Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Transkript

1 Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være så fullstendige at resonnementene kommer klart fram. Oppgave 1 I denne oppgaven tar vi opp temaer fra forskjellige deler av det du har arbeidet med i høst. a. Regn ut og trekk sammen: 1) (a ) + a( b) (a )(1 b) ) a a 6 1) Vi multipliserer ut parentesene. Husk å skifte fortegn når det står minus foran. (a )+a( b) (a )(1 b) = a 6+a ab (a ab +b) = a b 4 ) Sett på felles brøkstrek. Husk å sette parenteser. OBS! Husk at det ikke er lov å gange vekk nevneren. De som gjør det, blander sammen med likninger der vi har brøker, se oppgave b. a a a ( a) = = a b. Faktoriser uttrykket: x 8x y + 8xy Strategien er: 1) Let etter felles faktorer. Legg disse utenfor parentes. 1

2 ) Sjekk om vi kan bruke en kvadratsetning. ) Er det et andregradsuttrykk, kan vi faktorisere ved å sette ax +bx+c = a(x x 1 )(x x ) Vi får: x 8x y + 8xy = x(x 4xy + 4y ) = x(x y) c. Skriv så enkelt som mulig: a b ab ab Her må vi bruke regnereglene for potenser og røtter. Vi får: «a b ab ( ab ) = a b a 1/ b / a b = 1 4 a+ 1/ b 1+6 / = 1 4 a7/ b 11/ d. Bestem et eksakt uttrykk for cos v og tan v når sin v = 5 og v er en vinkel i første kvadrant. Vi bruker at sin v + cos v = 1. Dette gir: cos v = 1 sin v = = Vi bruker den positive roten siden vinkelen ligger i første kvadrant. Fra definisjonen av tangens får vi: tan v = sin v 5/ 5 cos v = / = e. Bestem alle asymptotene til funksjonen f(x) = x 1 x+1. Når x 1 går nevneren mot 0 og telleren mot. uendelig. Dette viser at x = 1 er en vertikal asymptote. Videre får vi: Da går f mot lim f(x) = lim 1 x x x x Dette viser at y = er en horisontal asymptote. = = Siden graden av telleren er lik graden av nevneren, er det ingen skrå asymptoter.

3 Oppgave Løs likningene ved regning: a. 1 (x 1) + x = x 1 (x 5) Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren, som er lik 6. Deretter multipliserer vi ut parentesene. (Vi kan også gjøre dette i motsatt rekkefølge). Husk å skifte fortegn når det står minus foran. Så rydder vi opp. Svaret er x = 9. b. x 5x = 6 Vi flytter over 6 på høyre side. Så bruker vi formelen for andregradslikninger og setter a = 1, b = 5 og c = 6. Da får vi: Dette gir x 1 = og x =. x = ( 5) ± ( 5) c. 6 x = x + x Dette er en irrasjonal likning siden den ukjente er under rottegnet. Vi isolerer rottegnet på den ene siden av likhetstegnet. Så kvadrerer vi. Husk at vi må sette prøve på svaret. 6 x = x + x 6 x = x 6 4x + 4x = x 4x 7x + 8 = 0 x 1 = x = 19 4 Vi setter disse tallene inn i den opprinneligelikningen og regner ut venstre og høyre side hver for seg. Da finner vi at det bare er x 1 = som passer, slik at dette er løsningen til likningen.

4 d. cos v + 1 =, 0 v < 60 Vi skal finne de vinklene i intervallet 0 v < 60 som passer inn i likningen. Vi ser lett at cos v =. Siden cosinus er positiv, må vinkelen være i første og fjerde kvadrant. Lommeregneren gir: Den andre løsningen er da: Oppgave Deriver funksjonene: v 1 = cos 1 (/) = 48, v = 60 48, = 11, 8 a. Vi deriverer ledd for ledd og bruker regelen for derivasjon av potens: b. Vi bruker kjerneregelen og får: f(x) = x + x 1 f (x) = 9x + f(x) = (x + x) 5 f (x) = 5(x + x) 4 (9x + ) c. Her bruker vi produktregelen. Dessuten må vi bruke regelen for å derivere en kvadratrot. f(x) = x x 1 f (x) = 1 x x x 1 = x x 1 Det er vanlig å trekke sammen og sette på felles brøkstrek, men det første uttrykket er også et ok svar. d. Her bruker vi brøkregelen. f(x) = x + 1 x f (x) = x (x 1) (x + 1) x x = 1 x 4

