Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Transkript

1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) ) b) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 6 5,510 6, ,0 10 3,3 10 c) Løs likningssystemet xy16 3xy6 3x y 6 y3x6 x 3x 6 16 x 6x1 16 7x 8 x 4 y d) Løs likningen grafisk 1 x3 6 x 4 Jeg tegner grafene til uttrykkene på vestre side og høyre side av likhetstegnet hver for seg. Løsningen er -koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene. Løsning: x 4 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

2 e) Løs ulikheten x x 1 0 Jeg løser likningen x x1 0 x x x 1 7 x x 4 x 3 Da er x x 1 x 4x 3 x 4x 3 Jeg sjekker fortegnet til uttrykket x x 1 i intervallene, 4, 4,3 og 3,. Uttrykket x x 1 er altså lik null når x 4 og når x 3 og større enn null når x 4,3. For alle andre verdier av x er uttrykket negativt. Det betyr at løsningen på ulikheten x x1 0 er x 4,3 f) Faktoriser og forkort Jeg bruker resultatet fra oppgave d) for å faktorisere telleren. x x x 1 9 x 4 x 3 x 3 x 3 x 4 x 3 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

3 g) I klasse 1A er det 0 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball. Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball. Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball. Det er til sammen 19 (0 minus 1) elever som spiller fotball og/eller håndball. Det er 5 (15 pluss 9) elever til sammen på fotball eller håndball. Det betyr at 6 (5 minus 19) elever spiller både fotball og håndball. Jeg lager en oversikt med et Venndiagram. Vi har en uniform sannsynlighetsmodell. U = 0 Fotball 9 6 Håndball 4 Fra diagrammet kan jeg lese at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev som spiller fotball også spiller håndball er h) Siri, Karen og Marit er til sammen 6 år. Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden. Karen er halvparten så gammel som Marit. Sett opp en likning som du kan bruke for å finne ut hvor gamle Siri, Karen og Marit er. Løs likningen. Hvor gamle er hver av de tre jentene? Jeg setter Siris alder til x år. Da blir Marits alder 3 x 4 Siden jentene til sammen er 6 år, får jeg likningen Jeg løser likningen 3 x 4 x 3x x 4 x 3x 4 6 x 6x 4 3x x 88 x 8 og Karens alder blir 3 x 4. Siri er 8 år gammel. Marit er år gammel. Karen er år gammel. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

4 i) 1) Vis at BC 3 Vi har C 45 siden summen av vinklene i trekanten er 90 grader. Da er trekanten likebeint og AC 3. Pytagoras setning gir da 3 3 BC ) Vis at cos45 AB 3 3 cos45 cosb BC 3 3 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

5 Oppgave (6 poeng) Funksjonene f er gitt ved f x x x a a) Hva må verdien av a være for at grafen til f skal skjære y -aksen i y? Når grafen skjærer y -aksen, er x 0. f a a b) Hva må verdien av a være for at grafen skal ha et nullpunkt for x 3? Hvis grafen skal ha et nullpunkt for 3 f a 0 a 69 a 3 x, må vi ha f 3 0. c) Hva må verdien av a være for at y -verdien i bunnpunktet til grafen skal være 5?. I bunnpunktet er f x 0 x 0 x 1 f a 5 a 51 a 4 d) For hvilke verdier av a har grafen minst ett nullpunkt? Vi finner nullpunktene ved abc-formelen f x 0 0 x x a 4a x Vi får minst ett nullpunkt når det som står under rottegnet er lik eller større enn null 4 4a 0 4a 4 a 1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

6 DEL Med hjelpemidler Oppgave 3 (10 poeng) a) Vis ved regning at BD 30 m Jeg bruker Pytagoras setning i GeoGebra BD 30 m b) Bestem ABD og BCD ved regning. Jeg bruker at tangens til en vinkel i en rettvinklet trekant er lik motstående katet dividert med hosliggende katet for å finne ABD, og Cosinussetningen for å finne BCD Alternativt ABD 36,9 og BCD 95,1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

