C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER,

Transkript

1 20. mai 2013

2 Innhold INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET... 5 NIVÅ B: LINJER, SIRKLER, VINKLER... 6 NIVÅ C: SPEILING, NORMALER, TREKANTER M/HJELPEFIGUR... 7 NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, FORSVINNINGSPUNKTER, HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR,... 8 NIVÅ E: LIKE STORE VINKLER, ROTASJON, TREKANTKONSTRUKSJON M/GEOMETRISKE STEDER, FIRKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, PERPEKTIVTEGNING M/ETT FORSVINNINGSPUNKT, FEMTE GEOMETRISKE STED... 9 NIVÅ F: PERSPEKIVTEGNINGER MED TO FORSVINNINGSPUNKTER, FIRKANTER, ELLIPSE, PARABEL, HYPERBEL GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET A.1.a: Lese av punkter i et koordinatsystems første kvadrant: A.1.b: Lese av punkter i et koordinatsystems andre kvadrant: A.1.c: Lese av punkter i et koordinatsystems tredje kvadrant: A.1.d: Lese av punkter i et koordinatsystems fjerde kvadrant: A.2.a: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems første kvadrant: A.2.b: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems andre kvadrant: A.2.c: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems tredje kvadrant: A.2.d: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems fjerde kvadrant: NIVÅ B: LINJER + SIRKLER + VINKLER B.1: Kunne trekke en linje gjennom to punkter B.2: Kunne trekke et linjestykke mellom to punkter B.3: Kunne trekke en stråle fra et punkt og gjennom et annet punkt B.4: Kunne tegne en sirkel med oppgitt radius B.5: Kunne tegne en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt B.6: Kunne tegne en oppgitt vinkel B.7: Finne punkter som ligger i gitte avstander fra to punkter NIVÅ C: SPEILING + NORMALER + TREKANT M/HJELPEFIGUR C.1:I et rutenett: Kunne speile en figur om et punkt C.2:Kunne speile en figur om et punkt C.3: Finne punktsymmetri C.4. Kunne tegne en midtnormal. (Andre geometriske sted.) C.5: Kunne tegne en normal fra et punkt på en linje eller fra et punkt til en linje C.6: Kunne tegne en trekant ut fra en hjelpefigur C.7: I et rutenett: Kunne speile en figur om en linje

3 C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, FORSVINNINGSPUNKTER, HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR, D.1: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, tegne en trekant D.2: Tegne trekant som oppfyller andre geometriske sted D.3: Kunne tegne en parallell linje til en oppgitt linje gjennom et gitt punkt. (Tredje geometriske sted.) D.4: Kunne tegne en parallell linje i en gitt avstand til en oppgitt linje D.5: Kunne tegne trekanter som oppfyller de tre første geometriske stedene D.6: Ut fra bilde, tegne på forsvinningspunkter og horisontlinje D.7: Kunne halvere en gitt vinkel D.8: Kunne tegne en sirkelsektor NIVÅ E: LIKE STORE VINKLER, ROTASJON, SAMSVARENDE VINKLER MELLOM PARALLELLE LINJER OG TREKANTKONSTRUKSJON, FIRKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, PERPEKTIVTEGNING M/ETT FORSVINNINGSPUNKT, FEMTE GEOMETRISKE STED E.1: Tegne en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel E.2: Kunne rotere en figur om et punkt: E.3: Finne rotasjonssymmetri: E.4: Kunne tegne trekanter hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarende vinkler: E.5: Kunne tegne en firkant ut fra en hjelpefigur E.6: Kunne lage en perspektivtegning med ett forsvinningspunkt E.7: Kunne tegne en trekant ved å anvende «femte geometriske sted» NIVÅ F: PERSPEKIVTEGNINGER MED TO FORSVINNINGSPUNKTER, FIRKANTER, ELLIPSE, PARABEL, HYPERBEL F.1: Kunne lage en perspektivtegning med to forsvinningspunkter F.2: Kunne tegne en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder F.3: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegen firkanter hvor en må bruke en eller flere av de geometriske stedene F.4: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne en firkant hvor en kan benytte parallellitet/samsvarende vinkler og forhold F.5: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne ellipse, parabel og hyperbel uten å bruke funksjonsuttrykk F.6: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne en firkant hvor en må bruke momentene fra de foregående stegene VEIEN VIDERE

4 INNLEDNING Det å tegne figurere er en de grunnleggende delene av matematikkfaget med røtter langt tilbake i historien. I mange sammenhenger er det viktig å kunne lage skisser. Men i matematikken er det ufravikelige krav til stringens og nøyaktighet. Å konstruere vil si å bruke passer og linjal. Innen konstruksjon kan en gjøre alt som bygger på å kunne trekke linjer mellom entydige punkter og å slå sirkler eller deler av en sirkel. Men det innebærer også at det er grenser for hva en kan konstruere: Figurer som har andre kurver enn rette linjer eller sirkler eller deler av en sirkel, kan en ikke konstruere. Det er heller ikke alle sirkelbuer en kan konstruere. En kan for eksempel ikke konstruere en sirkelbue på for eksempel 38. Disse begrensningene blir i stor grad borte dersom vi tillater bruken av dynamisk programvare. Starten på dynamisk geometri er å kunne navigere i et rutenett. Deretter må en lære seg de ulike kommandoer. Mange kommandoer utfører oppgaver en gjorde ved hjelp av passer og linjal. Men digitale verktøy utfører kommandoene langt raskere enn en klarte ved hjelp av passer og linjal. Etter hvert kombinerer en kommandoene slik at en kan utføre stadig mer sammensatte oppgaver. Med digitale verktøy kan en også raskt se sammenhenger mellom algebra og geometri. Mange elever vil ha framgangsmåter/standard-oppskrifter på hvordan oppgaver skal løses. Elevene bør forsøke å forstå sammenhengen i faget. Derfor er det laget koplinger til stoff som er gjennomgått. Elevene bør bruke disse koplingene aktivt. Her defineres også viktige definisjoner og regler. Men her finner en også forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet dynamisk geometri. Nr. A.1: Lese av punkter i et koordinatsystem: a) I første kvadrant. b) I andre kvadrant. c) I tredje kvadrant. d) I fjerde kvadrant. (Får gitt et koordinatsystem med inntegnet punkt. Skal oppgi koordinatene til dette punktet.) Nr. A.2: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystem: a) I første kvadrant. b) I andre kvadrant. c) I tredje kvadrant. d) I fjerde kvadrant. (Får gitt et koordinatsystem og koordinatene til punkter i. Skal tegne inn dette punktet.) 5

6 NIVÅ B: LINJER, SIRKLER, VINKLER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet dynamisk geometri. B.1: Kunne trekke en linje gjennom to punkter. Merk av punktene A: (2,0) og B: (5,1). Tegn en linje gjennom disse punktene. B.2: Kunne trekke et linjestykke mellom to punkter. Merk av punktene A: (-1,3) og B: (2,3). Tegn linjestykket mellom disse punktene. B.3: Kunne trekke en stråle fra et punkt og gjennom et annet punkt. Merk av punktene A: (-4,-2) og B: (-1,1). Tegn en stråle fra A som går gjennom B. B.4: Kunne tegne en sirkel med oppgitt radius. Sett av A: (3,-2). Tegn en sirkel med A som sentrum og med radius 4,0cm. B.5: Kunne tegne en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Slå en sirkel med sentrum i A (-2,-1) og som går gjennom B (0,2). B.6: Kunne tegne en oppgitt vinkel. Tegn en linje som går gjennom punktene A: (1,0) og B: (5,2). Tegn en 55 -vinkel i A med AB som høyre vinkelbein. B.7: Finne punkter som ligger i gitte avstander fra to punkter. Finn de punktene som ligger 4,2 cm fra A: (3,1) og 3,1 cm fra B: (0,-2). 6

7 NIVÅ C: SPEILING, NORMALER, TREKANTER M/HJELPEFIGUR Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet dynamisk geometri. C.1: I et rutenett: Kunne speile en figur om et punkt. (Får gitt et rutenett med inntegnet punkt og figur. Skal speile figuren om punktet.) C.2: Kunne speile en figur om et punkt. Tegn en trekant ABC hvor A er (2,4), B er (-1,1) og C er (1,-2). Speil trekanten om punktet (5,2) C.3: Finne punktsymmetri. Er dette rektangelet punktsymmetriske? C.4: Kunne tegne en midtnormal. Tegn linjestykket mellom A: (-2,3) og B: (1,0). Tegn midtnormalen på dette linjestykket. C.5: Kunne tegne en normal fra et punkt på en linje eller fra et punkt til en linje. Tegn en rett linje som går gjennom A: (-3,0) og B: (2,4). Sett av punktet P: (0,5). Tegn en normal fra P ned på linja. C.6: Kunne tegne en trekant ut fra en hjelpefigur. Her er en hjelpefigur til ABC? Tegn trekanten. C 75 3cm A B C.7: I et rutenett: Kunne speile en figur om en linje. (Får gitt et rutenett med inntegnet linje og figur. Skal speile figuren om linja.) C.8: Kunne speile en figur om en linje. Speil ABC om linja som går gjennom (-1,-6) og (3,-2). (A er (-2,-1), B er (3,0) og C er (0,2).) C.9: Finne linjesymmetri. Tegn symmetrilinjene i denne figuren: 7

8 NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, FORSVINNINGSPUNKTER, HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet dynamisk geometri. D.1: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, tegne en trekant. I ABC er AB = 5,2cm, AC = 6cm og A = 60. Tegn denne trekanten. D.2: Kunne tegne trekanter som oppfyller andre geometriske sted. Punktet A er (-4,0), B er (1,0) og C er (4,4). Finn de punktene som er like langt fra A som fra B og som er 5,2 cm fra C. D.3: Kunne tegne en parallell linje til en oppgitt linje gjennom et gitt punkt Linja, a, går gjennom punktene (3,-2) og (0,4). Tegn en parallell linje til a gjennom punktet (6,3). D.4: Kunne tegne en parallell linje i en gitt avstand til en oppgitt linje. Linja, a, går gjennom punktene (0,-2) og (3,1). Tegn en parallell linje til a i en avstand 2,9 cm. D.5: Kunne tegne trekanter som oppfyller de tre første geometriske stedene. Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,4cm. C ligger 3,2 cm fra AB og 4,6 cm fra A. D.6: Ut fra bilde, tegne på forsvinningspunkter og horisontlinje. (Elevene får utdelt et bilde): Tegn inn forsvinningspunkter og horisontlinje. D.7: Kunne halvere en gitt vinkel. Merk av tre punkter, A (-2,-1), B (0,1) og C (-1,4). Halver ABC. D.8: Kunne tegne en sirkelsektor. Merk punktet (0,3). Merk av sektoren som har radius 4,ocm og en vinkel på 45. 8

9 NIVÅ E: LIKE STORE VINKLER, ROTASJON, TREKANTKONSTRUKSJON M/GEOMETRISKE STEDER, FIRKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, PERPEKTIVTEGNING M/ETT FORSVINNINGSPUNKT, FEMTE GEOMETRISKE STED. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet dynamisk geometri. E.1: Kunne konstruere en like stor vinkel som en oppgitt vinkel. Sett av tre punkter, A (-3,0), B (-2,-2) og C (1,0). Tegn opp ABC. Sett av punktet D (4,0). Tegn DCE som er like stor som ABC. E.2: Kunne rotere en figur om et punkt. Sett av et punkt, P i (1,0). Tegn et kvadrat ABCD hvor A er (3,0) og B er (6,0). Roter kvadratet 65 mot klokken om punktet P. E.3: Finne rotasjonssymmetri: Hvordan er denne figuren rotasjonssymmetrisk? E.4: Kunne tegne trekanter hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarende vinkler: I ABC er AB = 5,7cm, A 60 og C 72,5. E.5: Kunne tegne en firkant ut fra en hjelpefigur. Her er en hjelpefigur til firkanten ABCD? Tegn firkanten. D C 4,6cm 5,0cm A 72,5 45 6,2cm B E.6: Kunne lage en perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. Eksempel-oppgave: Et plankegjerde skal tegnes i perspektiv med ett forsvinningspunkt i geogebra. Gjerdet er 2m høyt. Venstre ende av gjerdet skal tegnes i målestokken 1: 100. Plasser nedre venstre hjørnet i (-3,0) og nedre høyre hjørne i (3,0). Forsvinningspunktet skal plasseres i (6,1). Lag en perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. Ta med horisontlinje. E.7: Kunne tegne en trekant ved å anvende «femte geometriske sted» Tegn AB = 4cm. Tegn ABC slik at BC = 2,5 cm og C er rett. 9

