1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner

Transkript

1 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han gikk ut fra noen får grunnbegreper og aksiomer, og beviste alle setninger ved hjelp av disse. I denne fremstillingen skal vi ikke forsøke å bygge opp geometri på denne måten. Vi velger en mer intuitiv tilnærming, og trekker også inn begreper som Euklid ikke hadde med. En artikkel om geometriens historie finner du for eksempel i Wikipedia: Du kan lese om Euklid i det norske nettleksikonet Wikipedia på følgende adresse: En liten artikkel på norsk om Euklids elementer finner du her: En større artikkel med hele Euklids elementer finner du her: Grunnbegreper og notasjoner Punkt Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning. Vi bruker vanligvis store bokstaver A, B, C, som navn på punkter og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende. Hvor et punkt ligger i planet angis ofte ved hjelp av punktets koordinater i forhold et kartesisk koordinatsystem, et begrep som bygger på begrepene lengde, vinkel og parallellitet, som blir gjennomgått nedenfor. Se figuren til høyre Linje En (rett) linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning i begge retninger i én dimensjon. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l, m, n.. Gitt to punkter A og B, da finnes det nøyaktig én linje som går gjennom A og B. l AB, eller skrives bare linja gjennom A og B eller Denne noteres av og til ( ) linja AB. Tre eller flere punkter som ligger på samme linje, sies å være kollineære. Tre eller flere linjer som går gjennom samme punkt, sies å være konkurrente. MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

2 1.1.3 Parallelle linjer, parallellaksiomet To linjer som ikke skjærer hverandre, sies å være parallelle. Vi skriver dette l m. I euklidsk geometri gjelder parallellaksiomet. Dette finnes i flere ekvivalente versjoner; her er én: Parallellaksiomet: Gitt en rett linje l og et punkt P utenfor som ikke ligger på l. Da finnes det nøyaktig én linje m som går gjennom P og som er parallell med l. En annen versjon er at vinkelsummen i en trekant er 180 ; mer om dette nedenfor. Parallellaksiomet virker kanskje opplagt, men det er i en særstilling blant Euklids aksiomer. På 1800-tallet ble det bygd opp geometrier der parallellaksiomet ikke gjelder, de ikke-euklidske geometriene, og disse har vist seg meget nyttige, for eksempel i forbindelse med relativitetsteorien. Det finnes utallige artikler om ikke-euklidsk geometri på internett, for eksempel: Stråle En stråle er del av linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B Lengder og avstander Alle har en intuitiv forståelse av hva avstander og lengder er for noe. I matematikken kan vi + + definere en avstandsfunksjon i planet som en funksjon d : 0, der 0 betyr mengden av reelle tall 0, altså en funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall d(p,q) avstanden mellom P og Q - til hvert par (P,Q) av punkter i planet. Funksjonen må ha følgende egenskaper: i. d ( PQ, ) 0 ii. d ( PQ, ) = 0 hvis og bare hvis P = Q. iii. d ( PQ, ) = d ( QP, ) iv. d ( PQ, ) d ( PR, ) d ( RQ, ) mellom P og Q. + med likhet hvis og bare hvis R ligger på linjestykket PQ Tenk over hva disse kravene betyr: (i) sier at ingen avstander er negative. (ii) sier at to forskjellige punkter ikke kan ha avstanden 0, men ethvert punkt har avstanden 0 til seg selv. (iii) sier at avstanden fra P til Q er den samme som avstanden fra Q til P. (iv) sier stort sett at den korteste vei mellom to punkter P og Q er linjestykket PQ. Den kalles trekantulikheten, og sier mer presist at lengden av en side i en trekant er lik eller mindre enn summen av lengdene av de to andre sidene, med likhet bare hvis trekanten er degenerert, slik at det tredje hjørne ligger på den motstående sida Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje som er begrenset av to endepunkter A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom dets endepunkter. Det vil da framgå av sammenhengen hva som menes. MA-13 Geometri Byrge Birkeland

3 1.1.7 Vektor En vektor kan vi i vårt geometrikurs oppfatte som et orientert linjestykke. Det betyr at av de to endepunktene på linjestykket, for eksempel A og B, er det ene utpekt som startpunkt og det andre som endepunkt. Vektoren fra A uuur uuur uuur til B noteres AB. Vi identifiserer to vektorer AB og CD hvis de er parallelle og like lange og har samme retning. Det betyr at hvis vi flytter CD uuur slik at C faller sammen med A, så vil D falle sammen med B. Vektorbegrepet er imidlertid mye mer omfattende enn dette, og er et av de nyttigste begreper i matematikken og fysikken. Vi skal komme tilbake til vektorregning i et seinere kapittel. uuur uuur uuur Du kan definere summen av to vektorer ved at AB+ BC = AC, uuur uuur uuur og differensen mellom to vektorer ved at AB AC = CB. Se figuren. Når du har en avstandsfunksjon, kan du definere produktet av et uuur uuur tall og en vektor: t AB= AC, der C er et punkt på linja AB som er slik at AC AB = t, og slik at C ligger på samme eller motsatt side av A i forhold til B etter som t>0 eller t<0. t=0 tilsvarer A, og t=1 tilsvarer B. 0<t<1 for punkter på linjestykket AB mellom A og B. Hvis vi har tre punkter A, B og C som ikke ligger på linje, og P er et vilkårlig punkt, kan vi trekke en parallell med AB gjennom P og en parallell AC gjennom P, jfr. figuren. Vi får da punkter B uuur uuuur uuuur og C slik at AP= AB" + AC ", der B ligger på AB og C ligger uuur uuur uuur på AC. Det finnes da reelle tall x og y slik at AP= x AB+ y AC. uuuur uuuur AB" og AC" kalles da for vektorkomponentene av vektoren uuur uuur uuur uuur AP langs uuur AB og AC, mens tallene x og y kalles for skalarkomponentene av vektoren AP uuur langs AB og AC. Vektorer angis også ofte i forhold til et kartesisk koordinatsystem, og koordinatene er differensen mellom koordinatene til endepunktet og startpunktet. Vektorsum og vektordifferens tilsvarer da sum og differens av koordinatene. Vi kommer tilbake til dette i kapitlet om vektorregning Trekant En trekant er bestemt ved tre punkter i planet, for eksempel A, B og C, som kalles hjørnene i trekanten. Vi skriver ABC eller trekanten ABC. Linjestykkene AB, AC, og BC kalles sidene i trekanten. Sida BC kalles den motstående sida til A, og noteres gjerne med samme bokstav a som hjørnet A, men altså med liten bokstav. Sidene AB og AC kalles de hosliggende sidene til hjørnet A Vinkel En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom A og strålen fra O gjennom B, skriver vi vinkelen AOB eller AOB. Strålene OA og OB kalles vinkelens vinkelbein. Hvis det bare er én vinkel med 33toppunkt i O, kan vi skrive O uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u,v, w, αβθk.,,, Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format. MA-13 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 At to vinkler AOB og CPD er like store, betyr at den ene vinkelen kan legges oppå den andre. Med andre ord: Hvis CPD flyttes slik at P faller i O og PC dekker strålen OA, så vil strålen PD dekke strålen OB. Det forutsetter at de to vinklene er orientert på samme måte, i motsatt fall må vi la strålen PD dekke OB. Størrelsen av en vinkel måles på flere ulike måter. For et gitt punkt O i planet tenker man seg at planet deles i 360 like store vinkler, alle med O som felles toppunkt. Størrelsen av en slik vinkel defineres som 1 grad, eller 1. En rett vinkel er en vinkel på 90, som dekker et kvart omløp. Hvis A, O og B ligger på en rett linje, er AOB = 180, og AOB kalles en like vinkel, og er altså et halvt omløp. Alternativt kan du definere størrelsen av AOB ved hjelp av begrepet lengde på følgende måte: Slå en sirkel med sentrum i O og radius r. Finn lengden b av den delen av sirkelbuen som ligger innenfor AOB. Forholdet b vil da være uavhengig av r, og bare avhengig av r vinkelen, og kan derfor tas som et mål for vinkelens størrelse. En vinkel som gir forholdet 1, kalles en radian. Siden lengden av en hel sirkel er π ganger radius, vil en hel omdreining tilsvare en vinkel på π, mens en rett vinkel er π og en like vinkel er π. Vinkler målt i radianer kalles også absolutt vinkelmåling, fordi det ikke avhenger av det tilfeldige valget av 360 som antall grader i en hel omdreining. Dette henger for øvrig historisk sammen med at babylonerne antok at et år var 360 dager. Til gjengjeld bygger absolutt vinkelmåling på begrepet buelengde, som er relativt avanserte i forhold til elementær geometri. I elementær geometri brukes mest grader, men i matematikken for øvrig er det mest vanlig å måle vinkler i radianer. Vi har en rekke definisjoner som involverer vinkler: En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90. En stump vinkel er en som ligger mellom 90 og 180. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler. To vinkler hvis bein er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler. I en trekant ABC kalles vinklene BAC, ABC og BCA for indre vinkler, og noteres som regel bare A, B og C. De indre vinklene i en trekant omtales ofte bare som vinklene i trekanten. Nabovinkelen til en vinkel i en trekant, kalles en ytre vinkel i trekanten. Når to linjer overskjæres av en tredje linje, oppstår 8 vinkler. Disse kan grupperes i fire sett av samsvarende vinkler. På figuren nedenfor er samsvarende vinkler markert med samme format på vinkelmerket. Når vinkelen mellom to rette linjer l og m er 90, sies l å være en normal til m, eller m er en normal til l. To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel sies å være komplementvinkler til hverandre. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, sies å være supplementvinkler til hverandre MA-13 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 Man inndeler også trekanter i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten: En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90. En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90. Ett rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående sida kalles hypotenusen. En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60, jfr. setning En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like. To av vinklene blir da også like Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn. Du kan definere summen av to vinkler med samme toppunkt: Hvis AOB og COD er to vinkler med samme toppunkt, flytter vi (jfr. avsnittet om isometrier nedenfor) den siste slik at vinkelbeinet OC faller sammen med OB. Punktet D vil da flyttes til et punkt E, og vi kan forutsette at dette ligger EOD ikke dekker AOB Vi definerer da AOB+ COD = AOE. Du kan også definere differansen mellom en vinkel og en mindre vinkel: Hvis AOB > COD, flytter vi den siste vinkelen slik at linja OC dekker linja OA og slik at OD flyttes til en stråle OF som ligger innenfor AOB. Differansen AOB COD er da definert som BOF. Se figuren nedenfor. For vinkler som ikke har felles toppunkt, må vi først flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene får felles toppunkt før vi kan bruke definisjonen fra det tilfellet at de har felles toppunkt. Når vi har definert differensen mellom to vinkler, melder spørsmålet seg om hvordan vi skal forstå et mulig negativt fortegn på en vinkel eller hva det vil si at en vinkel er 0. Svaret er at vi setter AOA = 0, mens vi regner en vinkel AOB for å være positiv hvis strålen OA må dreies i retning motsatt urviserne for å dekke OB, negativ hvis den må dreies i samme retning som urviserne. Vi har da at AOB = BOA. Etter den definisjonen vil to stråler OA og OB 0,180 og en negativ i intervallet kunne definere to vinkler, en positiv i intervallet [ ] [ 0, 180 ], eller egentlig en hel rekke vinkler som skiller seg fra hverandre ved et helt multiplum av 360. I geometri underforstås det som regel at en vinkel ligger i intervallet [ 0,180 ] Firkant En firkant er bestemt av fire punkter, hjørnene i firkanten. Vi skriver for eksempel firkanten ABCD eller ABCD. Vanligvis forutsettes det at hjørnene i firkanter nummereres i positiv omløpsretning, altså mot urvisernes omløpsretning. Sidene i firkanten ABCD er linjestykkene AB, BC, CD og DA. Vi forutsetter vanligvis at disse sidene ikke har andre felles punkter enn hjørnene. To sider kan altså ikke skjære hverandre. Linjestykkene AC og BD kalles diagonalene i firkanten. Hvis to av sidene i en firkant er parallelle, kalles firkanten for et trapes. Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram. Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe. Hvis alle de indre vinklene i et MA-13 Geometri 5 Byrge Birkeland

