E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

Transkript

1 11. mai 2014

2 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forstørret. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren A.2: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forminsket. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren NIVÅ B: KUNNE AVGJØRE FORMINSKNING ELLER FORSTØRRING AV FORMLIKE FIGURER. KUNNE FINNE LENGDER I EN FIGUR NÅR MÅLESTOKK OG LENGDER I FORMLIK KOPI ER OPPGITT. KAN FINNE MÅLESTOKK OG BRUKE DETTE TIL Å FINNE LENGDER NÅR FORMLIKHET ER OPPGITT B.1: Kunne avgjøre om en formlik avbildning er en forminskning eller en forstørring B.2: Kunne finne lengder i originalen når målestokken og lengder i kopien er oppgitt B.3: Kunne finne målestokken når det er oppgitt at det foreligger en formlik avbildning. Kan bruke det til å finne ukjente lengder NIVÅ C: PYTAGORAS, FINNE LENGDER PÅ KART C.1: Bruke Pytagoras setning til å beregne hypotenusen i en rettvinklet trekant C.2: Bruke Pytagoras setning til å beregne en katet i en rettvinklet trekant C.3: Når formlikhet og målestokken er oppgitt, kunne regne ut ukjente størrelser. Omgjøring av enheter. (Finne avstander på kart.) C.4.a: I en o -trekant får oppgitt lengden til en katet. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras for å finne lengden til hypotenusen C.4.b: I en o -trekant får oppgitt hypotenusen eller den korteste kateten. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras videre for å finne den lengste kateten NIVÅ D: KUNNE BRUKE VINKELSUMMEN I TREKANTER TIL Å FASTSLÅ FORMLIKHET, KUNNE REGNE UT AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEREGNE SIDER I SPESIELLE TREKANTER D.1: Kunne anvende regelen om vinkelsummen i en trekant for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider D.2: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, uten omgjøring av enheter D.3: Finne katetene i en o -trekant når hypotenusen er oppgitt D.4: Finne den korteste kateten og hypotenusen i en o -trekant når den lengste kateten er oppgitt NIVÅ E: KUNNE BEREGNE AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEVISE FORMLIKHET, KUNNE BRUKE PYTAGORAS KOMBINERT MED OPPLYSNINGER OM LENGDER GITT SOM SUM/DIFFERANSE

3 E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende vinkler for å fastslå at trekanter er formlike. Kan bruke dette til å finne ukjente sider E.3: Ut fra en gitt tegning av en mangekant, kunne anvende regelen om toppvinkler og regelen om samsvarende vinkler for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider E.4: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når forholdet mellom størrelser er oppgitt. (Ikke bruk av kvadratsetninger.) NIVÅ F: KUNNE BRUKE FORMLIKHET I KOMBINERTE OPPGAVER, KUNNE PYTAGORAS I KOMBINASJON AV KVADRATSETNINGENE, KUNNE KOMBINERE FORMLIKHET OG PYTAGORAS F.1: Når en rettvinklet trekant er delt i to trekanter ved en høyde/normal på hypotenusen: Kunne fastslå formlikhet og deretter bestemme størrelser på linjestykker/sider ved hjelp av Pytagoras og formlikhet F.2: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når størrelsene for øvrig er gitt som sum, differanse eller lignende. (Må bruke kvadratsetninger.) F.3: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne fastslå formlikhet gjennom å anvende regelen om at toppvinkler er like store og regelen om at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Kunne bruke dette til å bestemme ukjente lengder F.4: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne kombinere formlikhet og Pytagoras til å bestemme ukjente lengder i en firkant VEIEN VIDERE

4 INNLEDNING Geometri danner (sammen med tallregning/algebra) det historiske grunnlaget for matematikk. (Det er også en nær og viktig forbindelse mellom geometri og algebra.) Hvordan finne lengder i figurer? Vi har i stegarket «Lengde Areal Volum» vist hvordan vi kan bruke formelen for omkrets, areal eller volum til å finne lengder. Innenfor delområdet Beregninger finner du to viktige redskaper for å finne lengden av sidene i figurer og gjenstander og dermed også omkrets, areal, overflate og volum. Disse to redskapene (eller verktøyene) heter formlikhet og den pytagoreiske læresetning. Her møter du sentrale begreper: målestokk, katet, hypotenus, forhold og forholdstall. I forlengelsen av formlikhet finner vi begrepet kongruens som vi også er innom i «Lengde Areal Volum». Mange elever klarer å bruke prinsippene rundt formlikhet uten å vite at det er faktisk det de gjør. Verre er det med Pytagoras: Få elever «kommer på» denne regelen av seg selv. Undervisningen i disse to emnene bør være så praktisk som mulig. Elevene må oppleve hvordan de kan løse problemer. Samtidig er det viktig at elevene forstår hvilke betingelser som må være oppfylt for at vi skal kunne bruke disse verktøyene. Her finner en forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet Beregninger. A.1: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forstørret. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren. To trekanter er formlike. Lengdene i originaltrekanten er 1,5cm, 2cm og 3cm. Regn ut lengdene i kopitrekanten når målestokken er 1,5. A.2: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forminsket. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren. To trekanter er formlike. Lengdene i originaltrekanten er 5cm, 3cm og 3,5cm. Regn ut lengdene i kopitrekanten når målestokken er 0,7. 5

6 NIVÅ B: KUNNE AVGJØRE FORMINSKNING ELLER FORSTØRRING AV FORMLIKE FIGURER. KUNNE FINNE LENGDER I FORMLIK ORIGINAL NÅR MÅLESTOKK OG LENGDER I FORMLIK KOPI ER OPPGITT. KAN FINNE MÅLESTOKK OG BRUKE DETTE TIL Å FINNE LENGDER NÅR FORMLIKHET ER OPPGITT. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet Beregninger. B.1: Kunne avgjøre om en formlik avbildning er en forminskning eller en forstørring. En figur er avbildet med en målestokk på 0,8. Vil kopien være en forstørring eller en forminskning av originalfiguren? B.2: Kunne finne lengder i originalen når målestokken og lengder i kopien er oppgitt Her ser du to formlike trekanter. ΔABC er originalen og ΔDEF er kopien. DE = 3,4cm Målestokken er 1,7. Hvor lang er AB? B.3: Kunne finne målestokken når det er oppgitt at det foreligger en formlik avbildning. Kan bruke det til å finne ukjente lengder. Nedenfor finner du to formlike trekanter. Hvor lang er DF? 6

7 NIVÅ C: PYTAGORAS, FINNE LENGDER PÅ KART Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet Beregninger. C.1: Bruke Pytagoras setning til å beregne hypotenusen i en rettvinklet trekant. C A Denne trekanten er en rettvinklet trekant hvor får vite at AB = 6cm og AC = 3cm? B A 90. Hvor lang er BC når du C.2: Bruke Pytagoras setning til å beregne en katet i en rettvinklet trekant. Hvor lang er AB når du får vite at AC = 5cm og BC = 3cm? C A B C.3: Når formlikhet og målestokken er oppgitt, kunne regne ut ukjente størrelser. Omgjøring av enheter. (Finne avstander på kart.) Nedenfor ser du en tegning over en kontorpult i målestokken 1:80. Mål lengdene på figuren ved hjelp av linjal og finn tilsvarende lengder på den virkelige skrivepulten målt i meter. C.4.a: I en o -trekant får oppgitt lengden til en katet. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras for å finne lengden til hypotenusen. C A ΔABC er en o -trekant hvor B A 90. Hvor lang er BC når AC=3cm? C.4.b: I en o -trekant får oppgitt hypotenusen eller den korteste kateten. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras videre for å finne den lengste kateten. ΔABC er en o -trekant hvor B 30. Hvor lang er BC og AB når AC=3cm? C A B 7

8 NIVÅ D: KUNNE BRUKE VINKELSUMMEN I TREKANTER TIL Å FASTSLÅ FORMLIKHET, KUNNE REGNE UT AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEREGNE SIDER I SPESIELLE TREKANTER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet Beregninger. D.1: Kunne anvende regelen om vinkelsummen i en trekant for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. Nedenfor finner du to rettvinklede trekanter. A D 90, C 40 og E 50. Hvor lang er EF? F C 5,4cm A 4cm B D 6cm E D.2: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, uten omgjøring av enheter. Et rektangel har et areal på 12cm 2. Dette rektangelet blir avbildet til et formlikt rektangel i målestokken 3. Hva er arealet av kopirektangelet? D.3: Finne katetene i en o -trekant når hypotenusen er oppgitt. ΔABC er en o -trekant. Hvor lange er katetene når AC = 6cm? C A B D.4: Finne den korteste kateten og hypotenusen i en o -trekant når den lengste kateten er oppgitt. ΔABC er en o -trekant hvor B 30. Hvor lang er BC og AC når AB=5cm? C A B 8

