1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner

Transkript

1 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han gikk ut fra noen får grunnbegreper og aksiomer, og beviste alle setninger ved hjelp av disse. I denne fremstillingen skal vi ikke forsøke å bygge opp geometri på denne måten. Vi velger en mer intuitiv tilnærming, og trekker også inn begreper som Euklid ikke hadde med. En artikkel om geometriens historie finner du for eksempel i Wikipedia: Du kan lese om Euklid i det norske nettleksikonet Wikipedia på følgende adresse: En liten artikkel på norsk om Euklids elementer finner du her: En større artikkel med hele Euklids elementer finner du her: Grunnbegreper og notasjoner Punkt Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning. Vi bruker vanligvis store bokstaver A, B, C, som navn på punkter og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende. Hvor et punkt ligger i planet angis ofte ved hjelp av punktets koordinater i forhold et kartesisk koordinatsystem, et begrep som bygger på begrepene lengde, vinkel og parallellitet, som blir gjennomgått nedenfor. Se figuren til høyre Linje En (rett) linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning i begge retninger i én dimensjon. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l, m, n.. Gitt to punkter A og B, da finnes det nøyaktig én linje som går gjennom A og B. l AB, eller skrives bare linja gjennom A og B eller Denne noteres av og til ( ) linja AB. Tre eller flere punkter som ligger på samme linje, sies å være kollineære. Tre eller flere linjer som går gjennom samme punkt, sies å være konkurrente. MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

2 1.1.3 Parallelle linjer, parallellaksiomet To linjer som ikke skjærer hverandre, sies å være parallelle. Vi skriver dette l m. I euklidsk geometri gjelder parallellaksiomet. Dette finnes i flere ekvivalente versjoner; her er én: Parallellaksiomet: Gitt en rett linje l og et punkt P utenfor som ikke ligger på l. Da finnes det nøyaktig én linje m som går gjennom P og som er parallell med l. En annen versjon er at vinkelsummen i en trekant er 180 ; mer om dette nedenfor. Parallellaksiomet virker kanskje opplagt, men det er i en særstilling blant Euklids aksiomer. På 1800-tallet ble det bygd opp geometrier der parallellaksiomet ikke gjelder, de ikke-euklidske geometriene, og disse har vist seg meget nyttige, for eksempel i forbindelse med relativitetsteorien. Det finnes utallige artikler om ikke-euklidsk geometri på internett, for eksempel: Stråle En stråle er del av linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B Lengder og avstander Alle har en intuitiv forståelse av hva avstander og lengder er for noe. I matematikken kan vi + + definere en avstandsfunksjon i planet som en funksjon d : 0, der 0 betyr mengden av reelle tall 0, altså en funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall d(p,q) avstanden mellom P og Q - til hvert par (P,Q) av punkter i planet. Funksjonen må ha følgende egenskaper: i. d ( PQ, ) 0 ii. d ( PQ, ) = 0 hvis og bare hvis P = Q. iii. d ( PQ, ) = d ( QP, ) iv. d ( PQ, ) d ( PR, ) d ( RQ, ) mellom P og Q. + med likhet hvis og bare hvis R ligger på linjestykket PQ Tenk over hva disse kravene betyr: (i) sier at ingen avstander er negative. (ii) sier at to forskjellige punkter ikke kan ha avstanden 0, men ethvert punkt har avstanden 0 til seg selv. (iii) sier at avstanden fra P til Q er den samme som avstanden fra Q til P. (iv) sier stort sett at den korteste vei mellom to punkter P og Q er linjestykket PQ. Den kalles trekantulikheten, og sier mer presist at lengden av en side i en trekant er lik eller mindre enn summen av lengdene av de to andre sidene, med likhet bare hvis trekanten er degenerert, slik at det tredje hjørne ligger på den motstående sida Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje som er begrenset av to endepunkter A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom dets endepunkter. Det vil da framgå av sammenhengen hva som menes. MA-13 Geometri Byrge Birkeland

