SAMMENDRAG OG FORMLER

Transkript

1 SAMMENDRAG OG FORMLER

2 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen har toppunktet sitt i A. En vinkel har to vinkelbein. Når vi står i vinkelens toppunkt og ser utover i vinkelen, har vi venstre vinkelbein på vår venstre side og høyre vinkelbein på vår høyre side. A venstre vinkelbein høyre vinkelbein FORSKJELLIGE VINKLER A SPISS VINKEL B RETT VINKEL En vinkel som er mindre enn 90, kaller vi en spiss vinkel. En vinkel som er 90, kaller vi en rett vinkel. Ofte skriver vi inne ved toppunktet for å markere at det er en rett vinkel. C STUMP VINKEL D LIKE VINKEL En vinkel som er mellom 90 og 180, kaller vi en stump vinkel. En vinkel som er 180, kaller vi en like vinkel. 1

3 BETEGNELSER PÅ VINKLER C A B Vinkelen med toppunkt i A kan skrives som: vinkel A, A, eller BAC eller CAB Vinkelen med toppunkt i B kan skrives som: vinkel B, B, eller ABC eller CBA Vinkelen med toppunkt i C kan skrives som: vinkel C, A, eller ACB eller BCA OVERSIKT OVER VINKELKONSTRUKSJONER

4 NORMALKONSTRUKSJONER MIDTNORMALEN TIL ET LINJESTYKKE A B NORMALEN TIL EN LINJE GJENNOM ET PUNKT PÅ LINJA A P l B NORMALEN FRA ET PUNKT TIL EN LINJE P A l B 3

5 PARALLELLKONTRUKSJON TREKANTER MED SPESIELLE NAVN RETTVINKLET TREKANT En trekant med en vinkel på 90 kaller vi en rettvinklet trekant. C C A B A B LIKESIDET TREKANT En trekant der alle tre sidene er like lange, kaller vi en likesidet trekant. I en likesidet trekant er alle vinklene like store, altså 60. C 4 cm 60 4 cm A 4 cm B LIKEBEINT TREKANT En trekant der to av sidene er like lange, kaller vi en likebeint trekant. C 6 cm 6 cm I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinja like store. Normalen fra toppunktet ned på grunnlinja deler grunnlinja i to like store deler. AC = BC 1 AD = BD = 2 AB A = B A A 4 cm C D B B VINKELSUMMEN I EN TREKANT I en trekant er summen av alle tre vinklene alltid 180 4

6 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel B TALL OG TALLREGNING Vi har fire regningsarter Addisjon: = 32 ledd ledd sum Subtraksjon: 24 8 = 16 ledd ledd differanse Multiplikasjon: = 192 faktor faktor produkt Divisjon: 24 : 8 = 3 dividend divisor kvotient OVERSLAGSREGNING Ved overslagsregning runder vi av alle tallene i regnestykket slik at vi klarer utregningen i hodet. Overslagsregning ved addisjon Ved addisjon kan det ofte være lurt å runde av det ene tallet oppover og det andre tallet nedover Eksempel: Overslaget blir 90. Overslagsregning ved subtraksjon Ved subtraksjon kan det ofte være lurt å runde av begge tallene oppover eller begge tallene nedover Eksempel: Overslaget blir 20. 5

7 OVERSLAGSREGNING VED MULTIPLIKASJON Ved multiplikasjon kan det ofte være lurt å runde av det ene tallet oppover og det andre tallet nedover. Eksempel: 4,5 5,3 5 5 Overslaget blir 25. OVERSLAGSREGNING VED DIVISJON Ved divisjon kan det ofte være lurt å runde av begge tallene oppover eller begge tallene nedover. Rund alltid av slik at divisjonen går opp. Eksempel: 13,6 : 4,3 12 : 4 Overslaget blir 3. NAVN PÅ TALL NATURLIGE TALL 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 osv. kaller vi de naturlige tallene. HELE TALL 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, osv. kaller vi de hele tallene. PARTALL Hele tall som kan deles på 2 kalles partall. 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, osv. er partall. Hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8 er partall. 6

8 ODDETALL Hele tall som ikke kan deles på 2, kaller vi oddetall. 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9 osv. er oddetall. Hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9 er oddetall. PRIMTALL Tall som bare er delelige med seg selv eller 1, kaller vi primtall. De første primtallene er 2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 33, 37, 41, 43, 47,. Primtallsfaktorisering Når vi skriver et tall som et produkt der alle faktorene er primtall, sier vi at vi primtallsfaktoriserer tallet. Eksempel på primtallsfaktorisering: 9 = = Desimaltall Tallene med komma i, for eksempel 7,3 kalles desimaltall. Desimaltallene ligger mellom de hele tallene på tallinja. 7,3 7