9 NIVÅ E: KUNNE BEREGNE AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEVISE FORMLIKHET, KUNNE BRUKE PYTAGORAS KOMBINERT MED OPPLYSNINGER OM LENGDER GITT SOM SUM/DIFFERANSE. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet Beregninger. E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter. Arealet til denne figuren er på 5,2cm 2. Denne figuren er et kart over en industritomt i målestokken 1: Hvor stort areal industritomta i virkeligheten? Oppgi svaret i dekar. E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende vinkler for å fastslå at trekanter er formlike. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. C D E A B I denne likebeinede trekanten er AC = BC og AB DE. AB= 4,2cm. DE= 3,4cm. AC=5,6cm. Finn CD. E.3: Ut fra en gitt tegning av en mangekant, kunne anvende regelen om toppvinkler og regelen om samsvarende vinkler for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. D C E A B I firkanten ABCD er AB CD. AB = 7,2cm CD = 4,0 cm og BE = 3,6cm. Hvor lang er ED? E.4: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når forholdet mellom størrelser er oppgitt. (Ikke bruk av kvadratsetninger.) ΔABC er rettvinklet med vinkel B som den rette vinkelen. AB = 6,4cm. AC er 75 % lengre enn BC. Hvor lange er AC og BC? 9

10 NIVÅ F: KUNNE BRUKE FORMLIKHET I KOMBINERTE OPPGAVER, KUNNE PYTAGORAS I KOMBINASJON AV KVADRATSETNINGENE, KUNNE KOMBINERE FORMLIKHET OG PYTAGORAS Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet Beregninger. F.1: Når en rettvinklet trekant er delt i to trekanter ved en høyde/normal på hypotenusen: Kunne fastslå formlikhet og deretter bestemme størrelser på linjestykker/sider ved hjelp av Pytagoras og formlikhet. ΔABC er rettvinklet med AC=4,0cm og AB=6,3cm. Hvor lang er CD? C D A som rett vinkel. AD står normalt på BC. A B F.2: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når størrelsene for øvrig er gitt som sum, differanse eller lignende. (Må bruke kvadratsetninger.) ΔABC er rettvinklet med AB som hypotenus. AC = 5,2cm. AB og BC er til sammen 7,9cm. Hvor lange er AB og BC? F.3: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne fastslå formlikhet gjennom å anvende regelen om at toppvinkler er like store og regelen om at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Kunne bruke dette til å bestemme ukjente lengder. I en firkant ABCD står diagonalene AC og BD vinkelrett på hverandre. De skjærer hverandre i punktet E. AB CD. CD = 5,2cm og CE = 3cm. og DE:EB = 1:2. Bevis at ABE ~ ECD. Finn lengden av AE F.4: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne kombinere formlikhet og Pytagoras til å bestemme ukjente lengder i en firkant. I trapeset ABCD er AB CD. BAC 30. AB = 9,2cm og B 75. CD = 5,6cm. Normalen fra D på AC skjærer AC i F og treffer AB i E. Hvor lang er EF? 10

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: A. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. B. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: C. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Lengde Areal Volum). Slik kan du skrive: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du skrive:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. D. Viktige regneregler blir skrevet med fet, sort skrift og satt i en ramme med gul bakgrunn. Viktige regneregler vises slik! E. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. 11

12 12

13 NIVÅ A NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT Vi begynner med å regne ut lengdene i en kopi-figur når vi får oppgitt tilsvarende lengder i original-figuren og målestokken; - først når kopien er en forstørring av originalen og deretter når kopien er en forminskning av originalen. Vi introduserer uttrykkene «originalen» og «kopien». Dette er ment som hjelpebegreper. Det å kunne bruke målestokken går inn som et element som vi kan bruke i oppgaver hvor vi skal bruke formlikhet. 13

14 NIVÅ A A.1: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forstørret. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren. Eksempel-oppgave: To trekanter er formlike. Lengdene i originaltrekanten er 1,5cm, 2cm og 3cm. Regn ut lengdene i kopitrekanten når målestokken er 1,5. BEGREPER Formlikhet: To figurer er formlike når de har samme form men ikke nødvendigvis samme størrelse. Målestokk: Brukes om to formlike figurer: Tallet vi må multiplisere lengdene i originalfiguren med for å få lengdene i kopifiguren. Originalfiguren: Den figuren som tegnes først. Kopifiguren: Den figuren som er en formlik kopi av originalen. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I utregningen bygger vi på D.2 (Tall). FORKLARING: Før vi løser eksempel-oppgaven, skal vi se nærmere på hva det vil si at to trekanter er formlike. Vi bruker de formlike figurene i eksempeloppgaven og flytter kopifiguren over på originalfiguren slik at punktet D faller i A og DE ligger langs AB: 14

15 NIVÅ A Vi ser at den ene vinkelen i originaltrekanten er like stor som tilsvarende vinkel i kopitrekanten. Hvis vi tester de andre vinklene, ser vi at hver vinkel i originaltrekanten er like stor som tilsvarende vinkel i kopitrekanten. Vi har følgende regel: To trekanter er formlike når vinklene i de to trekantene er parvis like store Legg merke til at denne regelen bare gjelder trekanter. Begrepet formlikhet er så viktig at vi har innført et eget tegn. Når vis kal si at ABC er formlik med DEF, skriver videt slik: ABC ~ DEF Eksempel-oppgaven løser vi nå slik: Slik kan du skrive: DE = m AB DE = 1,5 2cm = 3cm EF = m BC EF = 1,5 3cm = 4,5cm FD = m CA FD = 1,5 1,5cm = 2,25cm Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på DE. Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på EF. Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på FD. KJEKT Å VITE Regelen vi nettopp nevnte gjelder bare for trekanter. Hvorfor gjelder den ikke for firkanter eller femkanter? Før vi ser på dette spørsmålet, presiserer vi følgende prinsipp: For å bevise at en regel ikke er riktig, holder det å gi et eksempel hvor regelen ikke stemmer. Vi ser først på firkanter: Kan det være slik at firkanter hvor vinklene er parvis like store er formlike? Nei, fordi i alle rektangler er vinklene 90⁰. Og mange rektangler er slett ikke formlike: Kanskje er alle mangekanter med odde antall kanter formlike? 15

16 NIVÅ A Nei: I de to nevnte rektanglene kan en føye til likesidete trekanter på en av sidekantene: I disse to femkantene er vinklene parvis like store: To er 90⁰, to er 150⁰ og én er 60⁰. Vi kan påstå at følgende regel gjelder: To mangekanter er formlike dersom de er bygget opp av formlike trekanter. Denne reglen kan heller ikke være korrekt: Vi kan tenke oss to femkanter som er bygget opp av to parvis formlike trekanter. De trenger ikke være formlike: Vi konkluderer med at vi så langt ikke har funnet noen generell sammenheng mellom mangekanter og vinkler på den ene siden og formlikhet på den andre siden. 16

17 NIVÅ A A.2: En figur, hvor minst en lengde er kjent, blir formlikt forminsket. Kunne regne ut tilsvarende lengder i kopifiguren. Eksempel-oppgave: To trekanter er formlike. Lengdene i originaltrekanten er 5cm, 3cm og 3,5cm. Regn ut lengdene i kopitrekanten når målestokken er 0,7. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette steget er en variant av A.1 (Beregninger). FORKLARING: Vi regner på samme måte som A.1 (Beregninger): Slik kan du skrive: DE = m AB DE = 0,7 3,5cm = 2,45cm EF = m BC EF = 0,7 3cm = 2,1cm FD = m CA FD = 0,7 5cm = 3,5cm Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på DE. Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på EF. Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har regnet ut lengden på FD. 17