3 1.1.7 Vektor En vektor kan vi i vårt geometrikurs oppfatte som et orientert linjestykke. Det betyr at av de to endepunktene på linjestykket, for eksempel A og B, er det ene utpekt som startpunkt og det andre som endepunkt. Vektoren fra A uuur uuur uuur til B noteres AB. Vi identifiserer to vektorer AB og CD hvis de er parallelle og like lange og har samme retning. Det betyr at hvis vi flytter CD uuur slik at C faller sammen med A, så vil D falle sammen med B. Vektorbegrepet er imidlertid mye mer omfattende enn dette, og er et av de nyttigste begreper i matematikken og fysikken. Vi skal komme tilbake til vektorregning i et seinere kapittel. uuur uuur uuur Du kan definere summen av to vektorer ved at AB+ BC = AC, uuur uuur uuur og differensen mellom to vektorer ved at AB AC = CB. Se figuren. Når du har en avstandsfunksjon, kan du definere produktet av et uuur uuur tall og en vektor: t AB= AC, der C er et punkt på linja AB som er slik at AC AB = t, og slik at C ligger på samme eller motsatt side av A i forhold til B etter som t>0 eller t<0. t=0 tilsvarer A, og t=1 tilsvarer B. 0<t<1 for punkter på linjestykket AB mellom A og B. Hvis vi har tre punkter A, B og C som ikke ligger på linje, og P er et vilkårlig punkt, kan vi trekke en parallell med AB gjennom P og en parallell AC gjennom P, jfr. figuren. Vi får da punkter B uuur uuuur uuuur og C slik at AP= AB" + AC ", der B ligger på AB og C ligger uuur uuur uuur på AC. Det finnes da reelle tall x og y slik at AP= x AB+ y AC. uuuur uuuur AB" og AC" kalles da for vektorkomponentene av vektoren uuur uuur uuur uuur AP langs uuur AB og AC, mens tallene x og y kalles for skalarkomponentene av vektoren AP uuur langs AB og AC. Vektorer angis også ofte i forhold til et kartesisk koordinatsystem, og koordinatene er differensen mellom koordinatene til endepunktet og startpunktet. Vektorsum og vektordifferens tilsvarer da sum og differens av koordinatene. Vi kommer tilbake til dette i kapitlet om vektorregning Trekant En trekant er bestemt ved tre punkter i planet, for eksempel A, B og C, som kalles hjørnene i trekanten. Vi skriver ABC eller trekanten ABC. Linjestykkene AB, AC, og BC kalles sidene i trekanten. Sida BC kalles den motstående sida til A, og noteres gjerne med samme bokstav a som hjørnet A, men altså med liten bokstav. Sidene AB og AC kalles de hosliggende sidene til hjørnet A Vinkel En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom A og strålen fra O gjennom B, skriver vi vinkelen AOB eller AOB. Strålene OA og OB kalles vinkelens vinkelbein. Hvis det bare er én vinkel med 33toppunkt i O, kan vi skrive O uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u,v, w, αβθk.,,, Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format. MA-13 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 At to vinkler AOB og CPD er like store, betyr at den ene vinkelen kan legges oppå den andre. Med andre ord: Hvis CPD flyttes slik at P faller i O og PC dekker strålen OA, så vil strålen PD dekke strålen OB. Det forutsetter at de to vinklene er orientert på samme måte, i motsatt fall må vi la strålen PD dekke OB. Størrelsen av en vinkel måles på flere ulike måter. For et gitt punkt O i planet tenker man seg at planet deles i 360 like store vinkler, alle med O som felles toppunkt. Størrelsen av en slik vinkel defineres som 1 grad, eller 1. En rett vinkel er en vinkel på 90, som dekker et kvart omløp. Hvis A, O og B ligger på en rett linje, er AOB = 180, og AOB kalles en like vinkel, og er altså et halvt omløp. Alternativt kan du definere størrelsen av AOB ved hjelp av begrepet lengde på følgende måte: Slå en sirkel med sentrum i O og radius r. Finn lengden b av den delen av sirkelbuen som ligger innenfor AOB. Forholdet b vil da være uavhengig av r, og bare avhengig av r vinkelen, og kan derfor tas som et mål for vinkelens størrelse. En vinkel som gir forholdet 1, kalles en radian. Siden lengden av en hel sirkel er π ganger radius, vil en hel omdreining tilsvare en vinkel på π, mens en rett vinkel er π og en like vinkel er π. Vinkler målt i radianer kalles også absolutt vinkelmåling, fordi det ikke avhenger av det tilfeldige valget av 360 som antall grader i en hel omdreining. Dette henger for øvrig historisk sammen med at babylonerne antok at et år var 360 dager. Til gjengjeld bygger absolutt vinkelmåling på begrepet buelengde, som er relativt avanserte i forhold til elementær geometri. I elementær geometri brukes mest grader, men i matematikken for øvrig er det mest vanlig å måle vinkler i radianer. Vi har en rekke definisjoner som involverer vinkler: En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90. En stump vinkel er en som ligger mellom 90 og 180. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler. To vinkler hvis bein er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler. I en trekant ABC kalles vinklene BAC, ABC og BCA for indre vinkler, og noteres som regel bare A, B og C. De indre vinklene i en trekant omtales ofte bare som vinklene i trekanten. Nabovinkelen til en vinkel i en trekant, kalles en ytre vinkel i trekanten. Når to linjer overskjæres av en tredje linje, oppstår 8 vinkler. Disse kan grupperes i fire sett av samsvarende vinkler. På figuren nedenfor er samsvarende vinkler markert med samme format på vinkelmerket. Når vinkelen mellom to rette linjer l og m er 90, sies l å være en normal til m, eller m er en normal til l. To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel sies å være komplementvinkler til hverandre. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, sies å være supplementvinkler til hverandre MA-13 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 Man inndeler også trekanter i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten: En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90. En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90. Ett rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående sida kalles hypotenusen. En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60, jfr. setning En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like. To av vinklene blir da også like Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn. Du kan definere summen av to vinkler med samme toppunkt: Hvis AOB og COD er to vinkler med samme toppunkt, flytter vi (jfr. avsnittet om isometrier nedenfor) den siste slik at vinkelbeinet OC faller sammen med OB. Punktet D vil da flyttes til et punkt E, og vi kan forutsette at dette ligger EOD ikke dekker AOB Vi definerer da AOB+ COD = AOE. Du kan også definere differansen mellom en vinkel og en mindre vinkel: Hvis AOB > COD, flytter vi den siste vinkelen slik at linja OC dekker linja OA og slik at OD flyttes til en stråle OF som ligger innenfor AOB. Differansen AOB COD er da definert som BOF. Se figuren nedenfor. For vinkler som ikke har felles toppunkt, må vi først flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene får felles toppunkt før vi kan bruke definisjonen fra det tilfellet at de har felles toppunkt. Når vi har definert differensen mellom to vinkler, melder spørsmålet seg om hvordan vi skal forstå et mulig negativt fortegn på en vinkel eller hva det vil si at en vinkel er 0. Svaret er at vi setter AOA = 0, mens vi regner en vinkel AOB for å være positiv hvis strålen OA må dreies i retning motsatt urviserne for å dekke OB, negativ hvis den må dreies i samme retning som urviserne. Vi har da at AOB = BOA. Etter den definisjonen vil to stråler OA og OB 0,180 og en negativ i intervallet kunne definere to vinkler, en positiv i intervallet [ ] [ 0, 180 ], eller egentlig en hel rekke vinkler som skiller seg fra hverandre ved et helt multiplum av 360. I geometri underforstås det som regel at en vinkel ligger i intervallet [ 0,180 ] Firkant En firkant er bestemt av fire punkter, hjørnene i firkanten. Vi skriver for eksempel firkanten ABCD eller ABCD. Vanligvis forutsettes det at hjørnene i firkanter nummereres i positiv omløpsretning, altså mot urvisernes omløpsretning. Sidene i firkanten ABCD er linjestykkene AB, BC, CD og DA. Vi forutsetter vanligvis at disse sidene ikke har andre felles punkter enn hjørnene. To sider kan altså ikke skjære hverandre. Linjestykkene AC og BD kalles diagonalene i firkanten. Hvis to av sidene i en firkant er parallelle, kalles firkanten for et trapes. Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram. Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe. Hvis alle de indre vinklene i et MA-13 Geometri 5 Byrge Birkeland

