1.9 Oppgaver Løsningsforslag

Transkript

1 til Oppgaver Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45 Konstruer normalen fra D på AB, og kall det punktet hvor normalen treffer AB, for E Trekk diagonalen AC Kall skjæringspunktet med DE for F Forklar hvordan du konstruerte parallellogrammet ABCD Konstruksjonen og forklaring skal føres på et ark uten ruter b Hvor stor er B? Begrunn svaret c Hvor lang er AE? Forklar hvordan du kom fram til svaret d Regn ut AD e Vis at AEF CDF f Regn ut arealet av firkanten EBCF a Jeg begynte med å trekke en (vannrett) linje og avsette et punkt A og et punkt B slik at AB = 9 cm Jeg oppreiste en normal AH på AB i A og avsatte AH = 5 cm Jeg konstruert en parallell med AB gjennom H Jeg konstruerte en vinkel på 45 grader ved å halvere den rette vinkelen EAH Skjæringspunktet mellom halveringslinja og parallellen er D Jeg avsatte DC=AB, og trakk BC og diagonalen AC b B = = 135, fordi den utvendige vinkelen til B er samsvarende vinkel med vinkel A mht de to parallellene AD og BC c AE = AH = 5 cm, fordi A = ADE = 45 d Etter Pythagoras setning er AD = AE 2 = 5cm 71cm e AB DC, transversalsetningen gir at AEF CDF f Arealet av EBCF er arealet av AEF CDF, er ABC minus arealet av AEF Siden MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland

2 til Oppgaver AE DC = 5 AE AE EF = EF DC EF ( DC + AE) = 5 AE EF 5 EF 5 AE og EF = = = 178 og EBCF = 9 5cm 5 cm = = 18 DC + AB Tenk deg at du skal legge fliser på et areal som bare skal bestå av regulære mangekanter Hvilke kan det bli tale om? 360 Hvis n fliser med samme indre vinkel v skal møtes i ett punkt, må v = Men den indre m vinkelen er også 2 m 180, så vi må ha 360 m = 2 180, så 2 m 2 2m = og n = n m n m m 2 Skal m-2 gå opp i 2m, må resten ved divisjonen 2m : m-2, som er 4, være delelig med m-2, og det er den bare hvis m=3,4 eller 6 Det kan derfor bare bli tale om sekskanter, firkanter eller trekanter 193 I en femkant er alle vinklene 108 Må femkanten være regulær? I en trekant er alle vinklene 60 Er trekanten regulær? Kan du komme med en setning om hva som skal til for at en mangekant der alle vinklene er like, nødvendigvis er regulær? På figuren til høyre ser du eksempler på at femkanter og firkanter ikke behøver å være regulære, selv om alle vinklene er like Generelt er det bare trekanter som nødvendigvis må være regulære hvis alle vinklene er like 194 En utvendig vinkel i en mangekant er den vinkelen som framkommer hvis en side forlenges forbi hjørnet Forklar hvorfor summen av de utvendige vinklene i en mangekant er 360 Bruk det til å vise at vinkelsummen i en n-kant er n ( ) Anta at vi har et polygon med hjørner A 1, A 2, ;A n La de utvendige vinklene være α1, α2,, αn og de indre vinklene β1, β2,, βn Da er αi + βi = 180 for i=1,2,,n Tenk deg at vi starter ved hjørnet A 1 og ser i retningen fra An mot A 1 For å kommer til A 2 snur n MA-132 Geometri 2 Byrge Birkeland

3 til Oppgaver 19 vi oss en vinkel α1 og går til A 2 Så snur vi oss en vinkel α2 og går til A 3 Slik fortsetter vi rundt polygonet til vi kommer tilbake til A 1 Da har vi snudd oss vinkelen α1 + α2 + + αn, og denne må være lik 360 for at vi skal ha kommet tilbake til utgangsstillingen Summen av β + β + + β = 180 α α α = de indre vinklene er 1 2 n ( 1 ) ( 2 ) ( n ) ( α + α + + α ) = n = ( n 2) n n ganger 195 I en trekant ABC er CE halveringslinja til den utvendige vinkelen til C Denne halveringslinja deler motstående side i trekanten utvendig i samme forhold som forholdet mellom de hosliggende sidene Det vil si at AE:EB=CA:CB Bevis det Vi trekker en parallell med AC gjennom B som skjærer halveringslinja for den ytre vinkelen til C i F Da er BCF = FCG fordi CF halverer BCG Videre er BFC = FCG som svarende vinkler når CE skjærer over de to parallelle linjene BF og AC Da er BFC likebeint, og BF=BC Transversalsetningen gir da: AE AC AC = = BE BF BC 196 Et parallellogram er gitt som på figuren P er et punkt på diagonalen AC EG og FH er parallelle med sidene i parallellogrammet og går gjennom P a Finn par av trekanter med like stort areal på figuren b Vis at arealene av de to parallellogrammene EBFP og HPGD er like store Parallellogrammets areal halveres av diagonalen Det samme gjør arealene av parallellogrammene AEPH og GPFC Men da må (EBFP)=(ABC)-(PFC)=(ACD)- (GPC)=(HPGD) 197 To kvadrater er hengslet sammen i det ene hjørnet Det er trukket linjestykker mellom hjørner i de to kvadratene, slik figuren viser Vis at arealene av de to trekantene som framkommer, er like store MA-132 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 til Oppgaver 19 ABC og CED har like lange grunnlinjer CB = CE Trekantene ACG og CFD er rettvinklede og kongruente, fordi vinkelbeina i CAG og CDF står normalt på hverandre Da må AG = DF, og ABC og CED har også samme høyder Men da har de samme areal 198 Del ved konstruksjon linjestykket AB = 13 cm i 7 like store stykker 199 a Avsett et nytt linjestykke PS = 16 cm Punktet Q ligger på PS slik at PQ : QS = 3: 2, og punktet R ligger på QS slik at QR : QS = 2 : 3 b Konstruer punktene Q og R på PS c Regn ut PR ( ) ( ) PR = PQ + QR = PS + PS = + PS = PS cm MA-132 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 til Oppgaver Gitt et linjestykke a: a Konstruer 2 a og 5 a b Konstruer en trekant ABC slik at AC = 8 a a, BC = 3 a og C = 90 c Finn AB uttrykt ved a Kontrollmål! På figuren er PQ=QC=PS=SA=QT=a Da er Vi konstruerer QT Vi konstruerer så BC SQ og avsetter QT = a Da er AC og avsetter CB=ST Da blir AB = AC + BC = 8a + 3a = 11a 2 2 SQ a a 2 a = + =, AC = 8 a ST SQ QT 2a a 3 a = + = + = MA-132 Geometri 5 Byrge Birkeland