6 parallellogram er rette, har vi et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat Polygoner Figurer med tre hjørner er trekanter, med fire hjørner er det firkanter. Dette kan selvsagt fortsettes: Figurer med fem hjørner er femkanter, figurer med seks hjørner er sekskanter osv. Generelt er en figur som definert ved hjelp av n hjørner en n-kant eller et polygon (av gresk poly=mange, gon=hjørne) eller en mangekant med n hjørner. Spesielt ser vi på regulære n- kanter. Det er en n-kant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store: Regulære polygoner kan innskrives i en sirkel. Vi får en rekke med n kongruente likebeinte trekanter. Vinkelen ved sirkelens sentrum må være 360 n, og dermed blir de to andre vinklene 1 ( 360 ) n = 90 n. De indre vinklene i n-kanten blir dermed 180 n og de ytre vinklene 360 n. Det siste kan du også innse ved å tolke de ytre vinklene som retningsendringer fra å kommer fra en side til den neste: Etter n retningsendringer må du ha endret retning Geometriske steder, sirkler og ellipser Ved hjelp av begrepene avstand og lengde kan vi nå definere en rekke nye begreper, som bygger på begrepet åpent utsagn fra logikken. Et utsagn i logikken er en språklig eller matematisk formulert setning som enten er sann eller gal. Sannhetsverdien av et utsagn kan altså ikke være gjenstand for diskusjon: Det er fint vær i dag er derfor ikke et utsagn i denne forstand, mens >3 eller <3 eller er mindre enn 3 er utsagn. La oss så si at vi har en mengde M i matematikken, og en språklig eller matematisk formulert setning S(x) som inneholder en størrelse x som i utgangspunktet ikke er et bestemt tall eller objekt, men som kan erstattes av et element fra mengden M. Hvis S(x) blir et utsagn hver gang vi erstatter x med et element fra M, kalles S(x) for et åpent utsagn om elementene i mengden M. Vi kan da danne oss delmengder av M ved å se mengden av de x fra mengden M som er slik at S(x) er et sant utsagn eller mengden av de x fra mengden x som er slik at S(x) er et usant utsagn. Disse ( ) x Sx ( ). mengdene skrives hhv. { x Sx } og { } I geometri er som regel mengden M lik planet, og S(x) er en eller annen geometrisk egenskap, x Sx ( ) kalles ofte det geometriske ofte uttrykt ved hjelp av avstandsbegrepet. Mengden { } sted for de punkter som har egenskapen S. Ved hjelp av avstandsbegrepet kan vi nå definere det mest kjente geometriske stedet i geometrien, en sirkel: En sirkel med sentrum i punktet C og med radius r er det geometriske stedet for de punktene som har avstanden r til C eller MA-13 Geometri 6 Byrge Birkeland

7 ( Cr, ) = { P dcp (, ) = r} d. Sirkler tegnes som kjent med passer, der spissen settes i punktet C og avstanden r utspennes av beina på passeren. Linjal og passer er de eneste to redskapene som er tillatt i klassisk euklidsk geometri. Det tilsvarer at punkter, rette linjer og sirkler er de fundamentale objektene. Vi tar med et annet kjent eksempel på geometrisk sted, en ellipse. En ellipse er det geometriske stedet for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en bestemt sum. Se figuren. Ellipser kan ikke konstrueres med passer og linjal 1. Isometrier og kongruens En isometri eller kongruensavbildning er en avbildning (funksjon) ϕ : som bevarer avstander. Det betyr at d ( ϕ( P), ϕ ( Q) ) = d ( PQ, ) for alle punkter P,Q i planet. Du kan tenke på en isometri på følgende måte: Tenk på planet som et papirark som er ubegrenset i alle retninger (eller på et endelig papirark som er stort nok til å inneholde de figurene du er interessert i). Å bruke en isometri tilsvarer å flytte arket uten å strekke eller på annen måte deformere det. Men du kan snu arket. En plan figur er rett og slett en delmengde av planet. Hvis ϕ er en isometri, og F 1 og F er plane figurer slik at ϕ ( F1) = F, sies F 1 og F å være kongruente, og vi skriver F1 F. Etter modellen ovenfor kan du tenke deg at F 1 og F ligger i hver sin kopi av planet. Så kan du flytte og eventuelt snu den ene kopien og legge den oppå den andre slik at figurene nøyaktig dekker hverandre. Sagt på en annen måte: Du kan klippe den ene figuren ut, og om nødvendig snu den, da vil den nøyaktig kunne dekke den andre figuren. Hvis du må snu den, kalles isometrien motsatt, ellers kalles den direkte. Hvis hjørnene i et polygon er regnet opp i rekkefølge mot urviserne, vil de tilsvarende hjørnene i et kongruent polygon bli regnet opp i samme rekkefølge hvis isometrien er direkte, ellers vil de bli regnet opp i rekkefølge med urviserne. Kongruens er et sentralt begrep i elementær geometri. Vi har følgende fire setninger om kongruenser, som vi her skal godta uten noen form for bevis, dvs. vi skal se på dem som aksiomer i teorien. 1. (SSS side-side-side) Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er de kongruente.. (SVS side-vinkel-side) Hvis to sider og vinkelen mellom dem er like i to trekanter, så er trekantene kongruente. 3. (VSV vinkel-side-vinkel) Hvis to vinkler og den mellomliggende sida i to trekanter er like, så er trekantene kongruente. 4. (SSV side side vinkel) Hvis to sider og den motstående vinkelen til den lengste av sidene er like, så er trekantene kongruente. MA-13 Geometri 7 Byrge Birkeland

8 1..1 Isometrier og rette linjer. Setning En isometri avbilder en rett linje på en rett linje og bevarer delingsforhold Bevis. La A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og B. Da d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en isometri, og la A, B og P være bildene av A, er ( ) ( ) B og P ved denne isometrien. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. d AP, + d PB, = d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående. 1.. Isometrier og parallellitet Setning 1... En isometri avbilder parallelle linjer på parallelle linjer Bevis: La l og m være parallelle linjer, og la l og m være bildene av l og m ved en isometri ϕ. Hvis l og m ikke er parallelle, finnes det et punkt C som er felles for l og m. Men C må ( ) ( ) være bildet av et punkt A på l og B på m, og ( ) ϕ( ) ϕ( ) A=B. Det strider mot at l og m er parallelle Isometrier og trekanter d AB, = d A, B = d CC, = 0. Da må Setning En isometri er entydig bestemt ved virkningen på en trekant. Bevis. La ABC være en trekant som avbildes på en trekant A B C ved en isometri ϕ. La P være et punkt. Da kan vi trekke en parallell med AC gjennom P som skjærer AB i B og en parallell med AB gjennom P som skjærer AC i C. Da er uuur uuuur uuuur AP = AB" + AC ". Da finnes det reelle tall x og y slik at uuuur uuur uuuur uuur AB" = x AB og AC" = y AC. Men da må uuuuur uuuuur uuuuur AB ' ' = x AB ' ' + y AC ' ', siden isometrier bevarer parallellitet og delingsforhold. Jeg minner om begrepet bijeksjon. En bijeksjon er en funksjon A B som er slik at alle elementer i B er bildet av nøyaktig ett element i A. Et annet ord for en bijeksjoner er en 1-1- korrespondanse, eller en avbildning som er både injektiv (1-1) og surjektiv (på). Setning En isometri er en bijeksjon Bevis. Anta at isometrien ϕ er gitt ved at trekanten ABC avbildes på trekantene A B C. Da kan vi definere den inverse til ϕ ved at trekanten A B C avbildes på ABC. Da må ϕ være en bijeksjon. 1.3 Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Konstruksjonen går slik: Linjestykket AB er gitt. Du velger en passende radius i passeren litt mindre enn lengden AB og slår sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. Da er AD=BD og AC=CB. P.g.a. SSS-kongruenssetningen ovenfor er da ABD ABC. Da er MA-13 Geometri 8 Byrge Birkeland