6 parallellogram er rette, har vi et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat Polygoner Figurer med tre hjørner er trekanter, med fire hjørner er det firkanter. Dette kan selvsagt fortsettes: Figurer med fem hjørner er femkanter, figurer med seks hjørner er sekskanter osv. Generelt er en figur som definert ved hjelp av n hjørner en n-kant eller et polygon (av gresk poly=mange, gon=hjørne) eller en mangekant med n hjørner. Spesielt ser vi på regulære n- kanter. Det er en n-kant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store: Regulære polygoner kan innskrives i en sirkel. Vi får en rekke med n kongruente likebeinte trekanter. Vinkelen ved sirkelens sentrum må være 360 n, og dermed blir de to andre vinklene 1 ( 360 ) n = 90 n. De indre vinklene i n-kanten blir dermed 180 n og de ytre vinklene 360 n. Det siste kan du også innse ved å tolke de ytre vinklene som retningsendringer fra å kommer fra en side til den neste: Etter n retningsendringer må du ha endret retning Geometriske steder, sirkler og ellipser Ved hjelp av begrepene avstand og lengde kan vi nå definere en rekke nye begreper, som bygger på begrepet åpent utsagn fra logikken. Et utsagn i logikken er en språklig eller matematisk formulert setning som enten er sann eller gal. Sannhetsverdien av et utsagn kan altså ikke være gjenstand for diskusjon: Det er fint vær i dag er derfor ikke et utsagn i denne forstand, mens >3 eller <3 eller er mindre enn 3 er utsagn. La oss så si at vi har en mengde M i matematikken, og en språklig eller matematisk formulert setning S(x) som inneholder en størrelse x som i utgangspunktet ikke er et bestemt tall eller objekt, men som kan erstattes av et element fra mengden M. Hvis S(x) blir et utsagn hver gang vi erstatter x med et element fra M, kalles S(x) for et åpent utsagn om elementene i mengden M. Vi kan da danne oss delmengder av M ved å se mengden av de x fra mengden M som er slik at S(x) er et sant utsagn eller mengden av de x fra mengden x som er slik at S(x) er et usant utsagn. Disse ( ) x Sx ( ). mengdene skrives hhv. { x Sx } og { } I geometri er som regel mengden M lik planet, og S(x) er en eller annen geometrisk egenskap, x Sx ( ) kalles ofte det geometriske ofte uttrykt ved hjelp av avstandsbegrepet. Mengden { } sted for de punkter som har egenskapen S. Ved hjelp av avstandsbegrepet kan vi nå definere det mest kjente geometriske stedet i geometrien, en sirkel: En sirkel med sentrum i punktet C og med radius r er det geometriske stedet for de punktene som har avstanden r til C eller MA-13 Geometri 6 Byrge Birkeland

7 ( Cr, ) = { P dcp (, ) = r} d. Sirkler tegnes som kjent med passer, der spissen settes i punktet C og avstanden r utspennes av beina på passeren. Linjal og passer er de eneste to redskapene som er tillatt i klassisk euklidsk geometri. Det tilsvarer at punkter, rette linjer og sirkler er de fundamentale objektene. Vi tar med et annet kjent eksempel på geometrisk sted, en ellipse. En ellipse er det geometriske stedet for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en bestemt sum. Se figuren. Ellipser kan ikke konstrueres med passer og linjal 1. Isometrier og kongruens En isometri eller kongruensavbildning er en avbildning (funksjon) ϕ : som bevarer avstander. Det betyr at d ( ϕ( P), ϕ ( Q) ) = d ( PQ, ) for alle punkter P,Q i planet. Du kan tenke på en isometri på følgende måte: Tenk på planet som et papirark som er ubegrenset i alle retninger (eller på et endelig papirark som er stort nok til å inneholde de figurene du er interessert i). Å bruke en isometri tilsvarer å flytte arket uten å strekke eller på annen måte deformere det. Men du kan snu arket. En plan figur er rett og slett en delmengde av planet. Hvis ϕ er en isometri, og F 1 og F er plane figurer slik at ϕ ( F1) = F, sies F 1 og F å være kongruente, og vi skriver F1 F. Etter modellen ovenfor kan du tenke deg at F 1 og F ligger i hver sin kopi av planet. Så kan du flytte og eventuelt snu den ene kopien og legge den oppå den andre slik at figurene nøyaktig dekker hverandre. Sagt på en annen måte: Du kan klippe den ene figuren ut, og om nødvendig snu den, da vil den nøyaktig kunne dekke den andre figuren. Hvis du må snu den, kalles isometrien motsatt, ellers kalles den direkte. Hvis hjørnene i et polygon er regnet opp i rekkefølge mot urviserne, vil de tilsvarende hjørnene i et kongruent polygon bli regnet opp i samme rekkefølge hvis isometrien er direkte, ellers vil de bli regnet opp i rekkefølge med urviserne. Kongruens er et sentralt begrep i elementær geometri. Vi har følgende fire setninger om kongruenser, som vi her skal godta uten noen form for bevis, dvs. vi skal se på dem som aksiomer i teorien. 1. (SSS side-side-side) Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er de kongruente.. (SVS side-vinkel-side) Hvis to sider og vinkelen mellom dem er like i to trekanter, så er trekantene kongruente. 3. (VSV vinkel-side-vinkel) Hvis to vinkler og den mellomliggende sida i to trekanter er like, så er trekantene kongruente. 4. (SSV side side vinkel) Hvis to sider og den motstående vinkelen til den lengste av sidene er like, så er trekantene kongruente. MA-13 Geometri 7 Byrge Birkeland