18 NIVÅ A 18

19 NIVÅ B NIVÅ B: KUNNE AVGJØRE FORMINSKNING ELLER FORSTØRRING AV FORMLIKE FIGURER. KUNNE FINNE LENGDER I EN FIGUR NÅR MÅLESTOKK OG LENGDER I FORMLIK KOPI ER OPPGITT. KAN FINNE MÅLESTOKK OG BRUKE DETTE TIL Å FINNE LENGDER NÅR FORMLIKHET ER OPPGITT. Dersom en får oppgitt målestokken og lengder i originalfiguren, kan en regne ut lengdene i kopien. Det er et lite steg derfra til å kunne avgjøre om kopien blir en forstørring eller forminskning av originalen uten å regne ut noen lengder. Vi må også kunne regne ut lengder i originalen når vi får oppgitt målestokken og lengder i kopien. Det neste steget er å finne målestokken når en får oppgitt to tilsvarende lengder hhv i originalen og kopien. Når en har funnet målestokken, er det en smal sak å regne ut andre lengder. 19

20 NIVÅ B B.1: Kunne avgjøre om en formlik avbildning er en forminskning eller en forstørring. Eksempel-oppgave: En figur er avbildet med en målestokk på 0,8. Vil kopien være en forstørring eller en forminskning av originalfiguren? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Beregninger) og på A.2 (Beregninger). FORKLARING: I de to stegne på A-nivået regnet vi ut hvor lange sidene i figurene ble. Her skal vi bare ta stilling til om kopien blir en forstørring eller en forminskning av originalen. Vi vet fra tallregning at dersom vi ganger et tall med en faktor som er større enn 1, blir produktet større enn det opprinnelige tallet. Motsatt vil produktet bli mindre enn det opprinnelige tallet dersom faktorene er mindre enn 1. Det betyr at det eneste vi trenger å vite er om målestokken er større eller mindre enn 1. Dersom målestokken er større enn 1, får vi en forstørring. Dersom målestokken er mindre enn 1, får vi en forminskning I dette tilfellet er målestokken 0,8. Det betyr at vi får en forminskning. 20

21 NIVÅ B B.2: Kunne finne lengder i originalen når målestokken og lengder i kopien er oppgitt Eksempel-oppgave: Her ser du to formlike trekanter. ΔABC er originalen og ΔDEF er kopien. DE = 3,4cm Målestokken er 1,7. Hvor lang er AB? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på begrepet målestokk som ble presentert i A.1 (Beregninger). Vi kan løse oppgaven på minst to måter, enten ved å dele to tall eller ved hjelp av likninger. I første tilfelle bygger vi på E.2 (Tall). I det andre bygger vi på A.3.c (Likninger). FORKLARING: I denne oppgaven skal vi gå fra kopien tilbake til originalen. Vi spør: Hvilken lengde må vi gange 1,7 med for å få 3,4cm. Svaret får vi ved å dele 3,4cm med 1,7. Mer generelt: Vi deler lengden i kopien med målestokken: Slik kan du skrive: DE AB Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. m 3,4cm AB 2 Vi har regnet ut lengden på DE. 1,7 Dersom vi vil bruke likninger, kan vi føre oppgaven slik: 21

22 NIVÅ B Slik kan du skrive: DE = m AB DE = 3,4 cm M = 1,7 AB = x cm Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har listet opp verdiene for variablene 3,4 = 1,7 x Vi har satt inn verdiene for variablene 1,7 x 1,7 x = 2 3,4 1,7 Vi har byttet side og dividert på begge sider med tallet foran x, se A.3.c (Likninger). Vi har regnet ut den ukjente. AB = 2cm Vi har skrevet svaret. 22

23 NIVÅ B B.3: Kunne finne målestokken når det er oppgitt at det foreligger en formlik avbildning. Kan bruke det til å finne ukjente lengder. Eksempel-oppgave: Nedenfor finner du to formlike trekanter. Hvor lang er DF? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på begrepet målestokk som ble presentert i A.1 (Beregninger). Vi kan løse også denne oppgaven på flere måter. Her går vi gjennom bare en løsningsmetode. FORKLARING: Til nå har vi fått oppgitt målestokken. Her er den ikke oppgitt. Men vi ser at så snart vi har funnet den, kan vi finne lengden av DF ved å multiplisere lengden av AC med målestokken. Ettersom lengden av DE er lik målestokken multiplisert med lengden av AB, måvi kunne finne målestokken ved å dele lengden av DE med lengden av AB. Dette setter vi opp som en huskeregel: Vi kan finne målestokken i en formlik avbildning ved å dividere en lengde i kopifiguren med tilsvarende lengde i originalfiguren: Kopilengde målestokke n Originallengde 23

24 NIVÅ B Slik kan du skrive: DE m Vi har skrevet opp utregningen vi skal foreta. AB 4,5cm m Vi har satt inn verdiene for variablene 3cm m = 2 DF = m AC DF = 2 3,6cm = 7,2cm Vi har egnet ut målestokken. Vi har satt opp utregningen vi skal foreta. Vi har regnet ut DF. 24

25 NIVÅ C NIVÅ C: PYTAGORAS, FINNE LENGDER PÅ KART Her går vi gjennom en av de viktigste reglene vi har i geometri: Pytagoras setning. Dessuten skal vi vise hvordan vi kan finne lengder i terrenget når en har oppgitt målestokken til et kart og avstanden mellom to punkter på kartet. 25

26 NIVÅ C C.1: Bruke Pytagoras setning til å beregne hypotenusen i en rettvinklet trekant. Eksempel-oppgave: Denne trekanten er en rettvinklet trekant hvor lang er BC når du får vite at AB = 6cm og AC = 3cm? C A 90. Hvor A B BEGREPER Rettvinklet trekant: En trekant der en av vinklene er rett, det vil si 90⁰. Hypotenus: Den lengste siden i en rettvinklet trekant. Katetene: De to korteste sidene i en rettvinklet trekant. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.3 (Lengde Areal Volum). Dessuten bruker vi E.8 (Tall). Det er en fordel om en behersker kvadratsetningene, se F.3 (Algebra). FORKLARING: Før vi viser hvordan en kan regne, skal vi gå gjennom den pytagoreiske læresetningen, eller Pytagoras, som vi pleier å si. Vi starter med en tilfeldig rettvinklet trekant: Hypotenusens lengde kaller vi for c. Katetene har lengdene hhv a og b. Vi tegner nå et kvadrat hvor lengden av sidene er (a + b). Vi merker oss at det grønne kvadratet er et kvadrat med sidekant lik a, mens det blå kvadratet har sidekanten b. 26

27 NIVÅ C Vi har delt opp kvadratet i to mindre kvadrater (det blå og det grønne) og fire trekanter (som hver er like store og har samme form (kongruente) med trekanten vi begynte med. Arealet av det store kvadratet er: (a + b) 2. Arealene av det grønne kvadratet er: a 2. Arealet av det blå kvadratet er: b 2. Tar vi med alle trekantene, blir arealet av det store kvadratet: 2 2 a b 2 2 a b 4 a b 2ab 2 (Det samme hadde vi fått dersom vi brukte 1.kvadratsetning til å regne ut (a + b) 2.) Nå lager vi et nytt kvadrat hvor sidene også har lengden (a + b). Forskjellen er at lengdene er satt sammen på en litt annen måte: 27

28 NIVÅ C Vi merker oss at DBH 90 (grunnen er at ABC 180 og at ABH CBD 90 ; - fordi de to siste vinklene er de spisse vinklene i trekanten og siden A 90, må summen av de spisse vinklene også være 90⁰). Dermed må den hvite firkanten i midten være et kvadrat med sider c. Arealet av det hvite kvadratet i midten er altså: c 2. Det store kvadratet består altså av fire trekanter pluss det hvite kvadratet. Dette arealet kan skrives slik: 2 a b 2 c 4 c 2ab 2 Siden de store kvadratene er like stor, kan vi si: a b 2ab c 2ab 2 Vi konkluderer med: a b Vi kan illustrere dette på følgende måte: 2 c 2 Pytagoras setning er derfor: Arealet av kvadratet på hypotenusen er lik summen av arealene av kvadratene på katetene. Eller: Katet 2 + katet 2 = hypotenus 2 28

