R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
|
|
|
- Trine Ingeborg Ervik
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for y 1 og y. Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra y 1 som fra y, er derfor x-aksen og y-aksen. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9
2 6.3 a b c Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer to rette linjer som skjærer hverandre, er de to vinkelhalveringslinjene mellom linjene. 6.4 Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 cm fra linja, er de to parallellene til linja i avstand 5 cm. Aschehoug Undervisning Side av 9
3 6.5 a Det geometriske stedet for et punkt som ligger 3 enheter fra l, er de to parallellene til linja i denne avstanden fra l. b Punktet B = (0, 6). Av figuren ser vi da at linja l blir midtnormalen på AB. c Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 enheter fra skjæringspunktet mellom linja l og linja gjennom A og B, er en sirkel om skjæringspunktet med radius 5 enheter. Se figuren. d Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra de to linjene i oppgave c, er de to vinkelhalveringslinjene. Se figuren. 6.6 a Vi måler sentralvinkelen til 100 og periferivinkelen til 50. Forholdet mellom vinklene er. b Vi flytter punktet C langs sirkellinja. Vi flytter punktet B langs sirkellinja mens A og C ligger fast. Vi ser at når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. Se figuren. Aschehoug Undervisning Side 3 av 9
4 6.7 a Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 100, mens periferivinkelen spenner over en bue på 50. b Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 180, mens periferivinkelen spenner over en bue på 90. c Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 360, mens periferivinkelen spenner over en bue på 180. Aschehoug Undervisning Side 4 av 9
5 6.8 a Vi ser at en sirkelbue som blir avskåret av en periferivinkel på 45, er 90. b og c: Se 6.7b og c. 6.9 a Buen AB er 60 siden C = 30 er en periferivinkel som spenner over AB. b Siden buen AB er 60, er ASB = 60. Videre er SA = SB = 5 cm. Da må BAS = ABS = 60. ABC er altså likesidet. AB er derfor 5 cm. c Aschehoug Undervisning Side 5 av 9
6 6.10 a β Vi skal bevise at α =. BSC er likebeint fordi BS og CS er radier i sirkelen. Dermed er CBS = α. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180. Da er BSC = 180 ( α + α) = 180 α. ( α) Videre er β = 180 BSC = = α. β Vi har bevist at hvis AC er en diameter, så er β = α α =. b Vi ser på det tilfellet at S ligger utenfor periferivinkelen. Av figuren ser vi at α = BCD ACD, og at β = BSD ASD. Fra oppgave a har vi at BSD ASD BCD = og ACD = BSD ASD BSD ASD β Dette gir α = BCD ACD = = =. Aschehoug Undervisning Side 6 av 9
7 6.11 a Siden AB er diameter, utgjør buen AB halve sirkelen, det vil si 180. b Buen AB er halve omkretsen av sirkelen. Buen AB er derfor 1 πr = πr = π 6 cm = 18,8 cm. c C = 90. Thales setning innebærer at når AB er diameter i en sirkel og C ligger på sirkelbuen, er C = a ABC ACD fordi C = ADC = 90 A er felles i begge trekantene. Da er B= ACD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. AC 5 Forholdstallet n1 = =. AD 3 b For de to trekantene kan vi skrive AB AC = AC AD AB 5 = AB = = 8,3 3 3 c d ABC CBD fordi C = CDB= 90 B er felles i begge trekantene. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. Vi kan beregne CD ved Pytagoras: AC = AD + CD CD = AC AD CD = = AC 5 Forholdstallet er n = =. CD 4 ACD CBD fordi ADC = CDB = 90 ACD = CBD siden de begge er komplementvinkler til BCD. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. CD 4 Forholdstallet er n3 = =. AD 3 Aschehoug Undervisning Side 7 av 9