10 NIVÅ F: PERSPEKIVTEGNINGER MED TO FORSVINNINGSPUNKTER, FIRKANTER, ELLIPSE, PARABEL, HYPERBEL. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet dynamisk geometri. F.1: Kunne lage en perspektivtegning med to forsvinningspunkter. Linjestykke AB (A er (0,0) og B er (0,2)) er kant i en eske. Du skal lage en to-punkts perspektivtegning av denne esken når du får greie på at det nedre venstre hjørnet i esken har x-koordinat -3 og det nedre høyre hjørnet har x-koordinat 4. (Forsvinningspunktene er i (-5,4) og (7,4). F.2: Kunne tegne en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder. I ABC er B=67,5. AB = 5,5cm og BC = 3,9cm. ABC er en del av firkanten ABCD. CAD=45 og BD=7,4cm. Tegn denne firkanten. F.3: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegen firkanter hvor en må bruke en eller flere av de geometriske stedene. I ABC er A=45. AB = 6,1cm. C ligger like langt fra A som fra B. ABC er en del av firkanten ABCD. Punktet D ligger like langt fra AB som fra BC og 4,0cm fra AC. Tegn denne firkanten. F.4: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne en firkant hvor en kan benytte parallellitet/samsvarende vinkler og forhold. I ABE er AB = 4,8 cm, A = 50 og B = 80. ABE er en del av firkanten ABCD, hvor diagonalene skjærer hverandre i E. EC = AE og BAE = ACD. Tegn denne firkanten. F.5: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne ellipse, parabel og hyperbel uten å bruke funksjonsuttrykk. Tegn ellipsen som har A:(-2,0) og B:(2,0) som brennpunkter og hvor avstanden til brennpunktene til sammen er 7cm. Tegn parabelen som har P:(0,1) som brennpunkt og linja gjennom (-3,-1) og (3,-1) som styringslinje. Tegn hyperbelen som har origo og P:(0,-3) som brennpunkter og hvor differansen mellom avstandene til brennpunktene er 2cm. F.6: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne en firkant hvor en må bruke momentene fra de foregående stegene. Eksempel-oppgave: I ABD er AB = 3,8 cm, A = 60. AD og BD er til sammen 6,2cm. ABD er en del av firkanten ABCD. C ligger like langt fra D som fra AB. BDC = 45. Tegn denne firkanten. 10

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: A. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. B. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: C. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Dynamisk geometri). Slik kan du bruke geogebra: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du bruke geogebra:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. D. Viktige regneregler blir skrevet med fet, sort skrift og satt i en ramme med gul bakgrunn. Viktige regler vises slik! E. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. 11

12 12

13 NIVÅ A NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET Det går an å tegne på et blankt ark. Men dersom en vil fortelle nøyaktig hvor en skal tegne, er en avhengig av et system som gir entydig beskjed om hvor en skal plassere tegningen. Det er ikke mye forskjellig fra at du går på kino og har kjøpt en plassbillett: Du må vite hvordan du skal finne plassen du har fått tildelt. Det er også ganske likt hvordan et sjakkbrett er inndelt. Også der vil en ha et system som forteller hvor de forskjellige brikkene skal stå. I prinsippet er det samme system som adressene vi har i byer: En trenger to opplysninger: Hva heter gata huset ligger i og hva er husnummeret. Klarer du å finne plassen din når du går på kino, eller klarer du å fortelle hvor en sjakkbrikke står, eller klarer du å finne fram til en adresse i en by;- ja, da kan du også klare å navigere i et rutenett. Hele ideen er å tegne to tall-linjer som krysser hverandre. Tall-linjene trenger ikke å stå vinkelrett på hverandre for å få entydige adresser og de trenger heller ikke å krysse hverandre i et punkt som er nullpunkt for begge tall-linjene. Men vi er blitt enige om at et aksesystem skal være bygd opp akkurat slik: Tall-linjene («aksene») står normalt på hverandre og skjærer hverandre i nullpunktet for begge aksene. Denne måten å tegne aksene på har fått navn etter en stor fransk matematiker, René Descartes, og kalles det kartesiske system. Det å kunne finne ut nøyaktig hvor på arket et punkt er, og det å flytte seg til nye punkter ved hjelp av koordinatsystemet, kalles å kunne navigere. 13

14 NIVÅ A A.1.a: Lese av punkter i et koordinatsystems første kvadrant: Eksempel-oppgave: Hva er koordinatene til punkt A: BEGREPER Punkt: «Punkt» skulle kanskje ikke være grunn til å definere: Alle vet hva et punkt er. Det viktige her er å fastslå at et punkt ikke har noen utstrekning. Når vi tegner et punkt på et papir, markeres det ved at to linjer krysses. I Geogebra markeres det på ulike måter. I denne oppgaven markeres punktet med en ring der punktet er. Koordinatsystem (aksesystem): To tall-linjer som krysser hverandre i nullpunktet for begge tall-linjene. Tall-linjene står normalt (90 ) på hverandre: Når vi tegner tall-linjene, må vi ta med navn på aksene og pil som forteller i hvilken retning tallene blir større. 14

15 NIVÅ A Første aksen (x-aksen) (abscissen): Den vannrette (horisontale) aksen. Andre aksen (y-aksen) (ordinaten): Den loddrette (vertikale) aksen. Origo: Punktet der aksene skjærer hverandre. Navnet henger sammen med det engelske ordet «origin» og det norske «original»; - altså noe opprinnelig. Koordinater: To tall som gir «adressen» til et punkt. Det første tallet, x-koordinaten, forteller hvor langt bortover x-aksen du skal gå. Det andre tallet, y-koordinaten, skal forteller hvor langt oppover langs y-aksen du skal gå. x-verdien skal alltid være det første tallet og y-verdien skal alltid være det andre tallet! Kvadranter: De to aksene deler arket inn i fire deler. Disse delene kalles kvadranter. Første kvadrant: Den delen av arket som ligger over x-aksen og til høyre for y-aksen. I første kvadrant er både x-koordinaten og y-koordinaten positive KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.5 (Tall). FORKLARING Når du skal finne koordinatene til punktet A, starter du i origo. Så går du langs x-aksen til du står rett under punktet. (I denne oppgaven har du kommet til 1 på x-aksen. Så går du oppover parallelt med y-aksen. Her går du tre steg oppover parallelt med y-aksen. Punktet A har derfor koordinatene (1,3). Når du skal finne koordinatene til et punkt, eller når du skal plassere et punkt i et aksesystem, kan du bruke følgende huskeregel: «Du skal gå inn i huset og opp trappa.» 15

16 NIVÅ A A.1.b: Lese av punkter i et koordinatsystems andre kvadrant: Eksempel-oppgave: Hva er koordinatene til punkt B: BEGREPER Andre kvadrant: Den delen av arket som ligger over x-aksen og til venstre for y-aksen. I andre kvadrant er x-koordinaten negativ og y-koordinaten positiv KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi ut A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING Når du skal finne koordinatene til punktet B, starter du i origo. Så går du langs x-aksen til du står rett under punktet. (I denne oppgaven har du kommet til -2 på x-aksen.) Så går du oppover parallelt med y-aksen. Her går du tre steg oppover parallelt med y-aksen. Punktet B har derfor koordinatene (-2,3). 16

17 NIVÅ A A.1.c: Lese av punkter i et koordinatsystems tredje kvadrant: Eksempel-oppgave: Hva er koordinatene til punkt C: BEGREPER Tredje kvadrant: Den delen av arket som ligger under x-aksen og til venstre for y-aksen. I tredje kvadrant er både x-koordinaten og y-koordinaten negative. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her fortsetter vi å bygge ut A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING Når du skal finne koordinatene til punktet C, starter du i origo. Så går du langs x-aksen til du står rett over punktet. (I denne oppgaven har du kommet til -5 på x-aksen.) Så går du nedover parallelt med y-aksen. Her går du tre steg nedover parallelt med y-aksen. Punktet C har derfor koordinatene (-5,-3). 17

18 NIVÅ A A.1.d: Lese av punkter i et koordinatsystems fjerde kvadrant: Eksempel-oppgave: Hva er koordinatene til punkt D: BEGREPER Fjerde kvadrant: Den delen av arket som ligger under x-aksen og til høyre for y-aksen. I fjerde kvadrant er x-koordinaten positiv og y-koordinaten negativ. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her fortsetter vi å bygge ut A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING Når du skal finne koordinatene til punktet D, starter du i origo. Så går du langs x-aksen til du står rett over punktet. (I denne oppgaven har du kommet til 2 på x-aksen.) Så går du nedover parallelt med y-aksen. Her går du fire steg nedover parallelt med y-aksen. Punktet D har derfor koordinatene (2,-4). 18

19 NIVÅ A A.2.a: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems første kvadrant: Eksempel-oppgave: Tegn inn punktet A (5,2) i aksesystemet nedenfor: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi kunnskapene fra A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING For å tegne inn punktet (5,2), går du først fem steg bortover x-aksen og deretter 2 steg oppover parallelt med y-aksen: 19

20 NIVÅ A A.2.b: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems andre kvadrant: Eksempel-oppgave: Tegn inn punktet B (-1,3) i aksesystemet nedenfor: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi kunnskapene fra A.1.b (Dynamisk geometri). FORKLARING For å tegne inn punktet (-1,3), går du først ett steg i negativ x-aksen og deretter 3 steg oppover parallelt med y-aksen: 20

21 NIVÅ A A.2.c: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems tredje kvadrant: Eksempel-oppgave: Tegn inn punktet C (-2,-4) i aksesystemet nedenfor: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi kunnskapene fra A.1.c (Dynamisk geometri). FORKLARING For å tegne inn punktet (-2,-4), går du først to steg i negativ x-aksen og deretter 4 steg nedover parallelt med y-aksen: 21

22 NIVÅ A A.2.d: Kan tegne inn punkter i et koordinatsystems fjerde kvadrant: Eksempel-oppgave: Tegn inn punktet C (2,-2) i aksesystemet nedenfor: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi kunnskapene fra A.1.d (Dynamisk geometri). FORKLARING For å tegne inn punktet (2,-2), går du først to steg i positiv x-aksen og deretter 2 steg nedover parallelt med y-aksen: 22

23 NIVÅ B NIVÅ B: LINJER + SIRKLER + VINKLER I nivå A lærte vi hvordan vi kan navigere i et koordinatsystem. Her skal vi utnytte dette til å tegne basis-figurene i all geometri: linjer, sirkler og vinkler. Vi vil også introdusere et nytt begrep: Geometriske steder. Dette begrepet hjelper deg til å løse mer sammensatte oppgaver. 23

24 NIVÅ B B.1: Kunne trekke en linje gjennom to punkter. Eksempel-oppgave. Merk av punktene A: (2,0) og B: (5,1). Tegn en linje gjennom disse punktene. BEGREPER Linje: En rett linje er uendelig lang i begge retninger. En linje har ingen bredde. Vi sier at en linje har én dimensjon. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Det å tegne en linje er grunnlaget for resten av temaet. Vi plasserer punktene i samsvar med A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi bruker det dynamiske geometriprogrammet «GeoGebra». Vi begynner med å velge «Algebrafelt» på «Vis»-menyen. Slik oppgaven er formulert ser det ut som at en skal begynne med å sette av to punkter og deretter trekke en linje gjennom disse. Vi gjør det da slik: Vi setter inn to punkter ved å velge nedtrekksmenyen og velge «Nytt Punkt»: Når vi så har plassert punktene (2,0) og (5,1), velger vi kommandoen «Linje gjennom to punkt». Men vi kan tegne opp linja raskere: Vi begynner med velge kommandoen «Linje gjennom to punkter»: 24

25 NIVÅ B Etter å ha valgt denne kommandoen, får vi veiledning når vi plasserer markøren over nedtrekksmenyen: Vi fortsetter med å velge nettopp (2,0) og (5,1). Da tegnes linja automatisk. (Merk at punktene automatisk får navnene A og B.) Nå ser vi fordelen med å ha åpnet algebrafeltet: Der kan vi kontrollere oss selv at vi har satt av punktene korrekt. 25