29 NIVÅ C Vi går over til å løse eksempel-oppgaven og tegner en rettvinklet trekant med de tilhørende kvadrater: Vi bruker B.3 (Lengde Areal Volum) for å regne ut arealet av det blå hhv det grønne kvadratet. Deretter bruker vi E.5 (Tall) for å finne arealet av det hvite kvadratet. For å finne lengden av hypotenusen, må vi finne kvadratroten av 45. Da bruker vi E.8 (Tall): x 45 6,7. Hypotenusen 6,7 cm Det er helt greit å levere en besvarelse ved å tegne trekanter og regne ut arealene på denne måten. Dersom en vil føre uten å tegne, kan det gjøres slik: Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras: AB = 6 cm AC = 3 cm BC = x cm x 2 = x 2 = = 45 Vi forteller hvilken regel vi vil bruke. Vi har skrevet opp lengden av sidene. Vi har satt inn verdiene i Pytagoras. Vi har regnet ut, se E.5 (Tall) x 45 6,7 Vi har trukket ut roten, se E.8 (Tall) Hypotenusen er 6,7cm Vi har skrevet svar setning. 29

30 NIVÅ C C.2: Bruke Pytagoras setning til å beregne en katet i en rettvinklet trekant. Eksempel-oppgave: Hvor lang er AB når du får vite at AC = 5cm og BC = 3cm? C A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Beregninger) og B.3 (Lengde Areal Volum). Dessuten bruker vi E.8 (Tall). FORKLARING: Pytagoras sier at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på katetene. Her kjenner vi lengden av hypotenusen. Da kan vi bruke D.5 (Tall) til å regne ut arealet av kvadratet på hypotenusen. Tilsvarende kjenner vi lengden av den ene kateten. Da kan vi regne ut arealet av kvadratet på denne kateten. Arealet av kvadratet på den siste kateten blir da differansen av kvadratet på hypotenusen og kvadratet av den kjente kateten. Vi tegner den rettvinklede trekanten og setter på lengder og arealer: 30

31 NIVÅ C Vi har regnet ut at arealet av det blå kvadratet er 16 cm 2. For å finne lengden av AB, må vi finne kvadratroten av 16. Da bruker vi E.8 (Tall): AB = 4 cm Dersom en vil føre uten å tegne, kan det gjøres slik: Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras: AB = c cm AC = 5 cm BC = 3 cm x 2 = x 2 = 25-9 = 16 Vi forteller hvilken regel vi vil bruke. Vi har skrevet opp lengden av sidene. Vi har satt inn verdiene i Pytagoras. Vi har regnet ut, se E.5 (Tall) x 16 4 Vi har trukket ut roten, se E.8 (Tall) AB er 4 cm Vi har skrevet svar setning. 31

32 NIVÅ C C.3: Når formlikhet og målestokken er oppgitt, kunne regne ut ukjente størrelser. Omgjøring av enheter. (Finne avstander på kart.) Eksempel-oppgave: Nedenfor ser du en tegning over en kontorpult i målestokken 1:80. Mål lengdene på figuren ved hjelp av linjal og finn tilsvarende lengder på den virkelige skrivepulten målt i meter. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.2 (Beregninger), B.3.b (Brøk) og på C.3 (Lengde Areal Volum). FORKLARING: Målestokk på kart blir gjerne angitt på denne måten: 1: (som er vanlig målestokk på orienterings-kart). Ettersom «delt på» kan skrives som brøk, kan denne målestokken skrives slik: Derfor kan en omtale kart med slik målestokken som «femtentusen-dels-kart». Når en skal finne avstander i terrenget, kan en gjøre det ved å måle avstanden på kartet og bruke at 1 cm på kartet tilsvarer cm i virkeligheten. Vi må altså gange lengden på kartet med Forklaringen på at dette er helt i tråd med det vi sa i B.2 (Beregninger), er at vi må betrakte terrenget som originalen (det som kommer først) og kartet som en kopi. I B.2 (Beregninger) så vi at når vi skulle gå fra lengder i kopien til lengder i originalen, delte vi lengden av kopien med målestokken. I B.3.b (Brøk) så vi at å dele et helt tall med en brøk var å gange tallet med den omvendte 1 brøk. Å dele en lengde med er derfor det samme som å gange lengden med Vi kan derfor føre slik: 32

33 NIVÅ C Slik kan du skrive: Vi har målt de korte sidene til 2cm og de lange sidene 4cm. Vi skriver lengdene vi har målt 1 m Vi har skrevet målestokken. 80 De korte lengdene: 2 cm 80 = 160 cm = 1,6 m De lange lengdene: 4 cm 80 = 320 cm = 3,2 m Vi har regnet ut og gjort om enhetene, se C.3 (Lengde Areal Volum). 33

34 NIVÅ C C.4.a: I en o -trekant får oppgitt lengden til en katet. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras for å finne lengden til hypotenusen. Ekempel-oppgave: ΔABC er en o -trekant hvor AC=3cm? A 90. Hvor lang er BC når KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Beregninger) og på A.1 (Lengde Areal Volum). FORKLARING: I A.1 (Lengde Areal Volum) slo vi fast at dersom to vinkler i en trekant er like store, er trekanten likebeinet. I trekanten i eksempel-oppgaven, vil det si at katetene er like store. Dermed har vi fått en oppgave som i B.1 (Beregninger): Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras: AB = 3 cm AC = 3 cm BC = x cm x 2 = x 2 = = 18 Vi forteller hvilken regel vi vil bruke. Vi har skrevet opp lengden av sidene. Vi har satt inn verdiene i Pytagoras. Vi har regnet ut, se E.5 (Tall) x 18 4, 2cm Vi har trukket ut roten, se E.8 (Tall) BC er 4,2cm Vi har skrevet svar setning. 34

35 NIVÅ C C.4.b: I en o -trekant får oppgitt hypotenusen eller den korteste kateten. Kan bruke egenskapene til trekanten og Pytagoras videre for å finne den lengste kateten. Eksempel-oppgave: ΔABC er en o -trekant hvor AB når AC=3cm? B 30. Hvor lang er BC og KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Beregninger) eventuelt på C.2 (Beregninger) og på A.1 (Lengde Areal Volum) og på C.4 (Dynamisk Geometri). FORKLARING: I en likesidet trekant (som ABC her) er alle vinklene 60⁰ og alle sidene like lange, se A.1 (Lengde Areal Volum). Midtnormalen CD, se C.4 (Dynamisk Geometri), deler trekanten i to like store deler: Vi merker oss spesielt at AD er halvparten av AB: Dersom vi fjerner den høyre halvdelen, får vi en ⁰-trekant 35

36 NIVÅ C Vi har følgende regel: I en ⁰-trekant er lengden av den korteste kateten halvparten av lengden til hypotenusen; - lengden av hypotenusen er det dobbelte av lengden til den korteste kateten Det betyr at dersom vi får opplyst lengden av hypotenusen, kan vi finne lengden av den korteste kateten ved å dele med 2. Omvendt kan vi finne lengden av hypotenusen dersom vi kjenner lengden av den korteste kateten. I eksempel-oppgaven får vi opplyst lengden av den korteste kateten, nemlig 3 cm. Hypotenusen er 6 cm. Dermed har vi en oppgave av typen C.2 (Beregninger): Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras: I en ⁰-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. AB = x cm AC = 3 cm BC = 6 cm x 2 = x 2 = 36-9 = 27 Vi forteller hvilken regel vi vil bruke. Vi har med denne viktige regelen. Vi har skrevet opp lengden av sidene. Vi har satt inn verdiene i Pytagoras. Vi har regnet ut, se E.5 (Tall) x 27 5,2 Vi har trukket ut roten, se E.8 (Tall) AB er 5,2 cm Vi har skrevet svar setning. 36

37 NIVÅ D NIVÅ D: KUNNE BRUKE VINKELSUMMEN I TREKANTER TIL Å FASTSLÅ FORMLIKHET, KUNNE REGNE UT AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEREGNE SIDER I SPESIELLE TREKANTER Vi fortsetter å utvikle både formlikhet og bruken av Pytagoras: Vi går gjennom hvordan vi kan bevise at to trekanter er formlike. Dessuten slår vi fast hvordan vi kan finne arealet av formlike figurer og volumet av formlike gjenstander når vi vet areal hhv volumet til original-figuren/gjenstanden og vi kjenner målestokken. Vi går også gjennom hvordan vi kan finne alle lengdene i de spesielle trekantene ⁰trekanter og ⁰-trekanter. 37