9 ACD = BCD og dermed ACE BCE etter kongruenssetningen SVS. Da må AE=BE, og AEC = BEC. Siden summen av disse vinklene er 180, må hver av dem være 90. Vi har dermed både at AE=BE og at AEC = 90. Men da er DC midtnormalen på AB. Midtnormalen på AB er det geometriske sted for de punkter som har samme avstand fra A og B Normalen til en linje i et punkt på linja Her har vi gitt en linje l og et punkt A på linja. Vi starter med å velge en passende radius i passeren, og slår en sirkel eller to sirkelbuer med denne radien, slik at vi får to punkter B og C slik at AB=AC. Så velger vi en annen større radius og slår sirkler eller sirkelbuer med denne radien fra B og C. Disse har to skjæringspunkt, og vi kaller det ene av dem D. Da er BD=CD. Kongruenssetningen SSS gir da at BAD ACD. Siden BAD = CAD, og summen av dem er en like vinkel, må BAD være en rett vinkel Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel med sentrum i P som har stor nok radius til å skjære linja l i to punkter A og B. Velg så en ny radius, og slå sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet på motsatt side av l i forhold til P være C. Da er PC normalen til l gjennom P. Dette kan begrunnes slik: Siden AP=BP og CA=CB, følger det av kongruenssetningen SSS at ACP PCB og dermed APC = CPB. La D være skjæringspunktet mellom PC og l. Kongruenssetningen SVS gir da at ADP BDP og derfor at ADP = PDB, Siden disse vinklene også er supplementvinkler, må de begge være rette vinkler. Avstanden PD er for øvrig definert som avstanden fra punktet P til linja l. Avstanden mellom to parallelle linjer er definert som avstanden fra et punkt på den ene linja til den andre linje Halveringslinja for en vinkel Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt O og med passende radius. La skjæringspunktene med vinkelbeina være A og B. Velg en radius som er større enn halve avstanden mellom A og B, og slå sirkler fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet være C. Da er OC halveringslinja for vinkelen. Dette kan begrunnes slik: Siden OA=OB og AC = BC, følger av kongruenssetningen SSS at OAC OBC. Da må AOC = BOC, og dette betyr at OC er halveringslinja for vinkelen AOB. Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for de punkter som har samme avstand fra vinkelbeina Likesidet trekant Gitt et linjestykke AB. Du skal konstruere en likesidet trekant der dette linjestykket er en av sidene. Da bruker du lengden AB som radius og slår sirkler eller sirkelbuer med radius r og sentrum i A og deretter i B. Du får to skjæringspunkter C og C, og altså to MA-13 Geometri 9 Byrge Birkeland

10 mulige løsninger. Vinklene i en likesidet trekant må være 60, så du har altså samtidig en metode til å konstruere en vinkel på Alternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller en sirkelbue med sentrum i det gitte punktet A. La B være et av skjæringspunktene med linja m. Slå en sirkel eller sirkelbue med samme radius AB og sentrum i B. Skjæringspunktet med den første sirkelen er C. Slå en sirkel med sentrum i C og samme radius. Skjæringspunktet med den første sirkelen er D. Halver vinkelen CAD ved hjelp av metoden som er gitt ovenfor, jfr. figuren til høyre. Da blir ABC og ACD likesidet, og dermed blir ABC = 60 og CAD = 60, AE blir halveringslinje for 1 DAC. Da må BAE = = 90, så AE blir en normal til linja m Andre vinkler Ved hjelp av vinkelhalveringskonstruksjonen og konstruksjonen av en seksti graders vinkel kan du i prinsippet konstruere enhver vinkel som kan skrives som en endelig sum på formen a1 a a3 an 60 a n L, der { a } i er en følge av ikke-negative hele tall. Nedenfor ser du eksempler Likebeinte trekanter Du får som regel oppgitt den sida som ikke er lik noen av de andre, og deretter høyden, eller lengden av de to like sidene eller de to like vinklene eller toppvinkelen: 1.4 Oppgaver Tegn et linjestykke AB, og oppreis midtnormalen på linjestykket Tegn en rett linje og merk av et punkt utenfor linja. Konstruer normalen fra punktet på linja. MA-13 Geometri 10 Byrge Birkeland

11 1.4.3 Tegn en rett linje, og merk av et punkt på linja. Konstruer normalen på linja i punktet. Halver den rette vinkelen, så du får en vinkel på 45. Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 60 grader. Konstruer så vinkler på 30 grader, 15 grader, 75 grader Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja har lengde 3 cm, og de to like lange sidene er 5 cm. Konstruer så en likebeint trekant der grunnlinja er lengde 3 cm, og høyden er 4 cm Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og vinkelen ved grunnlinja er Konstruer så en likebeint trekant der toppvinkelen er 30 og de like lange sidene er 4 cm Ta for deg kongruenssetning SSV. Finn på et eksempel som viser at ordene til den lengste sida er nødvendige å ha med. 1.5 Elementære teoremer Nedenfor gjengir vi en del elementære setninger i euklidsk geometri. Bevisene gjør ikke krav på å være strenge i aksiomatisk forstand, så de kalles begrunnelser snarere enn bevis Toppvinkler Setning Toppvinkler er like Bevis. På tegningen er u+ v = 180 og v+ w= 180. Vi trekker fra, og får u w= 0 eller u = w Ytre vinkel i trekant Setning En ytre vinkel i en trekant er større enn de to indre vinklene som ikke er dens supplementvinkel. Bevis. Vi ser på trekanten ABC med den ytre vinkelen CBD. Vi finner midtpunktet E på BC, trekker linja AE, og avsetter AE=EF. AEC = BEF som toppvinkler og dermed AEC BEF etter kongruenssetningen SVS. Men da er ACE = EBF. Siden CBD = CBF + FBG, må CBD > CBF = C. På tilsvarende måte vises at CBD > A. Denne setningen har som konsekvens setningen om samsvarende vinkler: Setningen om samsvarende vinkler Setning La l og m være to linjer som overskjæres av en tredje linje n. Da er samsvarende vinkler like store hvis og bare hvis linjene l og m er parallelle. MA-13 Geometri 11 Byrge Birkeland

12 Bevis. Hvis l og m skjærer hverandre i punktet C, er u en ytre vinkel i trekanten ABC og derfor større enn v = CBA ifølge forrige setning. Hvis u og v er like store, må derfor l og m være parallelle. Anta så at de er parallelle, men u v. Vi kan da trekke en linje k gjennom B slik at vinkelen mellom k og n er u. Da har vi i så fall to ulike paralleller med u gjennom B. Det er umulig etter parallellaksiomet. Denne setningen kan brukes til å konstruere en parallell med en oppgitt linje gjennom et oppgitt punkt. Se figuren til høyre. Du starter med å trekke en linje m fra et vilkårlig punkt B på den oppgitte linja og slår sirkler eller sirkelbuer med samme radius og sentrum i B og P. Korden CD i sirkelen omkring B bruker vi så som radius i en sirkel med sentrum i skjæringspunktet F mellom m og sirkelen gjennom P. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er E. Vi trekker så linja PE, som blir parallell med l Summen av vinklene i en trekant Setning Summen av vinklene i en trekant er 180 Bevis. Vi trekker en parallell BE med AC gjennom B, jfr. figuren. A= u og EBD er samsvarende vinkler når linja AD skjærer de to parallelle linjene AC og BE og dermed like. CBE er toppvinkel til en vinkel som er samsvarende med C = v når linja BC skjærer de to parallelle linjene AC og BE. Dermed er CBE = C = v. Da er A+ B+ C = ABC + CBE+ EBD = 180. Av dette beviset følger også: Setning En ytre vinkel i en trekant er summen av de to andre vinklene Vinklene i likebeinte trekanter Setning Gitt et linjestykke AB. AB er grunnlinje (dvs. den sida som ikke er en av de to like lange sidene) i en likbeint trekant ABC hvis og bare hvis CAB = CBA. Bevis. Anta at AB er grunnlinja i den likebeinte trekanten ABC, der AC=BC. La M være midtpunktet på AB Da er AMC CMB ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må MAC = MBC. Omvendt, anta at BAC = ABC. Vi konstruerer normalen fra C på AB, og antar at skjæringspunktet er M. Da er AMC = BMC = 90. Etter kongruenssetningen VSV er da AMC CMB, og da må AC=BC. MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

13 1.5.6 Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Setning Hvis to vinkler har bein som er parvis parallelle eller står parvis normalt på hverandre, er de like. Bevis. De parallelle vinkelbeina peker enten i samme retning eller i motsatt retning. Setningen for parvis parallelle vinkelbein følger enkelt av setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer i tilfellet da vinkelbeina har samme retning. I tilfelle de har motsatt retning må du i tillegg bruke at toppvinkler er like store. Se figuren ovenfor. I det tilfellet at vinkelbeina står parvis normalt på hverandre, kan vi først bruke setning for parvis parallelle vinkelbein til om nødvendig å flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene har felles toppunkt. Etter det ser situasjonen ut som på figuren til høyre. Her er AOB+ BOC = 90 og BOC+ COD = 90. Subtraksjon gir AOB COD = 0 eller AOB= COD. 1.6 Similariteter og formlikhet En similaritet eller formlikhetsavbildning er en avbildning ϕ : slik at det finnes et tall k>0 slik at ( ) ( ) (, ) (, ) d ϕ P ϕ Q = k d PQ, der d er avstandsfunksjonen. M.a.o. blir alle avstander multiplisert med et det samme positive tallet. To plane figurer sies å være formlike eller similære hvis den er bildet av den andre ved en similaritet. Den ene er da en forminsket eller forstørret utgave av den andre. Eller du kan oppfatte dem som samme figur i to ulike målestokker.eller: Alle vinkler er like, og alle lengder er multiplisert med en konstant faktor. Prototypen på en similaritet er en homoteti (eller dilatasjon). En homoteti er bestemt et homotetisentrum O og en homotetifaktor k 0 slik at et punkt P avbildes på et punkt Q uuur uuur som ligger på strålen OP og slik at OQ= k OP. Se figuren til høyre, der homotetisenteret er O. Den originale figuren er lengst til høyre, deretter har vi en kopi med homotetifaktor 0,5 og deretter en kopi med homotetifaktor -0,7. Similariteter har mange av de samme egenskapene som isometrier, og bevisene for disse egenskapene er også svært like. Vi tar ikke med alle bevisene Setninger om similariteter Setning i. En similaritet avbilder en linje på en linje. ii. En similaritet avbilder parallelle linjer på parallelle linjer iii. En similaritet er entydig bestemt ved virkningen på en trekant iv. Enhver similaritet er en bijeksjon v. En similaritet bevarer vinkler Bevis for i.:la A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en similaritet med faktor k>0, og la A, B B. Da er ( ) ( ) og P være bildene av A, B og P ved denne similariteten. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. k d AP, + k d PB, = k d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) MA-13 Geometri 13 Byrge Birkeland