8 1..1 Isometrier og rette linjer. Setning En isometri avbilder en rett linje på en rett linje og bevarer delingsforhold Bevis. La A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og B. Da d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en isometri, og la A, B og P være bildene av A, er ( ) ( ) B og P ved denne isometrien. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. d AP, + d PB, = d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående. 1.. Isometrier og parallellitet Setning 1... En isometri avbilder parallelle linjer på parallelle linjer Bevis: La l og m være parallelle linjer, og la l og m være bildene av l og m ved en isometri ϕ. Hvis l og m ikke er parallelle, finnes det et punkt C som er felles for l og m. Men C må ( ) ( ) være bildet av et punkt A på l og B på m, og ( ) ϕ( ) ϕ( ) A=B. Det strider mot at l og m er parallelle Isometrier og trekanter d AB, = d A, B = d CC, = 0. Da må Setning En isometri er entydig bestemt ved virkningen på en trekant. Bevis. La ABC være en trekant som avbildes på en trekant A B C ved en isometri ϕ. La P være et punkt. Da kan vi trekke en parallell med AC gjennom P som skjærer AB i B og en parallell med AB gjennom P som skjærer AC i C. Da er uuur uuuur uuuur AP = AB" + AC ". Da finnes det reelle tall x og y slik at uuuur uuur uuuur uuur AB" = x AB og AC" = y AC. Men da må uuuuur uuuuur uuuuur AB ' ' = x AB ' ' + y AC ' ', siden isometrier bevarer parallellitet og delingsforhold. Jeg minner om begrepet bijeksjon. En bijeksjon er en funksjon A B som er slik at alle elementer i B er bildet av nøyaktig ett element i A. Et annet ord for en bijeksjoner er en 1-1- korrespondanse, eller en avbildning som er både injektiv (1-1) og surjektiv (på). Setning En isometri er en bijeksjon Bevis. Anta at isometrien ϕ er gitt ved at trekanten ABC avbildes på trekantene A B C. Da kan vi definere den inverse til ϕ ved at trekanten A B C avbildes på ABC. Da må ϕ være en bijeksjon. 1.3 Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Konstruksjonen går slik: Linjestykket AB er gitt. Du velger en passende radius i passeren litt mindre enn lengden AB og slår sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. Da er AD=BD og AC=CB. P.g.a. SSS-kongruenssetningen ovenfor er da ABD ABC. Da er MA-13 Geometri 8 Byrge Birkeland

9 ACD = BCD og dermed ACE BCE etter kongruenssetningen SVS. Da må AE=BE, og AEC = BEC. Siden summen av disse vinklene er 180, må hver av dem være 90. Vi har dermed både at AE=BE og at AEC = 90. Men da er DC midtnormalen på AB. Midtnormalen på AB er det geometriske sted for de punkter som har samme avstand fra A og B Normalen til en linje i et punkt på linja Her har vi gitt en linje l og et punkt A på linja. Vi starter med å velge en passende radius i passeren, og slår en sirkel eller to sirkelbuer med denne radien, slik at vi får to punkter B og C slik at AB=AC. Så velger vi en annen større radius og slår sirkler eller sirkelbuer med denne radien fra B og C. Disse har to skjæringspunkt, og vi kaller det ene av dem D. Da er BD=CD. Kongruenssetningen SSS gir da at BAD ACD. Siden BAD = CAD, og summen av dem er en like vinkel, må BAD være en rett vinkel Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel med sentrum i P som har stor nok radius til å skjære linja l i to punkter A og B. Velg så en ny radius, og slå sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet på motsatt side av l i forhold til P være C. Da er PC normalen til l gjennom P. Dette kan begrunnes slik: Siden AP=BP og CA=CB, følger det av kongruenssetningen SSS at ACP PCB og dermed APC = CPB. La D være skjæringspunktet mellom PC og l. Kongruenssetningen SVS gir da at ADP BDP og derfor at ADP = PDB, Siden disse vinklene også er supplementvinkler, må de begge være rette vinkler. Avstanden PD er for øvrig definert som avstanden fra punktet P til linja l. Avstanden mellom to parallelle linjer er definert som avstanden fra et punkt på den ene linja til den andre linje Halveringslinja for en vinkel Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt O og med passende radius. La skjæringspunktene med vinkelbeina være A og B. Velg en radius som er større enn halve avstanden mellom A og B, og slå sirkler fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet være C. Da er OC halveringslinja for vinkelen. Dette kan begrunnes slik: Siden OA=OB og AC = BC, følger av kongruenssetningen SSS at OAC OBC. Da må AOC = BOC, og dette betyr at OC er halveringslinja for vinkelen AOB. Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for de punkter som har samme avstand fra vinkelbeina Likesidet trekant Gitt et linjestykke AB. Du skal konstruere en likesidet trekant der dette linjestykket er en av sidene. Da bruker du lengden AB som radius og slår sirkler eller sirkelbuer med radius r og sentrum i A og deretter i B. Du får to skjæringspunkter C og C, og altså to MA-13 Geometri 9 Byrge Birkeland

10 mulige løsninger. Vinklene i en likesidet trekant må være 60, så du har altså samtidig en metode til å konstruere en vinkel på Alternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller en sirkelbue med sentrum i det gitte punktet A. La B være et av skjæringspunktene med linja m. Slå en sirkel eller sirkelbue med samme radius AB og sentrum i B. Skjæringspunktet med den første sirkelen er C. Slå en sirkel med sentrum i C og samme radius. Skjæringspunktet med den første sirkelen er D. Halver vinkelen CAD ved hjelp av metoden som er gitt ovenfor, jfr. figuren til høyre. Da blir ABC og ACD likesidet, og dermed blir ABC = 60 og CAD = 60, AE blir halveringslinje for 1 DAC. Da må BAE = = 90, så AE blir en normal til linja m Andre vinkler Ved hjelp av vinkelhalveringskonstruksjonen og konstruksjonen av en seksti graders vinkel kan du i prinsippet konstruere enhver vinkel som kan skrives som en endelig sum på formen a1 a a3 an 60 a n L, der { a } i er en følge av ikke-negative hele tall. Nedenfor ser du eksempler Likebeinte trekanter Du får som regel oppgitt den sida som ikke er lik noen av de andre, og deretter høyden, eller lengden av de to like sidene eller de to like vinklene eller toppvinkelen: 1.4 Oppgaver Tegn et linjestykke AB, og oppreis midtnormalen på linjestykket Tegn en rett linje og merk av et punkt utenfor linja. Konstruer normalen fra punktet på linja. MA-13 Geometri 10 Byrge Birkeland