38 NIVÅ D D.1: Kunne anvende regelen om vinkelsummen i en trekant for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. Eksempel-oppgave: Nedenfor finner du to rettvinklede trekanter. C 40 og E 50. Hvor lang er EF? F C A D 90, 5,4cm A 4cm B D 6cm E BEGREPER Forhold: Forholdet mellom to tall eller to størrelser er en brøk der det første tallet er teller og det andre tallet er nevner. Forholdet mellom 3 og 2 er derfor 3 1, 5. Legg merke til at 2 målestokken mellom to formlike trekanter er et forhold. I trekanten overfor er ABC og DEC formlike (vi kommer tilbake til beviset for dette). Målestokken når vi går fra ABC til DE DEC kan regnes ut ved å dele lengden av DE med lengden av AB: m Det er samtidig AB forholdet mellom DE og AB. Proporsjonalitet: Når to forhold er like store, har vi en proporsjonalitet. Ettersom ABC og DE DC DEC formlike, kan målestokken skrives m og m. Disse to måtene å skrive AB AC DE DC målestokken på, må gi den samme verdien på målestokken. Altså kan vi skrive. AB AC Dette kan vi generalisere som følgende regel: I formlike figurer kan vi sette opp proporsjonalitet: Forholdene mellom to og to tilsvarende sider er alltid like store. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Beregninger) og B.3 (Beregninger). FORKLARING: I A.1 (Beregninger) slo vi fast at to trekanter er formlike når vinklene parvis er like store. Det er denne regelen vi skal bruke her for å bevise formlikhet. Etter at vi har bevist formlikhet, er eksempel-oppgaven her blitt til en oppgave av typen B.3 (Beregninger). 38

39 NIVÅ D Men først skal vi slå fast en regel: For å bevise at to trekanter er formlike er det nok å bevise at to av vinklene er parvis like store. Grunnen er at når to vinkler er parvis like store, må vinklene i det siste paret også være like store fordi vinkelsummen er 180⁰. Vi beviser det slik: F Se på disse to trekantene: C A B D E 1. Vi går ut fra at A D og at B E. 2. Vi vet at vinkelsummen i alle trekanter er 180⁰. 3. Da må C 180 ( A B) og 4. F 180 ( D E) Vi bytter ut D med A og 5. F 180 ( A B) C Det beviser regelen. E med B : Vi kan løse oppgaven på (minst) to måter: Enten ved å regne ut målestokken eller ved å bruke forhold og proporsjonalitet. A. MÅLESTOKK Slik kan du skrive: ABC ~ DEF fordi: 1. A D 90 Vi beviser formlikhet. 2. B 180 (90 40 ) E Vi gjennomfører utregningen av EF slik vi gjorde i B.3 (Beregninger). DE m Vi har skrevet opp utregningen vi skal foreta. AB 6cm m Vi har satt inn verdiene for variablene 4 cm m = 1,5 EF = m BC EF =1,5 5,4cm = 8,1cm Vi har egnet ut målestokken. Vi har satt opp utregningen vi skal foreta. 39 Vi har regnet ut DF.

40 NIVÅ D B. FORHOLD OG PROPORSJONALITET Slik kan du skrive: ABC ~ DEF fordi: 3. A D 90 Vi beviser formlikhet. 4. B 180 (90 40 ) E EF = x cm Vi har gitt den ukjente verdien x. EF DE Vi har skrevet en proporsjon. I det første forholdet plasserer vi BC AB den ukjente (EF) i teller. Nevneren er tilsvarende side i ABC. I det andre forholdet er telleren den kjente siden i DEF. Nevneren er tilsvarende side i ABC. x 5,4 6 4 Vi har satt inn verdiene uten benevning og har fått en likning. 2,7 5,4 6 2,7 6 x 2,7 3 8,1 Vi har løst likningen, se B.2.b (Likning). Deretter har vi forkortet, se B.3.b (Brøk). EF = 8,1cm 40

41 NIVÅ D D.2: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, uten omgjøring av enheter. Eksempel-oppgave: Et rektangel har et areal på 12cm 2. Dette rektangelet blir avbildet til et formlikt rektangel i målestokken 3. Hva er arealet av kopirektangelet? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer vi å regne ut arealet av standard-figurer, se B.3 (Lengde Areal Volum), med formlikhet og målestokk, f.eks. A.1 (Beregninger). FORKLARING: Vi begynner løsningen av oppgaven ved å tegne et rektangel: Vi kjenner ikke lengdene i rektangelet, men vi vet at b a a b = 12 cm 2 Vi tegner også det nye rektangelet. Ettersom målestokken er 3, blir lengdene i det nye rektangelet: 3b Arealet av det nye rektangelet blir da: 3a 3a 3b = 9ab = 9 12 cm 2 = 108 cm 2 Vi ser at arealet ble 9 ganger så stort. Dersom målestokken var 2, ville arealet bli 4 ganger så stort. Dersom målestokken var 4, ville arealet bli 16 ganger så stort. Arealet blir altså kvadratet av målestokken multiplisert med arealet av original-rektangelet. Det samme vil skje med formlike trekanter, formlike trapeser og kvadrater (som alltid er formlike) og sirkler (som også alltid er formlike). 41

42 NIVÅ D Det må også gjelde alle formlike sammensatte figurer. Vi kan tilnærme en tilfeldig figur med hjelp av hele eller deler av standard-figurer. Regelen må også gjelde for formlike figurer uansett formen på originalfiguren. Vi merker oss følgende regel: For to formlike figurer med målestokk m, gjelder følgende regel for arealene: A kopi = m 2 A original Tilsvarende resonnement kan gjøres for formlike gjenstander: I et prisme med rektangulær grunnflate, vil volumet være l b h I et formlikt prisme, vil volumet være ml mb mh = m 3 l b h Da har vi følgende regel: For to formlike gjenstander med målestokk m, gjelder følgende regel for volumene: V kopi = m 3 V original 42

43 NIVÅ D D.3: Finne katetene i en o -trekant når hypotenusen er oppgitt. Eksempel-oppgave: ΔABC er en o -trekant. Hvor lange er katetene når AC = 6cm? C A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en videreføring av C.4.a (Beregninger). Dessuten bygger vi på D.4 (Ligninger). FORKLARING: I C.4.a (Beregninger) slo vi fast at i en ⁰-trekant, vil katetene være like store. Her kjenner vi ikke lengden på katetene. Vi setter derfor at lengden på en katet er x cm. Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras. Vi forteller hvilken regel vi vil bruke Siden ABC er en ⁰-trekant må AB = BC. Vi begrunner at katetene er like store Vi setter AB = BC = x cm. x 2 + x 2 = 6 2 2x 2 = 36 Vi har satt inn i Pytagoras. Vi løser likningen i hht D.4 (Likninger). Vi har trukket sammen venstre side 2 36 x 18 Vi har funnet verdien til x 2. 2 x 18 4,2 Vi har trukket ut roten av 18. AB = BC 4,2 cm Vi har skrevet svarsetning. 43

44 NIVÅ D D.4: Finne den korteste kateten og hypotenusen i en o -trekant når den lengste kateten er oppgitt. Eksempel-oppgave: ΔABC er en o -trekant hvor AC når AB=5cm? C B 30. Hvor lang er BC og A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en videreføring av C.4.b (Beregninger). Dessuten bygger vi på D.4 (Ligninger). FORKLARING: I C.4.b (Beregninger) slo vi fast at i en ⁰-trekant, vil den korteste kateten være halvparten av hypotenusen. Her kjenner vi ikke lengden verken på den korteste kateten eller på hypotenusen. Vi setter derfor at lengden på den korteste kateten er x cm. Da må hypotenusen være 2x cm. Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras. Vi forteller hvilken regel vi vil bruke Siden ABC er en ⁰-trekant må BC være dobbelt så lang som AC. Vi begrunner forholdet mellom lengdene Vi setter AC = x cm Da er BC = 2x cm. (2x) 2 = x x 2 = x x 2 x 2 = 25 3x 2 = 25 Vi har satt inn i Pytagoras. Vi løser likningen i hht D.4 (Likninger). Vi har regnet ut: (2x) 2 = 2x 2x. Vi har brukt «flytte-og-bytte»-regelen. Vi har trukket sammen venstre side 2 25 x 8,33 Vi har funnet verdien til x 2. 3 x 8,33 2,9 Vi har trukket ut roten av 8,33. AC 2,9 cm BC 2 2,9 cm = 5,8 cm Vi har skrevet svarsetning. 44