26 NIVÅ B B.2: Kunne trekke et linjestykke mellom to punkter. Eksempel-oppgave: Merk av punktene A: (-1,3) og B: (2,3). Tegn linjestykket mellom disse punktene. BEGREPER Linjestykke: En del av en linje som har en bestemt lengde. Et linjestykke er begrenset i begge retninger. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri): Vi tegner en linje, men setter på to punkter som viser hvor linjestykket starter og slutter. FORKLARING Vi gjør akkurat det samme som i B.1 (Dynamisk geometri), med den forskjellen at vi i nedtrekksmenyen velger kommandoen «Linjestykke mellom to punkt» Veiledningen vi får når vi plasserer markøren over nedtrekksmenyen er: Vi velger derfor punktene (-1,3) og (2,3): 26

27 NIVÅ B 27

28 NIVÅ B B.3: Kunne trekke en stråle fra et punkt og gjennom et annet punkt. Eksempel-oppgave: Merk av punktene A: (-4,-2) og B: (-1,1). Tegn en stråle fra A som går gjennom B. BEGREPER Stråle: En del av en linje som er begrenset i den ene retningen. En stråle begynner i et punkt og går uendelig langt i den ene retningen. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri): Vi tegner en linje, men setter på ett punkt som viser hvor strålen starter. FORKLARING Vi gjør akkurat det samme som i B.1 (Dynamisk geometri), med den forskjellen at vi i nedtrekksmenyen velger «Stråle gjennom to punkt». Når vi plasserer markøren over kommandoen, får vi følgende hjelp: 28

29 NIVÅ B Vi markerer derfor punktet (-4,-2) og trykker deretter på punktet (-1,1). I algebrafeltet kan vi kontrollerer om vi har markert de riktige punktene: 29

30 NIVÅ B B.4: Kunne tegne en sirkel med oppgitt radius. Eksempel-oppgave: Sett av A: (3,-2). Tegn en sirkel med A som sentrum og med radius 4,0cm. BEGREPER Geometrisk sted: Samlingen av alle de punktene som oppfyller en bestemt betingelse. Sirkel: Samlingen av alle punkter som ligger i en gitt avstand (for eksempel 3,0 cm) fra et oppgitt punkt. Dette punktet kalles sirkelens sentrum. (Sirkelen kalles «første geometriske sted».) Sirkelperiferien: Når du har tegnet en sirkel, har du også tegnet sirkelperiferien. Det er altså den delen av sirkelskiven som ligger lengst vekk fra sirkelens sentrum. Radius: Linjestykket som går fra sirkelens sentrum og ut til sirkelperiferien. Diameteren: Det lengste linjestykket som går mellom to punkter på sirkelperiferien. Diameteren går gjennom sentrum. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP For å finne alle punktene som ligger i en bestemt avstand fra sentrum, bygger vi på B.2 (Dynamisk geometri). (Det er ikke lett å se når en datamaskin gjør jobben for oss.) Når vi navigerer i et aksesystem, bygger vi på A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren plasserte en markør midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp. Så ga læreren en av elevene en meterstokk og ba denne eleven plassere sin klistrelapp 50 cm fra markøren. Da denne hadde gjort det, fikk to andre elver sjansen til å plassere sine klistrelapper 50 cm fra markøren. Disse elevene plasserte sine klistrelapper slik: 30

31 NIVÅ B Etter at alle elevene hadde plassert sine klistrelapper, så det slik ut: Alle elevene hadde vært svært nøyaktige. Elevene kommenterte at lappene dannet en sirkel. Læreren trakk da en sirkel gjennom alle punktene: Klassen la merke til at alle de andre punktene på sirkel en også lå 50 cm fra markøren. Sirkelen inneholder alle punkter som ligger i en oppgitt avstand til et gitt punkt. 31

32 NIVÅ B Vi skal bruke geogebra til å tegne en sirkel. Vi velger kommandoen «Sirkel definert ved sentrum og radius»: Når vi holder markøren over kommandoen, får vi følgende hjelp: Vi plasserer markøren i punktet (3,-2) og trykker «Enter». Da kommer det opp en dialogboks: 32

33 NIVÅ B Vi skriver nå inn 4.0 som verdi for radien. (Legg merke til at vi bruker den amerikanske måten å skrive komma på: Et punktum. Dersom du skriver med vanlig komma, får du en feilmelding.) KJEKT Å VITE Geometrisk sted: På ungdomsskolen vil du møte fem geometriske steder: Sirkelen, midtnormalen, parallelle linjer og halverings-strålen pluss det som bare kalles «femte geometriske sted». Senere vil du møte parabel, hyperbel og ellipse. Et samlebegrep for rett linje, sirkel, parabel, hyperbel og ellipse kalles kjeglesnitt fordi disse figurene kan framkomme ved å 33

34 NIVÅ B skjære en kjegle med et plan. (Egentlig to kjegler som står rett overfor hverandre og som møtes i topp-punktet.) 34

35 NIVÅ B B.5: Kunne tegne en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Eksempel-oppgave: Slå en sirkel med sentrum i A (-2,-1) og som går gjennom B (0,2). KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.4 (Dynamisk geometri). FORKLARING Dette er en variant av B.4 (Dynamisk geometri). Etter Den ene forskjellen er at en velger kommandoen «Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt». Veiledningen vi får er slik: Vi plasserer markøren i (-2,-1) og trykker slik at vi får sentrum i A. så flytter vi markøren til (0,2) og trykker der. 35

36 NIVÅ B 36

37 NIVÅ B B.6: Kunne tegne en oppgitt vinkel. Eksempel-oppgave: Tegn en linje som går gjennom punktene A: (1,0) og B: (5,2). Tegn en 55 -vinkel i A med AB som høyre vinkelbein. BEGREPER Vinkel: Hvor mye to linjer spriker. Vinklene måles i grader Topp-punkt: Der vinkelbeina møtes. Høyre (hhv Venstre) vinkelbein: Når du står i vinkelens topp-punkt, finner du hvilken av vinkelbeina som er høyre hhv venstre vinkel bein. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri), B.3 (Dynamisk geometri) og, i prinsippet B.4 (Dynamisk geometri). (Fordi en må slå sirkel-bue med en bestemt lengde, som er avhengig av hvor stor vinkelen skal være.) Det siste synes ikke, fordi geogebra-programmet gjør arbeidet for oss. FORKLARING Vi begynner som i B.1 (Dynamisk geometri), tegner vi en linje gjennom (1,0) og (5,2). Vi velger så kommandoen «Vinkel med fast størrelse»: Veiledningen vi får er: 37

38 NIVÅ B Topp-punktet er A (1,0). Derfor markerer vi først B, deretter A, før vi får denne dialogboksen: Geogebra forslår automatisk en vinkel på 45 og at vinkelen skal gå mot klokka. Vi må skrive inn 55. Siden AB skal være høyre vinkelbein, beholder vi avkrysningen på «mot klokka». Resultatet blir: Lengden AB er den samme som AB! 38

39 NIVÅ B En har for så vidt løst oppgaven, men en kan gjøre besvarelsen tydeligere. Vi trekker opp strålen AB, B.3 (Dynamisk geometri). Mens punktet B er markert, høyreklikker vi og velger å trykke av «Vis objekt». Deretter markerer vi vinkelen og høyreklikker og velger «Egenskaper». Her har vi flere valgmuligheter på hver av mappene. Sluttresultatet kan bli slik: 39

40 NIVÅ B B.7: Finne punkter som ligger i gitte avstander fra to punkter. Eksempel-oppgave: Finn de punktene som ligger 4,2cm fra A (3,1) og 3,1cm fra B (0,-2). KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på at en sirkel er først geometriske sted, B.4 (Dynamisk geometri); - og på definisjonen på hva et punkt er, se A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING Siden vi skal finne punkter som ligger 4,2 cm fra A, må vi slå en sirkel med A som sentrum og med radius 4,2 cm. Dermed finner vi alle punktene som ligger slik. På samme måten må vi slå en sirkel rundt B med radius 3,1 cm. Skjæringspunktene mellom disse to sirklene vil da ligge både 4,2 cm fra A og 3,1 cm fra B: Vi skal markere skjæringspunktene for å gi et fullstendig svar. Vi velger derfor kommandoen «Skjæring mellom to objekt» (De to objektene er sirklene.) Nå markerer vi skjæringspunktene. Ved hjelp av «Egenskaper», kan vi framheve disse skjæringspunktene: 40

41 NIVÅ B 41

42 NIVÅ B 42

43 NIVÅ C NIVÅ C: SPEILING + NORMALER + TREKANT M/HJELPEFIGUR Til nå har vi lært å navigere i et aksesystem og å lage de grunnleggende figurene: Linje, linjestykke, stråle og sirkel. Dermed kan vi utføre en del operasjoner. Når vi bruker geogebra virker det enkelt å få til disse operasjonene. Men det er viktig å forstå hva speiling er og egenskapene til normaler. Vi skal også bruke kunnskapene fra nivå B til å tegne en trekant ut fra opplysninger om lengder, vinkelstørrelser og normaler. 43

44 NIVÅ C C.1:I et rutenett: Kunne speile en figur om et punkt. Eksempel-oppgave: Speil denne trekanten om punkter P: BEGREPER Speilingspunkt: Det punktet en skal speile de andre punktene om. Originalobjektet: Figuren som skal speiles. Her: Trekanten ABC. Kopiobjektet: Svaret på oppgaven. Speiling om et punkt: Å flytte et punkt langs en linje som går gjennom originalpunktet og speilingspunktet til et kopipunkt og hvor avstanden mellom kopipunktet og speilingspunktet blir like langt som mellom originalpunktet og speilingspunktet. Mangekant (trekant, firkant): En figur avgrenset av tre (fire) rette linjestykker som møtes i tre (fire) punkter. Mangekanten får navn etter navnet på hjørnene. Mangekantens hjørner: Navnet på hjørnene er store enkeltbokstaver: A, B, C, D o.s.v. Disse navnene plasseres alltid mot klokka. Mangekantens sider: De tre linjestykkene som avgrenser trekanten. Sidene får navn ut fra hjørnene de er mellom: AB er siden som går fra hjørnet A til hjørnet B. Siden i en mangekant kan også få et navn uavhengig av hjørnene. Da brukes små bokstaver Kongruens: To figurer er kongruente når de har samme form og er like store. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.3 (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi skal først se på hva speiling om et punkt er i et rutenett: 44

45 NIVÅ C Vi speiler ved å flytte hvert punkt langs en stråle. Punktet A flyttes langs en stråle som går fra A og gjennom P. Det ender i et punkt, A, slik at AP er like lang som A P. For å få disse linjestykkene til å bli like lange kan vi bruke rutenettet: Vi ser at fra A til speilingspunktet er det fem ruter bort og en rute opp. Da går vi fem ruter bort og en rute opp fra P og plasserer A. Så gjør vi det samme med de andre punktene. Figuren blir seende slik (hvor vi har sløyfet hjelpestrålen og hjelpelinjene): Vi har altså følgende regel: Når vi speiler en figur om et punkt: 1. Originalpunktene og kopipunktene er like langt fra speilingspunktet. 2. Original-linjestykket og kopi-linjestykket er like lange. 3. Vinklene i originalfiguren og i kopifiguren er like store. 4. Originalfiguren og kopifiguren er kongruente (like store og har samme form). SPEILING OM ET PUNKT ER EN KONGRUENSAVBILDNING 45

46 NIVÅ C C.2:Kunne speile en figur om et punkt. Eksempel-oppgave: Tegn en trekant ABC hvor A er (2,4), B er (-1,1) og C er (1,-2). Speil trekanten om punktet (5,2) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Dynamisk geometri). FORKLARING Geogebra utfører speiling om et punkt svært raskt: Vi begynner med å velge kommandoen «Mangekant» og kan få følgende veiledning: Vi plasserer trekanten med hjørnene slik oppgaven ber oss om. Så velger vi kommandoen «Speil objekt om punkt», som gir oss følgende hjelp: 46

