Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1

Transkript

1 Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke. La a være lengden av dette linjestykket. (Alternativt: Tegn ditt eget linjestykke, og la a være lengden av det.) I oppgaven nedenfor skal alle lengder uttrykkes som eksakte uttrykk i a. Du skal altså ikke bruke tilnærminger med desimaltall. Vinkler kan du derimot beregne ved hjelp av kalkulatoren. Trekk en (vannrett) linje, og merk av tre punkter A, B og C slik at B ligger mellom A og C og AB = 3a, BC = 2a. a. Bruk Thales setning til å avgjøre hvor et punkt D kan ligge, hvis ADB skal være 30? b. Hvor kan D ligge, hvis også BDC skal være 30? c. Konstruer trekanten ACD som er slik at AC=5a, ADC = 60 og AD : DC = 3 : 2. d. Finn lengdene av AD og DC. e. Finn CAD og ACD. f. Finn lengden av BD. g. Finn avstanden h fra D til linja AC og arealet av trekanten ACD. h. Konstruer innsirkelen til trekanten ACD, og regn ut radien r i den. i. Regn ut radien R i omsirkelen til ACD. Eksamen i MA-132 Geometri Side 1 av 5

2 Oppgave 2 På figuren til høyre ser du et stykke av en bjelke med et H- formet tverrsnitt i horisontal- og vertikalprojeksjon. Tegn perspektivbildet av bjelken på svararket basert på følgende: - De loddrette delene av H-tverrsnittet er ¼ så breie som den totale bredden av H-en. - Den vannrette delen av H-tverrsnittet er halvt så høy som den totale høyden av H-en og vertikalt sentrert. - Horisonten er tegnet inn. - Billedplanet er vertikalt. - Perspektivprojeksjonene av punktene A,B,C og D er oppgitt. Oppgave 3 3 I rommet R er det gitt punktene P:(3,-2,4) og Q:(-1,3,1), samt vektorene a = [2,-1,-1] og b = [2,1,-1] a. Regn ut skalarproduktet a b, kryssproduktet a b, og vinkelen mellom a og b. b. Skriv opp ligningene for en rett linje L 1 gjennom P med retningsvektor a og en rett linje L 2 gjennom Q med retningsvektor b. (Bruk t som parameter på L 1 og u som parameter på L 2.) c. Vis at L 1 og L 2 ikke har noen felles punkter. Er de parallelle? d. Skriv opp ligningen for et plan π gjennom P som er parallelt med både L 1 og L 2. e. Finn volumet av et parallellepiped der P er et hjørne, og der de tre kantene som starter i P, er PQ, a og b. f. Finn avstanden fra punktet Q til planet π. g. (Ta eventuelt denne til slutt.) Avstanden mellom L 1 og L 2 måles langs en rett linje N som skjærer både L 1 og L 2 og står normalt på dem begge. Prøv om du kan finne et punkt R på L 1 og et punkt S på L 2 slik at vektoren SR står normalt på både L 1 og L 2. Skriv opp en parameterfremstilling for linja N. Kontroller at avstanden mellom R og S er den samme som avstanden funnet i punkt f. Oppgave 4 Du har gitt en rekke kongruente trekanter T, T 1,T 2,,T 5, jfr. figuren nedenfor. Videre er det gitt vektoren a = [4,1] og translasjonen T a, translasjon vektor a. Dessuten har du gitt følgende isometrier: S x, speiling om x-aksen. S y, speiling om y-aksen. S speiling om linja y=x. R 1, rotasjon 90 om origo. R 2, rotasjon 180 om origo. Eksamen i MA-132 Geometri Side 2 av 5

3 Hver av trekantene T 1, T 2,,T 5 er bildet av trekanten T ved hver sin av 5 isometrier I, I,..., I a. Klassifiser hver av isometriene I1, I2,..., I 5. For speilinger skal du oppgi speilaksen. For rotasjoner skal du oppgi rotasjonssenteret og rotasjonsvinkelen. For translasjoner skal du oppgi translasjonsvektoren. For gliderefleksjoner skal du oppgi speilaksen og translasjonsvektoren. Forsøk i hvert tilfelle om du kan uttrykke isometrien ved hjelp av de isometriene som er gitt ovenfor. b. Sett opp eller regn ut matrisene til hver av isometriene I1, I2,..., I 5. Bruk homogene koordinater der dette er nødvendig. c. Klassifiser isometrien I = I I ved hjelp av matriseregning d. Tegn (minst) tre figurer på et ruteark, alle generert av trekanten T ved å bruke isometriene i den gitte symmetrigruppen. Isometriene skal ha origo som fikspunkt. Den første skal ha symmetrigruppe isomorf med Z 2 (kan det være flere løsninger?). Den andre skal ha symmetrigruppe isomorf med Z 4. Den tredje skal ha symmetrigruppe isomorf med D 4, den fjerde dihedrale gruppen. Byrge Birkeland Rolf Nossum Eksamen i MA-132 Geometri Side 3 av 5

4 Eksamen i MA-132 Geometri Side 4 av 5

5 Svarark til Eksamen i MA-132 Geometri 4. desember 2008 Kandidat nr. Eksamen i MA-132 Geometri Side 5 av 5