Eksamen REA 3022 Høsten 2012

Transkript

1 Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x ( ) x h ( x) x e x Oppgave ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x kx a) Bestem k slik at divisjonen f x : x går opp. Divisjonen går opp dersom f 0. f k 0 k 1 Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 1 av 1

2 b) Bruk polynomdivisjon til å skrive f x som et produkt av lineære faktorer (førstegradsfaktorer) når k har verdien du fant i oppgave a). x x x x x : x x 1 x x 0 Dette viser at f x x x x x x 1 x x 1x 1 Oppgave ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x x a) Bestem vendepunktet på grafen til f. Dobbeltderiverer og finner ut hvor den dobbeltderiverte skifter fortegn f x x x 1 x 6x ,0 f x x x x f x x x f Vendepunktet er b) Bestem likningen til vendetangenten. f Vendetangenten er y 0 x1 y x Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side av 1

3 Oppgave ( poeng) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved 1 og gx x 1 f x x x En elev skulle bestemme skjæringspunktene mellom grafene ved regning. f Eleven besvarte oppgaven slik: g f x g x x 1 x x 1 x 1 x x1 x 1 x y 1 Skjæringspunktet er, a) Kommenter elevens besvarelse. Divisjon med x 1 skjer under forutsetning av at x 1. Eleven har «mistet» en løsning fordi likningen er oppfylt også når x 1 (begge sider blir lik null). b) Bestem skjæringspunktene mellom grafene ved regning slik du mener oppgaven bør løses. Vi bestemmer skjæringspunktene mellom grafene ved å løse likningen f x g x x 1 x x 1 Når x 1 blir begge sider av likningen lik null og x 1 er derfor en løsning. For x 1 kan vi dividere med x 1 på begge sider av likhetstegnet x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x g 1 g Skjæringspunktene er, og 1,0 Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side av 1

4 Oppgave 5 ( poeng) Figuren viser et kvadrat ABCD med side a. Diagonalene AC og BD skjærer hverandre i punktet F. a) Forklar at AC BD Siden diagonalene halverer hjørnevinklene, vil trekantene inne i firkanten være likebeinte med to vinkler på 5 o. Den tredje vinkelen må da være 90 o, og diagonalene står derfor normalt på hverandre. b) Forklar at arealet av kvadratet er 1 På grunnlag av punkt a) har vi AC BD. Areal ABCD AC DF AC FB AC DF FB AC BC Oppgave 6 ( poeng) Løs likningene a) x 7 x 7 x 7 x x x b) x x lg lg 1 lg lg x x 1 lg, x 1 x x x x x 1 x x 1 Siden x 1 er det bare x som er en gyldig løsning. Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side av 1

5 Oppgave 7 ( poeng) Vi har gitt punktene A,0, B 7, og 0, a) Bestem t slik at BAC 90 0 Dersom BAC 90 må BAAC 0. 0 C t. 7, 0, 0, 0, BA AC t t BA AC,, t t 1 t 0 t 1 t b) Bestem den minste avstanden fra A til BC for denne t -verdien AB AC BC Jeg kaller skjæringspunktet mellom BC og høyden fra A for D. Da er AD den minste avstanden fra A til BC. Jeg regner ut arealet av trekant ABC på to måter BC AD ABAC 5 AD AD Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 5 av 1

6 Del Med hjelpemidler Oppgave 1 (6 poeng) Punktene A 0,0, B 6,0, C, og, D t er hjørner i ABCD. a) Bruk skalarprodukt til å bestemme BAC. AB AC 6,0, AB AC AB AC cosbac 0 AB AC 6,0, 6 0 cosbac AB AC BAC 5 b) Bestem t slik at ABCD blir et parallellogram. Firkanten ABCD blir et parallellogram hvis DC AB. Det vil si t,0 6,0 t 6 t c) Bestem t slik at AC BD. t t AC BD AC BD 0 AC BD 0, 6, t 16 t Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 6 av 1

7 Oppgave (5 poeng) En skole har 50 elever, 18 gutter og 168 jenter. Av disse tar 71 gutter og 9 jenter bussen til skolen. En elev blir trukket ut tilfeldig. Vi lar hendelsene J og B være gitt ved J: Eleven er en jente B: Eleven tar buss til skolen. Jeg lager en krysstabell for å få oversikt Gutt Jente Sum Buss Ikke buss Sum a) Bestem P J B 9 P J B 0,69 50 b) Bestem PB og P B J. Er J og B uavhengige hendelser? Begrunn svaret ditt PB 0, PB J 0, J og B er ikke uavhengige hendelser siden P B J P B c) Bestem P J B 9 P J B 0, eller 168 P JP B J 0,560 P 50 J B 0,570 P B 0,71 Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 7 av 1