11 1.4.3 Tegn en rett linje, og merk av et punkt på linja. Konstruer normalen på linja i punktet. Halver den rette vinkelen, så du får en vinkel på 45. Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 60 grader. Konstruer så vinkler på 30 grader, 15 grader, 75 grader Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja har lengde 3 cm, og de to like lange sidene er 5 cm. Konstruer så en likebeint trekant der grunnlinja er lengde 3 cm, og høyden er 4 cm Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og vinkelen ved grunnlinja er Konstruer så en likebeint trekant der toppvinkelen er 30 og de like lange sidene er 4 cm Ta for deg kongruenssetning SSV. Finn på et eksempel som viser at ordene til den lengste sida er nødvendige å ha med. 1.5 Elementære teoremer Nedenfor gjengir vi en del elementære setninger i euklidsk geometri. Bevisene gjør ikke krav på å være strenge i aksiomatisk forstand, så de kalles begrunnelser snarere enn bevis Toppvinkler Setning Toppvinkler er like Bevis. På tegningen er u+ v = 180 og v+ w= 180. Vi trekker fra, og får u w= 0 eller u = w Ytre vinkel i trekant Setning En ytre vinkel i en trekant er større enn de to indre vinklene som ikke er dens supplementvinkel. Bevis. Vi ser på trekanten ABC med den ytre vinkelen CBD. Vi finner midtpunktet E på BC, trekker linja AE, og avsetter AE=EF. AEC = BEF som toppvinkler og dermed AEC BEF etter kongruenssetningen SVS. Men da er ACE = EBF. Siden CBD = CBF + FBG, må CBD > CBF = C. På tilsvarende måte vises at CBD > A. Denne setningen har som konsekvens setningen om samsvarende vinkler: Setningen om samsvarende vinkler Setning La l og m være to linjer som overskjæres av en tredje linje n. Da er samsvarende vinkler like store hvis og bare hvis linjene l og m er parallelle. MA-13 Geometri 11 Byrge Birkeland

12 Bevis. Hvis l og m skjærer hverandre i punktet C, er u en ytre vinkel i trekanten ABC og derfor større enn v = CBA ifølge forrige setning. Hvis u og v er like store, må derfor l og m være parallelle. Anta så at de er parallelle, men u v. Vi kan da trekke en linje k gjennom B slik at vinkelen mellom k og n er u. Da har vi i så fall to ulike paralleller med u gjennom B. Det er umulig etter parallellaksiomet. Denne setningen kan brukes til å konstruere en parallell med en oppgitt linje gjennom et oppgitt punkt. Se figuren til høyre. Du starter med å trekke en linje m fra et vilkårlig punkt B på den oppgitte linja og slår sirkler eller sirkelbuer med samme radius og sentrum i B og P. Korden CD i sirkelen omkring B bruker vi så som radius i en sirkel med sentrum i skjæringspunktet F mellom m og sirkelen gjennom P. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er E. Vi trekker så linja PE, som blir parallell med l Summen av vinklene i en trekant Setning Summen av vinklene i en trekant er 180 Bevis. Vi trekker en parallell BE med AC gjennom B, jfr. figuren. A= u og EBD er samsvarende vinkler når linja AD skjærer de to parallelle linjene AC og BE og dermed like. CBE er toppvinkel til en vinkel som er samsvarende med C = v når linja BC skjærer de to parallelle linjene AC og BE. Dermed er CBE = C = v. Da er A+ B+ C = ABC + CBE+ EBD = 180. Av dette beviset følger også: Setning En ytre vinkel i en trekant er summen av de to andre vinklene Vinklene i likebeinte trekanter Setning Gitt et linjestykke AB. AB er grunnlinje (dvs. den sida som ikke er en av de to like lange sidene) i en likbeint trekant ABC hvis og bare hvis CAB = CBA. Bevis. Anta at AB er grunnlinja i den likebeinte trekanten ABC, der AC=BC. La M være midtpunktet på AB Da er AMC CMB ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må MAC = MBC. Omvendt, anta at BAC = ABC. Vi konstruerer normalen fra C på AB, og antar at skjæringspunktet er M. Da er AMC = BMC = 90. Etter kongruenssetningen VSV er da AMC CMB, og da må AC=BC. MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

13 1.5.6 Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Setning Hvis to vinkler har bein som er parvis parallelle eller står parvis normalt på hverandre, er de like. Bevis. De parallelle vinkelbeina peker enten i samme retning eller i motsatt retning. Setningen for parvis parallelle vinkelbein følger enkelt av setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer i tilfellet da vinkelbeina har samme retning. I tilfelle de har motsatt retning må du i tillegg bruke at toppvinkler er like store. Se figuren ovenfor. I det tilfellet at vinkelbeina står parvis normalt på hverandre, kan vi først bruke setning for parvis parallelle vinkelbein til om nødvendig å flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene har felles toppunkt. Etter det ser situasjonen ut som på figuren til høyre. Her er AOB+ BOC = 90 og BOC+ COD = 90. Subtraksjon gir AOB COD = 0 eller AOB= COD. 1.6 Similariteter og formlikhet En similaritet eller formlikhetsavbildning er en avbildning ϕ : slik at det finnes et tall k>0 slik at ( ) ( ) (, ) (, ) d ϕ P ϕ Q = k d PQ, der d er avstandsfunksjonen. M.a.o. blir alle avstander multiplisert med et det samme positive tallet. To plane figurer sies å være formlike eller similære hvis den er bildet av den andre ved en similaritet. Den ene er da en forminsket eller forstørret utgave av den andre. Eller du kan oppfatte dem som samme figur i to ulike målestokker.eller: Alle vinkler er like, og alle lengder er multiplisert med en konstant faktor. Prototypen på en similaritet er en homoteti (eller dilatasjon). En homoteti er bestemt et homotetisentrum O og en homotetifaktor k 0 slik at et punkt P avbildes på et punkt Q uuur uuur som ligger på strålen OP og slik at OQ= k OP. Se figuren til høyre, der homotetisenteret er O. Den originale figuren er lengst til høyre, deretter har vi en kopi med homotetifaktor 0,5 og deretter en kopi med homotetifaktor -0,7. Similariteter har mange av de samme egenskapene som isometrier, og bevisene for disse egenskapene er også svært like. Vi tar ikke med alle bevisene Setninger om similariteter Setning i. En similaritet avbilder en linje på en linje. ii. En similaritet avbilder parallelle linjer på parallelle linjer iii. En similaritet er entydig bestemt ved virkningen på en trekant iv. Enhver similaritet er en bijeksjon v. En similaritet bevarer vinkler Bevis for i.:la A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en similaritet med faktor k>0, og la A, B B. Da er ( ) ( ) og P være bildene av A, B og P ved denne similariteten. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. k d AP, + k d PB, = k d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) MA-13 Geometri 13 Byrge Birkeland