47 NIVÅ C Vi markerer trekanten og trykker på punktet (5,2). Løsningen ser slik ut (dersom vi vil bruke litt farger): 47

48 NIVÅ C C.3: Finne punktsymmetri Eksempel-oppgave: Er rektangler punktsymmetriske? BEGREPER Punktsymmetri: En figur er punktsymmetrisk dersom du kan speile figuren om et punkt slik at kopifiguren dekker originalfiguren helt. Symmetripunkt: Speilingspunktet i en punktsymmetrisk figur. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Dynamisk geometri) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere, i dette tilfellet rektangler, se A.1 (Lengde Areal Volum). FORKLARING Vi legger merke til at figuren i oppgaven er et rektangel. Vi leter etter et punkt som vi kan speile rektangelet om slik at kopirektangelet dekker akkurat originalrektangelet. Vi tegner et rektangel i geogebra og et tilfeldig valgt speilingspunkt: Så speiler vi rektangelet om speilingspunktet. For å se forskjellen mellom originalen og speilingsrektangelet, har vi farget speilingsfiguren grønn: 48

49 NIVÅ C Vi drar nå speilingspunktet slik at speilingsfiguren nærmer seg originalen: Til slutt vil speilingsfiguren dekke originalen helt. Hvor er speilingspunktet? Speilingspunktet er nå i midten av figuren. Det finnes et punkt som en kan speile et rektangel om slik at speilingsfiguren dekker originalfiguren helt. Altså er et rektangel punktsymmetrisk! KJEKT Å VITE Vi kunne ha kommet fram til dette ved å se på egenskapene til et rektangel: Vi repeterer om rektangler (se A.1 (Lengde Areal Volum)): Diagonalene i et rektangel skjærer hverandre slik at begge diagonalene blir halvert: Når vi speiler rektangelet om dette punktet, vil hjørnene dekke hverandre. Svaret på oppgaven blir derfor: Rektangler er punktsymmetriske med diagonalenes skjæringspunkt som symmetripunkt. 49

50 NIVÅ C C.4. Kunne tegne en midtnormal. (Andre geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Tegn linjestykket mellom A: (-2,3) og B: (1,0). Tegn midtnormalen på dette linjestykket. BEGREPER Normal: En linje som danner en 90 -vinkel med en annen linje. To linjer som danner en 90 - vinkel står altså normalt (eller perpendikulært) på hverandre. Rett vinkel: Det samme som en 90 -vinkel. Midtnormal: En rett linje som står normalt på et linjestykke slik at den deler linjestykket på midten. Eller: Samlingen av de punkter som ligger like langt fra to oppgitte punkter. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I prinsippet skal vi finne punkter som ligger like langt fra to oppgitte punkter. Da bygger vi på B.7 (Dynamisk geometri), hvor avstanden er den samme i begge sirklene vi slår. Deretter bruker vi B.1 (Dynamisk geometri) til å trekke linja som er svaret på oppgaven. I praksis er det programmet som trekker opp midtnormalen. Derfor ser en ikke så lett koplingen til de to stegene. Når vi plasserer punktene i aksesystemet, bygger vi på A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren plasserte to markører midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp: Så ga han en elev om å plassere sin klistrelapp slik at den var like langt fra begge markørene. Denne eleven plasserte klistrelappen midt mellom de to markørene: 50

51 NIVÅ C Læreren spurte om andre ville prøve seg på legge på en klistrelapp. En elev foreslo: Medelevene målte nøye med metermål om den nye klistrelappen lå like langt fra begge begge markørene. Etter en kort diskusjon, slo de fast at den gjorde det. Nå la alle elevene på sine klistrelapper. For hver ny lapp som ble lagt ned, kontrollerte og eventuelt justerte lappene slik at de lå like langt fra begge markørene. Slik så det ut til slutt: Elevene la merke til at lappene nå lå på en rett linje. Læreren trakk så den rette linja. Et par elever sa at den rette linja dannet 90 med linjestykket mellom de to markørene. Læreren trakk opp denne linja også: 51

52 NIVÅ C Klassen la merke til at alle de andre punktene på linja lå like langt fra de to markørene. Midtnormalen inneholder alle punkter som ligger like langt fra to gitte punkter. I geogebra er det en funksjon som heter «Midtnormal». Vi finner kommandoen som heter «Midtnormal». Den gir oss følgende hjelp: 52

53 NIVÅ C Vi trykker på linjestykket, og dermed har vi løsningen (som vi har pyntet med farger for å markere løsningen): 53

54 NIVÅ C C.5: Kunne tegne en normal fra et punkt på en linje eller fra et punkt til en linje. Tegn en rett linje som går gjennom A: (-3,0) og B: (2,4). Sett av punktet P: (0,5). Tegn en normal fra P ned på linja. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I prinsippet bygger vi på C.4 (Dynamisk geometri) hvor vi gikk gjennom hvordan en tegner en midtnormal. Men ettersom et program tegner normalen for oss, blir det ikke lett å se denne sammenhengen. For å plassere punktene i aksesystemet, bruker vi A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri). FORKLARING Dersom vi skulle konstruere en normal ved hjelp av passer og linjal, måtte vi skille mellom å «oppreise en normal» (konstruere en normal fra et punkt på linja) og «nedfelle en normal» (konstruere en normal fra et punkt utenfor linja til linja). I begge tilfeller ville vi brukt egenskapene til en midtnormal. Når vi nå skal bruke geogebra, blir ikke dette to ulike konstruksjoner. Her bruker vi den samme kommandoen. Men vi starter med å tegne linja gjennom AB og punktet P (0,5). Deretter finner vi kommandoen «Normal linje», som gir følgende hjelp: Vi trykker derfor på punktet (her: (5,0)) og på linja. Med litt farger blir resultatet slik. 54

55 NIVÅ C 55

56 NIVÅ C C.6: Kunne tegne en trekant ut fra en hjelpefigur. Her er en hjelpefigur til ABC? Tegn trekanten. C 75 3cm A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.2 (Dynamisk geometri), B.6 (Dynamisk geometri) og C.5 (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi har ikke fått noen instruks om hvor i aksesystemet trekanten skal ligge. Da haker vi ut symbolet for å vise aksesystemet:. Dessuten haker vi ut symbolet for rutenettet: Vi tegner nå inn linjestykket BC. Vi kan velge «Linjestykke med fast lengde»: Vi plasserer markøren på et punkt som vi velger og klikker. Vi får opp en dialogboks som ber oss om å gi lengden på linjestykket: 56

57 NIVÅ C Når vi trykker «Enter» får vi et linjestykke som ligger horisontalt. Vi ønsker at linjestykket skal være vertikalt. Vi får til det ved å trykke på «esc»-knappen. Da kan vi dreie linjestykket til ønsket stilling uten at det endrer lengde. Vi endrer navn på linjestykkets endepunkter: Nå bruker vi C.5 (Dynamisk geometri) for å lage en normal i B og B.6 (Dynamisk geometri) til å lage en 75 -vinkel i C. Da får vi to stråler. Der disse møtes, ligger A. Vi markerer vinkelstørrelser og lengder for å få fram trekanten. Oppsummert kan vi figuren tegnes slik: Slik kan du bruke geogebra: 1. Sett av et linjestykke som er oppgitt. Her: BC = 3cm. 2. Tegn vinkler som er oppgitt. Her: C = 75 og B = Dersom du skal sette av en lengde, gjør du det ved å tegne ensirkel med sentrum i et hjørne og radius lik lengden på siden. 4. Der linjer/stråler møtes, er det siste punktet. 57

58 NIVÅ C C.7: I et rutenett: Kunne speile en figur om en linje. Eksempel-oppgave: Speil denne trekanten om linjal l: BEGREPER Speilingslinja: Den linja en skal speile figuren/punktene om. Her: «l». Avstand: Avstand fra et punkt til en linje er lengden av normalen fra punktet til linja. Fotpunktet til en normal: En normal står alltid 90 på en linje. Fotpunktet for normalen er der normalen skjærer linja. Speiling om en linje: Å flytte et punkt langs en linje som går gjennom originalpunktet, normalt på speilingslinja til et kopipunkt og hvor avstanden mellom kopipunktet og speilingslinja blir like langt som mellom originalpunktet og speilingslinja. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I prinsippet bygger vi på B.3 (Dynamisk geometri), B.5 (Dynamisk geometri) og C.5 (Dynamisk geometri). Fordi vi har et rutenett, blir ikke strålene, sirklene og normalene tegnet. FORKLARING Vi går gjennom prinsippene for speiling om linje ved å se på en trekant i et rutenett: Løsningen kan du få fram ved å bruke et speil, eller du kan brette arket om speilingslinja. Du vil oppdage at hvert av speilingspunktene ligger like langt fra speilingslinja som originalpunktene lå. Dessuten vil punktene bevege seg langs en linje som står normalt på speilingslinja. Ettersom vi skal speile i et rutenett, kan vi telle antall ruter mellom originalpunktet og speilingslinja. Speilingspunktet ligger like mange ruter på den andre siden av speilingslinja. 58

59 NIVÅ C Vi ser følgende: Når vi speiler en figur om en linje: 1. Original-linjestykket og kopi-linjestykket er like lange. 2. Vinklene i originalfiguren og i kopifiguren er like store. 3. Originalfiguren og kopifiguren er kongruente (like store og samme form). SPEILING OM LINJE ER EN KONGRUENSAVBILDNING 59

60 NIVÅ C C.8: Kunne speile en figur om en linje. Eksempel-oppgave: Speil ABC om linja som går gjennom (-1,-6) og (3,-2). (A er (-2,-1), B er (3,0) og C er (0,2).) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på de samme prinsippene som vi gjorde i C.7 (Dynamisk geometri). Heller ikke her ser vi ikke strålene, normalene eller sirklene: Programmet utfører dette for oss. For øvrig bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri) og C.2 (Dynamisk geometri). For å plassere punktene i aksesystemet, bruker vi A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri). FORKLARING Om en bruker passer og linjal eller et dynamisk geometriprogram, vil disse reglene bli fulgt: Punktene speiles ved å forflytte seg langs normaler. Forskjellen er disse normalene synes ikke når vi bruker et dynamisk geometriprogram. Vi tegner speilingslinjen slik vi gjorde i B.1 (Dynamisk geometri) og figuren som skal speiles slik vi gjorde i C.2 (Dynamisk geometri). Så velger vi «Speil objekt om linje» fra nedtrekksmenyen og får denne hjelpen: Nå merker vi trekanten og deretter trykker på speilingslinjen: Resultatet blir: 60

61 NIVÅ C 61

62 NIVÅ C C.9: Finne linjesymmetri. Eksempel-oppgave: Tegn symmetrilinjene i denne figuren: BEGREPER Linjesymmetri: En figur er linjesymmetrisk dersom du kan speile figuren om en linje slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Symmetrilinje: Linja i en linjesymmetrisk figur som du kan speile figuren om slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Regulær mangekant: En mangekant (trekant, firkant, femkant o.s.v.) hvor alle sidene er like lange og alle vinklene er like store. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.5 (Dynamisk geometri), C.8 (Dynamisk geometri) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere. FORKLARING Vi legger merke til at figuren i oppgaven er en regulær femkant. Vi ser at det er fem symmetrilinjer i denne figuren: (Du trenger ikke å bevise at midtnormalene på hver side er en symmetrilinje.) 62

63 NIVÅ D NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, FORSVINNINGSPUNKTER, HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR, Vi fortsetter å tegne trekanter, men nå uten hjelpefigur: Den må du tegne selv. Og nå skal du tegne trekanter hvor du må anvende de geometriske stedene. Vi har lært to «geometriske steder»: Sirkelen og midtnormalen. Her skal vi gi det tredje og fjerde: Parallelle linjer og halverings-strålen. Vi skal også lære å finne forsvinningspunkter og horisontlinje og å konstruere sirkelsektor. 63