8 e f A A A ABC 5 4 AB CD = = = = 6 3 AD DC 34 = = ACD = CBD A A A A ABC ACD A A ABC CBD CBD ACD DB DC = = = = = = = = = = n = = = = n 3 = = = = = = n Vi ser at forholdet mellom arealene er n De to trekantene er formlike. Da kan vi skrive a b = d e Vi omformer: a e= b d Vi dividerer med be : a e b d = be be a d = b e 6.14 a Siden M 1 og M er midtpunktene på tilsvarende sider i to formlike trekanter, er også M 1 og M tilsvarende punkter. x n = x b 1 Aschehoug Undervisning Side 8 av 9
9 6.15 a De to trekantene har parvis like store vinkler, men sidene er ikke like lange. Vi ser at trekantene er ikke kongruente. b De to trekantene og har begge to sider som er like, og =. 1 ABC1 ABC AB BC1 BC De har A felles. Vi ser at de to trekantene ikke er kongruente. Sidene AC og AC er forskjellige I disse to trekantene er AB = DE. Den motstående vinkelen til disse to sidene er lik i de to trekantene ( C = F), og en av de hosliggende vinklene er like ( A = D). Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den andre hosliggende vinkelen være lik. Dermed er én side og de to hosliggende vinklene like, og trekantene er kongruente ifølge fjerde kongruenssetning. Aschehoug Undervisning Side 9 av 9
10 6.17 ACD BCD fordi linja l er midtnormalen til AB, og da er AD = BD og AC = BC CD er felles side i de to trekantene. I de to trekantene er altså sidene parvis like. Da er de to trekantene kongruente a Vi merker av AB = 8 cm. Vi slår en sirkel om A med radius 6 cm og en sirkel om B med radius 7 cm. Der sirklene skjærer hverandre, er C. b To trekanter med parvis like sider er kongruente. 6.0 Vi tegner linja AB = 6 cm. I A konstruerer vi en vinkel på 45. C er skjæringspunktet mellom denne og parallellen til AB i avstanden 5. For å konstruere parallellen gjør vi følgende: I B oppreiser vi en normal og finner et punkt D 5 cm fra B. I D oppreiser vi nok en normal. På denne måten blir høyden CE = 5 cm. Aschehoug Undervisning Side 10 av 9
11 6.1 Vi konstruerer først en vinkel på 90 i punkt C. Vi avsetter AC = 7 cm. Vi slår en bue med radius 9 cm om A. Der denne buen treffer det andre vinkelbeinet til C, er B. 6. a b AC = BC = 10 cm. ABC er likebeint. c Vi bruker pytagorassetningen for å regne ut høyden h i trekanten: h + 4 = 10 h = = 9, Høyden er 9, cm. g h 8 cm 9, cm A = = = 36,7 cm Aschehoug Undervisning Side 11 av 9
12 6.3 Vi velger centimeter som enhet og setter av AB = 8 cm. Vi konstruerer en vinkel på 75 i A. Vi slår en bue med radius 8 cm om B. Der denne sirkelbuen treffer det venstre vinkelbeinet i A, er C. 6.4 a 1 Vi avsatte linjestykket AB lik 7cm. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i B og halverte den etterpå. 3 Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm og fikk C 1 og C. Oppgaven har to løsninger: ABC1 og ABC Trekanten er ikke entydig bestemt, for vi kjenner to sider og den motstående vinkelen til den korteste av dem. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9
13 b Vi bruker sinussetningen: sin ACB sin B = AB AC sin ACB sin 30 = 7 5 7sin30 sin ACB = = 0,700 5 ACB = 44, Dette betyr at ACB = 44,. Da er BAC = 180 ( 44, + 30 ) = 105, 6. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC : BC = AC + AB AC AB cos BAC BC = cos105,6 = 9,8 BC = 9,8 = 9, 6 Lengden av BC er 9,6 cm. AC1B = , 4 = 135, 6 Da er BAC1 = 180 ( 135, ) = 14, 4. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC1: BC = AC + AB AC AB cos BAC1 BC = cos14,4 = 6, = 6, 0 =,5 BC Lengden av BC 1 er,5 cm. c Et ekstra krav kunne ha vært at C < 90, eller at A var oppgitt. 6.5 Vi ser av figuren at det er ikke mulig å konstruere en trekant med GH = 10 cm og HI = GI = 4 cm, for de to sirklene om G og H med radius lik 4 cm har ingen skjæringspunkter. Aschehoug Undervisning Side 13 av 9
14 6.6 Når alle tre sidene i en trekant er gitt, får vi enten én løsning eller ingen løsning. Se også figuren i oppgave a I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinja like store, dvs. at de to andre vinklene er = 45. b Vinklene i trekanten er gitt, men ingen av lengdene er gitt. Det fins uendelig mange trekanter med disse vinklene. c Vi avsetter linjestykket AB = 7 cm. Vi konstruerer en vinkel på 90 med toppunkt i A og halverer den etterpå. Vi gjør tilsvarende i punkt B. Der disse vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre, er C, og vinkel C blir da 90. Aschehoug Undervisning Side 14 av 9
