sin u n N cos ( u + n 60 ) = cos u n N cos ( u + n π) = cos u n N tan ( u + n 180 ) = tan u n N tan ( u + n π) = tan u n N

40 Kapittel 0 GEOMETRI Arealsetningen h = b sin u fordi h sin u = h = b sin u b a h a b sin u 1 A = = = ab sin u Dersom vi kjenner to sider i en trekant og vinkelen mellom sidene (her kaller vi de to sidene s 1 og s og vinkelen mellom sidene u), kan arealet beregnes slik: 1 A = s1 s sin u

41 Kapittel 0 GEOMETRI Arealsetningen gjelder også for trekanter der en av vinklene er større enn 90, for eksempel følgende: : s1 h A = h sin (180 u) = h = s sin (180 u) s Vi vet at sin (180 u) = sin u. Det gir at h = s sin u s1 h s1 s sin u A = = Resultatet er arealsetningen: 1 A = s s 1 sin u Vi kan konkludere med at arealsetningen gjelder for alle trekanter uansett form.

42 Kapittel 0 GEOMETRI Sinussetningen Arealsetningen forteller oss at C sin b a 1 B sin a c 1 A sin c b 1 A = = = C sin b a B sin a c A sin c b = = c b a C sin b a c b a B sin a c c b a A sin c b = = c C sin b B sin a A sin = = Dette gjelder for alle trekanter. Likheten kaller vi sinussetningen eller sinusproporsjonen og kan skrive den som foran eller snu brøkene: C sin c B sin b A sin a c C sin b B sin a A sin = = = =

43 Kapittel 0 GEOMETRI Cosinussetningen Denne gangen lar vi to trekanter ABC, en med bare spisse vinkler og en med én stump, illustrere resonnementet. Vi repeterer at sin (180 u) = sin u. Den venstre trekanten forteller oss at h sin A = b Den høyre forteller oss det samme slik: sin (180 A) = sin A = h b Det gir at h = b sin A I den venstre trekanten kan vi tilsvarende komme fram til at AD = b cos A. Gjør det. I den høyre trekanten er AD cos (180 A) =. b Det gir at AD = b cos (180 A). Regelen cos (180 u) = cos u (vi ser lett at den er korrekt på enhetssirkelen) forteller oss at vi kan omskrive slik: AD = b cos (180 A) = b ( cos A) = b cos A Dette gir en positiv verdi fordi cos A er en negativ verdi. I trekanten til venstre er DB = AB AD = c b cos A I trekanten til høyre er DB = AB + AD = c + b cos(180 A) = c + b ( cos A) = c b cos A Begge ga det samme uttrykket for DB: DB = c b cos A

44 Kapittel 0 GEOMETRI Vi har funnet at DB = c b cos A når A er spiss og når A er stump. BDC er rettvinklet. Pytagoras setning forteller oss at a = h + DB h = b sin A DB = c b cos A a = (b sin A) + (c b cos A) a = (b sin A) + (c c b cos A + b cos A) a = b sin A + c c b cos A + b cos A a = b (sin A + b cos A) + c bc cos A Vi repeterer at enhetssirkelen fortalte oss at sin u + cos u = 1 a = b 1 + c bc cos A Dette gir oss cosinussetningen: a = b + c bc cos A Med ord kan vi formulere cosinussetningen slik: Dersom vi kjenner to sider s 1 og s i en trekant og den mellomliggende vinkelen u, så er kvadratet av den tredje siden, dvs. s, lik + s s s cos u. s1 1 Den tredje siden s har lengde s1 + s s1 s cos u

45 Kapittel 0 GEOMETRI Foran utledet vi følgende: Dersom vi kjenner to sider s 1 og s i en trekant og den mellomliggende vinkelen u, så er kvadratet av den tredje siden, dvs. s, lik s1 + s s1 s cos u. Den tredje siden s har lengde 1 s + s s1 s cos u Dersom vinkelen u er 90, er trekanten rettvinklet med s som hypotenus. Cosinussetningen bekrefter da Pytagoras setning: cos u = cos 90 = 0 s = s1 + s s1 s cos u = s1 + s s1 s 0 = s1 + s s = s1 + s

46 Kapittel 0 GEOMETRI For alle trekanter gjelder: Arealsetningen 1 = s1 s sin u A Sinussetningen sin A sin B sin C = = a b c a b c = = sin A sin B sin C Cosinussetningen a = b + c bc cos A

47 Kapittel 0 GEOMETRI Volum Todimensjonale størrelser kaller vi figurer. En tredimensjonal størrelser kaller vi et legeme.

48 Kapittel 0 GEOMETRI Terning s s s Overflate terning = 6s Volum terning = s Forholdstallet mellom to todimensjonale benevninger er det tilsvarende éndimensjonale forholdstallet opphøyd i andre. 1 m = 100 cm = cm Forholdstallet mellom to tredimensjonale benevninger er det tilsvarende éndimensjonale forholdstallet opphøyd i tredje. 1 m = 100 cm = cm

49 Kapittel 0 GEOMETRI Sylinder Overflate åpen sylinder = πrh Overflate sylinder med bunn = πrh + πr Overflate sylinder med topp og bunn = πrh + πr Volum sylinder = πr h

50 Kapittel 0 GEOMETRI Kule Overflate sylinder med topp og bunn = πrh + πr = πrr + πr = 4πr + πr = 6πr Volum sylinder = πr h = πr r = πr Arkimedes (87 f.kr. 1 f.kr.) fant at overflaten sylinderen er nøyaktig en og en halv ganger så stor som overflaten av kulen og at volumet av sylinderen også er nøyaktig en og en halv ganger så stort som volumet av kulen. Volumet av en kule er x Volumet av sylinderen er πr. πr er en og en halv ganger volumet av kulen. x x = πr r = π x = 4πr : x = 4πr Volum kule = 4πr = 4 π r

51 Kapittel 0 GEOMETRI Kjegle Arkimedes viste at volumet av en rett, sirkulær kjegle er en tredjedel av volumet til en sylinder med samme grunnflate og samme høyde. Volum kjegle = πr h πr πs πs = πr πs πs = πrs s = r + h s = r + h s = r + h Overflate kjegle = π rs + πr s = r + h

52 Kapittel 0 GEOMETRI

53 Kapittel 0 GEOMETRI Pyramide Volumformelen er den samme uansett hvor mange kanter grunnflaten har. Hvis vi tenker oss stadig flere kanter, går formen på grunnflaten mot sirkelformen og pyramideformen går mot kjegleformen Volum pyramide = G h For å finne grunnflaten i en trekantpyramide må vi bruke arealformelen for en trekant. For å finne grunnflaten i en firkantpyramide må vi bruke arealformelen for et kvadrat, osv.

54 Kapittel 0 GEOMETRI OVERFLATE- OG VOLUMFORMLER Legeme Overflate Volum Terning 6 s s Sylinder Åpen sylinder: πrh Sylinder med bunn: πrh + πr Sylinder med topp og bunn: πrh + πr π r h Kule 4π r 4πr Kjegle π rs + πr s = r + h πr h Pyramide G h Forholdstallet mellom to kvadratbenevninger (todimensjonale benevninger) er det tilsvarende éndimensjonale forholdstallet opphøyd i andre. Forholdstallet mellom to kubikkbenevninger (tredimensjonale benevninger) er det tilsvarende éndimensjonale forholdstallet opphøyd i tredje. Når vi omregner fra en benevning til en mindre, multipliserer vi med forholdstallet mellom de to benevningene. Når vi omregner fra en benevning til en større, dividerer vi med forholdstallet mellom de to benevningene