14 Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Transversalsetningen Setning 1.5.: Transversalsetningen. To linjer l og m skjærer over en vinkel A. Det ene vinkelbeinet skjærer l i B og m i B, det andre vinkelbeinet skjærer l i C og m i C Da gjelder AB AC følgende: l m AB' = AC '. Bevis. Hvis l og m er parallelle, har BCB' og BCC ' samme grunnlinje BC og samme høyde, avstanden mellom l og m. De må da ha samme areal. Derfor må også AB' Cog ABC ' ha samme areal. ABC og AB' Char samme høyde, nemlig avstanden fra C til AB. Forholdet mellom deres arealer må da være det samme som AB forholdet mellom deres grunnlinjer, altså. Pa samme måte har AB ' ABC og ABC ' samme høyde, og forholdet mellom deres arealer må være det samme som forholdet mellom AC deres grunnlinjer altså AC '. Men da må AB ( ABC) ( ABC) AC = = =. AB' AB' C ABC' AC ' Anta omvendt at ( AB' C) ( ABC ') ( BB' C) ( BC' C) AB AB' AC =. Da har vi ( ABC ) AC ' ( ) ( ) ( ) ( ABC) ( ) AB AC = = =. Da må AB' C AB' AC' ABC ' =. Men ABC er felles for disse to trekantene, så vi må også ha at =. Men disse to trekantene har felles grunnlinje BC, så for å få samme areal må disse to trekantene også ha samme høyde. Det betyr at avstandene fra B og C til l er de samme. Linjene l og m må da være parallelle. Transversalsetningen er fundamental i studiet av formlikhet. Her er et par konsekvenser: Setning To trekanter som har de samme vinkler, er formlike. Bevis. Vi kan flytte ABC rundt på ABC ' ' ' slik at A faller sammen med A eller B faller sammen med B eller C faller sammen med C. I hvert av tilfellene blir BC BC, ' ' hhv. AC AC ' ', hhv. AB AB ' ' AB AC AB BC Transversalsetning gir i hvert tilfelle: =, = AB ' ' AC ' ' AB ' ' BC ' ' AC BC AB AC BC og =. Vi har da = =, og det betyr at V ABC og AC ' ' BC ' ' AB ' ' AC ' ' BC ' ' V ABC ' ' ' er formlike. Legg merke til at dette er spesielt for trekanter, det gjelder ikke for polygoner med mer enn tre hjørner. For eksempel har ethvert rektangel de samme vinklene som et kvadrat, men de er ikke formlike. MA-13 Geometri 14 Byrge Birkeland

15 1.6.3 Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold La oss si at du har et linjestykke AB som skal deles i et bestemt forhold, for eksempel 5:3. Da trekker du først en stråle gjennom A eller B og avsette 5+3=8 like deler langs dette stykket. Fra det siste punktet trekker du en linje til B. Så trekker du en parallell med denne gjennom det femte delingspunktet. Skjæringspunktet med AB blir da det søkte punktet. Dette følger nå av transversalsetningen. 1.7 Areal Når vi har definert en avstand, lengde og vinkel, kan vi definere arealet av et rektangel med sider b og h som bh. Arealet av andre plane figurer begrenset av rette linjestykker kan så beregnes ved hjelp av denne definisjonen. Arealet av en polygon ABC skrives ofte (ABC ) Arealet av en trekant Gitt en rettvinklet trekant ABC. Vi trekker en linje gjennom A parallell med BC, og en linje gjennom C parallell med AB. Linjene skjæres i D. Trekantene ABC og ACD blir kongruente etter setningen om samsvarende vinkler, og kongruenssetning VSV. De to trekantene har da samme areal, som må være halvdelen av arealet av rektanglet ABCD, altså 1 bh. Vi kan nå finne arealet av en vilkårlig trekant ved å dele den opp i to rettvinklede trekanter, se figuren nedenfor til høyre. I alle tilfelle blir arealet 1 g h, der g er lengden av en av sidene, mens h er høyden fra det motstående hjørnet Arealet av et parallellogram Arealet av et parallellogram er lengden av en av sidene ganger avstanden mellom denne og den siden som er parallell med denne. Det kan du se ved å nedfelle et par normaler og flytte en rettvinklet trekant slik at du kan sammenligne med arealet av et rektangel, jfr. figuren til høyre Arealet av et trapes Arealet av et trapes finnes også ved å rekke to normaler, slik at vi får fram et rektangel med side a og h, der a er den lengste av de parallelle sidene, og h er avstanden mellom disse. Da har vi et areal som er så mye større enn arealet av trapeset som arealet av de to skraverte trekantene på trekanten til høyre. Disse har til sammen et areal på 1 ( b a) h 1 1 ah a b h= a+ b h., så arealet av trapeset er ( ) ( ) MA-13 Geometri 15 Byrge Birkeland

16 1.7.4 Arealet av et polygon Ethvert polygon kan trianguleres, dvs. det kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer. 1.8 Pythagoras setning Setning 1.8.1: Pythagoras setning. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene. Denne setningen er eldre enn Pythagoras, og har røtter tilbake til det gamle Egypt og Babylon, og det finnes utallige bevis for den. Det hører med til allmenndannelsen å kjenne til noen av bevisene. Det første beviset for setningen framgår av følgende figur: Ideen i beviset er at det samme arealet kan dekkes av fire ganger den aktuelle trekanten, samt enten kvadratene på de to katetene eller kvadratet på hypotenusen. Pythagoras setning er kanskje den mest kjente av alle setninger i elementær geometri, og er også kanskje den mest brukte setningen i elementære geometrioppgaver. En eksamensoppgave i elementær euklidsk geometri uten bruk av Pythagoras setning er nærmest utenkelig Thabit ibn Qurras bevis Les om Thabit ibn Qurras her. Ideen er her at man dreier ABE 90 om E, og BDG 90 om G i negativ retning, og ser at det samme arealet som i figuren til venstre dekkes av kvadratene på de to katetene, dekkes av kvadratet på hypotenusen i figuren til høyre Euklids bevis for Pythagoras setning La (AB ) bety arealet av polygonet (AB ). W MLNC og ANC har samme grunnlinje NC og samme høyde NL, og derfor er MLNC ANC ACKH = KBC ; disse har også ( ) = ( ). Men ( ) ( ) felles grunnlinje KC og samme høyde KH. Videre er ANC og KBC kongruente, fordi den ene framkommer av den andre ved rotasjon 90 om punktet C. Det følger at MLNC = ANC = KBC = ACKH. På tilsvarende måte ( ) ( ) ( ) ( ) vises at ( AGFB) ( MBDL) ( ACKH) + ( GFBA) = ( BDNC) =. Til sammen gir dette MA-13 Geometri 16 Byrge Birkeland