64 NIVÅ D D.1: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, tegne en trekant. Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,2cm, AC = 6cm og A = 60. Tegn denne trekanten. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Forskjellen på dette steget og på C.6 (Dynamisk geometri), er at her får vi ikke hjelp av en ferdiglaget hjelpefigur. Dersom vi klarer å lage en brukbar hjelpefigur, har vi samtidig klart å redusere vanskeligheten til nettopp C.6 (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi skal gå grundig gjennom hvordan en kan lage en brukbar hjelpefigur. Vi tegner hjelpefiguren på papir med blyant eller penn. Legg merke til at vi ikke forlanger at hjelpefiguren skal være nøyaktig lik den ferdige trekanten. Det er ikke feil å tegne en trekant og sette på lengder etterpå, men vi anbefaler å tegne hjelpefiguren stegvis mens vi leser teksten. Vi plukker ut den opplysningen som vi vil starte med. Her vil vi starte med AB = 5,2 cm: A 5,2cm B (Legg merke til at vi har skrevet på navn på punkter og lengde av figuren.) Den neste 0 opplysningen vi vil ta med er at A 60 : 60 A 5,2cm B Til slutt setter vi av C og skriver på at AC = 6 cm. Samtidig tekker vi opp BC. Den ferdige hjelpefiguren ser da ut slik: C 6cm 60 A 5,2cm B Dermed har vi fått en oppgave som vi løser som en C.6 (Dynamisk geometri)-oppgave. Og nå kan vi konstruere trekanten i samme rekkefølge som vi har tegnet hjelpefiguren: 64

65 NIVÅ D Slik kan du bruke geogebra: 1. Tegnet AB=5,2cm som «linjestykke med fast lengde», C.6 (Dynamisk geometri). 2. Tegnet 60 o -vinkel i A, B.6 (Dynamisk geometri). 3. Tegnet sirkel med radius 6 cm og med sentrum i A, B.4 (Dynamisk geometri). 4. Trakk opp trekanten som «Mangekant», C.2 (Dynamisk geometri). 65

66 NIVÅ D D.2: Tegne trekant som oppfyller andre geometriske sted. Eksempel-oppgave: Punktet A er (-4,0), B er (1,0). I ABC er C like langt fra A som fra B. 0 A 60. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger på C.4 (Dynamisk geometri) i tillegg til D.1 (Dynamisk geometri). FORKLARING Siden vi her skal bruker aksesystemet, trenger vi ikke hjelpefigur. I C.4 (Dynamisk geometri) sa vi at midtnormalen er samlingen av alle punkter som ligget like langt fra to punkter, for eksempel A (-4,0) og B (1,0). Punktene vi leter etter må altså ligge på midtnormalen mellom A og B. Vi plotter derfor inn disse punktene og lager midtnormalen mellom A og B: Vi bruker nå B.6 (Dynamisk geometri) til å lage vinkelen i A. Deretter trekker vi opp trekanten: 66

67 NIVÅ D KJEKT Å VITE Vi merker oss et følgende moment i det vi skulle finne punktet C i denne oppgaven: Da vi tegnet 60 -vinkelen i A, gjorde vi det ved å velge B som startpunkt og A som topp-punkt. Geogebra plasserer så B slik at AB =AB (se B.6 (Dynamisk geometri)). B faller akkurat på midtnormalen og er punktet C som vi er på jakt etter. Dette er ingen tilfeldighet: Siden C ligger på midtnormalen (og like langt fra A som fra B), må midtnormalen være symmetrilinje for ABC. Da må A B Siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180, må A B C Da må også normalen fra B på AC også være en symmetrilinje. Da er AB=BC=AC. Ettersom geogebra lager AB =AB, må C være det samme punktet som B 67

68 NIVÅ D D.3: Kunne tegne en parallell linje til en oppgitt linje gjennom et gitt punkt. (Tredje geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Linja a går gjennom punktene (3,-2) og (0,4). Tegn en parallell linje til a gjennom punktet (6,3). BEGREPER Parallelle linjer: To linjer som aldri møtes. Eller: Samlingen av de punkter som ligger i en gitt avstand fra en rett linje. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri) og C.5 (Dynamisk geometri). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren la en planke midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp: Så ga han en elev om å plassere sin klistrelapp slik at den lå 50 cm fra planken. Elevene lurte litt på hva det skulle bety, og læreren sa at avstanden fra klistrelappen og rett ned på planken skulle være 50 cm. De fem første elevene la sine klistrelapper slik: Da kom det en elev som plasserte sin lapp på den andre siden av planken. Etter at alle elevene hadde lagt sine klistrelapper ned, var situasjonen slik: 68

69 NIVÅ D Elevene la merke til at lappene nå lå på to rett linjer som var parallelle med planken. Læreren trakk så de rette linjene med rød tusj: Elevene var enige om at alle punktene på de røde linjene lå 50 cm fra planken: Alle punkter som ligger med en oppgitt avstand fra en gitt linje, ligger på to linjer som er parallelle med den opprinnelige linja. Vi så at det finnes to parallelle linjer til en oppgitt linje. Men her er vi bare interessert i den linja som går gjennom (6,3). I geogebra lager programmet en parallell linje dersom vi markerer hvilket punkt den parallelle linja skal gå gjennom. Vi begynner med å tegne opp linja a og merker av punktet (6,3): 69

70 NIVÅ D Vi velger kommandoen «Parallell linje», hvor vi får følgende hjelp: Vi skal altså først trykke på punktet (6,3) og deretter på linja a: 70

71 NIVÅ D D.4: Kunne tegne en parallell linje i en gitt avstand til en oppgitt linje. Eksempel-oppgave: Linja a går gjennom punktene (0,-2) og (3,1). Tegn en parallell linje til a i en avstand 2,9 cm. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I tillegg til å tegne en rett linje, bygger vi her på B.4 (Dynamisk geometri), C.5 (Dynamisk geometri) og D.3 (Dynamisk geometri). FORKLARING I forrige steg fikk vi hjelp av programmet for å tegne den parallelle linjen. Her må vi bruke egenskapene til parallelle linjer for å løse oppgaven. Den største forskjellen fra D.1 (Dynamisk geometri), er at du her må finne det punktet som de parallelle linjene skal gå gjennom. Vi begynner med å tegne opp linja a: Den parallelle linja skal ha en avstand til linja a på 2,9cm. Ettersom avstander alltid måles langs normaler, må vi lage en normal til et punkt på linja. (Denne normalen er en hjelplinje, derfor tegner vi den stiplete: 71

72 NIVÅ D Vi tegner nå en sirkel med radius 2,9cm med sentrum i fotpunktet for normalen: Vi markerer nå skjæringspunktene mellom denne sirkelen og normalen. Det blir punktene som de parallelle linjene skal gå gjennom. Vi finner de parallelle linjene ved å bruke D.1 (Dynamisk geometri). 72

73 NIVÅ D 73

74 NIVÅ D D.5: Kunne tegne trekanter som oppfyller de tre første geometriske stedene. Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,4cm. C ligger 3,2 cm fra AB og 4,6 cm fra A. Vinkel A er spiss. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I denne oppgaven bygger vi på det å tegne hjelpefigur: D.1 (Dynamisk geometri). Vi bruker også dette steget for å sette av lengder og vinkler. Avhengig av oppgaveteksten, vil vi bygge på B.5 (Dynamisk geometri) og B.6 (Dynamisk geometri) for å tegne sirkler, C.4 (Dynamisk geometri) og C.5 (Dynamisk geometri) for å tegne midtnormaler/normaler og D.3 (Dynamisk geometri) og D.4 (Dynamisk geometri) for å tegne parallelle linjer. FORKLARING Utfordringen i dette steget er å bestemme hvilket/hvilke geometriske sted(er) som skal anvendes i den konkrete oppgaven. Det finner du ved å lese teksten grundig: Geometrisk sted Egenskap Eksempel på formulering Sirkel Oppgitt avstand fra et punkt. «B ligger 5cm fra A» «AB = 5cm» Midtnormal Like langt fra to oppgitte punkter. «C ligger like langt fra A som fra B.» Parallell linje Oppgitt avstand fra en gitt linje «C ligger 4 cm fra AB» I denne oppgaven skal vi bruke sirkel og parallell linje.vi tegner hjelpefiguren slik: 4,6cm 3,2cm Slik kan du bruke geogebra: 1. Tegnet AB = 5,4cm, «linjestykke med fast lengde», D.1 (Dynamisk geometri). 2. Slo sirkel med radius 4,6cm og med sentrum i A, oransje farge, B.5 (Dynamisk geometri). 3. Tegnet parallell linje til AB i avstand 3,2cm, grønn farge, D.4 (Dynamisk geometri). 4. Tegnet normalen CE. 74

75 NIVÅ D D.6: Ut fra bilde, tegne på forsvinningspunkter og horisontlinje. Eksempel-oppgave: Se på dette bildet: Tegn inn forsvinningspunkter og horisontlinje. BEGREPER Perspektivtegning: En tegning hvor linjer som er parallelle i virkeligheten tilsynelatende kommer stadig nærmere hverandre og til slutt møtes. Forsvinningspunkt: Punktet hvor forlengelsen av parallelle linjer møtes i en perspektivtegning. Horisontlinje: En vannrett (horisontal) linje gjennom perspektivtegningens forsvinningspunkter. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi kunnskapen om hvordan perspektivtegning skaper romfølelse. Vi bruker B.1 (Dynamisk geometri) flere ganger. FORKLARING I virkelighetens verden vil taket, verandaen og grunnmuren være parallelle. Vi trekker derfor rette linjer gjennom disse parallelle linjene. Der disse linjene skjærer hverandre, har vi forsvinningspunktene (markert med røde sirkler). Forbindelseslinja mellom forsvinningspunktene er horisontlinja. 75

76 NIVÅ D D.7: Kunne halvere en gitt vinkel. Merk av tre punkter, A (-2,-1), B (0,1) og C (-1,4). Halver ABC. BEGREPER Halveringsstråle: En stråle som deler en vinkel i to like store vinkler. Eller: Samlingen av de punkter som har samme avstand til to linjer. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Dynamisk geometri) og C.7 (Dynamisk geometri). Ettersom geogebra løser oppgaven uten at vi ser denne sammenhengen, viser vi sammenhengen i forklaringen. FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren la to planker midt på gulvet slik at de krysset hverandre og ga hver elev en klistrelapp: Så ba læreren elvene plassere sine klistrelapper slik at de lå midt mellom begge plankene. De første forslagene var slik: Det ble en del diskusjon om hva «avstand» er. Læreren måtte presisere at «avstand» var lengden fra klistrelappen rett ned (eller bort) til planken. 76

77 NIVÅ D Elevene var nøye med å kontrollere at disse klistremerkene lå like langt fra begge plankene. De gjorde det. Etter hvert kom klassen i gang, og til slutt så det slik ut: Elevene la merke til at lappene dannet en rett linje. Læreren trakk en linje gjennom klistrelappene med en rød tusj: Klassen undersøkte punkter på den røde linja hvor det ikke var klistrelapp også lå like langt fra begge plankene. De gjorde det. Læreren anbefalte elevene å måle vinklene mellom planken ved hjelp av en tavlevinkelmåler. Elevene fant ut at vinkelen var blitt halvert. Alle punkter som ligger like langt fra to kryssende linjer, ligger på halveringsstrålen for den mellomliggende vinkelen. Vi går over til å løse eksempel-oppgaven. Geogebra har en egen kommando som halverer vinkler. Vi tegner inn punktene i aksesystemet, trekker linjene AB og BC. Så velger vi «Halveringsstråle for vinkel», hvor vi blir bedt om å velge tre punkter eller to linjer: 77

78 NIVÅ D Når vi gjør det, får vi dette svaret: KJEKT Å VITE Vi påsto også at alle punktene på halveringsstrålen ligger like langt fra begge linjene. Det har vi ikke bevist. I beviset skal vi bruke kongruens; - vi skal bruke en av fire viktige regler, de såkalte kongruenssetningene. De lyder slik: 78

79 NIVÅ D To trekanter er kongruente dersom enten 1. En side i begge trekantene er like stor og to av vinklene er like store eller 2. To sider i begge trekantene er like store og den mellomliggende vinkelen er like stor eller 3. To sider i begge trekantene er like store og den lengste sidens motstående vinkel er like stor eller 4. Alle tre sidene i begge trekantene er like store. Vi må også huske at avstanden fra et punkt til en linje er lik lengden av normalen fra et punkt på linja. Se på denne tegningen: Vi må altså bevise at et tilfeldig valgt punkt, P, ligger like langt fra AM som fra AN. I praksis betyr det at vi må bevise at PM = PN Forutsetningen er at geogebra har halvert vinkelen. Påstand: PM = PN Bevis: Det holder å bevise at APM APN fordi da følger påstanden umiddelbart. APM APN fordi: MAP NAP fordi AP halverer A. 0 AMP ANP 90 AP er felles i begge trekantene. Trekantene er kongruente ut fra 1.kongruenssetning. 79