15 6.8 a Vi avsatte et linjestykke og merket av punktet A. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i A. Vi avsatte AC lik 4 cm. Vi slo en sirkelbue om C med radius 7 cm og fikk B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 10 cm og fikk B. Vi kopierte ABC i Bog fikk C. AC 4 = CB 7 B C BC og ABC ABC AC 4 Da er =. CB 7 b Vi bruker først sinussetningen for å finne ABC. sin AB C sin A = AC B C sin AB C sin 60 = 4 7 sin 60 4 sin AB C = 7 AB C = 9,66. Dermed er B = 9,66. Vi bruker cosinussetningen for å finne AC: AC = AB + BC AB BC cosb 7 7 AC = 10 + AC 10 AC cos 9,66 4 4, 065AC + 30, 414AC 100 = 0 AC = 4,9 eller AC = 9,8 Lengden av AC er 4,9 cm. Aschehoug Undervisning Side 15 av 9
16 6.9 a En femkant kan vi dele i tre trekanter. b En sekskant kan vi dele i fire trekanter. c En tikant kan vi dele i åtte trekanter. Aschehoug Undervisning Side 16 av 9
17 6.30 a Vi avsatte linjestykket AC lik 6,5 cm. Vi slo en sirkelbue om A med radius 4 cm og en sirkelbue om B med radius 4 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 7 cm og en sirkelbue om C med radius 6 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er D. b Vi konstruerte en vinkel på 90 i punktet H. Vi slo en sirkelbue om H med radius 5 cm og fant G. Vi slo en sirkelbue om G med radius 8 cm og fant E. Vi slo en sirkelbue om E med radius 4 cm og en sirkelbue om G med radius 5 cm. Der de sirkelbuene skar hverandre, er F. Aschehoug Undervisning Side 17 av 9
18 c Vi avsatte IJ = 6 cm. Vi konstruerte en normal med i I og en normal i J. Vi avsatte IL = 4 cm og JK = 4 cm. Vi trakk KL. d Vi avsatte linjestykket MN = 8 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med sentrum i N. Vi avsatte linjestykket NO = 5 cm. Vi slo en sirkel om M med radius 5 cm og en sirkel om O med radius 8 cm. Vi trakk parallellen med MN gjennom O. Vi avsatte OP = 6 cm. Aschehoug Undervisning Side 18 av 9
19 6.31 Vi avsatte linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerte en normal til AB i B og avsatte BC = 6 cm. Vi fikk da punkt C. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i C og avsatte CD = 10 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D og trakk en linje. Vi slo en sirkelbue om A med radius på 6 cm. Der denne sirkelbuen traff høyre vinkelbein i D, fant vi punkt E. 6.3 a En regulær trekant kalles likesidet trekant. b En regulær firkant kalles kvadrat a (Her fins det ulike løsningsmåter.) Vi har delt sekskanten i seks regulære trekanter. CAE = 60 fordi ACE er likesidet. ACDF er et rektangel, og CAF = 90. EAF = = 30. Tilsvarende er BAC = = 30. Da er BAF = A = = 10. Vinkelen i en regulær sekskant er 10. Aschehoug Undervisning Side 19 av 9
20 6.34 Deloppgavene a, b, c og d er vist i figuren. e De åtte punktene som ligger på sirkellinja, danner en regulær åttekant. f ASB = 90 siden ABCD er et kvadrat. ASE = 45 siden SE er midtnormal ASE er likebeint, og SAE = SEA = = 67,5. Tilsvarende er SEB = 67,5. Da er AEB = 67,5 = 135. Vinklene i en regulær åttekant er Vi avsatte linjestykket DC lik 1 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D. Vi trakk linja l. Vi slo en sirkelbue om D med radius 6 cm. Der sirkelbuen traff l, fant vi A. Vi konstruerte en vinkel på 30 med toppunkt i A. Vi trakk linja m. Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm. Der sirkelbuen traff m, fant vi B. Vi trakk hjelpelinja BC. Vi fant midtpunktet på BC og konstruerte buen BC som er en halvsirkel. Aschehoug Undervisning Side 0 av 9