45 NIVÅ E NIVÅ E: KUNNE BEREGNE AREAL AV FORMLIKE FIGURER, KUNNE BEVISE FORMLIKHET, KUNNE BRUKE PYTAGORAS KOMBINERT MED OPPLYSNINGER OM LENGDER GITT SOM SUM/DIFFERANSE. På D-nivået viste vi hvordan vi kunne finne arealet av en formlik kopi når arealet av originalen og målestokken var opplyst. Her skal vi kombinere dette med omgjøring av enheter. På D-nivået så vi hvordan vi kunne bevise formlikhet ved å bevise at vinkler parvis er like store. Dette skal vi bruke i kombinasjon med reglene for toppvinkler og for samsvarende vinkler. Vi skal også finne lengder ved hjelp av Pytagoras når forholdet mellom lengder er kjent. 45

46 NIVÅ E E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter. Eksempel-oppgave: Arealet til denne figuren er på 5,2cm 2. Denne figuren er et kart over en industritomt i målestokken 1: Hvor stort areal industritomta i virkeligheten? Oppgi svaret i dekar. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi kombinerer B.2 (Beregninger), C.3 (Beregninger) og D.2 (Beregninger) med D.4.a (Lengde Areal Volum). FORKLARING: I C.3 (Beregninger) argumenterte vi for at målestokken oppgitt som f.eks. 1:1.000, er i samsvar med vår definisjon av målestokk, se A.1 (Beregninger). Vi betrakter gjenstanden og terrenget som originalen mens tegningen er kopien. I C.3 (Beregninger) bygget vi på B.2 (Beregninger). Vi har en liknende situasjon som i C.3 (Beregninger). Fra D.2 (Beregninger) har vi denne regelen: A kopi = m 2 A original Dette er det samme som å si: A 1 m original A 2 kopi 1 I C.3 (Beregninger) sa vi at å dele på er det samme som å gange med Med målestokken lik får vi denne formelen for denne oppgaven hvor vi bytter ut «original» med «terreng» og «kopi» med «kart» A terreng A kart 46

47 NIVÅ E Slik kan du skrive: A Vi har skrevet opp formelen vi vil bruke. 2 terreng A kart A terreng = ,2cm 2 A terreng = cm 2 = m 2 Vi har regnet ut tierpotensen og satt inn verdien for variabelen. Vi har regnet ut og gjort om enheten, se D.4.a (Lengde Areal Volum) A terreng = 52 dekar Vi har gjort om til dekar (1 dekar = 1000m 2 ) Industritomta er på 52 dekar Vi har skrevet svarsetning. 47

48 NIVÅ E E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende vinkler for å fastslå at trekanter er formlike. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. Eksempel-oppgave: I denne likebeinete trekanten er AC = BC og AB DE. AB= 4,2cm. DE= 3,0cm. AC=5,6cm. Finn CD. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på D.1 (Beregninger) om hva som skal til for å bevise at to trekanter er formlike. I denne oppgaven skal vi bruke reglen om når samsvarende vinkler er like store. Da bruker vi E.4 (Dynamisk geometri). Etter at vi har bevist formlikhet, finner vi lengder slik vi gjorde i D.1 (Beregninger). Vi kan bruke proporsjoner. Da får vi en likning og bruker f.eks. B.2.b (Likning). I regningen vi får, må vi bruke brøkregningsreglene, se B.3.b (Brøk). FORKLARING: I D.1 (Beregninger) slo vi fast at to trekanter er formlike når to vinkler er parvis like store. I E.4 (Dynamisk geometri) definerte vi samsvarende vinkler: som to vinkler som har et vinkelbein felles og at dette er høyre eller venstre vinkelbein i begge vinklene: l 48

49 NIVÅ E Her er «a» og «b» samsvarende vinkler fordi linja «l» er felles for begge vinklene og «l» er venstre vinkelbein for både «a» og «b». Dessuten er «a» og «c» også samsvarende fordi linja «l» er venstre vinkelbein for begge vinklene. På samme måte er «u» og «v» samsvarende: Linja «l» er høyre vinkelbein for begge vinklene. I E.4 (Dynamisk geometri) beviste vi at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Vi løser nå oppgaven; - og presenterer to framgangsmåter: A. MÅLESTOKK Slik kan du skrive: ABC ~ DEC fordi: 1. ACB er felles i begge trekantene. Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger) 2. BAC EDC (samsvarende Vinkler mellom parallelle linjer). DC 3,0cm 30 5 m Vi finner målestokken, B.3 (Beregninger). AC 4,2cm DC m AC 5, 6cm 7 Vi har satt inn verdier for målestokken og AC. (Vi har beholdt målestokken som en brøk fordi vi da kan forkorte i neste linje.) 5 5,6 cm 5 0,8cm 4, 0cm Vi har funnet verdien for DC 7 1 0,8 B. FORHOLD OG PROPORSJONALITET Slik C. kan du skrive: ABC ~ DEC fordi: 1. ACB er felles i begge trekantene. Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger). 2. BAC EDC (samsvarende Vinkler mellom parallelle linjer). DC = x cm Vi gir den ukjente siden verdien x. Da må: DC DE Vi setter opp en proporsjonalitet hvor det er AC AB bare en ukjent lengde. 49

50 NIVÅ E x 5,6 3,0 4,2 Vi har satt inn verdiene for sidene. 5 3,0 5,6 5 5,6 x 4,0 Vi har løst likningen, se B.2.b (Likning). Deretter har 4,2 7 7 DC = 4,0 cm 1 0,8 vi forkortet, se B.3.b (Brøk). 50

51 NIVÅ E E.3: Ut fra en gitt tegning av en mangekant, kunne anvende regelen om toppvinkler og regelen om samsvarende vinkler for å fastslå formlikhet. Kan bruke dette til å finne ukjente sider. Eksempel-oppgave: I firkanten ABCD er AB CD. AB = 7,2cm CD = 4,0 cm og BE = 3,6cm. Hvor lang er ED? BEGREPER Hosliggende vinkler: Se på denne trekanten: C A B Siden AB har to vinkler som har AB som vinkelbein: hosliggende til siden AB. CAB og BAC. Disse vinklene er Motstående sider/motstående vinkler: I ABC er ACB motstående vinkel til AB. Det er den ene vinkelen i trekanten som ikke er hosliggende. AB er motstående side til ACB KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en videreføring av E.2 (Beregninger); - i beviset for formlikhet skal vi bruke regelen om at toppvinkler er like store. Definisjonen av topp-vinkler og beviset for at topp-vinkler er like store, finner vi i E.4 (Dynamisk geometri). FORKLARING: Topp-vinkler er to vinkler som har felles topp-punkt og felles vinkelbein: Vinklene u og w i denne tegningen er topp-vinkler 51

52 NIVÅ E Vi har ikke fått oppgitt noen vinkelstørrelser. Selv om ABC og BCD ser ut som rette vinkler, kan vi ikke gå ut fra at de er rette så lenge det ikke er oppgitt. Pytagoras kan vi følgelig ikke bruke. Vi må altså stole på at vi kan bruke formlikhet mellom to trekanter hvor en av dem inneholder DE. Firkanten i eksempel-oppgaven består av fire adskilte trekanter ( ABE, BCE, CDE og DAE) pluss fire trekanter som hver består av to adskilte trekanter ( ABC, BCD, CDA og DAB). Hvordan skal vi finne de formlike trekantene? Svaret ligger i to momenter: 1. Diagonalene skjærer hverandre i E. Der finner vi toppvinkler: AEB og CED er toppvinkler. Det er også BEC og DEA. 2. AB og CD er parallelle linjer. Dessuten er diagonalene AC og BD felles vinkelbein for to og to vinkler. Da kan vi finne samsvarende vinkler som må være like store. Når vi kombinerer disse to momentene, ser vi at ABE og CDE må være formlike: 1. AEB CED (topp-vinkler) 2. ABD CDE (samsvarende vinkler mellom Dermed kan vi finne målestokken (hvis vi vil løse oppgaven ved hjelp av målestokk). For å finne målestokken, må vi finne to sider som tilsvarer hverandre og som vi kjenner lengdene til. DE ligger i den lille trekanten CDE. Hvilken side i ABE er DE en forminskning av? Den samme oppgaven har vi dersom vi vil bruke proporsjonalitet: Hvordan kan vi finne lengdene som gir oss forholdene som er like store. Vi skal gå gjennom en prosedyre (framgangsmåte) som kan brukes til å finne de tilsvarende sidene. Disse to trekantene er formlike: Når vi skal finne siden i DEF som tilsvarer AB, bruker vi tre steg: 1. Vi går fra AB til den motstående vinkelen ( ACB ). 2. Vi går fra denne vinkelen i ABC til den like store vinkelen i DEF ( DFE ). 3. Vi går fra denne vinkelen til den motstående siden: DE Altså er DE og AB tilsvarende sider. 52