17 Det motsatte av Pythagoras setning gjelder også: Det omvendte av Pythagoras setning Setning 1.8.: Dersom summen av kvadratene på to av sidene i en trekant er lik kvadratet på den tredje sida, så er vinkelen mellom de to første sidene rett. Bevis. Anta at trekanten ABC er slik at AC + BC = AB. Vi konstruerer da en trekant DBC der BCD er rett, mens DC = AC, jfr. figuren. Ifølge Pythagoras setning har de to trekantene de samme sidelengdene og må derfor være kongruente ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må ABC være rettvinklet og C = Oppgaver (Eksamen i grunnskolen 1993) I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm. Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45. Konstruer normalen fra D på AB, og kall det punktet hvor normalen treffer AB, for E. Trekk diagonalen AC. Kall skjæringspunktet med DE for F. Forklar hvordan du konstruerte parallellogrammet ABCD. Konstruksjonen og forklaring skal føres på et ark uten ruter. a. Hvor stor er B? Begrunn svaret. b. Hvor lang er AE? Forklar hvordan du kom fram til svaret. c. Regn ut AD. d. Vis at AEF : CDF. e. Regn ut arealet av firkanten EBCF Tenk deg at du skal legge fliser på et areal som bare skal bestå av regulære mangekanter. Hvilke kan det bli tale om? I en femkant er alle vinklene 108. Må femkanten være regulær? I en trekant er alle vinklene 60. Er trekanten regulær? Kan du komme med et setning om hva som skal til for at en mangekant der alle vinklene er like, nødvendigvis er regulær? En utvendig vinkel i en mangekant er den vinkelen som framkommer hvis en side forlenges forbi hjørnet. Forklar hvorfor summen av de utvendige vinklene i en mangekant er 360. n 180. Bruk det til å vise at vinkelsummen i en n-kant er ( ) La ABC være en trekant, der C 60, og la E være skjæringspunktet mellom linja AB og halveringslinja for den ytre vinkelen i C. Denne halveringslinja deler linjestykket AB utvendig i samme forhold som de hosliggende sidene til C, dvs. AE = AC. Bevis det. BE BC MA-13 Geometri 17 Byrge Birkeland

18 1.9.6 Et parallellogram er gitt som på figuren. P er et punkt på diagonalen AC. EG og FH er parallelle med sidene i parallellogrammet og går gjennom P. a. Finn par av trekanter med like stort areal på figuren. b. Vis at arealene av de to parallellogrammene EBFP og HPGD er like store To kvadrater er hengslet sammen i det ene hjørnet. Det er trukket linjestykker mellom hjørner i de to kvadratene, slik figuren viser. Vis at arealene av de to trekantene som framkommer, er like store. Konstruer en regulær trekant, firkant, sekskant, åttekant og 1-kant Del ved konstruksjon linjestykket AB = 13 cm i 7 like store stykker a. Avsett et nytt linjestykke PS = 16 cm. Punkt Q ligger på PS slik at PQ : QS = 3 :, og punkt R ligger på QS slik at QR : QS = : 3. b. Konstruer punktene Q og R på PS. c. Regn ut PR Gitt et linjestykke a: a. Konstruer a og 5 a. b. Konstruer en trekant ABC slik at AC = 8 a, BC = 3 a og C = 90. c. Finn AB uttrykt ved a. Kontrollmål! Lenker til løsningsforslag: MA-13 Geometri 18 Byrge Birkeland

19 1.10 Egenskaper ved sirkler En sirkel med sentrum i O og radius r er altså det geometriske sted for de punktene som har avstanden r fra punktet O. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. En bue er en sammenhengende del av sirkelperiferien. En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til sirkelen er en rett linje som har ett punkt berøringspunktet eller tangeringspunktet - felles med sirkelen. Du kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to skjæringspunktene nærmer seg hverandre. Vi gjengir en del setninger om sirkler uten bevis: Setning i. Midtnormalen på en korde går gjennom sirkelens sentrum ii. En radius som står normalt på en korde, halverer korden. iii. To like buer svarer til like lange korder. iv. En tangent står normalt på radien til tangeringspunktet Thales setning om periferivinkler La C være en sirkel med sentrum i O. En vinkel med toppunkt i O kalles en sentralvinkel i sirkelen C, mens en vinkel med toppunkt på C og bein som skjærer C, kalles en periferivinkel i C. Setning 1.10.: Thales setning: Hvis en periferivinkel og en sentralvinkel skjærer av samme bue, er periferivinkelen halvdelen så stor som sentralvinkelen. Spesielt legger vi merke til at alle periferivinkler over samme bue er like store. Bevis. Jfr. figuren. Trekanten AOB er likebeint, og derfor er OAB = OBA. AOC er ytre vinkel i AOB og derfor lik OAB+ OBA= ABC. Sentralvinkelen AOC er derfor det dobbelte av periferivinkelen ABC. Et viktig spesialtilfelle er følgende: Korollar En periferivinkel som spenner over en diameter i sirkelen, er rett. MA-13 Geometri 19 Byrge Birkeland