80 NIVÅ D D.8: Kunne tegne en sirkelsektor. Eksempel-oppgave: Merk punktet (0,3). Merk av sektoren som har radius 4,ocm og en vinkel på 45. BEGREPER Sentralvinkel: En vinkel i en sirkel med topp-punkt i sentrum. Vinkel v er en sentralvinkel: Sirkelsektor: Den delen av en sirkel som er innenfor en sentralvinkel. Sektoren er den delen av en sirkel som ligger mellom to radier og periferien: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.4 (Dynamisk geometri) og B.6 (Dynamisk geometri). FORKLARING Geogebra har en egen kommando som tegner sektorer. Den vanligste kommandoen forutsetter at vi har sentrum og de to punktene på periferien som avgrenser sektoren. Ettersom oppgaveteksten gir oss bare sentrum (0,3) og radiens lengde, velger vi å plassere det ene punktet på periferien i (4,3). Deretter lager vi en vinkel på 45, se B.6 (Dynamisk geometri). Så velger vi «Sirkelsektor definert av sentrum og to punkt»: 80

81 NIVÅ D Vi trykker (0,3) og på B og B. (Husk at geogebra plasserer B slik at AB=AB. Dermed ligger B på sirkel-periferien.) 81

82 NIVÅ E NIVÅ E: LIKE STORE VINKLER, ROTASJON, SAMSVARENDE VINKLER MELLOM PARALLELLE LINJER OG TREKANTKONSTRUKSJON, FIRKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, PERPEKTIVTEGNING M/ETT FORSVINNINGSPUNKT, FEMTE GEOMETRISKE STED. Hvordan lager man en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel? Det er det første temaet vi går gjennom på dette nivået. Vi har lært punktsymmetri og linjesymmetri. Det siste momentet i dette deltemaet er «rotasjonssymmetri». Et svært viktig begrep er «samsvarende vinkler». Det kan brukes til å løse oppgaver på en enkel og elegant måte. Her skal du dessuten tegne firkanter. Hjelpemiddelet er enkelt: Start med en trekant og bygg på en ny trekant. Dermed har du en metode hvor du kan tegne femkanter, sekskanter Dessuten skal vi også utvikle perspektivtegning: Vi skal ikke bare studere andres tegninger, men selv utføre en slik tegning. Du har lært fire geometriske steder: Sirkel, midtnormal, parallelle linjer og halveringsstråle. Her møter du enda et, som har fått navnet «femte geometriske sted». 82

83 NIVÅ E E.1: Tegne en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel. Eksempel-oppgave: Sett av fire punkter, A (-3,0), B (-1,-1), C (-2,2) og D (3,-2). Tegn opp ABC. Tegn BDE som er like stor som ABC. BEGREPER Korde: Et linjestykke som går mellom to punkter på sirkelen. Det røde linjestykket er en korde: En vinkels størrelse: Vi har mange ganger fortalt hvor stor en vinkel er: For eksempel 60 o eller 90 o. Dette baserer seg på at en sirkel er definert som 360 o. Sirkelen er da delt inn i 360 like store sektorer. En vinkel kan måles ved hjelp av disse sektorene. Til det trenger vi en gradskive. I geogebra måler vi en vinkels størrelse ved hjelp av passeren og måler da lengden på korden som hører til. For å sammenlikne vinkler, kan vi sammenlikne kordene. Men da må radiene i de tilhørende sirklene være like store! KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.4 (Dynamisk geometri) og på B.5 (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi setter av de nevnte punktene i et aksesystem: Ettersom vi skal tegne en vinkel (med D somtopp-punkt) som er like stor som vinkelen som har B som topp-punkt, tegner vi en sirkel med B som sentrum og en sirkel med D som sentrum. Disse to sirklene må ha samme radius, for eksempel 1cm: Nå velger vi kommandoen «Passer» i verktøy-menyen og ser etter hva den instruerer oss: 83

84 NIVÅ E Denne passeren kan vi bruke til å måle avstander. Da må vi markere de to punktene hvor sirkelen rundt B skjærer vinkelbeina og punktet hvor sirkelen rundt D skjærer BD: Nå trykker vi på «Passer» og trykker på de to markerte punktene på sirkelen som er rundt B. Da tegner geogebra en sirkel. Denne sirkelen flytter vi til det markerte punktet på sirkelen om D: 84

85 NIVÅ E Når vi trekker opp strålen fra D gjennom det nye punktet, har vi løst oppgaven: 85

86 NIVÅ E E.2: Kunne rotere en figur om et punkt: Eksempel-oppgave: Sett av et punkt, P i (1,0). Tegn et kvadrat ABCD hvor A er (3,0) og B er (6,0). Roter kvadratet 65 mot klokken om punktet P. BEGREPER Rotere: Å dreie en figur om et punkt. Figuren forandrer ikke form eller størrelse. Rotasjonspunktet: Det punktet en skal rotere figuren/punktene om. Her: «P». KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I prinsippet bygger vi på B.6 (Dynamisk geometri). Geogebra har en egen kommando for rotasjon. FORKLARING Vi tegner inn kvadratet ved å bruke kommandoen «Regulær mangekant», som gir følgende hjelp: Vi trykker på (3,0) og (6,0) og får følgende dialogboks: Geogebra foreslår selv 4 hjørner. Det er det vi skal ha, og trykker «Enter». Programmet tegner da kvadratet vi skal rotere. Nå finner vi kommandoen «Roter objekt om punkt med fast vinkel». 86

87 NIVÅ E Når vi har tegnet et objekt enten som «Mangekant» eller som «Regulær mangekant», kan vi trykke på kvadratet. Deretter trykker vi på P (som er sentrum). Vi får følgende figur med dialogboks: Vi endrer rotasjonsvinkelen til 65 og trykker «Enter». Vi får dermed løsningen: 87

88 NIVÅ E E.3: Finne rotasjonssymmetri: Eksempel-oppgave: Hvordan er denne figuren rotasjonssymetrisk? BEGREPER Rotasjonssymmetri: En figur er rotasjonssymmetrisk dersom du kan rotere figuren i en eller annen vinkel slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på E.2 (Dynamisk geometri) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere. FORKLARING Figuren i eksempel-oppgaven består av to piler som er forbundet med et linjestykke som står 90 o på pilene. Pilene er altså parallelle. Pilene er også like lange. Da ser vi at kan rotere figuren 180 o om midtpunktet på linjestykket: Legg merke til at figuren også er punktsymmetrisk: Alle figurer som er punktsymmetriske er også 180 o rotasjonssymmetriske. Vi kan også merke oss at et kvadrat er rotasjonssymmetrisk med flere vinkler: 90 o, 180 o og 270 o. Et rektangel er rotasjonssymmetrisk med vinkelen 180 o, mens en likesidet trekant er rotasjonssymmetrisk med vinklene: 120 o og 240 o. 88

89 NIVÅ E E.4: Kunne tegne trekanter hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarende vinkler: Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,7cm, A 60 og C 72,5. BEGREPER Nabovinkler: Når to linjer krysser hverandre, dannes det fire vinkler. To vinkler som ligger rett ved siden av hverandre, kalles nabovinkler: Nabovinkler danner alltid 180 tilsammen Topp-vinkler: Når to linjer krysser hverandre, dannes det fire vinkler. De to vinklene som står rett overfor hverandre, kalles topp-vinkler: Toppvinkler er alltid like store Beviset for denne regelen går slik (se figuren nedenfor): Vinklene «u» og «v» er nabovinkler. Da gjelder: u + v = 180 o. Vinklene «w» og «v» er også nabovinkler: w + v = 180 o Altså: u + v = w + v Jeg trekker fra «v» på begge sider av likhetstegnet. Da må: u = w 89

90 NIVÅ E Samsvarende vinkler: To vinkler som har ett vinkelbein felles og dette er høyre eller venstre vinkelbein i begge vinklene. l Her er «a» og «b» samsvarende vinkler fordi linja «l» er felles for begge vinklene og «l» er venstre vinkelbein for både «a» og «b». Dessuten er «a» og «c» også samsvarende fordi linja «l» er venstre vinkelbein for begge vinklene. På samme måte er «u» og «v» samsvarende: Linja «l» er høyre vinkelbein for begge vinklene. Men de blå vinklene og de røde vinklene er ikke samsvarende. Linja «l» er felles vinkelbein for «a» og «v», men «l» er venstre vinkelbein for «a» og høyre vinkelbein for «v». Samsvarende vinkler er ikke nødvendigvis like store. Hvorvidt to samsvarende vinkler er like store, er avhengig av de andre vinkelbeina: Samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Dersom de samsvarende vinklene er like store, er de andre vinkelbeina parallelle. Her er to parallelle linjer overskåret av en tredje linje. Alle de røde vinklene er like store. Dessuten er for eksempel «a» er samsvarende med både «b» og «c». Tilsvarende er alle de blåvinklene like store. Og for eksempel «x» er samsvarende med både «u» og «w». 90

91 NIVÅ E KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på D.1 (Dynamisk geometri). Dessuten kan vi bruke E.1 (Dynamisk geometri), men oppgaven løses enklest ved i stedet å bruke D.3 (Dynamisk geometri) FORKLARING Vi starter å løse oppgaven med å sette av AB = 5,7 cm og å lage en vinkel i a på 60 : Vi vet ikke hvor C er. Vi kan regne ut hvor stor vinkel B er, men det er ikke en god måte å løse en oppgave på: Vi skal bare bruke opplysningene i oppgaveteksten. Vi velger et tilfeldig punkt som da blir et forslag. Her har vi valgt B siden det punktet allerede er der. Så lager vi en 72,5 -vinkel i B. Vinkelbeinet skjærer forlengelsen av AB i D: Nå bruker vi regelen at når to linjer er parallelle, vil de samsvarende vinklene være like store. Følgelig må vi lage en linje gjennom B som er parallell til DB. Det får vi til ved å tegne en vinkel i B som er like stor som vinkelen i D. se E.1 (Dynamisk geometri). Men det er lettere å bruke D.3 (Dynamisk geometri): Vi velger kommandoen «Parallell linje» og trykker på B og deretter på linja DB. Vi får denne løsningen: 91

92 NIVÅ E KJEKT Å VITE Vi har slått fast to svært viktige regler: 1. Dersom samsvarende vinkler er like store, så er de andre vinkelbeina parallelle. 2. Dersom de to andre vinkelbeina er parallelle, så er de samsvarende vinklene like store. Vi vil bevise disse reglene. I beviset bygger vi på det vi sa i C.1 (Dynamisk geometri) om at når vi speiler en figur om et punkt, vil original-linjene og kopi-linjene bli parallelle og at originalvinklene og kopi-vinklene være like store. Samtidig minner vi om at topp-vinkler alltid er like store. Vi vil begynne med å bevise at dersom samsvarende vinkler er like store, så er de andre vinkelbeina parallelle. Se på figuren nedenfor: Her skal vi bevise at dersom vinkel «b» er like stor som vinkel «d», så er de andre vinkelbeina parallelle: 92

93 NIVÅ E Vi merker av punktet M, som ligger midt mellom A og B. Nå speiler vi hele figuren om punktet M. Da vil A* falle i B og B* falle i A. Vinklene i speilfiguren vil være like store som originalvinklene. Altså er vinkel «b*» like stor som «b», som er like stor som «d». Når «b*» er like stor som «d» og de har samme topp-punkt, må de andre vinkelbeina også bli sammenfallende. Ettersom «f*» vil bli parallell med «f» og sammenfallende med «h», må «f» og «h» være parallelle. Dermed er første setning bevist. I den andre setningen skal vi bevise at dersom «f» og «h» er parallelle, så må «b» og «d» være like store. (Vi viser til tegningen over.) På nytt speiler vi figuren om M. A* vil falle på B. Ettersom «f*» vil være parallell med «f» og gå gjennom B, vil «f*» bli sammenfallende med «h». Vinkelbeina til «b*» vil falle på vinkelbeina til «d». Da må disse vinklene være identiske. Det beviser den andre setningen. 93