9 Å REGNE MED DESIMALTALL ADDISJON MED DESIMALTALL EKSEMPEL Regn ut: 5,3 + 2,6 = Vi setter det opp slik: 5,3 + 2,6 = 7,9 EKSEMPEL Regn ut: 1,5 0,25 = Vi setter det opp slik: 10 1,50 0,25 = 1,25 Pass på at kommaene står rett under hverandre. MULTIPLIKASJON MED DESIMALTALL DIVISJON MED DESIMALTALL EKSEMPEL Regn ut: 5,62 3,4 = Det er til sammen tre tall etter kommaet her. EKSEMPEL 4,5 : 0,3 = Vi setter dette opp slik: 1 2 5,62 3,4, ,108 Kommaet settes tre plasser fra høyre i svaret. Vi setter opp stykket slik: 45 : 3 = Vi flytter kommaet så mange plasser til høyre i begge tallene at det tallet vi skal dividere med, blir et helt tall. NEGATIVE TALL Tall som 3, 15, 3, 2,5 osv. kaller vi negative tall. 4 På tallinja finner vi de negative tallene til venstre for

10 EKSEMPLER PÅ REGNING MED POSITIVE OG NEGATIVE TALL ADDISJON OG SUBTRAKSJON = = ( 7) = 5 7 = 2 ( 5) + 7 = = 2 5 ( 7) = = 12 ( 5) + ( 7) = 5 7 = 12 ( 5) ( 7) = 5 +7 = 2 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON 5 7 = 35 5 ( 7) = 35 ( 5) 7 = 35 ( 5) ( 7) = = = = = 5 7 9

11 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel C BRØK OG PROSENT BRØK brøkstrek 1 3 teller brøk nevner HVILKEN BRØK ER STØRST? Når to brøker har like tellere, er den brøken størst, som har den minste nevneren. Når to brøker har samme nevner, er den brøken størst, som har den største telleren. Å UTVIDE EN BRØK Å utvide en brøk vil si å multiplisere teller og nevner i brøken med samme tall. Brøken forandrer da ikke verdi. Eksempel: = = 3 6 Å FORKORTE EN BRØK Når vi forkorter en brøk dividerer vi med samme tall i teller og nevner. Brøken endrer da ikke verdi. Eksempel: : 3 6 : 3 = =

12 BRØK OG DESIMALTALL EN BRØK KAN SKRIVES SOM ET DESIMALTALL Eksempel: 5 7 Brøkstrek er det samme som divisjonstegn. Vi utfører divisjonen og får 5 : 7 = 0, = 0,714 ET DESIMALTALL KAN SKRIVES SOM EN BRØK Eksempel: Desimaltallet 0,4 kan skrives på brøkform. 0,4 = ,23 = PROSENT 1% betyr 1 av 100 eller BRØKFORM DESIMALFORM OG PROSENTFORM Eksempel: 1 2 = 0,5 = 50% 23 = 0,23 = 23% 100 Å REGNE MED PROSENT 35 % av 350 kr er 23 kr 35 = 140 kr elever av 240 elever utgjør 72 = 0,30 = 30 = 30%

13 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8B Kapittel E ALGEBRA Mellom tall og variabler sløyfer vi ofte multiplikasjonstegnet mellom tallet og variabelen. 4 a skrives 4a 8 b skrives 8b Vi har også en bestemmelse om at 1 a = 1a = a. Det vanligste er å bruke formen a. VI SETTER INN VERDIER FOR VARIABLENE Regn ut verdien av 5a når a = 3. 5a = 5 3 = 15 Regn ut verdien av 5a når a = 3. 5a = ( 5) 3 = 15 Regn ut verdien av 5a når a = 3. 5a = 5 ( 3) = 15 Regn ut verdien av 5a når a = 3. 5a = ( 5) ( 3) = 15 12

14 Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2. 5a + 3b = = = 36 Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2. 5a + 3b = ( 2) = 30 6 = 24 Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2. 5a + 3b = 5 ( 6) = = 24 Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2. 5a + 3b = 5 ( 6) + 3 ( 2) = 30 6 = 36 Regn ut verdien av 5a 3b når a = 6 og b = 2. 5a 3b = = 30 6 = 36 13

15 Regn ut verdien av 5a + 3b + 7 når a = 6 og b = 2. Dette uttrykket inneholder to ledd med variabler og ett ledd uten variabel. 7 er en konstant i dette uttrykket. Vi kan regne det slik: 5a + 3b + 7 = = = 42 REGNEREGLER FOR VARIABLER Med variabler har vi samme regneregler med pluss og minus som med tall: 5a + 2a = 7a 5a 2a = 3a Når vi skal forenkle, trekke sammen eller regne ut et regneuttrykk som inneholder en eller flere variabler og konstanter, må vi trekke sammen like ledd. Trekk sammen: 2a + 4b + a b 2 + 6a = 2a + 4b + a b 2 + 6a = 2a + a + 6a + 4b + 3b = 9a + 7b

16 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8B Kapittel F LIGNINGER OG ULIKHETER LIGNINGER En ligning består av: En venstre side Et likhetstegn En høyre side x + 3 = 8 REGEL Vi kan addere eller subtrahere like mye på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner VI LØSER EN LIGNING OG SETTER PRØVE PÅ SVARET Løs ligningen og sett prøve: x + 12 = 38 Løsning: x + 12 = 38 x = x =26 Prøve: VS = HS = 38 x + 12 = = 38 VS = HS = 38 for x = 26 x = 26 er løsning av ligningen. 15