14 Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Transversalsetningen Setning 1.5.: Transversalsetningen. To linjer l og m skjærer over en vinkel A. Det ene vinkelbeinet skjærer l i B og m i B, det andre vinkelbeinet skjærer l i C og m i C Da gjelder AB AC følgende: l m AB' = AC '. Bevis. Hvis l og m er parallelle, har BCB' og BCC ' samme grunnlinje BC og samme høyde, avstanden mellom l og m. De må da ha samme areal. Derfor må også AB' Cog ABC ' ha samme areal. ABC og AB' Char samme høyde, nemlig avstanden fra C til AB. Forholdet mellom deres arealer må da være det samme som AB forholdet mellom deres grunnlinjer, altså. Pa samme måte har AB ' ABC og ABC ' samme høyde, og forholdet mellom deres arealer må være det samme som forholdet mellom AC deres grunnlinjer altså AC '. Men da må AB ( ABC) ( ABC) AC = = =. AB' AB' C ABC' AC ' Anta omvendt at ( AB' C) ( ABC ') ( BB' C) ( BC' C) AB AB' AC =. Da har vi ( ABC ) AC ' ( ) ( ) ( ) ( ABC) ( ) AB AC = = =. Da må AB' C AB' AC' ABC ' =. Men ABC er felles for disse to trekantene, så vi må også ha at =. Men disse to trekantene har felles grunnlinje BC, så for å få samme areal må disse to trekantene også ha samme høyde. Det betyr at avstandene fra B og C til l er de samme. Linjene l og m må da være parallelle. Transversalsetningen er fundamental i studiet av formlikhet. Her er et par konsekvenser: Setning To trekanter som har de samme vinkler, er formlike. Bevis. Vi kan flytte ABC rundt på ABC ' ' ' slik at A faller sammen med A eller B faller sammen med B eller C faller sammen med C. I hvert av tilfellene blir BC BC, ' ' hhv. AC AC ' ', hhv. AB AB ' ' AB AC AB BC Transversalsetning gir i hvert tilfelle: =, = AB ' ' AC ' ' AB ' ' BC ' ' AC BC AB AC BC og =. Vi har da = =, og det betyr at V ABC og AC ' ' BC ' ' AB ' ' AC ' ' BC ' ' V ABC ' ' ' er formlike. Legg merke til at dette er spesielt for trekanter, det gjelder ikke for polygoner med mer enn tre hjørner. For eksempel har ethvert rektangel de samme vinklene som et kvadrat, men de er ikke formlike. MA-13 Geometri 14 Byrge Birkeland

15 1.6.3 Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold La oss si at du har et linjestykke AB som skal deles i et bestemt forhold, for eksempel 5:3. Da trekker du først en stråle gjennom A eller B og avsette 5+3=8 like deler langs dette stykket. Fra det siste punktet trekker du en linje til B. Så trekker du en parallell med denne gjennom det femte delingspunktet. Skjæringspunktet med AB blir da det søkte punktet. Dette følger nå av transversalsetningen. 1.7 Areal Når vi har definert en avstand, lengde og vinkel, kan vi definere arealet av et rektangel med sider b og h som bh. Arealet av andre plane figurer begrenset av rette linjestykker kan så beregnes ved hjelp av denne definisjonen. Arealet av en polygon ABC skrives ofte (ABC ) Arealet av en trekant Gitt en rettvinklet trekant ABC. Vi trekker en linje gjennom A parallell med BC, og en linje gjennom C parallell med AB. Linjene skjæres i D. Trekantene ABC og ACD blir kongruente etter setningen om samsvarende vinkler, og kongruenssetning VSV. De to trekantene har da samme areal, som må være halvdelen av arealet av rektanglet ABCD, altså 1 bh. Vi kan nå finne arealet av en vilkårlig trekant ved å dele den opp i to rettvinklede trekanter, se figuren nedenfor til høyre. I alle tilfelle blir arealet 1 g h, der g er lengden av en av sidene, mens h er høyden fra det motstående hjørnet Arealet av et parallellogram Arealet av et parallellogram er lengden av en av sidene ganger avstanden mellom denne og den siden som er parallell med denne. Det kan du se ved å nedfelle et par normaler og flytte en rettvinklet trekant slik at du kan sammenligne med arealet av et rektangel, jfr. figuren til høyre Arealet av et trapes Arealet av et trapes finnes også ved å rekke to normaler, slik at vi får fram et rektangel med side a og h, der a er den lengste av de parallelle sidene, og h er avstanden mellom disse. Da har vi et areal som er så mye større enn arealet av trapeset som arealet av de to skraverte trekantene på trekanten til høyre. Disse har til sammen et areal på 1 ( b a) h 1 1 ah a b h= a+ b h., så arealet av trapeset er ( ) ( ) MA-13 Geometri 15 Byrge Birkeland

16 1.7.4 Arealet av et polygon Ethvert polygon kan trianguleres, dvs. det kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer. 1.8 Pythagoras setning Setning 1.8.1: Pythagoras setning. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene. Denne setningen er eldre enn Pythagoras, og har røtter tilbake til det gamle Egypt og Babylon, og det finnes utallige bevis for den. Det hører med til allmenndannelsen å kjenne til noen av bevisene. Det første beviset for setningen framgår av følgende figur: Ideen i beviset er at det samme arealet kan dekkes av fire ganger den aktuelle trekanten, samt enten kvadratene på de to katetene eller kvadratet på hypotenusen. Pythagoras setning er kanskje den mest kjente av alle setninger i elementær geometri, og er også kanskje den mest brukte setningen i elementære geometrioppgaver. En eksamensoppgave i elementær euklidsk geometri uten bruk av Pythagoras setning er nærmest utenkelig Thabit ibn Qurras bevis Les om Thabit ibn Qurras her. Ideen er her at man dreier ABE 90 om E, og BDG 90 om G i negativ retning, og ser at det samme arealet som i figuren til venstre dekkes av kvadratene på de to katetene, dekkes av kvadratet på hypotenusen i figuren til høyre Euklids bevis for Pythagoras setning La (AB ) bety arealet av polygonet (AB ). W MLNC og ANC har samme grunnlinje NC og samme høyde NL, og derfor er MLNC ANC ACKH = KBC ; disse har også ( ) = ( ). Men ( ) ( ) felles grunnlinje KC og samme høyde KH. Videre er ANC og KBC kongruente, fordi den ene framkommer av den andre ved rotasjon 90 om punktet C. Det følger at MLNC = ANC = KBC = ACKH. På tilsvarende måte ( ) ( ) ( ) ( ) vises at ( AGFB) ( MBDL) ( ACKH) + ( GFBA) = ( BDNC) =. Til sammen gir dette MA-13 Geometri 16 Byrge Birkeland

17 Det motsatte av Pythagoras setning gjelder også: Det omvendte av Pythagoras setning Setning 1.8.: Dersom summen av kvadratene på to av sidene i en trekant er lik kvadratet på den tredje sida, så er vinkelen mellom de to første sidene rett. Bevis. Anta at trekanten ABC er slik at AC + BC = AB. Vi konstruerer da en trekant DBC der BCD er rett, mens DC = AC, jfr. figuren. Ifølge Pythagoras setning har de to trekantene de samme sidelengdene og må derfor være kongruente ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må ABC være rettvinklet og C = Oppgaver (Eksamen i grunnskolen 1993) I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm. Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45. Konstruer normalen fra D på AB, og kall det punktet hvor normalen treffer AB, for E. Trekk diagonalen AC. Kall skjæringspunktet med DE for F. Forklar hvordan du konstruerte parallellogrammet ABCD. Konstruksjonen og forklaring skal føres på et ark uten ruter. a. Hvor stor er B? Begrunn svaret. b. Hvor lang er AE? Forklar hvordan du kom fram til svaret. c. Regn ut AD. d. Vis at AEF : CDF. e. Regn ut arealet av firkanten EBCF Tenk deg at du skal legge fliser på et areal som bare skal bestå av regulære mangekanter. Hvilke kan det bli tale om? I en femkant er alle vinklene 108. Må femkanten være regulær? I en trekant er alle vinklene 60. Er trekanten regulær? Kan du komme med et setning om hva som skal til for at en mangekant der alle vinklene er like, nødvendigvis er regulær? En utvendig vinkel i en mangekant er den vinkelen som framkommer hvis en side forlenges forbi hjørnet. Forklar hvorfor summen av de utvendige vinklene i en mangekant er 360. n 180. Bruk det til å vise at vinkelsummen i en n-kant er ( ) La ABC være en trekant, der C 60, og la E være skjæringspunktet mellom linja AB og halveringslinja for den ytre vinkelen i C. Denne halveringslinja deler linjestykket AB utvendig i samme forhold som de hosliggende sidene til C, dvs. AE = AC. Bevis det. BE BC MA-13 Geometri 17 Byrge Birkeland

18 1.9.6 Et parallellogram er gitt som på figuren. P er et punkt på diagonalen AC. EG og FH er parallelle med sidene i parallellogrammet og går gjennom P. a. Finn par av trekanter med like stort areal på figuren. b. Vis at arealene av de to parallellogrammene EBFP og HPGD er like store To kvadrater er hengslet sammen i det ene hjørnet. Det er trukket linjestykker mellom hjørner i de to kvadratene, slik figuren viser. Vis at arealene av de to trekantene som framkommer, er like store. Konstruer en regulær trekant, firkant, sekskant, åttekant og 1-kant Del ved konstruksjon linjestykket AB = 13 cm i 7 like store stykker a. Avsett et nytt linjestykke PS = 16 cm. Punkt Q ligger på PS slik at PQ : QS = 3 :, og punkt R ligger på QS slik at QR : QS = : 3. b. Konstruer punktene Q og R på PS. c. Regn ut PR Gitt et linjestykke a: a. Konstruer a og 5 a. b. Konstruer en trekant ABC slik at AC = 8 a, BC = 3 a og C = 90. c. Finn AB uttrykt ved a. Kontrollmål! Lenker til løsningsforslag: MA-13 Geometri 18 Byrge Birkeland

19 1.10 Egenskaper ved sirkler En sirkel med sentrum i O og radius r er altså det geometriske sted for de punktene som har avstanden r fra punktet O. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. En bue er en sammenhengende del av sirkelperiferien. En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til sirkelen er en rett linje som har ett punkt berøringspunktet eller tangeringspunktet - felles med sirkelen. Du kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to skjæringspunktene nærmer seg hverandre. Vi gjengir en del setninger om sirkler uten bevis: Setning i. Midtnormalen på en korde går gjennom sirkelens sentrum ii. En radius som står normalt på en korde, halverer korden. iii. To like buer svarer til like lange korder. iv. En tangent står normalt på radien til tangeringspunktet Thales setning om periferivinkler La C være en sirkel med sentrum i O. En vinkel med toppunkt i O kalles en sentralvinkel i sirkelen C, mens en vinkel med toppunkt på C og bein som skjærer C, kalles en periferivinkel i C. Setning 1.10.: Thales setning: Hvis en periferivinkel og en sentralvinkel skjærer av samme bue, er periferivinkelen halvdelen så stor som sentralvinkelen. Spesielt legger vi merke til at alle periferivinkler over samme bue er like store. Bevis. Jfr. figuren. Trekanten AOB er likebeint, og derfor er OAB = OBA. AOC er ytre vinkel i AOB og derfor lik OAB+ OBA= ABC. Sentralvinkelen AOC er derfor det dobbelte av periferivinkelen ABC. Et viktig spesialtilfelle er følgende: Korollar En periferivinkel som spenner over en diameter i sirkelen, er rett. MA-13 Geometri 19 Byrge Birkeland