94 NIVÅ E E.5: Kunne tegne en firkant ut fra en hjelpefigur. Eksempel-oppgave: Her er en hjelpefigur til firkanten ABCD? Tegn firkanten. D C 4,6cm 5,0cm A 72,5 45 6,2cm B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.6 (Dynamisk geometri). FORKLARING Vi begynner med å tegne ABD. Det er en typisk C.6 (Dynamisk geometri)-oppgave. Så føyer vi til BCD, som også er en typisk C.6 (Dynamisk geometri)-oppgave Slik kan du bruke geogebra: 1. Satt av AB = 6,2cm: «Linje med bestemt lengde». 2. Tegn A=72,5 : «Vinkel med fast størrelse». 3. Slo sirkel med radius 4,6cm: «Sirkel definert med sentrum KJEKT Å VITE og radius». Fant D. Vi vil bevise det femte geometriske sted, altså at C = 90º forutsatt 4. Tegnet av at C DBC=45 ligger på en halvsirkel og at vinkelbeinene til C spenner over d 5. Slo sirkel med radius 5,0 cm. Fant C. 6. Trakk linjestykket CD 94

95 NIVÅ E E.6: Kunne lage en perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. Eksempel-oppgave: Et plankegjerde skal tegnes i perspektiv med ett forsvinningspunkt i geogebra. Gjerdet er 3m høyt. Venstre ende av gjerdet skal tegnes i målestokken 1: 100. Plasser nedre venstre hjørnet i (-3,0) og nedre høyre hjørne med x-verdi 3. Forsvinningspunktet skal plasseres i (6,2). Lag en perspektivtegning med ett forsvinningspunkt. Ta med horisontlinje. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.2.a (Dynamisk geometri), A.2.b (Dynamisk geometri), A.2.c (Dynamisk geometri) og/eller A.2.d (Dynamisk geometri), B.3 (Dynamisk geometri) og D.6 (Dynamisk geometri). Målestokk er forklart i C.3 (Beregninger). FORKLARING Vi plasserer nedre venstre hjørne og nedre høyre hjørne. Målestokken 1:100 forteller at tegningen av venstre ende skal være en hundre-del av 3m, d.v.s. 3 cm. Vi tegner derfor inn venstre ende som et linjestykke mellom punktene (-3,0) og (-3,3). Så tegner vi inn forsvinningspunktet F. I D.6 (Dynamisk geometri) tegnet vi inn forsvinningslinjene. Når vi trekker strålene fra hvert av hjørnene i kvadratet, er det disse forsvinningslinjene vi trekker: Ettersom høyre ende skal ha x-verdi 3, merker vi av et punkt med slik x-verdi, f.eks. punktet C (3,0). De vertikale og horisontale linjene forblir vertikale og horisontale linjer. Resten av oppgaven er derfor å lage en parallell linje til AB i C, se D.3 (Dynamisk geometri). Der denne parallelle linja skjærere perspektivlinjene, finner vi enden av gjerdet, her markert ved punktene D og E 95

96 NIVÅ E Da har vi alle punktene vi trenger for å få fram perspektivtegningen. Vi trekker opp mangekanten ADEB og bruker vi litt farger og skravering (Høyreklikk over mangekanten og velg «Egenskaper». Klikk deretter på «Stil» og velg «Skravering»): Nå kan vi gjøre aksene, rutenettet og alle hjelpelinjene usynlige. Da får vi denne tegningen, som vi har forstørret litt: 96

97 NIVÅ E E.7: Kunne tegne en trekant ved å anvende «femte geometriske sted» Eksempel-oppgave: Tegn AB = 4cm. Tegn ABC slik at BC = 2,5 cm og C er rett. BEGREPER «Femte geometriske sted»: Samlingen av de punkter som er slik at vinkelen mellom linjestykkene fra dette punktet til to oppgitte punkter (A og B) vil være 90 o. «Femte geometriske sted» er halvsirkelen over AB. Betegnelse på vinkler: I teksten til eksempel-oppgaven angis en vinkel med én bokstav: C. Dette er uproblematisk så lenge dette gir en entydig opplysning. Men hva skjer dersom det er flere vinkler i et hjørne: Hvordan skal en fortelle at en vil snakke om den grønne vinkelen? Vi er blitt enige i å bruke tre bokstaver: Den første bokstaven sier hvor det ene vinkelbeinet starter. Vi kan starte i «S» eller «B». Vi velger her å starte i «S». Så går vi langs vinkelbeinet til vinkelens topp-punkt «C» og deretter ut det andre vinkelbeinet; til «B». Dette skriver vi slik: SCB. Den midterste bokstaven angir vinkelens topp-punkt. De to andre bokstavene angir hvor vinkelbeina går. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her anvender vi B.2 (Dynamisk geometri) i kombinasjon med B.4 (Dynamisk geometri). I andre oppgaver kan vi kombinere med B.6 (Dynamisk geometri). FORKLARING I 8C har læreren skrudd sammen to smale lister i en 90 -vinkel: Han tegner et linjestykke på gulvet: 97

98 NIVÅ E Så ber læreren om at elevene plasserer 90 -vinkelen slik at vinkelbeina går gjennom endepunktene for linjestykket og markere hvor topp-punktet for 90 -vinkelen kommer. Etter at mange elever har prøvd seg, får vi følgende: Vi ser at topp-punktene ligger på en halvsirkel. Vi skal vise en annen måte å illustrere femte geometriske sted. Da bruker vi geogebra. Vi plasserer et linjestykke (AB) med fast størrelse(for eksempel 5cm) et tilfeldig valgt sted. Deretter velger vi et tilfeldig punkt (C) utenfor linjestykket og trekker en stråle gjennom A og C: Vi tegner så normalen fra B på AC og markerer skjæringspunktet(og gir punktet rød farge). Vi høyreklikker på skjæringspunktet og haker av «Slå på sporing»: 98

99 NIVÅ E Vi trykker «esc» og holder nede venstre museknapp. Vi drar nå punktet C rundt omkring på arket. Skjæringspunktet følger etter og vi får markert hvor dette skjæringspunktet flytter seg: Vi ser at skjæringspunktet (som hele tiden er en rett vinkel) sklir langs en halvsirkel. Uansett hvor langt unna vi flytter punktet C, vil skjæringspunktet ikke komme utenfor halvsirkelen. Denne egenskapen bruker vi til å løse eksempel-oppgaven. Geogebra har en egen kommando som tegner en halvsirkel over et linjestykke: Merk at vi skal begynne med AB = 4cm. Hvis det ikke var et krav, kunne en ha begynt med en rett linje, satt av C og tegnet en normal i C. På normalen setter en av CB=2,5cm. Til slutt finner en A. 99

100 NIVÅ E Slik kan du bruke geogebra: 1. Tegnet linjestykke med fast størrelse: AB = 4cm. 2. Tegnet halvsirkel mellom to punkt. 3. Slo sirkel om B med radius 2,5cm, B.4 (Dynamisk geometri). 4. Trakk opp trekanten og skrev inn størrelser og markerte rett vinkel. 100

101 NIVÅ E KJEKT Å VITE Vi vil bevise det femte geometriske sted, altså at C = 90º forutsatt av at C ligger på en halvsirkel og at vinkelbeinene til C spenner over diameteren til denne halvsirkelen: u v u v Se på BSC: Det er en likebeinet trekant fordi SB = SC = radius. Følgelig er SBC SCB. Vi kaller denne vinkelen for «v». På samme måte er ASC likebeinet fordi SA = SC = radius. Følgelig er SAC SCA. Vi kaller denne vinkelen for «u». Ettersom vinkelsummen i trekanter er 180 o, må: u + u + v + v = 180 o. 2v + 2u = 180 o. 2(v + u) = 180 o. 2 ( v u) v + u = 90 o. Vinkel C er nettopp v + u. Følgelig har vi bevist at C = 90º. KJEKT Å VITE Vi sa over at C spenner over halvsirkelen, d.v.s. at C spenner over 180 o. Når C = 90 o, vil det si at C er halvparten av buen den spenner over (forutsatt at C ligger på sirkelperiferien). Vi ønsker å bevise dette generelt. Altså: En periferivinkel er halvparten så stor som buen vinkelbeina spenner over Beviset går i to steg. I første steg, går vi tilbake til beviset for at C = 90 o : v y x v Ettersom vinkelsummen i alle trekanter er 180 o, er BSC = 180 2v. Samtidig er BSC = 180 o - ASC. Følgelig må ASC = 2v. Sagt på en annen måte: y = 2v. ABC spenner over buen AC. Størrelsen på denne buen er lik 2v. Ettersom ABC = v, betyr det at ABC er halvparten så stor som buen den spenner over. 101

102 NIVÅ E Setningen vi skal bevise, er altså riktig for vinkler av hvor det ene vinkelbeinet er diameteren i sirkelen. Vi skal bevise at setningen gjelder generelt: Vi skal altså bevise at DBC er halvparten av buen DC, se figuren. 2v v 2u u Det er to alternativer: Enten går vinkelbeina fra topp-punktet B på hver sin side av sirkelens sentrum (S) (slik som er vist i tilfelle overfor), eller så går vinkelbeina på samme side av sirkelens sentrum. Vi skal gjennomføre beviset for det første tilfelle: Vi trekker opp diameteren som går gjennom topp-punktet B (AB). Vi merker oss at: DBC = ABC + ABD. For hver av disse delene av DBC gjelder at periferivinkelen er halvparten av sentralvinkelen når disse spenner over samme bue. Da må det også gjelde for summen. Altså at DBC er halvparten av DSC. Det beviser påstanden vår for det tilfelle at vinkelbeina går på hver sin side av sirkelens sentrum. For det andre tilfelle: At vinkelbeina går på samme side av sirkelens sentrum, gjennomfører vi det samme resonnementet, men den forskjellen at nå må vi trekke fra vinkeldelene. Vi tar med en illustrasjon av beviset: 102

103 NIVÅ F NIVÅ F: PERSPEKIVTEGNINGER MED TO FORSVINNINGSPUNKTER, FIRKANTER, ELLIPSE, PARABEL, HYPERBEL. Vi skal videreutvikle perspektivtegning med to forsvinningspunkter. Her skal vi dessuten tegne firkanter. Nå får vi ikke noen hjelpefigur å støtte oss på; - den må vi tegne selv. Vi har lært fem geometriske steder: Sirkel, midtnormal, parallelle linjer, halveringsstråle og «femte geometriske sted». Her møter du tre til: Ellipse, parabel og hyperbel. Dette er kurver som vi ikke kan lage ved hjelp av passer og linjal. I geogebra kan vi klare det. Til slutt skal vi se på firkanter hvor vi bruker disse nye geometriske stedene. 103

104 NIVÅ F F.1: Kunne lage en perspektivtegning med to forsvinningspunkter. Eksempel-oppgave: Linjestykke AB (A er (0,0) og B er (0,2)) er kant i en eske. Du skal lage en to-punkts perspektivtegning av denne esken når du får greie på at det nedre venstre hjørnet i esken har x-koordinat -3 og det nedre høyre hjørnet har x-koordinat 4. (Forsvinningspunktene er i (-5,4) og (7,4).) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her utvider vi E.6 (Dynamisk geometri) ved at vi skal ha to forsvinningspunkter. Slik oppgaven her er formulert, må vi forstå hva som ligger i verdien til x-koordinaten. Det bygger på definisjonen i A.1.a (Dynamisk geometri). FORKLARING Uttrykket «x-koordinaten» er «-3», hhv «4», betyr at det aktuelle punktet (hjørnet) ligger rett over (eventuelt under) -3 på x-aksen, hhv 4 på x-aksen. Slik kan du bruke geogebra: 1. Vi har tegnet opp sidekanten AB, tegnet inn forsvinningspunktene og strålene fra A hhv B til begge forsvinningspunktene (perspektivstrålene). 2. Vi har også tegnet inn de to strålene som går parallelt med y-aksen og som går gjennom hhv x=-3 og x=4. (Punktene F og H er hjelpepunkter for å tegne disse strålene.) 3. Skjæringspunktene mellom perspektivlinjene og strålene x=-3 hhv x=4 er markert Nå trekker vi opp en stråle fra J til forsvinningspunktet i andre kvadrant og en fra L til forsvinningspunktet i første kvadrant. Dermed har vi alle hjørnene i esken som synes. (Vi kunne ha tegnet strålen fra I hhv K til forsvinningspunktene, men da får vi litt for mange linjer.) 104