17 REGEL Vi kan dividere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner. Løs ligningen og sett prøve: 6x = 84 Løsning: 6x = 84 6x 6 = 84 6 x = 14 Prøve: VS = HS = 84 6x = 6 14 = 84 VS = HS = 84 for x = 14 x = 14 er løsning av ligningen. 16

18 REGEL Vi kan multiplisere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner. Løs ligningen og sett prøve: x 4 = 5 Løsning: x 4 x 4 4 = 5 = 5 4 x = 20 Prøve: VS = HS = 5 x = = VS = HS = 5 for x = 20 x = 20 er løsning av ligningen. 17

19 VI BRUKER FLERE REGLER I SAMME LIGNING Vi skal løse ligningen 3x + 2 = 17 og sette prøve på ligningen. Vi kan løse det slik: 3x + 2 = 17 3x = x = 15 3x 35 = 3 x = 5 Vi subtraherer samme tall på hver side av likhetstegnet. 3 Vi dividerer med samme tall på hver side av likhetstegnet. Prøve: VS = HS = 17 3x + 2 = = = 17 VS = HS = 17 for x = 5 x = 5 er løsning av ligningen. 18

20 ULIKHETER ULIKHETSTEGN 2 < 5 leser vi «2 er mindre enn 5». 5 > 2 leser vi «5 er større enn 2». x < 8 leser vi «x er mindre enn 8». x < 8 betyr at x kan være 7, 6, 5, 4, 3 hvis x skal være et helt tall. x 8 leser vi «x er mindre enn eller lik 8». x 8 betyr at x kan være 8, 7, 6, 5, 4, 3 hvis x skal være et helt tall. x > 8 betyr at x kan være 9, 10, 11, 12 hvis x skal være et helt tall. x 8 betyr at x kan være 8, 9, 10, 11, 12 hvis x skal være et helt tall. 19

21 Å LØSE EN ULIKHET Løs ulikheten x + 4 > 7 og marker løsningen på tallinja. Vi kan løse denne oppgaven slik: x + 4 > 7 x > 7 4 x > 3 Alle x > 3 er løsning av ulikheten x + 4 > 7. 7 x x På tallinja blir dette slik:

22 Løs ulikheten 3x < 15 og marker løsningen på tallinja. Oppgaven kan løses slik: 3x < 15 3x 3 < x < x 15 3x På tallinja blir dette slik:

23 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8B Kapittel G FUNKSJONER OG GRAFER KOORDINATSYSTEMET Andreaksen, y-akse Et koordinatsystem består av to tallinjer som står normalt på hverandre Førsteaksen, x-akse Andreaksen, y-akse Plasseringen et punkt har i koordinatsystemet, angir vi ved å oppgi koordinatene til punktet. Punktet P har i koordinatene (2,3) Koordinatene oppgis som et tallpar med komma mellom i en parentes. Vi leser det slik: «Punktet P har koordinatene to-tre» P Førsteaksen, x-akse 22

24 EN FUNKSJON KAN VÆRE PÅ TABELLFORM, SOM FORMEL OG SOM GRAF VI LAGER FORMEL Anne går og leverer brev for et firma. Hun får 2 kr per brev. Vi kaller antall brev for x og det hun får betalt i kr, for y. Formelen som viser sammenhengen mellom antall brev hun deler ut, og det hun får betalt, blir da y = 2x VI LAGER VERDITABELL Hvis vi skal lage en grafisk framstilling av funksjonen for x = 1, 2, 3, 4, 5, lager vi en verditabell med disse verdiene for x. Det vil si at vi setter inn disse verdiene for x i formelen for funksjonenen etter tur: Verditabell x 2 x y (x,y) (1,2) (2,4) (3,6) (4,8) (5,10) Helt til høyre i verditabellen får vi koordinatene som skal føres inn i koordinatsystemet. I dette tilfellet kan det bare bli positive verdier av x og y. Vi trenger derfor bare den positive delen av koordinatsystemet. 23

25 VI LAGER GRAFEN TIL FUNKSJONEN Andreaksen y kroner Førsteaksen x brev

26 SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8B Kapittel H SANNSYNLIGHET REGEL Sannsynligheten for en hendelse eller et utfall kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 1. REGEL A Når alle mulige utfall i et eksperiment har like stor sannsynlighet, er den teoretiske sannsynligheten for ett av utfallene lik 1 antall mulige utfall REGEL B Når vi ønsker å finne sannsynligheten for flere gunstige utfall, har vi at sannsynligheten er lik antall gunstige utfall antall mulige utfall Dette gjelder når det er samme sannsynlighet for hvert enkelt utfall. 25

27 REGEL Sannsynligheten kan uttrykkes som brøk, desimaltall eller prosent ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0, % 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% REGEL Sannsynligheten for en hendelse kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 1. Sannsynligheten 1 innebærer at hendelsen alltid inntreffer. Sannsynligheten 0 innebærer at hendelsen aldri inntreffer. 26