53 NIVÅ E Tilbake til eksempel-oppgaven: Dette skal vi bruke til å finne siden i ABE som tilsvarer DE i CDE: 1. Vi går fra DE til den motstående vinkelen. Det er DCE. 2. Vi går fra DCE til den like store vinkelen i ABE. Det er BAE. 3. Vi går fra denne vinkelen til den motstående siden. Det er BE. På tilsvarende måte finner vi ut at CD i DCE tilsvarer AB i ABE. Også her viser vi løsningen på to måter: A. MÅLESTOKK Slik kan du skrive: DCE ~ ABE fordi: 1. DCE ABE (topp-vinkler) Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger) 2. ABE CDE (samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) 1 CD 3,6cm 36 1 m 0,5 Vi finner målestokken, B.3 (Beregninger). AB 7,2cm DE m CE 0,5 4,0cm 2, 0cm Vi har regnet ut lengden av DE B. FORHOLD OG PROPORSJONALITET Slik kan du skrive: DCE ~ ABE fordi: 1. DCE ABE (topp-vinkler) Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger). 2. ABE CDE (samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) Vi setter DE = x cm DE CD Vi setter opp en proporsjonalitet. BE AB x 4 3,6 7, Vi har satt opp likningen og forenklet den. 4 x Vi har brukt brøkreglene fra B.3.b (Brøk). x 2 Vi har løst likningen. DE = 2,0 cm Vi har regnet ut lengden av DE 53

54 NIVÅ E E.4: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når forholdet mellom størrelser er oppgitt. (Ikke bruk av kvadratsetninger.) Eksempel-oppgave: ΔABC er rettvinklet med vinkel B som den rette vinkelen. AB = 6,4cm. AC er 75 % lengre enn BC. Hvor lange er AC og BC? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en generalisering av D.4 (Beregning): I en ⁰-trekant er det et fast forhold mellom katetene og hypotenusen. På dette steget er forhold mellom to av sidene oppgitt. Slik oppgaven her er formulert, bygger vi dessuten på C.2 (Prosent). Vi løser oppgaven som en likning, se D.4 (Likninger). FORKLARING: I C.2 (Prosent) brukte vi begrepet «vekstfaktor», som innebærer at dersom noe er 75 % lengre enn noe annet, vil den største lengden finnes ved å multiplisere den korteste med 1,75. Vi tegner en rettvinklet trekant og setter på lengdene: 1,75x cm C x cm A 6,4 cm B Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras: AB = 6,4 cm BC = x cm AC = 1,75 cm (1,75x) 2 = 6,4 2 + x 2 Vi setter opp lengdene i en liste. Vi setter inn verdier I Pytagoras og har en likning. 3,0625x 2 = 40,96 + x 2 3,0625x 2 x 2 = 40,96 2,0625x 2 = 40,96 2,0625x 2, ,96 2,0625 Vi løser likningen, se D.4 (Likninger). x 2 19,85 x 19,85 4,5 BC = 4,5 cm og AC = 1,75 4,5 cm 7,88 cm 54 Vi skriver svarsetning

55 NIVÅ F NIVÅ F: KUNNE BRUKE FORMLIKHET I KOMBINERTE OPPGAVER, KUNNE PYTAGORAS I KOMBINASJON AV KVADRATSETNINGENE, KUNNE KOMBINERE FORMLIKHET OG PYTAGORAS På dette nivået blir oppgavene mer sammensatte. I første omgang kombinerer vi Pytagoras og formlikhet i en standardisert setting. Etter hvert blir settingen mer åpen. Vi skal kombinere Pytagoras med kvadratsetningene og dessuten se på oppgaver der en må løse oppgaver hvor en må bevise formlikhet ved å kombinere topp-vinkler og samsvarende vinkler uten at en får hjelp av en gitt hjelpefigur. 55

56 NIVÅ F F.1: Når en rettvinklet trekant er delt i to trekanter ved en høyde/normal på hypotenusen: Kunne fastslå formlikhet og deretter bestemme størrelser på linjestykker/sider ved hjelp av Pytagoras og formlikhet. Eksempel-oppgave: ΔABC er rettvinklet med A som rett vinkel. AD står normalt på BC. AC=4,0cm og AB=6,3cm. Hvor lang er CD? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette steget kombinerer Pytagoras og formlikhet; - innenfor strukturerte rammer: En rettvinklet trekant som deles inn i to rettvinklete trekanter med en høyde på hypotenusen. Vi bygger på C.1 (Beregninger) og C.2 (Beregninger) i kombinasjon med D.1 (Beregninger) og E.3 (Beregninger). FORKLARING: Først legger vi merke til: ABC ~ ADC Ut fra regelen i D.1 (Beregninger) trenger vi å bevise at to vinkler i den ene trekanten er parvis like stor som to vinkler i den andre trekanten. Beviset for dette er et standard-bevis og går ut på at en av vinklene ligger i begge trekantene (her: Vinkel C) og at det er en rett vinkel i begge trekantene. Vi skriver beviset slik: 1. ACD er felles i begge trekantene. 2. ADC BAC 90 På samme måten beviser vi: ABC ~ ABD Siden ABC er formlike med begge de to trekantene, må også disse trekantene være formlike: ADC ~ ABD Vi har følgende regel: I en rettvinklet trekant vil høyden på hypotenusen dele trekanten i to formlike trekanter som begge er formlike med den opprinnelige trekanten 56

57 NIVÅ F Når vi har bevist formlikhet, kan vi finne den ukjente siden ved enten å bruke målestokk eller forhold/proporsjonalitet. I begge framgangsmåtene må vi kjenne en side i ADC og to sider i ABC. Vi kjenner AC og AB. Ettersom AC ligger i begge trekantene, kan vi slå fast at denne betingelsen er oppfylt. Det neste vi må finne ut er om disse sidene svarer til hverandre. Da bruker vi prosedyren vi gikk gjennom i E.3 (Beregninger). Innledningsvis slår vi fast hvilke vinkler som er like store: ACD ACB (samme vinkel). ADC CAB 90. Da må DAC ABC. Nå kan vi svare på hvilken side i ABC tilsvarer CD i ADC? Da går vi fra CD i ADC til den motstående vinkelen, som er DAC. Derfra går vi til like store vinkelen i ABC, som er ABC. Derfra går vi til den motstående siden i ABC, som er AC. Konklusjon: CD i ADC tilsvarer AC i ABC og AC kjenner vi lengden på nemlig 4,0 cm. Dersom vi bruker målestokk, kan vi finne CD ved å gange AC med målestokken. CD Dersom vi bruker forhold/proporsjon, kan vi sette opp det ene forholdet:. AC Vi må videre finne ut hvilken side i ABC som tilsvarer AC i ACD. Med metoden i E.3 (Beregninger) finner vi at det er BC; - og den kjenner vi ikke lengden på. Men vi kan finne BC ved hjelp av Pytagoras: BC = x cm BC 2 = AB 2 + AC 2 x 2 = 6, ,0 2 x 2 = 39, x 2 = 55,69 x 55,69 7,5 BC = 7,5 cm A. MÅLESTOKK Vi finner målestokken: AC 4 m 0,53 BC 7,5 Vi finner CD ved å multiplisere målestokken med lengden av AC: CD = m AC = 0,53 4,0 cm 2,1 cm 57

58 NIVÅ F B. FORHOLD/PROPORSJONALITET Dersom vi bruker proporsjonalitet blir det slik: CD = x cm CD AC x 4 4 7,5 AC BC 4 x 4 7,5 x 16 7,5 2,1 CD 2,1 cm KJEKT Å VITE Legg merke til denne likningen som er overfor: CD AC AC BC Den kan også skrives slik: CD : AC = AC : BC Skrevet med ord: CD forholder seg til AC som AC forholder seg til BC. Legg merke til at AC står i midten av proporsjonaliteten. Vi sier at AC er mellomproporsjonalen. Vi kan kalle de to andre leddene for ytterleddene. Vi bruker brøk-reglene og får følgende: AC 2 = CD BC AC CD BC Sagt med ord: Kvadratet av mellomproporsjonalen er lik produktet av ytterleddene. (Mellomproporsjonalen er det geometriske middel av ytterleddene.) Dette kan vi illustrere slik: 58