20 1.10. Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. Korollaret etter Thales setning og setningen om at en tangent står normalt på en radius kan vi bruke til å konstruere tangenten til en sirkel C med sentrum i O fra et punkt P utenfor sirkelen, se figuren til høyre. Vi konstruerer først midtpunktet M på linjestykket O. Så slår vi en sirkel C med sentrum i M og radius OM=MP. De to sirklene har skjæringspunkter A og B. P.g.a. korollaret til Thales setning er vinklene OAP og OBP rette. Men OA og OB er radier i C, så da må AP og BP være tangenter Trekant med gitt side og motstående vinkel Thales setning er en av de mest brukte setningene i elementære geometrioppgaver. La oss se på en annen anvendelse. Du skal konstruere en trekant, og får oppgitt en side AB i trekanten og dessuten den motstående vinkelens størrelse v. Spørsmålet er hvor det tredje hjørnet kan ligge. Svaret er at det må ligge på en sirkel der AB er en korde som spenner over en bue som tilsvarer en sentralvinkel på v. Denne kan forholdsvis lett konstrueres slik som på figuren til høyre. Tenk igjennom konstruksjonen! Sirkelens omkrets og areal. Arealet av sirkelsektorer og -segmenter. Å beregne sirkelens areal hører egentlig hjemme i en helt annen matematisk disiplin enn elementær geometri, nemlig matematisk analyse. Her skal vi derfor bare minne om at omkretsen av en sirkel er proporsjonal med diameteren: Omkrets = π r, og at proporsjonalitetsfaktoren er et irrasjonalt tall som kalles π (pi). De første sifrene i π er Areal av en sirkel med radius r er π r. Opp igjennom historien har man beregnet størrelsen på π stadig mer nøyaktig, og i våre dager er det ingen grenser hvor nøyaktig den kan beregnes Et punkts potens med hensyn på. en sirkel Potensen til et punkt P med hensyn på en sirkel er definert slik: Trekk en sekant gjennom P, og finn avstandene d 1 og d fra punktet P til hvert av skjæringspunktene med sirkelen. Da er potensen til punktet med hensyn på sirkelen definert som d1 d. For at dette skal ha mening, må vi vise at potensen er uavhengig av hvilken korde v i trekker. Setning La P være et punkt som ikke ligger på en sirkel med radius r og sentrum i O, og la d være avstanden fra P til O. Hvis P ligger utenfor sirkelen, vil produktet av avstandene fra P til de to skjæringspunktene mellom sirkelen og en sekant gjennom P som skjærer sirkelen punktets potens med hensyn på sirkelen -, være uavhengig av hvilken korde som brukes. Hvis P ligger innenfor sirkelen, er potensen r d. Hvis P ligger utenfor sirkelen, er potensen d r, og potensen er lik kvadratet av lengden av tangentstykket mellom P og sirkelen. MA-13 Geometri 0 Byrge Birkeland

21 Bevis. Vi ser først på det tilfellet at P ligger innenfor sirkelen, jfr. figuren til høyre. Vi trekker to korder AB og CD gjennom P. Da er ACD og ABD periferivinkler over samme bue AD og dermed like, mens CAB og CDB er periferivinkler over samme bue CB og dermed like. Derfor er CAP : BDP, og dermed er AP DP = og derfor AP PB= PC PD. Det viser at potensen er PC PB uavhengig av hvilken korde som brukes. Spesielt kan vi se på en diameter, altså en korde gjennom sentrum O. Hvis d er avstanden r d r+ d = r d fra P til O er potensen definert ved hjelp av denne korden ( ) ( ) La oss så se på det tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen. Vi finner at PBD= PCA som periferivinkler over samme bue AP DP AD, og dermed at PBD: PAC. Da må = og dermed PC PB PA PB= PD PC. Spesielt kan vi se på sekanten gjennom sentrum i sirkelen. Da blir potensen ( d r) ( d + r) = d r. La oss så trekke en tangent til sirkelen fra P til tangeringspunktet T. Da blir PTO rettvinklet, og Pythagoras setning gir PT = d r = d r d + r. Potensen er altså lik kvadratet av tangentstykket PT.. ( ) ( ) Mellomproporsjonalen Et gammelt problem er rektanglets kvadratur: Gitt et rektangel med sider a og b, finn et kvadrat med samme areal, altså et kvadrat med side x slik at x = a b eller x = a b. Dette spørsmålet kan besvares ved en av to mulige konstruksjoner: I figuren til høyre avsetter vi de to lengdene a og b etter hverandre: AC=a og CB=b på en linje og finner midtpunktet på linjestykket AB. Vi trekker så en sirkel med denne som diameter.og oppreiser en normal i punktet C. Denne skjærer sirkelen i D. Nå er ADB = DCB = 90 og CAD = CDB fordi vinkelbeina står parvis normalt på hverandre. Da er ACD og DCB formlike, og derfor er AC a CD x = = = CD x CB b På figuren til høyre avsetter vi først a=a B og deretter i motsatt retning b=b C.Så konstruerer vi en sirkel med A B som diameter. Vi oppreiser en normal i C ; denne skjærer sirkelen i D. Vi har da to formlike trekanter ABD ' ' ' og DBC ' ' ', og da er AB ' ' a BD ' ' x = = =. BD ' ' x BC ' ' b MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

22 Konstruksjonen som løser problemet med rektanglets kvadratur ser da slik ut: Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant Setning Halveringslinja for en vinkel i en trekant skjærer den motstående sida i samme forhold som de hosliggende sidene i trekanten Bevis. CD er halveringslinja for BCA. BE trekkes parallell med AC. Da er ACE = CEB som samsvarende vinkler. Da er CEB likebeint, og EB=BC. Trekantene EBD og ADC er formlike, og BD EB BC = =. AD CA CA Denne setningen er ofte brukt i elementære geometrioppgaver Trigonometriske funksjoner E La ABC være en rettvinklet trekant, der B er den rette vinkelen. Hvis AB C er annen rettvinklet trekant der B C er parallell med BC og dermed ABC : AB' C', følger det av BC BC ' ' transversalsetningen at =. Det betyr at når vinkelen AC AC ' A er den ene vinkelen i en rettvinklet trekant, så er forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen uavhengig av trekantens størrelse, og derfor bare avhengig av vinkelen. Dette forholdet defineres som sinus til vinkelen, og sin A er et eksempel på en trigonometrisk funksjon. Det finnes flere av dem, nemlig cosinus, tangens, og mer sjeldent brukt, cotangens, secans og cosecans. De er definert slik: BC motstående katet AB hosliggende katet sin A = =, cos A = =, AC hypotenus AC hypotenus BC motstående katet 1 tan A = =, cot A AB hosliggende katet = tan A, 1 sec A = cos A, 1 cosec A = sin A Disse definisjonene av de trigonometriske funksjonene gir bare mening når vinkel ligger mellom 0 og 90. For andre vinkler defineres funksjonene slik: Tegn en sirkel med radius 1. For en gitt vinkel v, la den positive x-aksen være det ene vinkelbeinet. Roter den positive x-aksen vinkelen v for å få det andre vinkelbeinet. La skjæringspunktet P med enhetssirkelen ha koordinater x og y. Da er de trigonometriske funksjonene definert slik A u D C u B MA-13 Geometri Byrge Birkeland

23 y x sin v = y, cos v = x, tan v =, cot v =, x y 1 1 sec v =, cosec v = x y De trigonometriske funksjonene er et viktig verktøy for å finne vinkler i geometrioppgaver. Grunnen er at verdiene av dem er beregnet i detalj, og er tatt med på de fleste kalkulatorer. Kalkulatorene inneholder også de inverse til de trigonometriske funksjonene. Det vil si: Gitt for eksempel at sinv = 0.5, hvor stor er v? De inverse trigonometriske funksjonene skrives tradisjonelt Arcsin, Arccos, Arctan osv. i matematikken, men på kalkulatorer skrives de som regel som sin,cos,tan osv. Nå fins det mange vinkler som har samme verdi av sinus, eller cosinus eller tangens. For eksempel er sin30 = sin150 og cos30 = cos330 = cos( 30 ). Det har derfor vært nødvendig å velge hvilke intervaller de inverse trigonometriske funksjonene skal ligge i. Resultatet er Arcsinv [ 90,90 ], Arccosv [ 0,180 ], Arctanv 90,90. Studiet av de trigonometriske funksjonene er et ganske omfattende emne, og vi skal ikke gå inn i alle detaljer. Det er pensum i. klasse i videregående skole, og de vanligste formlene står i matematiske tabeller for videregående skole. I vår sammenheng er det stort sett nok å kunne definisjonene, forstå de to trigonometriske setningene sinussetningen og cosinussetningen, og å kunne bruke de trigonometriske funksjonene på kalkulatoren Areal av sirkelsektor og sirkelsegment En sirkelsektor er begrenset av to radier i sirkelen og buen som begrenses av dem. Et sirkelsegment er begrenset av en korde og den buen som begrenses av korden. Arealet av en sirkelsektor kan beregnes når du kjenner vinkelen som buen utspennes. Arealet vil da forholdet seg til arealet av hele sirkelen som denne vinkelen forholder seg til v 360 : A= π r. Arealet av et sirkelsegment kan da beregnes 360 som differensen mellom arealet av en sirkelsektor og en trekant: u 1 1 cos u sin u u A= πr r r = π sin u r Her har vi brukt formelen sinv = sinvcosv, som er en av de elementære trigonometriske formlene som du kan finne i matematiske formelsamlinger. 1.1 Noen egenskaper ved trekanter Omsirkelen til en trekant Setning Midtnormalene på sidene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, trekantens omsenter. Bevis.. Sentrum i en sirkel som skal gå gjennom A og B, må ligge like langt fra A og B og derfor på midtnormalen på AB. Det må også like langt fra B og C og derfor på midtnormalen på BC. Skjæringspunktet mellom disse normalene ligger da like langt fra A, B og C og derfor spesielt like langt fra A og C, dvs. på midtnormalen på AC. MA-13 Geometri 3 Byrge Birkeland