21 6.37 b Vi merker av de tre punktene i koordinatsystemet. Vi konstruerer midtnormalen på AB og midtnormalen på BC. Der midtnormalene krysser hverandre, ligger sirkelens sentrum. Vi konstruerer sirkelen a Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når trekanten er rettvinklet, faller omsenteret på en av sidene i trekanten. Aschehoug Undervisning Side 1 av 9
22 b Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når en av vinklene i trekanten er større enn 90, faller omsenteret utenfor trekanten Aschehoug Undervisning Side av 9
23 6.41 a Når trekanten er likesidet, faller omsenteret og innsenteret sammen. b Når trekanten er likebeint, faller den ene vinkelhalveringslinja sammen med midtnormalen. Se figuren. Aschehoug Undervisning Side 3 av 9
24 6.43 a Vi trekker medianene AE og BF og deretter hjelpelinja EF. Fordi F og E er midtpunkter, er AF = FC og BE = EC. Da vet vi at AB EF. ABC FEC, med forholdstallet n =. Da har vi at AB = EF. GAB GEF, siden GA B = GEF og GBA = GFE. AG AB EF Altså får vi at = = = =. G E EF EF 1 Vi har vist at medianene BF og AE skjærer hverandre i et punkt som deler dem i forholdet : 1. AG b Hvis skjæringspunktet ikke er det samme som G, dvs. hvis G G, må. GE Altså må antakelsen være feil. G = G Vi kaller tyngdepunktet i trekanten G. Se figuren. Dette punktet deler medianene i forholdet : 1. Det gir x = 9 x 1 x= 18 x 3x = 18 x = 6 Det er altså 6 cm fra tyngdepunktet i trekanten til hjørnet C. Aschehoug Undervisning Side 4 av 9
25 6.45 Her har det dessverre skjedd en ombytting av lengdene i oppgaveteksten: Det er AD som er 6, mens CE er 9. (Gjelder 1. og. opplag.) Då blir konstruksjonen seende slik ut: Løsninger til innlæringsoppgavene Aschehoug Undervisning Side 5 av 9
26 6.47 Vi leser av ortosenterets koordinater til omtrent (5,6,,9) I et dynamisk konstruksjonsprogram kan vi dra i hjørnene mens vi observerer hvor ortosenteret er. a Ortosenteret er identisk med et av hjørnene i trekanten når den er rettvinklet. b Ortosenteret faller utenfor trekanten når en av vinklene i trekanten er større enn 90. Aschehoug Undervisning Side 6 av 9
27 6.49 Cevas setning er oppfylt, for AF BD CE,945,84 4, 11 = = 1 FB DC CA 1,95 3,867 4, a AB er parallell med DE, for C = D = 90. Firkanten er derfor et trapes. b Arealet av et trapes er gitt ved ( a+ b) a+ b a+ b A ACDE = h= ( a+ b) = c Trekantene ACB og BDE er kongruente, så CBA + EBD = 90. Videre er CBA + ABE + EBD = 180. Det gir ABE + 90 = 180, og dermed er ABE = 90. A = A + A + A ab ab cc 1 A ABCD = + + = ab + c d ABCD ΔACB ΔBDE ΔABE e For å bevise pytagorassetningen setter vi de to arealuttrykkene i oppave b og d lik hverandre. Det gir ( a+ b) 1 = ab + c ( a+ b) = ab+ c a + ab+ b = ab+ c a + b = c Aschehoug Undervisning Side 7 av 9
28 6.51 a DCE = 90 fordi BE = BD = BC = a. Slår vi en sirkelbue om B med radius a, vil punkt C ligge på denne sirkelbuen. Etter Thales' setning er da DCE = 90. b ACD og BCE er begge komplementvinkler til DCB. De må derfor være like store. c CBE er likebeint siden BE = BC = a. Da er vinklene ved grunnlinja CE like store, dvs. BCE = CEB. d e ACD AEC fordi A er felles i begge trekantene. ACD = BCE = CEB Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den tredje vinkelen være lik i de to trekantene, dvs. ADC = ACE. Vi har vist at vinklene er like i de to trekantene, og da er trekantene formlike. AE AC a + c b = gir = AC AD b c a ( a+ c) ( c a) = b ac a + c ac = b a + b = c Aschehoug Undervisning Side 8 av 9
29 6.5 Arealet av ABF er like stort som arealet av BCF: 1 BC Fordi BEC er kongruent med ABF, er også arealet av BEC lik 1 BC. Videre er arealet av BEC like stort som arealet av JEB, som utgjør halve rektangel JKEB. 1 Arealet av rektangel JKEB er derfor BE JB= AB JB = BC = BC, som setning 4 side 76 sier. Aschehoug Undervisning Side 9 av 9
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,
Geometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.