20 1.10. Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. Korollaret etter Thales setning og setningen om at en tangent står normalt på en radius kan vi bruke til å konstruere tangenten til en sirkel C med sentrum i O fra et punkt P utenfor sirkelen, se figuren til høyre. Vi konstruerer først midtpunktet M på linjestykket O. Så slår vi en sirkel C med sentrum i M og radius OM=MP. De to sirklene har skjæringspunkter A og B. P.g.a. korollaret til Thales setning er vinklene OAP og OBP rette. Men OA og OB er radier i C, så da må AP og BP være tangenter Trekant med gitt side og motstående vinkel Thales setning er en av de mest brukte setningene i elementære geometrioppgaver. La oss se på en annen anvendelse. Du skal konstruere en trekant, og får oppgitt en side AB i trekanten og dessuten den motstående vinkelens størrelse v. Spørsmålet er hvor det tredje hjørnet kan ligge. Svaret er at det må ligge på en sirkel der AB er en korde som spenner over en bue som tilsvarer en sentralvinkel på v. Denne kan forholdsvis lett konstrueres slik som på figuren til høyre. Tenk igjennom konstruksjonen! Sirkelens omkrets og areal. Arealet av sirkelsektorer og -segmenter. Å beregne sirkelens areal hører egentlig hjemme i en helt annen matematisk disiplin enn elementær geometri, nemlig matematisk analyse. Her skal vi derfor bare minne om at omkretsen av en sirkel er proporsjonal med diameteren: Omkrets = π r, og at proporsjonalitetsfaktoren er et irrasjonalt tall som kalles π (pi). De første sifrene i π er Areal av en sirkel med radius r er π r. Opp igjennom historien har man beregnet størrelsen på π stadig mer nøyaktig, og i våre dager er det ingen grenser hvor nøyaktig den kan beregnes Et punkts potens med hensyn på. en sirkel Potensen til et punkt P med hensyn på en sirkel er definert slik: Trekk en sekant gjennom P, og finn avstandene d 1 og d fra punktet P til hvert av skjæringspunktene med sirkelen. Da er potensen til punktet med hensyn på sirkelen definert som d1 d. For at dette skal ha mening, må vi vise at potensen er uavhengig av hvilken korde v i trekker. Setning La P være et punkt som ikke ligger på en sirkel med radius r og sentrum i O, og la d være avstanden fra P til O. Hvis P ligger utenfor sirkelen, vil produktet av avstandene fra P til de to skjæringspunktene mellom sirkelen og en sekant gjennom P som skjærer sirkelen punktets potens med hensyn på sirkelen -, være uavhengig av hvilken korde som brukes. Hvis P ligger innenfor sirkelen, er potensen r d. Hvis P ligger utenfor sirkelen, er potensen d r, og potensen er lik kvadratet av lengden av tangentstykket mellom P og sirkelen. MA-13 Geometri 0 Byrge Birkeland

21 Bevis. Vi ser først på det tilfellet at P ligger innenfor sirkelen, jfr. figuren til høyre. Vi trekker to korder AB og CD gjennom P. Da er ACD og ABD periferivinkler over samme bue AD og dermed like, mens CAB og CDB er periferivinkler over samme bue CB og dermed like. Derfor er CAP : BDP, og dermed er AP DP = og derfor AP PB= PC PD. Det viser at potensen er PC PB uavhengig av hvilken korde som brukes. Spesielt kan vi se på en diameter, altså en korde gjennom sentrum O. Hvis d er avstanden r d r+ d = r d fra P til O er potensen definert ved hjelp av denne korden ( ) ( ) La oss så se på det tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen. Vi finner at PBD= PCA som periferivinkler over samme bue AP DP AD, og dermed at PBD: PAC. Da må = og dermed PC PB PA PB= PD PC. Spesielt kan vi se på sekanten gjennom sentrum i sirkelen. Da blir potensen ( d r) ( d + r) = d r. La oss så trekke en tangent til sirkelen fra P til tangeringspunktet T. Da blir PTO rettvinklet, og Pythagoras setning gir PT = d r = d r d + r. Potensen er altså lik kvadratet av tangentstykket PT.. ( ) ( ) Mellomproporsjonalen Et gammelt problem er rektanglets kvadratur: Gitt et rektangel med sider a og b, finn et kvadrat med samme areal, altså et kvadrat med side x slik at x = a b eller x = a b. Dette spørsmålet kan besvares ved en av to mulige konstruksjoner: I figuren til høyre avsetter vi de to lengdene a og b etter hverandre: AC=a og CB=b på en linje og finner midtpunktet på linjestykket AB. Vi trekker så en sirkel med denne som diameter.og oppreiser en normal i punktet C. Denne skjærer sirkelen i D. Nå er ADB = DCB = 90 og CAD = CDB fordi vinkelbeina står parvis normalt på hverandre. Da er ACD og DCB formlike, og derfor er AC a CD x = = = CD x CB b På figuren til høyre avsetter vi først a=a B og deretter i motsatt retning b=b C.Så konstruerer vi en sirkel med A B som diameter. Vi oppreiser en normal i C ; denne skjærer sirkelen i D. Vi har da to formlike trekanter ABD ' ' ' og DBC ' ' ', og da er AB ' ' a BD ' ' x = = =. BD ' ' x BC ' ' b MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

22 Konstruksjonen som løser problemet med rektanglets kvadratur ser da slik ut: Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant Setning Halveringslinja for en vinkel i en trekant skjærer den motstående sida i samme forhold som de hosliggende sidene i trekanten Bevis. CD er halveringslinja for BCA. BE trekkes parallell med AC. Da er ACE = CEB som samsvarende vinkler. Da er CEB likebeint, og EB=BC. Trekantene EBD og ADC er formlike, og BD EB BC = =. AD CA CA Denne setningen er ofte brukt i elementære geometrioppgaver Trigonometriske funksjoner E La ABC være en rettvinklet trekant, der B er den rette vinkelen. Hvis AB C er annen rettvinklet trekant der B C er parallell med BC og dermed ABC : AB' C', følger det av BC BC ' ' transversalsetningen at =. Det betyr at når vinkelen AC AC ' A er den ene vinkelen i en rettvinklet trekant, så er forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen uavhengig av trekantens størrelse, og derfor bare avhengig av vinkelen. Dette forholdet defineres som sinus til vinkelen, og sin A er et eksempel på en trigonometrisk funksjon. Det finnes flere av dem, nemlig cosinus, tangens, og mer sjeldent brukt, cotangens, secans og cosecans. De er definert slik: BC motstående katet AB hosliggende katet sin A = =, cos A = =, AC hypotenus AC hypotenus BC motstående katet 1 tan A = =, cot A AB hosliggende katet = tan A, 1 sec A = cos A, 1 cosec A = sin A Disse definisjonene av de trigonometriske funksjonene gir bare mening når vinkel ligger mellom 0 og 90. For andre vinkler defineres funksjonene slik: Tegn en sirkel med radius 1. For en gitt vinkel v, la den positive x-aksen være det ene vinkelbeinet. Roter den positive x-aksen vinkelen v for å få det andre vinkelbeinet. La skjæringspunktet P med enhetssirkelen ha koordinater x og y. Da er de trigonometriske funksjonene definert slik A u D C u B MA-13 Geometri Byrge Birkeland