24 1.1. Sinussetningen Setning 1.1.: Sinussetningen. I en vilkårlig trekant ABC er lengdene av sidene a=bc, a b c b=ac, c=ab og radius i den omskrevne sirkelen R. Da er = = = R sin A sinb sin C Bevis. Vi trekker en diameter gjennom B og O som skjærer c omsirkelen i D. Da er DAB rettvinklet, så sin ADB =. R Men ADB og C er periferivinkler over samme bue AB og c c derfor like. Det betyr at sin C = eller R R sin C =. Vi kan gjøre akkurat det samme med hjørnene A og B, slik at a b c = = = R.. sina sinb sin C Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras setning Setning : Cosinussetningen. La ABC være en trekant med sider a, b og c motstående til vinklene A, B og C. Da gjelder c = a + b a b cosc Bevis. På figuren ser vi at BD = BC + CD = a+ b cos 180 v = a b cos v og ( ) ( ) AD = b sin 180 v = b sinv. Pythagoras setning gir da: ( ) c a b cosv b sin v a a b cosv b cos v b sin v = + = + + = cos Altså er: cos. a + b a b v c = a + b a b v Herons formel for arealet av en trekant Hvis ABC er en trekant med sider a, b og c, og s 1 ( a b c) er gitt ved formelen A= s( s a)( s b)( s c). Dette er bevist i en oppgave nedenfor Innsirkelen til en trekant = + + er halve omkretsen, er arealet Setning Halveringslinjene for vinklene i en trekant går gjennom ett punkt, innsenteret, og dette punktet er sentrum i trekantens innskrevne sirkel eller innsirkel. Bevis. Halveringslinja for vinkel A består av alle punkter som har samme avstand til linjene AB og AC. Halveringslinja for vinkelen B består av alle punkter som har samme avstand til linjene BA og BC. Skjæringspunktet har da samme avstand til AB, AC og BC. Spesielt har det samme avstand til CA og CB, og ligger derfor på halveringslinja for vinkel C. Legg merke til at radius i innsirkelen må konstrueres MA-13 Geometri 4 Byrge Birkeland

25 særskilt. Du må nedfelle normalen fra innsenteret på en av sidene. Du kan finne radien i innsirkelen ved å sette opp to uttrykk for arealet av trekanten. Det ene kan være beregnet ved hjelp av formelen 1 g h eller på annen måte, avhengig av hvilke opplysninger som er gitt. Det andre uttrykket er summen av arealene av trekanter, alle med 1 A radien i innsirkelen som høyde: A= ( a+ b+ c) r. Vi får da r =. a + b + c Høydene i en trekant Setning Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Bevis. Se figuren til høyre. Vi trekker en linje gjennom C parallelt med AB, en linje gjennom B parallelt med AC og en linje gjennom A parallelt med BC. Da får vi fire kongruente trekanter og en trekant A B C dere disse parallellene er sidene. Omsirkelen til ABC ' ' ' har som sentrum skjæringspunktet mellom høydene i ABC. Høydenes skjæringspunkt kalles trekantens ortosenter Medianene i en trekant En median i en trekant er et linjestykke som forbinder et hjørne med midtpunktet på den motstående sida. Setning Medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, og deler hverandre i forholdet :1. Bevis. La R, S og T være midtpunktene på hhv. AB, BC og CA. Skjæringspunktet mellom CR og TB er G. Trekantene ABC og ART må være formlike p.g.a. transversalsetningen. Da må RT:BC=1:. Videre må trekantene RGT og CGB være formlike, så RT:BC=RG:GC=1:. Da er RG=RC/3. La så H være skjæringspunktet mellom CR og AS, jfr. den øverste trekanten på figuren. Vi finner på nøyaktig samme måte som ovenfor at RH=RC/3. H og G må da være det samme punktet. Medianenes skjæringspunkt kalles også for trekantens tyngdepunkt eller gravitasjonssenter. Hvis trekanten er laget av et homogent materiale, vil den balansere hvis den understøttes i tyngdepunktet Egenskaper ved firkanter Varignons setning Setning Midtpunktene på sidene i en firkant danner hjørnene i et parallellogram. Bevis. La firkanten være ABCD og midtpunktene være PQRS, jfr. figuren. Av transversalsetningen følger at SP BD RQ, og PQ AC SR. MA-13 Geometri 5 Byrge Birkeland

26 1.13. Sykliske firkanter En firkant som kan innskrives i en sirkel, kalles en syklisk firkant. Setning En firkant er syklisk hvis og bare hvis summen av motstående vinkler i firkanten er 180. Bevis. Anta at firkanten ABCD er syklisk, og at den deler sirkelen i buene x=da, y=ab, u=bc og v=cd. Thales setning 1 A u v C = 1 x+ y og dermed = ( + ) og ( ) A C ( u v x y ) + = = = 180. Da må også B+ D = Det gylne snitt Du kan lese en artikkel om det gylne snitt i det norske Wikipedia her Når et rektangel med sider h og b har en slik form at h = b, sies rektanglet å være et b h b gyllent rektangel. Da er det altså slik at bredden er mellomproporsjonalen mellom høyden og differensen mellom høyden og bredden. Denne formen på et rektangel har tradisjonelt av mange vært ansett som den optimale formen på et lerret som brukes til et maleri. Du vil finne formen igjen på mange klassiske malerier. Den dukket også opp i romanen Da Vinci-koden. Vi snur brøkene på hodet b h b b h = eller = 1, setter h b = x og får 1 x 1 h b h b x = og 1 x x 1= 0. Dette er en annengradsligning med løsningen x = ( 1 ± 5 ). Vi må ha et 1 positivt tall som løsning, så ( ) ( 5 1) ( 5 + 1) ( 5 1) x = , og vi finner ( ) 1 1 = = Den siste verdien går x under navnet ψ - psi. La oss nå se på konstruksjonen av det gylne snitt: Vi starter med å konstruere et rettvinklet trekant ABC, der AB er det gitte sida s og AC er halvdelen av denne. Etter Pythagoras s setning er da ( ) ( ) 1 Siden AC s BC = + s = s + 4s = s =, må BE BF ( s ) betyr at ABFD er et gyllent rektangel. = = Det Regulær tikant og femkant Konstruksjonen av en regulær tikant henger sammen med det gylne snitt. Vi ser på en regulær tikant med side s og tar ut en trekant ABC, der A og B er hjørner i tikanten og C er sentrum i den omskrevne sirkelen, som har radius r. ABC er da en likebeint trekant med toppvinkel = 7. Vi konstruerer så en ny =. Vinklene ved grunnlinja blir da ( ) likebeint trekant ABD der AB=AD. Da blir CAD = 7 36 = 36, slik at også CAD er MA-13 Geometri 6 Byrge Birkeland

27 AB s BD r s likebeint og AB = AD = CD = s. Da blir BDA: ABC, og vi får = = =. AC r AB s rs er forhold som det gylne snitt. Konstruksjonen av en regulær tikant Det betyr at paret (, ) og dermed også femkant går derfor som på figuren til høyre nedenfor Papirformat Vanlige A4-ark er ikke et gyllent rektangel. Prinsippet for A-formatene er slik: I utgangspunktet er et A0-ark på 1 m. For å komme fra et papirformat til det neste skal arket bare deles på midten. Det betyr at kortsida x må være mellomproporsjonalen mellom langsida a og halve a 1 langsida a. Da må x = a = a og a a x= = eller a= x. Den lengste sida s i et A0-ark må da være gitt ved at s s = 1m og s = 4 m 1.189m. Den lengste sida i et A4-ark blir da ( ) m= m 97 mm, mens kortsida blir Ta for deg et A4-ark og kontroller at dette stemmer mm Firkant og trekant med samme areal Gitt en firkant ABCD. Du får i oppgave å konstruere en trekant med samme areal. Løsningen ser du på figuren til høyre. Vi konstruerer en parallell med diagonalen DB gjennom C. Enhver trekant med grunnlinje DB og det tredje hjørnet på denne parallellen må da ha samme areal som trekanten DBC. Spesielt kan vi se på trekanten DBE, der E er skjæringspunktet mellom parallellen og AD. ADB er felles for ABCD og ABDE, og vi må ha ( ABE) = ( ABD) + ( DBE) = ( ABD) + ( DBC) = ( ABCD) MA-13 Geometri 7 Byrge Birkeland

28 1.14 Oppgaver Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel på 45 og hvis bein går gjennom A og B A og B er to punkter i planet med avstand 6 cm. Du skal konstruere en trekant ABC der C = 30. a. Arealet av ABC skal være 1 cm. Konstruer trekanten. b. Arealet av ABC skal være maksimalt. Konstruer ABC Av alle trekanter ABC der størrelsen av A og BC er gitt, vil den likebeinte trekanten med A som toppunkt være den som har størst areal. Hvorfor? De to linjestykkene a og b er lik 4 og 7 cm. Konstruer mellomproporsjonalen mellom a og b Et rektangel har sider 5 og 9 cm. Konstruer et kvadrat med like stort areal Du har gitt to kvadrater, Konstruer et nytt kvadrat med areal lik summen av de to Gitt en vinkel, der beina skjærer en sirkel og skjærer over buer på henholdsvis x og y (grader). Uttrykk størrelsen av vinkelen v, i de to tilfellene at vinkelens toppunkt er utenfor eller inni sirkelen En korde-tangent-vinkel har størrelse v. Vis at den skjærer av en bue på v (Eksamen i grunnskolen 1991) a. Slå en sirkel med radius 4,0 cm, og kall sentrum i sirkelen S. Sett av to punkter A og B på sirkelperiferien slik at AB blir 10. b. Konstruer en tangent til sirkelen i punkt A og en tangent i punkt B. MA-13 Geometri 8 Byrge Birkeland

29 Forleng tangentene til de skjærer hverandre. Kall skjæringspunktet for T. c. Regn ut AT Forleng linjestykket TS slik at det skjærer sirkelen. Kall dette skjæringspunktet for R. d. Tangenten i R skjærer forlengelsen av TA i punktet D og TB i punktet C. Vis at trekanten TSB er formlik med trekant TDR. e. Regn ut CD Tangentkonstruksjoner a. Slå en sirkel med radius 3,5 cm om et punkt O. Avsett AO=7,0 cm, og konstruer tangenten til sirkelen gjennom A b. Trekk ei linje m gjennom A og O. Punktet B ligger på m utenfor sirkelen slik at AB>AO og 1 slik at linja m og tangenten gjennom B danner en vinkel på 67. Konstruer denne tangenten. c. Tangenten gjennom A og tangenten gjennom B skjærer hverandre i punkt C slik at vinkel C er spiss. Regn ut ACB Sidene i en trekant ABC har lengder a, b og c., der a er motstående til A osv. Radius i den omskrevne sirkelen er R. Vis at følgende er uttrykk for arealet T av trekantene ABC: 1 a. T = absin C d. abc T = 4R I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene. a. a=4,7 cm, c=6,9 cm og C = 56. b. c=7, cm, A = 51 og C = 7 c. B = 48, a=8,0 cm og c= 6,3 cm Gitt trekanten til høyre: Vis at a= b cosc+ c cos B a. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at sina= sinb cosc+ sinc cos B Gitt en trekant ABC. a. Konstruer en sirkel S 1 som går gjennom A og som tangerer linja BC i B b. Konstruer en sirkel S som går gjennom A og tangerer BC i C. c. Vis følgende: Dersom S1 har radien s og S har radien t, så er st=r, der R er omradius til ABC I en trekant ligger omsenteret på en av sidene i trekanten. Hva kan vi si om denne trekanten? MA-13 Geometri 9 Byrge Birkeland