59 NIVÅ F Arealet av det grønne kvadratet er lik arealet av det blå rektangelet. Vi ser at det samme vil være riktig dersom vi så på kvadratet av den andre kateten i ABC: 59

60 NIVÅ F Dette kan brukes til å finne lengder, f.eks. CD dersom vi kjenner AC og BC. Vi merker oss at dette gir et nytt bevis for Pytagoras: Det gule kvadratet har samme areal som det lyseblå rektangelet og det grønne kvadratet har samme areal som det mørkeblå rektangelet. Vi merker oss at CQ er like lang som BC. Arealet av de to blå rektanglene er altså det samme som kvadratet på hypotenusen. Dermed har vi bevist Pytgoras ved å bruke formlikhet. En konsekvens av dette er følgende: Dersom høyden på hypotenusen deler hypotenusen i forholdet 1:3, så er trekanten en ⁰-trekant. Omvendt er også riktig: I en ⁰-trekant deler høyden på hypotenusen denne i forholdet 1:3. 60

61 NIVÅ F Beviset for første påstand går slik: Dersom hypotenusen deles i forholdet 1:3, vil CD være en firedel av BC. Bredden i det blå rektangelet er like lang som CD. Vi kaller lengden av hypotenusen for h. Bredden i rektangelet er 4 h. Arealet av det blå rektangelet er: h h 4 h h 4 2 h 4 h ( ) 2 2 Arealet av det grønne kvadratet er det samme. Altså er siden i det grønne kvadratet halvparten av hypotenusen. Det er bare er i en ⁰-trekant at en katet er halvparten av hypotenusen. 61

62 NIVÅ F F.2: Kunne bruke Pytagoras setning for å beregne sider i trekanter når størrelsene for øvrig er gitt som sum, differanse eller lignende. (Må bruke kvadratsetninger.) Eksempel-oppgave: ΔABC er rettvinklet med AB som hypotenus. AC = 5,2cm. AB og BC er til sammen 7,9cm. Hvor lange er AB og BC? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi Pytagoras, se f.eks. C.1 (Beregninger), i kombinasjon med F.3 (Algebra). Når vi gjør det, får vi en likning som ser ut til å være av typen F.4 (Likninger), men som viser seg å være en B.5 (Likninger)-type. FORKLARING: Vi begynner med å tegne trekanten og å sette på lengder. Vi må kalle enten AB eller BC for x. vi velger å sette AB = x cm. Ettersom begge sidene er ukjente, kunne vi gitt begge sidene et navn. Men da måtte det være to ulike navn, f.eks. AB = x cm og BC = y cm. Men ettersom AB + BC = 7,9 cm og AB = x cm, må BC = (7,9 x) cm. Slik kan du skrive: Vi bruker Pytagoras på ABC AC = 5,2 cm BC = x cm AB = (7,9 x) cm Vi skriver en forklarende setning. Vi har laget en liste over lengden på sidene. (7,9 x) 2 = x 2 + 5,2 2 Vi har satt inn verdiene I Pytagoras 62,41 15,8x + x 2 = x ,04 Vi har brukt andre kvadratsetning 15,8x + x 2 - x 2 = 27,04-62,41-15,8x = - 35,37 Vi har ordnet likningen. 35,37 x 2,2 Vi har funnet verdien til x 15,8 BC = 2,2 cm og AB = (7,9-2,2)cm = 5,7cm Vi har skrevet svarsetning. 62

63 NIVÅ F F.3: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne fastslå formlikhet gjennom å anvende regelen om at toppvinkler er like store og regelen om at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Kunne bruke dette til å bestemme ukjente lengder. Eksempel-oppgave: I en firkant ABCD står diagonalene AC og BD vinkelrett på hverandre. De skjærer hverandre i punktet E. AB CD. CD = 5,2cm og CE = 3cm. og DE:EB = 1:2. Bevis at ABE ~ ECD. Finn lengden av AE KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en fortsettelse av E.3 (Beregninger). Forskjellen er at en ikke har en ferdig tegning å ta utgangspunkt i. FORKLARING: Vi reduserer oppgaven til en E.3 (Beregninger) ved å lage en tegning (hjelpefigur): Vi tegner inn en og en opplysning. Vi begynner med å tegne to linjer som står vinkelrett på hverandre. Vi setter dessuten C slik at EC = 3,0 cm: Så setter vi av CD = 5,2 cm. Dermed får vi punktet D: Ettersom DE:EB = 1:2, må BE være dobbelt så lang som ED. Vi setter derfor av CD to ganger nedover fra E og trekker opp CD: 63

64 NIVÅ F Nå trekker vi opp en linje fra B som er parallell med CD. Da finner vi A. Så trekker vi opp hele figuren: Nå er vi kommet tilbake til en E.3 (Beregninger)-oppgave. Vi viser løsningen på to måter: A. MÅLESTOKK Slik kan du skrive: ABE ~ CDE fordi: 1. ABE CDE (samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) 2. AEB CED (topp-vinkler) Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger). BE 2 m 2 Vi finner målestokken, B.3 (Beregninger). DE 1 AE m EC 2 3,0cm 6, 0cm Vi har regnet ut AE 64

65 NIVÅ F B. FORHOLD OG PROPORSJONALITET Slik kan du skrive: ABE ~ CDE fordi: 1. ABE CDE (samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) 2. AEB CED (topp-vinkler) Vi beviser formlikhet, D.1 (Beregninger). Vi setter AE = x cm AE BE Vi setter opp en proporsjonalitet. CE DE x Vi har satt opp likningen og forenklet den. 3 x Vi har brukt brøkreglene fra B.3.b (Brøk). x 6 Vi har løst likningen. AE = 2,0 cm Vi har regnet ut lengden av AE KJEKT Å VITE Legg merke til vi ikke brukte to av opplysningene i oppgave-teksten da vi regnet ut AE: Vi brukte ikke at CD = 5,2 cm og vi brukte ikke at de to diagonalene sto vinkelrett på hverandre. Dersom vi ble bedt om å finne lengden av DE og BE, trengte vi disse opplysningene. Men det er et viktig poeng at når det finnes unødvendige opplysninger, så er det sannsynlig mange firkanter hvor EC = 3,0 cm, DE:BE = 2:1, og hvor AE dermed er 6,0 cm, men hvor diagonalene ikke står normalt på hverandre og hvor CD ikke er 5,2 cm. Vi har tatt med en slik firkant: 65

66 NIVÅ F F.4: Ut fra tekst og uten hjelpefigur, kunne kombinere formlikhet og Pytagoras til å bestemme ukjente lengder i en firkant. Eksempel-oppgave: I trapeset ABCD er AB CD. BAC 30. AB = 9,2cm og B 75. CD = 5,6cm. Normalen fra D på AC skjærer AC i F og treffer AB i E. Hvor lang er EF? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer en de foregående stegene. Det bygger derfor på F.3 (Beregninger) og på en eller flere at stegene som dreier seg om Pytagoras. I denne oppgaven vil det si C.4.b (Beregninger). FORKLARING: Vi begynner med å lage en hjelpefigur: 1. Vi setter av AB = 9,2 cm. 2. Vi tegner B 75 og BAC Vi merker av C og setter av CD = 5,2 cm parallell med AB. 4. Vi tegner normalen fra D på AC og forlenger den slik at den skjærer AB. 5. Vi merker av punktene E og F. Det ligger i oppgaven at en skal bruke både formlikhet og Pytagoras. I tillegg må vi kunne bruke reglene knyttet til spesielle trekanter som likebeinet og likesidet trekanter og ⁰trekant og ⁰-trekant. Pytagoras kan bare brukes i rettvinklete trekanter. Her er det tre slike trekanter: AEF, AFD og DCF. Formlikhet dreier seg om å sammenlikne to trekanter. For å plukke ut mulige formlike trekanter, kan en se etter trekanter hvor en kan bruke reglen om at topp-vinkler er like store og at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Da er det to trekanter som peker seg ut: AEF og DCF. Vi ser at disse to trekantene er både rettvinklete og formlike. Vi merker oss at AEF er en ⁰-trekant. Da må også DCF være en ⁰-trekant. Men vi kjenner bare én lengde i DCF og ingen lengder i AEF. Men fra D.4 (Beregninger) vet vi at det er nok å kjenne en lengde i en ⁰-trekant. Dermed kan vi finne alle lengdene i DCF. 66