7 c) Bestem arealet av ABCD ved regning. Jeg bruker at firkanten er satt sammen av to trekanter AB AD 1 Areal ABCD DC BC sin 410 m d) Forklar at ABC 90 Jeg finner DBC med Cosinussetningen BCD ABC ABD DBC ,83 89,7 90 Oppgave 4 (8 poeng) Funksjonen f gitt ved f x 0,05x,60x 0,50 viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser. Her er fx vekten til en gris målt i kilogram når grisen er x måneder gammel a) Tegn grafen til f for x 0,5. Jeg skriver inn f x 0.05x.60x 0.50,0,5 på skrivelinjen i GeoGebra. Hvor mye veier en gris ved fødselen? Grafen viser at en gris veier 0,5 kg ved fødselen. b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer 0 kg? Jeg leser av grafisk at vekten passerer 0 kg når alderen er 9,1 måned. Skjæringspunktet mellom linja y 0 og grafen til f. Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da? Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

8 Jeg regner ut gjennomsnittlig månedlig vekst fram til vekten var 0 kg Gjennomsnittlig vektøkning i dette tidsrommet er på,15 kg per måned. c) Hvor fort øker vekten til en gris når grisen er nøyaktig 1 måneder gammel? Jeg regner ut f1 1,4. Farten i vektøkningen er på 1,4 kg per måned når grisen er nøyaktig 1 måneder gammel. En gris skal slaktes når vekten øker med mindre enn 0,5 kg per måned. d) Hvor gammel er en gris når den skal slaktes? Jeg løser liningen f x 0,5. Vi ser grafisk at vekten avtar med alder i hele perioden. Grisen skal slaktes når den er 1 måneder gammel. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

9 Oppgave 5 (6 poeng) Karen har brune, røde, blå, hvite og rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen. a) Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker. 1 1 PTo rosa sokker b) Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk i en annen farge PÉn rosa og én sokk i en annen farge c) Bestem sannsynligheten for at hun tar to sokker med samme farge. P To sokker med samme farge P To rosa eller to brune eller to røde eller to blå eller to hvite sokker Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

10 Oppgave 6 (4 poeng) Undersøkelser har vist at 40 % av Norges befolkning over 15 år spiser matpakke til lunsj. Vi velger tilfeldig 50 personer over 15 år. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 0 av disse personene spiser matpakke til lunsj. Her antar vi en binomisk situasjon. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person over 15 år spiser matpakke til lunsj er 0,40. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Det er 11,5 % sannsynlighet for at akkurat 0 av de 50 personene spiser matpakke til lunsj. b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 av disse personene spiser matpakke til lunsj. Kalkulatoren viser at det 90,5 % sannsynlighet for at flere enn 15 av disse personene spiser matpakke til lunsj Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

11 Oppgave 7 (4 poeng) Figuren ovenfor viser et område ABDE. C er et vilkårlig punkt på BD. a) Sett BC x og finn avstanden AC CE uttrykt med x. AC CE 10 x 1 x 1 AC CE x x x AC CE 100 x 88 4x x AB 10 m, BD 1 m og DE 1 m. b) Bestem x slik at avstanden AC CE blir kortest mulig. Jeg skriver inn avstanden AC CE som funksjonen fx for x -verdier mellom 0 og 1 i GeoGebra. Jeg finner bunnpunktet på funksjonen. Avstanden AC CE blir kortest mulig når x 5,5 m Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

12 Oppgave 8 (4 poeng) Ovenfor har vi tegnet grafen til den rasjonale ax bx c funksjonen f gitt ved f x. xd Linja x 1 er en vertikal asymptote for grafen til f. Forklar at d 1. Bruk figuren til å bestemme a, b og c. Grafen har vertikal asymptote når nevneren xd 0. Det vil si når x d. Siden linja x 1 er vertikal asymptote, er altså d 1. Grafen skjærer y -aksen når x 0. f 0 a0 b0 c 01 f 0. Det må bety at c c. Vi ser av grafen at b 1 0 a f ab 0 b a b a b 0 1 4a a 0 4a a 4 0 6a 6 a 1 f Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01

13 Kilder: Oppgaver med figurer og grafer: Utdanningsdirektoratet Løsninger med løsningsfigurer og grafer Olav Kristensen/NDLA Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01