30 Forklar at omsenteret og ortosenteret til en stumpvinklet trekant ligger utenfor trekanten Gitt en trekant ABC. Konstruer en ny trekant DEF med sider lik medianene i ABC. Undersøk forholdet mellom arealene av de to trekantene Er en trekant med to like lange medianer en likebeint trekant? Begrunn svaret Er en trekant med to like lange høyder en likebeint trekant? Begrunn svaret Vis at omradien i en trekant kan beregnes som R = abc 4 A er arealet av trekanten. Vink: Bruk sinussetningen En rettvinklet trekant har sider 3, 4 og 5. Regn ut innradien og omradien Vis Herons formel for arealet av en trekant. Du kan gå fram slik: 1 a. Arealet er T = bc sin A b. Cosinussetningen gir et uttrykk for cos A. A, der a, b og c er sidene i trekanten og c. Av a. og b. får du uttrykk for sin A og cos A. Disse settes inn i relasjonen sin A+ cos A= 1. d. Vis av dette at 16T = 4bc ( b + c a ) e. Bruk konjugatsetningen x y = ( x y ) ( x + y ) Tegn en vilkårlig trekant ABC, og trekk medianen AM. Halver nabovinklene AMB og AMC, og kall halveringslinjenes skjæringspunkter med AB og AC for henholdsvis P og Q. Bevis at PQ er parallell med BC a. Konstruer trekanten ABC, der AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. b. Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene. c. Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b Konstruer en trekant der du har gitt to sider a og b og lengden av den mellomliggende vinkelens halveringslinje innefor trekanten. Hva er betingelsen for løsningen? I trekanten ABC er C = 90, A = 30 og AB=s. Halveringslinja for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier.. MA-13 Geometri 30 Byrge Birkeland

31 Konstruer en trekant der forholdet mellom to sider er 3:4., den mellomliggende vinkelen er 75, og lengden av denne vinkelens halveringslinje innenfor trekanten er 5 cm Gitt et trapes ABCD med parallellsidene AB og CD. Diagonalene skjærer hverandre i E, og sidene AD og BC skjærer hverandre i F. Bevis at den rette linja EF halverer AB og CD I en sirkel med radius 5 cm er innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer trekanten, og regn ut sidene, Høyden fra C på AB forlenges til den skjærer sirkelen i E. b. Finn arealet av firkanten AEBC I en trekant ABC er AB=10 cm, BC=6 cm, høyden fra C på AB er 3 3 cm, og a. Konstruer trekanten og den innskrevne sirkelen i trekanten. b. Hvor lang er siden AC? c. Hvor lang er radius i den innskrevne sirkelen? B er spiss a. Konstruer et trapes ABCD der avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er lik et gitt linjestykke a: , BAD = 90 og BAC = 30. Diagonalene skjærer hverandre i punktet E slik at AE:EC=:1. b. Finn diagonalene AC og BD uttrykt ved a Konstruer en firkant ABCD der AB=6 cm, BC=4 cm, AD=7,5 cm, CD=5 cm og diagonalen AC er 8 cm. Halver vinklene B og D, og bevis at halveringslinjene må slkjære hverandre på AC. Hvor langt ligger dette skjæringspunktet fra A? Undersøk tilsvarende halveringslinjene for vinklene A og C På en linje l er merket av to punkter A og B. En annen linje m skjærer l utenfor AB. Finn det punktet P på m som gjør vinkelen APB så stor som mulig Gitt et kvadrat ABCD med side 4 cm. Finn midtpunktet M på BC, og bestem ved konstruksjon et punkt P på siden CD slik at vinkelen APM blir så stort som mulig. Regn så ut avstanden CP både i eksakt form og i cm med to desimaler På en 54 m høy holme står et 4 m høyt fyrtårn. Hvor langt fra tårnets fotpunkt i vannflatens nivå må en ro ut for å se tårnet under størst mulig vinkel, forutsatt at en kunne ha øyet i vannflaten? MA-13 Geometri 31 Byrge Birkeland

32 a. Gitt en sirkel med radius r og et punkt P i en avstand r fra sentrum. Konstruer gjennom P en korde som blir delt av P i forholdet 1:. Regn ut den minste delen av korden. b. Gjenta konstruksjonen og beregningen når P har avstanden d fra sentrum. Hva er betingelsen for at oppgaven kan løses? a. Gjør ved konstruksjon et gitt rektangel om til et like stort kvadrat. b. Gjør det samme med en gitt trekant Gitt en vilkårlig femkant. Konstruer et like stort kvadrat Gitt en vilkårlig trekant. Konstruer en linje som er parallell med en av sidene og halverer trekantens areal Hva er den minste mulige verdien et punkts potens kan ha? For hvilke punkter har punktets potens denne verdien Hva er det geometriske sted for alle punkter hvis potens er konstant? En sirkel med radius 3 cm er gitt. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier i svarene der du får kvadratrøtter, ikke tilnærmingsverdier. a. Konstruer en sekant som skjærer av buen AB = 90 av sirkelen. Regn ut lengden av korden AB. b. Sett av et punkt C på sekanten utenfor B slik at BC = AB. Regn ut punktet C s potens med hensyn på sirkelen, og regn ut lengden av tangentstykket fra C til sirkelen. c. Konstruer så en trekant ACD slik at hjørnet D ligger på sirkelen og DB blir halveringslinje for ADC. Regn ut sidene i trekanten, og finn C Lenker til løsningsforslag MA-13 Geometri 3 Byrge Birkeland

33 1.15 Eksamensoppgaver i euklidsk geometri August 003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt a Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 3 AE = BF = a. AE og BF skjærer hverandre i M 3 a. Konstruer kvadratet ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AM, BE og CE. c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ABD. Finn lengden av AQ, DQ og BQ. e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. f. Finn lengden av CM Mai 00, oppgave Gitt sirkelen S 1 og korden AB på S 1. La C være et vilkårlig punkt på S 1 forskjellig fra A og B og slik at lengden AC er større enn lengden BC. La M være midtpunktet på sirkelbuen ACB. La E ligge på linja gjennom AC slik at C ligger mellom A og E og CE=BC. La BEC = θ og S omsirkelen til ABE. a. Uttrykk BCA og BMA ved θ. Grunngi svaret. b. Grunngi at sentrum til S er M. c. Vis at D er fotpunktet for normalen fra M hvis og bare hvis AD = DC + CB. Anta nå at D er fotpunktet for normalen fra M, og la F være midtpunktet på AB. d. Vis at DF er parallell med halveringslinja til BCA Mai 001, oppgave a. Linjestykket a er gitt: a I kvadratet ABCD er sida lik a. 1 Punktene P og Q ligger på henholdsvis AB og BC slik at AP = BQ = 3 a. Konstruer kvadratet ABCD og vis hvordan du finner P og Q ved konstruksjon. Trekk linjene AC, AQ og DQ. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Regn ut AC, DP og DQ c. DP og AQ skjærer hverandre i punktet R. Vis at trekant ARP og trekant ABQ er formlike. Regn ut AR. d. Diagonalen AC skjærer DQ i punktet S. Regn ut DS og SQ. e. Konstruer omsirkelen til trekant CDQ. Omsirkelen skjærer AC i punktet T. Begrunn hvorfor sirkelen også går gjennom R. Regn ut AT. MA-13 Geometri 33 Byrge Birkeland

34 Mai 005, oppgave 3 Et linjestykke a er gitt. a. I et trapes ABCD er AB og CD de parallelle sidene, og AB=3a, BC=a, ABC = 60 o. Diagonalen BD deler diagonalen AC i forholdet 3:. a. Konstruer trapeset. I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved tilnærmingsverdier. b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. c. Beregn lengden av diagonalen AC. d. Finn lengden av CD. e. Finne lengden av diagonalen DB. f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. g. Finn til slutt AED og lengden av AD Mai 000, oppgave a. Linjestykket a er gitt: a I trekanten ABC er AC=BC, og D er midtpunktet på AB. CD er a, og radien i innsirkelen er a. Kall sentrum i innsirkelen for O. Konstruer trekanten. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Innsirkelen tangerer AC i punktet E. Regn ut CE. c. Vis at trekanten EOC og trekantene DBC er formlike. Regn ut sidene i trekanten ABC. d. Den rette linjen gjennom A og O skjærer BC i punktet F. Regn ut BF og FC. e. Høyden CD skjærer sirkelen i et punkt K. Regn ut AK. f. L er det andre skjæringspunktet mellom AK og sirkelen. Regn ut korden KL Mai 000, oppgave 4 Trekant ABC er gitt. Normalen fra punktet C på sida AB skjærer punktet AB i punktet D. Omsirkelen til trekant ABC har sentrum O og diameter CE, slik figuren viser. a. Vis at ADC og EBC er formlike b. Anta at i ABC er A større enn B. Vis at da gjelder DCE = A B Mai 1996, oppgave 4 Gitt en trekant ABC og en sirkel S gjennom C, som har sentrum O. CO skjærer AB i F. Sirkelen S skjærer BC i D, AC i E og CF i G. a. La CF være normal på AB. Vis at da er FAC = EGC og at ABC og DEC er formlike. Vis at firkant ABDE har en omsirkel. b. Omvendt, la firkant ABDE ha omsirkel. Vis at da er ABC formlig med DEC. Undersøk om CF i dette tilfellet er normal på AB. MA-13 Geometri 34 Byrge Birkeland