8 Oppgave (7 poeng) Posisjonen til en partikkel ved tiden t er gitt ved 1 r t t t, t 5 t a) Tegn grafen til rt når t 0,0]. b) Bestem skjæringspunktene mellom banen til partikkelen og koordinataksene. Skjæringspunkt med y-aksen når x 0. 1 t t0 1 t 0 t 0 t 1 y Parameterverdien t 0 er utenfor definisjonsmengden. Skjæringspunkt med y-aksen er 0, Skjæringspunkt med x-aksen når y 0. Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 8 av 1

9 t 5 0 t t 5t t 1 t t 1 x x Skjæringspunktene med x-aksen 8,0 og,0 c) Bestem farten v v t når t 5. Farten er den deriverte til posisjonsvektoren 1 1 t t v 5 5,1, 5 5 v t r t t t, t 5 t,1 1 1 v5 v5 0,978 5 Farten når t 5 er 0,978. Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 9 av 1

10 Oppgave (8 poeng) DEF er innskrevet i ABC. Begge trekantene er likebeinte, og DE AB. Vi setter DE x fra C til AB er 8, og høyden fra F til DE er h. Videre er AF FB. Se figuren.. Høyden h a) Forklar at ABC DEC. Bruk dette til å vise at h8 x CDE CAB fordi vinklene er samsvarende, venstre vinkelbein er felles, og høyre vinkelbein er parallelle. CED CBA fordi vinklene er samsvarende, høyre vinkelbein er felles, og venstre vinkelbein er parallelle. I tillegg er C felles i begge trekantene. ABC og DEC har altså parvis like store vinkler og er derfor formlike. I formlike trekanter er forholdet mellom tilsvarende sider konstant. Vi kan derfor sette opp Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 10 av 1

11 DE Høyden i DEC AB Høyden i ABC x 8 h 6 8 8x 8 h 6 8x 8 6h 6h8 8x h8 x b) Bestem et uttrykk Tx for arealet av 1 1 T x x h x 8 x T x x x DEF. c) Bestem den største verdien av Tx. Forklar at ABC trekanter. Tx har en maksimalverdi siden andregradsleddet er negativt. Tx x x Tx 0 x x T 6 Det største arealet er 6. i dette tilfellet består av fire kongruente Det største arealet oppnås når x. Med denne verdien for x er DE AF FB. Alle trekantene har altså lik grunnlinje. De har også lik høyde, h 8. Da alle trekantene i tillegg er likebeinte, må trekantene være kongruente. Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 11 av 1

12 Oppgave 5 ( poeng) a) En sirkel er gitt ved x x y y 0 Bestem sentrum og radius i sirkelen ved regning. x x y y 0 x x y y x y 1 Sirkelen har sentrum i 1, og radius. b) En annen sirkel er gitt ved x tx y y 9 0 Bestem t slik at sirkelen har akkurat ett punkt felles med x -aksen. Sirkelen skjærer x aksen når y 0. x x tx tx 9 0 t t 1 9 t t 6 x 1 Vi får bare ett skjæringspunkt når uttrykket under rottegnet er lik null. t 6 0 t t Sirkelen har akkurat ett punkt felles med x -aksen når t t Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 1 av 1

13 Oppgave 6 (6 poeng) ABCD er innskrevet i en sirkel der AC er diameter. Buen AD u og buen BC v. Forlengelsene av AD og BC skjærer hverandre i P. Vi setter P. Tilsvarende skjærer forlengelsene av AB og DC hverandre i Q, og vi setter Q. a) La u 10 o og v 90 o. Forklar at da er BAD 75 o. Da er buen DC 180 o u 180 o o o o o og buen DB DC BC Siden BAD er en periferivinkel, er denne halvparten av den buen den spenner over, det vil si 150 o BAD 75. b) Vis at 15 o i dette tilfellet. I følge Thales`s setning er ABC ADC 90 o siden AC er diameter i sirkelen. Derfor er APB 180 o BAD ABC 180 o 75 o 90 o 15 o og AQD 180 BAD ADC o o o o o c) Vis at for alle verdier av u og v (når u v). Buen DC 180 o u og buen DB DC v 180 o u v. Siden BAD er en periferivinkel er 1 denne halvparten av den buen den spenner over, det vil si 180 o BAD u v. I følge Thales`s setning er ABC ADC 90 o siden AC er diameter i sirkelen. Derfor er o o 1 o o 1 APB 180 BAD ABC u v 90 u v og o o 1 o o 1 AQD 180 BAD ABC u v90 u v Dermed er Eksamen REA0 Matematikk R1 Høsten 01 Side 1 av 1