R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra
5.4 Konstruksjon med passer og linjal
5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen
Geometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
1.14 Oppgaver. Løsningsforslag
til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel
Geometri 1T, Prøve 2 løsning
Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i
Geometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
Oppgaver i kapittel 6
Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,
Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
1 Å konstruere en vinkel på 60º
1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante
INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI
INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...
Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri
Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel
Løsningsforslag kapittel 3
Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave
Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen
Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete
NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:
R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse
R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene
1.9 Oppgaver Løsningsforslag
til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45
Geometri R1, Prøve 1 løysing
Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med
Eksamen REA 3022 Høsten 2012
Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x 1 1 1 g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x
Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.
Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan
Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.
Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner
Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet
Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper
Geometri løsninger. Innhold. Geometri R1
Geometri løsninger Innhold. Formlikhet... Formlike trekanter... Kongruente trekanter... 5. Pytagoras setning... 6.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 8.4 Geometriske steder... 5.5 Skjæringssetninger
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 8.3 Formlikhet... 1.4 Pytagoras setning... 17.5 Areal... 3.6 Trigonometri 1... 9 Navn på hjørner og sider i trekanter...
3.4 Geometriske steder
3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere
Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Geometri oppgaver. Innhold. Geometri R1
Geometri oppgaver Innhold 1.1 Formlikhet... 2 Formlike trekanter... 2 Kongruente trekanter... 9 1.2 Pytagoras setning... 10 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 11 1.4 Geometriske steder...
Eksamen REA3022 R1, Våren 2011
Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen
Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 11. oktober 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 11. oktober 2014 Oppgave 1. La ABCD og A BC D være to parallellogrammer med felles vinkel ABC = A BC. Vis at linjene gjennom DD, A C og AC er konkurrente. Løsning 1. Det
R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1
Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x
b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.
5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like
( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )
Eksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x = x + x 3 5 f () x = 3 x+ 5 = 6x + 5 b gx = 3 ( x ) gu = 3 u 4 4 3 g () u = 34
5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km
Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,
Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?
Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som
Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.
Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD
GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD 1. Innledning Dette er kompendiet i Euklidsk plangeometri leder til beviser av Pappos setning og Pascals setning. En rekke kjente setninger er vist underveis, med argumenter
1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
Eksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?
Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 7.3 Formlikhet... 11.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7 Navn på hjørner og sider i trekanter...
H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1
1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss
Løsningsforslag uke 42
Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det
Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål
Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1
Geometri med GeoGebra Del 2
Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen
ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25
Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...
Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...
Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:
Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene
11 Nye geometriske figurer
11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi
Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1
Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer
Løsning eksamen R1 våren 2009
Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )
Kapittel 3 Geometri Mer øving
Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d
Geometri. A1A/A1B, vår 2009
Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a 4 ( ) f + f ( ) 4 1 g ( ) ln( ) u u 1 v ln( ) v ( ) ln( ) + g ln + + (ln 1) 1 c h
Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene
Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)
5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =
til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin
OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD
OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære
TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.
TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,
Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:
Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.
.9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =
Eksamen våren 2008 Løsninger
Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
1.8 Digital tegning av vinkler
1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket
1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
R1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fasit Grunnbok Kapittel 2 Bokmål Kapittel 1 Trekantberegning 2.1 a Likesidet trekant b Rettvinklet trekant c Likebeint trekant d Rettvinklet og likebeint trekant 2.2 a 9,4 cm b 5 cm c 4,5 cm 2.3 2.11 Korteste
Eksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 7. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 013 Fag: MAT1006
Eksamen 1T våren 2011
Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0
R1 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R1 eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene
Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1
Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem
Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?
Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9
Heldagsprøve R Thora Storms vgs.
R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x
E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende
11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde
Løsning eksamen R1 våren 2008
Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16
Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik
Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)
03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
Lag et bilde av geometriske figurer, du også!
Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing
DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved
DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er
Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A
Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus Matematikk for ungdomstrinn Matematikk for ungdomstrinnet 0A Fasit Grunnbok 0A FASIT TIL KAPITTEL A GEOMETRI A Konstruer speilbildet av endepunktene til linjestykkene og
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:
Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit
Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl. 9.00-4.00 Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt
3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3
Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,
1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner
1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han
GeoGebra U + V (Elevark)
GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave: