Tessellering og mangekanter:

Transkript

1 Tessellering og mangekanter: 1. Hva menes med et tessellering? 2. Hva mener vi når vi sier at en figur tessellerer? 3. Hva er en mangekant? 4. Hva menes en regulær mangekant? 5. Regulære mangekanter kan også kalles likesidede mangekanter, f.eks likesidet trekant, likesidet femkant osv. Hva kaller vi en regulær firkant? 6. Hva slags mangekanter finner du i eksemplene på siste side? 7. Bruk eksemplene til å undersøke hva vinkelsummen av mangekantene som møtes i et hjørne må være? 8. Hva er vinkelsummen i en trekant? 9. Hva er vinkelsummen i en firkant? 10. Hva er vinkelsummen i en femkant? 11. Klarer du å finne en formel for summen av vinklene i en n-kant? 12. Hvor stor er vinkelen i regulære trekanter, firkanter og sekskanter? Vis ved tegning at regulære trekanter, firkanter og sekskanter tessellerer, og forklar hvorfor de gjør det. 13. Vis at det er umulig å lage en heldekkende tessellering med kun regulære femkanter. 14. Forklar hvorfor alle firkanter tessellerer? 15. Forklar hvorfor alle trekanter tessellerer?

2 1. Tessellering er når vi kan dekke en flate, av i prinsippet uendelig utrekning, med figurer av samme type slik at det ikke er overlapping eller glipper mellom figurene. 2. En figur tessellerer når vi kan lage en tessellering med kun denne figuren. 3. En mangekant er en lukket figur satt sammen av rette sider (linjer). 4. En regulær mangekant er en mangekant der alle sidene er like lange og alle vinklene like store. 5. En regulær firkant kalles et kvadrat. 6. Alle figurene er regulære siden sidene i alle figurene er like lange. Vi har følgende figurer i eksemplene: (Sekskanter og trekanter), (Sekskanter, trekanter og firkanter) (åttekanter og firkanter), (firkanter og trekanter) (12-kanter og trekanter), (trekanter og firkanter) (12-kanter, sekskanter og firkanter), (trekanter og sekskanter) 7. Vinkelsummen der figurene møtes må være 360 grader, det ser vi av figurene. 8. Vinkelsummen i en trekant kjenner vi, og den er 180 grader. Det kan bevises ved å sette sammen tre kongruente trekanter, eller ved hjelp av det vi vet om toppunkter og samsvarende vinkler ved parallelle linjer. (Oppgaven spør ikke om dette) 9. Vinkelsummen i en firkant er 360 grader. Det kan vi se ved å legge sammen to trekanter. Vi har 180 grader fra den første trekanten og legger til 180 når vi legger til den andre trekanten. 10. For å komme frem til vinkelsummen i en femkant tenker vi oss at vi deler en femkant inn i fem trekanter. Summen av vinklene i disse fem trekantene er 180*5=900. Vi ser at de fem hjørnene som møtes i midten utgjør 360 grader. Disse vinklene utgjør ikke en del av vinkelsummen i femkanten så vi må trekke de fra verdien vi fant tidligere. Vi får da =540. Vinkelsummen i en femkant er altså 540 grader. 11. Vi ser at vi kan dele alle mangekanter inn i like mange trekanter som figuren har kanter. Ved å følge resonnementet i oppgave 10 kommer vi frem til at vi kan multiplisere antall kanter med 180 og trekke fra 360 grader som er i midten av figuren. Dette kan vi skrive som: n* eller (n-2)*180. Der n er antall kanter i mangekanten. Vi ser at dette stemmer for de vi har funnet i oppgave 8-10.

3 12. Regulære mangekanter er likesidet og alle vinklene er like store. Vinklene i regulære trekanter, firkanter og sekskanter er derfor hhv. 60 (180/3), 90 (360/4) og 120 (720/6). Når vi lager tessellering av regulære mangekanter kan vi sette figurene slik at hjørnene møtes i et møtepunkt og danner 360 grader. Fordi sidene i regulære mangekanter er like store, så vil de ligge kant i kant med hverandre og ikke lage glipper eller overlappinger. Hvor mange figurer som skal møtes i et hjørne avhenger av hvilken mangekant vi ser på. Regulære trekanter tessellerer fordi vi kan sette sammen 6 trekanter og danne 360 med hjørnene. Dette vet vi fordi 360/60=6. Regulære firkanter kan også settes sammen slik at hjørnene danner 360 grader. For å få det trenger vi 4 firkanter (360/90=4). Setter vi sammen 3 regulære sekskanter, som vist i figuren, vil vi også danne 360 grader (360/120 =3). Vi vet derfor at regulære sekskanter tessellerer. 13. Vinkelsummen i regulære femkanter er 540 grader, så hver vinkel er 108 grader. Dersom regulære femkanter tessellerer vil det være mulig å sette sammen femkanter og danne 360 grader. Det vet vi at ikke er mulig fordi 360/108= 3.33 ikke er et heltall. Setter vi sammen hjørner fra tre femkanter vil vi få en glippe og setter vi sammen hjørner fra fire femkanter vil vi få overlapping.

4 14. Vinkelsummen i en firkant er 360 grader. Vi vil derfor, uansett form på firkanten, kunne sette fire eksemplarer av firkanten sammen slik at hjørnene danner 360 grader. Ved å sette de sidene som er like lange mot hverandre vil vi få en ny figur med sider som passer inn i hverandre: 15. Alle trekanter kan settes sammen til firkanter, og vi har vist at alle firkanter tessellerer. Alternativt kan vi si at vi kan få 180 grader av å sette sammen tre trekanter slik at alle hjørnene er representert.

5