5 Oppgave 4 I en firkant ABCD er siden AB er 6,0 cm, siden BC er,0 cm og A er 75. ACB er 90. I trekanten ACD er sidene AD og CD like lange. a. Tegn en skisse av firkanten ABCD. Det er viktig å tegne en figur som er så nøyaktig som mulig. Det letter arbeidet med resten av oppgaven. b. Regn ut B. Siden trekant ABC er rettvinklet, kan vi sette cos B = 6. B = cos ( 1 6) = 70, 5. Dette gir c. Regn ut lengden av diagonalen AC. Vis at svaret kan skrives eksakt som 4 cm. Bruk dette til å bestemme et eksakt uttrykk for tan B. Vi bruker pytagoras på trekant ABC og får: AC = 6 = = 16 = 4 5, 6 Vi bruker trekant ABC og får: tan B = AC BC = 4 = (I resten av denne oppgaven trenger du ikke regne eksakt.) d. Regn ut lengden av sidene AD og CD. Trekant ACD er likebeinet. Høyden fra D til AC halverer AC, som derfor er, 8. Kaller vi fotpunktet for høyden fra D til AC for E, er trekant AED rettvinklet. Vi kan beregne EAD, og da er det lett å regne ut AD. Vi får: Da får vi: EAD = 75 BAC = 75 [180 (70, )] = 55, 5 AD = AE cos( EAD) = 4, 99 = CD Lengden av de to sidene er 4,99 cm. 5

6 e. Regn ut arealet av firkanten. Arealet av firkanten er summen av arealene av trekant ABC og trekant ACD. Dette gir: A = A 1 + A = , 99 sin 55, 5 17, Arealet av trekanten er 17, cm. Oppgave 5 En funksjon f er definert ved uttrykket: f(x) = x + x + 4x 4 Definisjonsområdet til f er D f = [ 5, 5 ]. I denne oppgaven lønner det seg å bruke lommeregneren til å skissere en graf. Det gir en god indikasjon på hvilke svar vi kan forvente. a. Vis at f(1) = 0. Hvilken informasjon gir denne opplysningen om polynomdivisjonen f(x) : (x 1)? f(1) = = 0 Dette viser at divisjonen f(x) : (x 1) går opp. b. Bruk resultatet i spørsmål a til å regne ut de to andre nullpunktene til f. Vi vet at x = 1 er en løsning til likningen. Divisjonen f(x) : (x 1) går opp. Dette kan vi bruke til å faktorisere f(x). Når vi dividerer får vi: f(x) : (x 1) = ( x + x + 4x 4) : (x 1) = x + 4 = (x )(x + ) Da kan vi sette f(x) = (x 1)(x )(x + ) = 0. Nullpunktene er altså x 1 = 1, x =, x = 6

7 c. Løs ulikheten f(x) > 0 ved regning. Hva forteller løsningen av ulikheten om grafen til f? Når vi løser ulikheter, bruker vi fortegnslinjer. I spørsmål b har vi faktorisert funksjonen: f(x) = (x 1)(x )(x + ) = 0. Når vi bruker fortegnslinje, får vi denne løsningen (husk at definisjonsområdet er begrenset): f(x) > 0 når 5 x < og 1 < x < Dette forteller at grafen til f ligger over x-aksen i disse intervallene. d. Regn ut x-koordinaten til topp- og bunnpunktet til f. Vi regner ut den deriverte, regner ut de stasjonære punktene (løsningene til likningen f (x) = 0), og drøfter fortegnet til f (x). Vi får f (x) = x + x + 4. Utregningene viser at: x bunn = 1 1 0, 87 x topp = , 54 e. Finn den største og den minste verdien f kan ha i sitt definisjonsområde. (Det er ikke nødvendig å regne eksakt.) Siden definisjonsområdet D f er begrenset, må vi undersøke funksjonsverdiene i endepunktene av D f og sammenlikne disse med funksjonsverdiene i topp- og bunnpunktet. Vi finner: Strørst verdi er f( 5 ) = 7, 88 (Venstre endepunkt av D f.) Minst verdi er f( 0, 87) = 6, 06 (Bunnpunktet.) f. Bestem likningen til vendetangenten til f ved regning. Vendetangenten er ei rett linje, og har derfor likning y y 1 = a(x x 1 ). Vi må bestemme vendepunktet. Vendepunktet finner vi ved å løse likningen f (x) = 6x+ = 0, og sjekke at fortegnet endrer seg for denne x-verdien. Vi finner at x = 1 er vendepunkt. Likningen for vendetangenten blir: y y 1 = a(x x 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 y f = f x 1 ) y = 1 x