35 c. Formuler en setning på grunnlag av punkt a) og b), som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at firkant ABDE har en omsirkel. Knytt formuleringen til retningen til tangenten til S i C Mai 1999, oppgave 4 En sirkel er omskrevet en firkant ABCD, og diagonalene AC og BD står normalt på hverandre i punktet P. Ei linje gjennom P står samtidig normalt på ei av sidene i firkanten. For eksempel står ei linje gjennom P normalt på side BC i punktet F. Denne normalen PF skjærer AD i punktet G. Se figuren. a. Vis at DPG = GDP. b. Vis at AG=GD Mai 003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt: a Gitt et trapes ABCD der AB CD. AB=a, og avstanden mellom de parallelle linjene er a. BAD = 60. Normalen til AB i B skjærer CD i E, og BC skjærer AE i forholdet :1 målt fra A. Normalen til AB i A skjærer CD i F. a. Konstruer trapeset ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AD, BC og CD. c. AE og BC skjærer hverandre i punktet H. Finn lengdene av AH og HE. d. Konstruer omsirkelen til trekant ADF, og finn lengden av radius i omsirkelen. Konstruer innsirkelen til trekant ABE, og finn lengden av radius i innsirkelen. e. Punktet T ligger på omsirkelen til trekanten ADF, på buen AD, slik at CT er tangent til omsirkelen. Finn lengden av CT. f. AD og BC skjærer hverandre i punktet G. Finn lengden av CG Mai 007, oppgave 1 Et kvadrat ABCD har side lik s, som du velger selv. E er midtpunktet på AB og F er midtpunktet på BC. Diagonalen BD skjærer AF i H. DE skjærer AF i G. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier og ikke erstatte røtter med tilnærmingsverdier. De ulike lengdene skal uttrykkes ved s. a. Tegn kvadratet. Regn ut AF. b. Hvorfor er trekantene AEG og AFB formlike? Regn ut lengden av AG, GF og DG. c. Hvor store er vinklene ABD og DBC? Regn ut AH og HF. d. Hvorfor vil CE gå gjennom H? Mai 007, oppgave Gitt en sirkel med radius r og sentrum i S.: I denne sirkelen skal det innskrives en firkant ABCD, der disse kravene skal være oppfylt: AB skjærer av en bue på 90. Diagonalen AC er diameter i sirkelen. Diagonalen BD skjærer diagonalen AC i E, slik at AE : EC = : 1. MA-13 Geometri 35 Byrge Birkeland

36 I alle utregninger nedenfor skal du bruke eksakte verdier, ikke tilnærmingsverdier, alle uttrykt ved r. a. Konstruer sirkelen og firkanten. b. Hvorfor er DB halveringslinje for D? Regn ut lengden av sidene i firkanten. c. Hva blir sidene i SBE? d. Regn ut DE. La høyden fra B på AD skjære AD i T, og høyden fra B på DC skjære DC (forlenget) i R. e. Hvorfor vil RT gå gjennom S? Mai 1994, oppgave 3 Gitt et punkt P på en sirkel C og en linje L som ikke skjærer sirkelen C. Konstruer sirkler gjennom P som tangerer L og C. Anta at to slike sirkler tangerer L i T 1 og T. Vis at tangenten til C i P går gjennom midtpunktet på T 1 T Mai 1997, oppgave Gitt et punkt S i planet og en linje l som ikke går gjennom S. Normalen fra S på l skjærer l i G. R er rotasjon om S en vinkel v. Anta at R v ( l) = l'. v S a. Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: ( ll, ') S = v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten ABC er det tegnet tre likesidede trekanter AC' B, BA' C og CB' A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotasjon om A med rotasjonsvinkel v = 60, at CC' BB' CCBB ', ' = 60. Kall skjæringspunktet mellom C C og BB for F. = og at ( ) Vis at omsirkelen til F kalles trekantens Fermatpunkt. AC' Bgår gjennom F. c. Vis at AFC = 10, og at firkanten AFCB er syklisk (dvs. at den har en omsirkel). Hvorfor er også CFB = 10, og firkanten BA CF også syklisk? Anta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene AC' B, BA' C og CB' Aer P, Q og R henholdsvis. d. Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er PQR likesidet? Mai 1999, oppgave 3 Gitt et linjestykke med lengde a: a I en sirkel med sentrum O og radius a er det innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer et linjestykke med lengde a. Konstruer trekanten ABC (Har du ikke konstruert linjestykket med lengden a, kan du måle lengden av a og i selve konstruksjonen av trekanten ABC bruke tilnærmingsverdien for radius). Kall fotpunktet for høyden fra C på AB for D b. Finn sidene i trekantene ABC uttrykt ved a. MA-13 Geometri 36 Byrge Birkeland

37 Forlengelsen av CD skjærer sirkelen i E. Punktet F ligger på sirkelen slik at AF er diameter. c. Vis at firkanten AEFC er et rektangel og at dette har like stort areal som firkanten AEBC. Forlengelsen av AE og forlengelsen av BC skjærer hverandre i G. Halveringslinja til vinkel AGC skjærer AC i H. d. Finn forholdet mellom AH og HC Mai 001, oppgave 4 Gitt en sirkel med kordene PR og QR, der PR er den korteste, slik figuren viser. S er midtpunktet på buen fra P til Q via R, og normalen fra S på QR skjærer QR i T. Punktet V ligger på forlengelsen av QR slik at VT=TQ og slik at R er mellom V og T. a. Fullfør konstruksjonen ut fra opplysningene ovenfor. Trekk PS, PQ, QS, SV og PV. Vis at trekantene VTS og QTS er kongruente. b. Vis at RPS = RVS og at SPQ = SQP. c. Vis at trekant PSV er likebeint og at PR+ RT = TQ August 003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt a Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 3 AE = BF = a. AE og BF skjærer hverandre i M 3 a. Konstruer kvadratet ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AM, BE og CE. c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ABD. Finn lengden av AQ, DQ og BQ. e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. f. Finn lengden av CM Mai 005, Oppgave 3. Et linjestykke a er gitt. a. I et trapes ABCD er AB og CD de parallelle sidene, og AB=3a, BC=a, ABC = 60 o. Diagonalen BD deler diagonalen AC i forholdet 3:. a. Konstruer trapeset. I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved tilnærmingsverdier. b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. c. Beregn lengden av diagonalen AC. d. Finn lengden av CD. e. Finne lengden av diagonalen DB. f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. g. Finn til slutt AED og lengden av AD. MA-13 Geometri 37 Byrge Birkeland

38 Mai 006, oppgave 3 Gitt en sirkel med radius r. På en diameter AB 3 ligger et punkt C slik at BC = r a. Konstruer figuren nedenfor og tangentene fra C til sirkelen. b. Tangeringspunktene er D og E. Beregn avstanden CD uttrykt ved r. c. Finn lengden av korden DE. d. Korden DE skjærer AB i F. Finn lengden av FB Mai 006, oppgave 4 I en trekant ABC er AB=4a, BC=a og AC=3a der a er linjestykket a. Alle lengder i oppgaven skal uttrykkes ved hjelp av a. a. Konstruer trekanten. b. Finn arealet av ABC og A. c. Halveringslinja for B skjærer AC i D, og normalen på denne halveringslinja gjennom B skjærer forlengelsen av AC i E. Finn lengdene av AD, DC og CE. d. Konstruer innsirkelen til ABC, og finn radien i denne. e. Konstruer omsirkelen til ABC, og finn radius i denne. f. La midtpunktet på BC være F, og trekk AF. La skjæringspunktet mellom BD og AF være G, og trekk CG til skjæring med AB i punktet H. Vis så hvordan Cevas setning kan brukes til å finne lengdene av AH og HB. g. Beregn avstanden mellom innsenteret og omsenteret ved hjelp av Eulers setning September 006, oppgave a. Bruk svararket til oppgave. Ta utgangspunkt i den øverste trekanten ABC, der B er rett. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt E på denne parallellen slik at CB=CE, og slik at A og E ligger på hver sin side av BC. Trekk linja AE, og kall skjæringspunktet med BC for F. Konstruer en parallell med AB gjennom F, og kall skjæringspunktet med AC for G. Konstruer til slutt en parallell med BC gjennom G, og kall skjæringspunktet med AB for H. (Du skal ikke skrive forklaring til konstruksjonen.) b. Hvorfor er ABF og ECF formlike? c. Hvorfor er ABC og GFC formlike? d. Bruk b) og c) til å bevise at FB=GF, slik at W HBFG er et kvadrat. Vi skal nå generalisere konklusjonen i oppgave d) til å gjelde trekanter ABC som ikke nødvendigvis er rettvinklede. Ta utgangspunkt i den nederste figuren på svararket til oppgave, der det er tegnet en vilkårlig spissvinklet trekant ABC. Konstruer normalen fra C på AB. La fotpunktet for normalen være D. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt E på denne slik at CE=CD, og slik at E og A ligger på hver sin side av CD. Trekk AE, og kall skjæringspunktet med BC for F. Trekk en parallell med AB gjennom F, og kall skjæringspunktet med AC for G. MA-13 Geometri 38 Byrge Birkeland

39 Trekk en parallell med CD gjennom G, og kall skjæringspunktet med AB for H. Trekk endelig en parallell med CD gjennom F, og kall skjæringspunktet med AB for I. e. Vis at W HIFG er et kvadrat. (Vink: Se på AFG og AEC samt på AIF og AJE, der J er fotpunktet for normalen fra E på AB.) September 006, oppgave 3 Gitt to sirkler, C 1 med radius r 1 og sentrum O, og C med radius r og sentrum Q, som berører hverandre utvendig, og slik at r 1 > r. I tillegg til den felles tangenten gjennom berøringspunktet har de to sirklene en annen fellestangent som har tangeringspunkter P på C 1 og T på C. Bruk svarark nr. 1 til oppgave 3.. a. Trekk opp QR PT slik at R ligger på OP, og bevis at PT = 4rr 1 (Vink: Bruk Pythagoras). Forklar hvordan dette kan brukes til å konstruere et linjestykke med lengden PT, gitt r 1 og r. QS QS + r1+ r b. La S være skjæringspunktet mellom tangenten PT og linja OQ. Vis at =. r r 1 c. Vis hvordan resultatene ovenfor kan brukes til å konstruere fellestangenten til to sirkler som berører hverandre utvendig. Bruk svarark nr. til oppgave 3. d. Konstruer fellestangentene til to vilkårlige sirkler med forskjellige radier som ikke skjærer eller berører hverandre. Jfr. svarark nr. 3 til oppgave 3. (Vink: Bevis en likhet som tilsvarer den i oppgave b.) September 006, oppgave 4 Gitt et kvadrat ABCD. La E, F, G og H være punkter på hhv, CD, AB, DA og BC. Vis at hvis GH står normalt på EF, så er GH og EF like lange Lenker til løsningsforslag: MA-13 Geometri 39 Byrge Birkeland