105 NIVÅ F Til slutt tegner vi opp perspektivtegningen: Oppgaven ga oss klare instruksjoner om hvor sidekanten AB skulle være og hvor en skulle plassere forsvinningspunktene. Dessuten fortalte oppgaveteksten hvor høyre og venstre sidekant skulle være. Besvarelsen blir nok litt penere og mer oversiktlig dersom vi ikke viser aksene, rutenettet og alle hjelpepunktene: Legg merke til at siden vi har to forsvinningspunkter, vil bare de vertikale sidekantene være parallelle. Dersom vi innførte et forsvinningspunkt også for de vertikale sidekantene, ville ingen kanter bli parallelle i en slik tegning. 105

106 NIVÅ F F.2: Kunne tegne en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder. Eksempel-oppgave: I ABC er B=67,5. AB = 5,5cm og BC = 3,9cm. ABC er en del av firkanten ABCD. CAD=45 og BD=7,4cm. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Tegn deretter firkanten ABCD. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Forskjellen til E.5 (Dynamisk geometri) er at vi her mangler hjelpfigur. I tillegg må vi kjenne til hvordan vinkler navngis, se E.7 (Dynamisk geometri). FORKLARING Når vi skal tegne hjelpefiguren, begynner vi med ABC. Så bygger vi på ACD: Slik kan du bruke geogebra 1. Satte av AB = 5,5 cm 2. Tegnet B = 67,5º; B.6 (Dynamisk geometri). 3. Slo en sirkel medradius 3,9cm og med sentrum i B, B.4 (Dynamisk geometri).fant C. 4. Trakk opp sidene i ABC. 5. Tegnet CAD = 45º, B.6 (Dynamisk geometri). 6. Slo en sirkel med radius 7,4cm og med sentrum i A, B.4 (Dynamisk geometri).fant D. 7. Trakk opp sidene i firkanten. 106

107 NIVÅ F F.3: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegen firkanter hvor en må bruke en eller flere av de geometriske stedene. Eksempel-oppgave: I ABC er A=45. AB = 6,1cm. C ligger like langt fra A som fra B. ABC er en del av firkanten ABCD. Punktet D ligger like langt fra AB som fra BC og 4,0cm fra AC. Tegn denne firkanten. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Foregående steg innebar at vi utførte C.6 (Dynamisk geometri) to (eller flere) ganger. Vi gjør noe liknende her: Vi skal utføre D.5 (Dynamisk geometri) to (eller flere) ganger. For å få til denne oppgaven, må vi kunne forstå og bruke de geometriske stedene. FORKLARING I D.5 (Dynamisk geometri) presenterte vi en oversikt over aktuell geometriske steder i en konstruksjon av trekanter. I konstruksjon av mangekanter, kan vi også støte på «Halveringsstråle», se D.7 (Dynamisk geometri). Geometrisk sted Egenskap Eksempel på formulering Sirkel Oppgitt avstand fra et punkt «B ligger 3 cm fra A» Midtnormal Like langt fra to oppgitte punkter. «C ligger like langt fra A som fra B.» Parallell linje Oppgitt avstand fra en gitt linje. «C ligger 4 cm fra AB.» Halveringsstråle Like langt fra to oppgitte linjer. «D ligger like langt fra AB som fra AC.» 5. geometriske sted En rett vinkel på en halvsirkel. «ACB = 90 o.» (Ut fra sammenhengen, kan en konstruere den rette vinkelen på andre måter.) I gjennomføringen av konstruksjonen av den aktuelle mangekanten, gjør vi som i F.2 (Dynamisk geometri): Vi begynner med en trekant og utvider den med nye trekanter. Vi legger merke til at setningen «C ligger like langt fra A som fra B», innebærer at vi må konstruere midtnormalen på AB. Nå utvider vi denne trekanten med CAD. Legg merke til formuleringen «D ligger like langt fra AB som fra BC». Det innebærer at D ligger på halveringsstrålen til vinkel B. Tilføyelsen «og 4,0 cm fra AC», innebærer at D dessuten ligger på en parallell linje til AC. Hjelpefiguren ser slik ut 107

108 NIVÅ F Slik kan du konstruere: 1. Satte av AB = 6,1 cm. 2. Tegnet midtnormalen på AB, C.4 (Dynamisk geometri). 3. Tegnet vinkel A=45, B.6 (Dynamisk geometri). 4. Trakk BC. 5. Tegnet halveringsstrålen til vinkel B, D.7 (Dynamisk geometri). 6. Oppreiste normal i A og målte 4,0 cm, C.5 (Dynamisk geometri) og B.4 (Dynamisk geometri). 7. Tegnet parallell linje til AC, D.4 (Dynamisk geometri). 8. Fant D. 108

109 NIVÅ F F.4: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne en firkant hvor en kan benytte parallellitet/samsvarende vinkler og forhold. Eksempel-oppgave: I ABE er AB = 4,8 cm, A = 50 og B = 60. ABE er en del av firkanten ABCD, hvor diagonalene skjærer hverandre i E. EC:AE=2:3. BAE = ACD. Tegn denne firkanten. BEGREPER Diagonal: Et linjestykke inne i figuren som går mellom to hjørner i en mangekant: Forholdet mellom to tall: Forholdet mellom to tall er en brøk der det første tallet er telleren i brøken og det andre tallet er nevneren. Forholdet mellom to lengder: Forholdet mellom to lengder er, på samme måte, en brøk der lengden av det første linjestykket er teller og lengden av det andre linjestykket er nevner. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer vi F.3 (Dynamisk geometri) med E.4 (Dynamisk geometri). FORKLARING Først vil vi forklare hvordan vi kan løse problemet som oppstår når vi får oppgitt hva forholdet mellom to lengder er. Vi bruker da kunnskapen fra D.1 (Beregninger): Se på denne figuren: AC er delt i tre like deler. EF BC. Ut fra kunnskapen om formlike trekanter vil AF:AB = AE:AC = 2:3. La oss si at vi vil dele et linjestykke i tre like store deler: Vi kan gjøre det ved å sette av tre like lange linjestykker langs en stråle som har startpunkt i A: 109

110 NIVÅ F Så trekker vi BC og bruker D.3 (Dynamisk geometri) til å tegne et linjestykke gjennom E som er parallell med BC og et linjestykke gjennom D som er parallell med BC. Dermed vil AB være delt i tre like store linjestykker: Dette bruker vi til å finne punktet C i eksempel-oppgaven. Vi løser denne oppgaven på samme måte som vi gjorde i F.2 (Dynamisk geometri) og F.3 (Dynamisk geometri): Ved å bygge opp figuren ved hjelp av trekanter. Men i denne konkrete oppgaven begynner vi med ABE, for så å bygge på med flere trekanter. Vi starter hjelpefiguren med ABE: 110

111 NIVÅ F Vi forlenger AE og BE og markerer C og D. (I hjelpefiguren er det ikke viktig å få korrekte lengder.) Opplysningen BAE ACD er viktig for hjelpefiguren: Disse to vinklene er samsvarende (AC er venstre vinkelbein i begge). Ettersom de er like store, må AB og CD være parallelle. Vi markerer vinklene som er like store. Vi skriver at AE = 3x og EC = 2x. Hjelpefiguren ser slik ut: Slik kan du bruke geogebra: 1. Satte av AB = 4,8 cm 2. Tegnet ABE = 60 o ; B.6 (Dynamisk geometri). 3. Tegnet BAE = 50 o ; B.6 (Dynamisk geometri). 4. Trakk en stråle gjennom B og E og en stråle gjennom A og E. 5. Ettersom AB=4,8cm setter jeg av AG=1,6cm. Da er GB:AB=2:3. 6. Tegner en linje gjennom G parallell med BE, D.3 (Dynamisk geometri), og finner H slik at HE:AE=2:3. 7. Tegner en sirkel med E som sentrum som går gjennom H, B.5 (Dynamisk geometri). Finner C slik at CE:AE=2:3. 8. Tegnet linje gjennom C parallell med AB, (D.3 Dynamisk geometri) og fant D. 9. Trakk opp firkanten ABCD. 111

112 NIVÅ F F.5: Ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, kunne tegne ellipse, parabel og hyperbel uten å bruke funksjonsuttrykk. Eksempel-oppgave: Tegn ellipsen som har A:(-2,0) og B:(2,0) som brennpunkter og hvor avstanden til brennpunktene til sammen er 7cm. Eksempel-oppgave: Tegn parabelen som har P:(0,1) som brennpunkt og linja gjennom (-3,- 1) og (3,-1) som styringslinje. Eksempel-oppgave: Tegn hyperbelen som har origo og P:(0,-3) som brennpunkter og hvor differansen mellom avstandene til brennpunktene er 2cm. BEGREPER Ellipse: Samlingen av de punkter som er slik at summen av avstandene til to oppgitte punkter er en fast størrelse. Parabel: Samlingen av de punkter som har lik avstand til et oppgitt punkt og til en oppgitt linje. Hyperbel: Samlingen av de punkter som er slik at differensen av avstandene til to oppgitte punkter er en fast størrelse. Brennpunkt: De to punktene som er nevnt i definisjonen av ellipsen (hhv parabel og hyperbel) er brennpunkter. Styrelinje: Linja som er nevnt i definisjonen til en parabel er styrelinja. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer vi flere punkter. I disse konkrete eksempel-oppgavene: B.4 (Dynamisk geometri), B.7 (Dynamisk geometri) og C.4 (Dynamisk geometri). FORKLARING I F.3 (Dynamisk geometri) er det en tabell over fem geometriske steder, deres egenskaper og hvordan hver av dem kan bli beskrevet i en tekst i en oppgave. Nå skal vi utvide denne tabellen: Hva dersom lengden som er gitt er summen av avstandene til to oppgitte punkter? Hva dersom det er like stor avstand til et punkt og til en linje? Hva dersom lengden som er gitt er differansen mellom avstandene til to oppgitte punkter? De figurene vi får er kjeglesnitt, se B.4 (Dynamisk geometri). A. ELLIPSE Læreren tok 10C med seg til hoppegropa. Der slo han to pæler ned i sanden en meter fra hverandre og bant et to meter langt tau til pælene. Så tok han en pinne og holdt tauet stramt og førte det rundt pælene. Han fikk følgende figur: 112

113 NIVÅ F Læreren har tegnet en avlang «sirkel», d.v.s. en ellipse. Avstanden fra et hvert punkt på ellipsen til pælene (egentlig: brennpunktene) er alltid to meter til sammen. Geogebra kan tegne ellipser. Det kan vi ikke klare ved hjelp av passer og linjal. Geogebra forlanger at vi oppgir brennpunktene og ett punkt på ellipsen: I eksempel-oppgaven får vi oppgitt brennpunktene og lengden av avstandene til brennpunktene. Vi kan finne et punkt på ellipsen på flere måter: Her deler vi 7 cm på 2 og finner et punkt som ligger 3,5 cm fra begge brennpunktene: Nå klikker vi på brennpunktene og på punktet på ellipsen 113

114 NIVÅ F Det kan tenkes at vi får oppgitt summen av avstandene som et linjestykke vi har på figuren. Da kan vi tegne midtnormalen på linjestykket (C.4 (Dynamisk geometri)) og bruke kommandoen «passer» for å slå sirklene vi trenger. B. PARABEL Punktene på en parabel er like langt fra en linje (styringslinja) som fra et punkt (brennpunkt). Geogebra krever at begge disse er kjent: I eksempel-oppgaven får vi oppgitt både hvor brennpunktet er og hvor styringslinja er. Vi klikker på disse: C. HYPERBEL I eksempel-oppgaven er avstanden fra punktene på en hyperbel til det ene brennpunktet 2 cm kortere enn avstanden til det andre brennpunktet. Geogebra krever at vi klarer å finne et punkt på hyperbelen: 114

115 NIVÅ F Det får vi til f.eks. ved å bruke B.7 (Dynamisk geometri): Vi velger en avstand til det ene brennpunktet som ikke er for liten (i teorien kan den ikke bli for stor), f.eks. 5 cm. Så velger vi 3 cm som avstanden til det andre brennpunktet: Nå har vi begge brennpunktene og et punkt på hyperbelen. Vi klikker på disse og får: Det er verdt å vite at ingen deler av verken en parabel eller en hyperbel er rette: Over alt er disse figurene krumme. 115