EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

Transkript

1 Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes sydlar@westerdals.no Oppgavesettet består av 7 oppgaver. Husk å lese oppgavene nøye. Alle svar skal begrunnes, med mindre annet er oppgitt. Oppgave 1 (15 %) I denne oppgaven skal vi se på vektorene u = [0, 1], v = [2, 1], w = [ 1, 2], og punktene A, B og C, der OA = u, BA = v BC = v + w. a) Regn ut (i) u + w (ii) w (iii) v w (iv) vinkelen mellom v og w b) Regn ut (i) koordinatene (x, y) til punktet C, (ii) vinkelen θ = ABC.

2 Side 2 av 5 Oppgave 2 (20 %) Her skal vi se på tre punkter P = (0, 1), Q = (2, 0) og R = (0, 2), samt midtnormalen l til linjestykket P Q, som vist på figuren: R l P M R Q a) Skriv opp ligningsfremstillingen til linjen l. b) Finn en vektor u som står vinkelrett på l. Skriv opp en matrise A kan brukes til å reflektere vektorer i linjen l. c) Bestem speilbildet R av R i forhold til l. Tips: Dette kan du sikkert regne ut direkte, men du kan også dra nytte av matrisen A i forrige punkt. Oppgave 3 (10 %) Med utgangspunkt P = ( 300, 400) fører vi en båt med kurs 60 i forhold til y-aksen (heading=60 ). Vi observerer et skjær S som ligger 70.7 lengdeenheter unna og 15 til venstre for fartsretningen (bearing= 15 ). a) Regn ut x- og y-komponenten av vektoren P S. Regn ut koordinatene til punktet S. b) Regn ut r, θ-polarkoordinatene til punktet P.

3 Side 3 av 5 Oppgave 4 (15 %) I denne oppgaven ser vi på matrisene A = [ ] 3 4, B = [ 1 2 ], C = 4 3 [ 1 0 ] og D = 3. 1 a) Regn ut de matriseproduktene som er definert. (i) AB (ii) BC (iii) AD T (iv) CD (v) C T A Oppgave 5 (15 %) Vi ser på en bil-modell som skal brukes i et todimensjonalt spill. Modellen beskrevet over koordinatområdet der 0 x 1 og 0 y 1. Når vi presenterer denne modellen direkte ser den alt for høy ut: y y = 1 x = 1 x I denne figuren er forholdet (lengde: høyde) = 1. I en normal fremstilling på ønsker vi at forholdet (lengde: høyde) = I denne oppgaven er (x, y) modellkoordinater (som i figuren over), mens (x, y ) er skjermkoordinater (som vist i figur på neste side).

4 Side 4 av 5 a) Vi ønsker å tegne bilen på en skjerm slik at lengden = 213 piksler og høyden = 100 piksler, som på denne figuren: y = 100 y x x = 213 Skriv opp en matrise A som kan brukes til å gjøre den nødvendige omregningen fra modellkoordinater (x, y) til skjermkoordinater (x, y ). b) Nå skal bilen bevege seg i en nedoverbakke som har en helling på 30. Den skal ha samme størrelse og proposjoner som i forrige punkt. Den transformerte bilen skal altså se omtrent slik ut: y x Skriv opp en matrise B som kan brukes til å gjøre den nødvendige omregningen fra modellkoordinater (x, y) til skjermkoordinater (x, y ).

5 Side 5 av 5 Oppgave 6 (15 %) En gorilla som befinner seg i punktet (0, 0) kaster avgårde en banan med fart på m s m s med retning 45 oppover. Bananens bevegelse kan beskrives som en parametrisert kurve med fartsvektor P (t) = (x(t), y(t)) OP (t) = x(t) = [ẋ(t) ] v(t) = ẏ(t) [ ] x(t), y(t) I denne oppgaven regner vi som om tyngdens akselerasjon g = 10 m s 2 i negativ y-retning. Vi forutsetter at y aksen peker vertikalt oppover, mens x- aksen er horisontal. a) Skriv opp formler for x(t), y(t), ẋ(t) og ẏ(t). b) Hvor lang tid tar det før bananen når toppen av banen? Bestem x, y-koordinatene til banens toppunkt. c) Gorillaen befinner seg i en dal der bunnen er beskrevet av ligningen y = x2 x. På motsatt side av dalen befinner det seg en annen gorilla. Regn ut hvor den andre gorillaen bør befinne seg dersom den skal klare å ta imot bananen. Oppgave 7 (10 %) Vi ser på system med total masse M = 20 kg og treghetsmoment J = 100 kg m 2. Vi antar at massesenteret i utgangspunktet ligger i ro i origo. Ved t = 0 fester vi en snor til systemet i punktet P = (1, 1). Vi stiller oss så opp i punktet Q = (10, 1) og trekker i snoren med en kraft på 30N. a) Regn ut akselerasjonen til massesenteret. b) Regn ut vinkelakselerasjonen omkring massesenteret ved t = 0. Slutt på oppgavesettet