Matematikk og fysikk RF3100

Transkript

1 DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag, Øving 11 8mai 201 Tidsfrist: 18mai 201 klokken 1400 Oppgave 1 Obs: I denne oppgaven reperesenterer vi vektorer med 1 n-matriser, altså radvektorer I hele denne oppgaven ser vi på vektorene u [ 3 4 v [ 4 2 w [ x y Her er vi interessert i ortogonale dekomposisjoner: Hvis x er en vektor, så er x, x en ortogonal dekomposisjon av x i forhold til u dersom (1) x x + x, (2) x u, (3) x u a) Her ser vi på en vektor v tu som avhenger av skalaren t Bestem verdien av t slik at v u v u (u og v er definert over) Regbn ut (v v ) og begrunn at (v v ) u Siden v tu, må v u v u (tu) u t(u u) Løser vi denne ligningen for t, får vi t u v u u 4 08 Dermed er v [ v v [ 8 6

2 Nå er Følgelig er (v v ) u (v v ) u v u v u 0 b) Regn ut v og v i den ortogonale dekomposisjonen av v i forhold til u Hvis vi ser på forrige punkt, så ser vi at v og (v v ) tilsammen utgjør en ortogonal dekomposisjon av v i forhold til u Dermed er mens v tu 4 [ 3 4 [ 12 v v v [ 4 2 [ 12 16, [ c) Regn ut w og w i den ortogonale dekomposisjonen av w i forhold til u Uttrykk svaret ved variablene x og y Her får vi w w u u u 3x + 4y 2 [ 3 4 [ 9 2 x y 12 2 x y Dette gir oss w w w [ x y [ 9x y 2 12x y [ x 12 2 y 12 2 x y d) Den ortogonale dekomposisjonen i forhold til u gir oss en transformasjon w w Skriv opp matrisen A til denne transformasjonen Husk at vi bruker radvektorer i denne øvingen Dvs at matrisen skal multipliseres på høyre side av vektoren Hvis vi skriver matrisen som [ a b A, c d

3 så skal [x, ya [ ax + cy bx + dy Ved å sammenligne med formelen for w i forrige punkt, ser vi at Dvs at a 9 2, b 12 2, c 12 2, d 16 2 A 1 2 [ e) Den ortogonale dekomposisjonen i forhold til u gir oss en transformasjon w w Skriv opp matrisen B til denne transformasjonen Hvis vi skriver matrisen som [ a b A, c d så skal [x, ya [ ax + cy bx + dy Ved å sammenligne med formelen for w over, ser vi at Dvs at a 1 6 2, b 12 2, c 12 2, d 9 2 A 1 2 [ f) Matrisene A og B kan kombineres til ulike matriser, som feks (1) A + B (2) ; A B (3) 3A + B Disse tre matrisene gir tre transformasjoner Beskriv disse tre transformasjonene Her kan det være lurt å huske på at va v og vb v

4 (1) Matrisen A + B [ Dette er identitetsmatrisen Denne utfører identitetstransformasjonen, altså transformasjonen som transformerer en vektor om til seg selv Vi kan også si det slik: (2) Her får vi v(a + B) va + vb v + v v v(a B) va vb v v Denne matrisen transformerer altså vektoren ved å reflektere om linjen som er parallell med u (3) Her får vi v(3a + B) 3vA + vb 3v + v Vektoren skaleres altså med en faktor 3 langs u Oppgave 2 Her skal vi se på hvordan man kan bruke matriser til å få partikler til å sprette tilbake når de møter planære flater For regningens skyld gjør vi dette i den todimensjonale varianten Vi har en vegg som går gjennom punktene A (3, 4) og B (4, 0) Kollisjonen med veggen foregår etter prinsippet som i figuren nedenfor Innfallsvinkel Utfallsvinkel, A α β α β B

5 a) Finn en vektor u som står vinkelrett på veggen Vi har [ 1 BA, så dermed vil u 4 på veggen [ 4 være en vektor som står vinkelrett 1 b) Anta at en partikkel støter sammen med veggen med hastighetsvektoren v [2, 1 Finn den ortogonale dekomposisjonen v, v av v i forhold til u Bruk dette til å bestemme hastighetsvektoren v etter kollisjonen Vi har Dermed er v v u u u u [ 36 v v v [ [ Når veggen har normalvektor u, og vi har dekomposisjonen v v + v i forhold til u, så vil hastigheten etter kollisjonen være v v v [ 2 8 [ 36 9 [ 38 1 [ c) Kollisjonen med veggen er opphavet til en transformasjon: Hastighetsvektor v før kollisjon Hastighetsvektor v etter kollisjon Finn en matrise som kan brukes til å utføre denne transformasjonenen for veggen som går gjennom punktene A og B Tips: Hvis du står fast, kan du starte med å se på hva matrisen K skal gjøre med vektorene [1, 0 og [0, 1 I denne oppgaven er det likegyldig om du velger å bruke radvektorer eller søylevektorer Det som er viktig er at du ikke blander det sammen Dersom vi gjør samme beregnigner i forrige punkt med fartsvektoren v [ 1 0, så får vi v [ 1 8 Når som vi regner med radvektorer, må dette være matriseproduktet [1, 0K, altså første rad i K

6 Med fartsvektoren v [ 0 1 får vi v [ 8 1 Når som vi regner med radvektorer, må dette være matriseproduktet [0, 1K, altså andre rad i K Konklusjonen er altså at K [ 1/ 8/ 8/ 1/ d) Anta nå at veggen er definert av en normalvektor u [ a b Finn matrisen K som kan utføre veggkollisjonstransformasjonen Svaret uttrykkes ved a og b Når gir fartsvektoren v [ 1 0 [ oss den reflekterte vektoren v 2a ab Når som vi regner med radvektorer, må dette være 2 2 matriseproduktet [1, 0K, altså første rad i K Med v [ 0 1 [ får vi v 2ab 2b Når som vi regner med 2 radvektorer, må dette være matriseproduktet [0, 1K, altså andre rad i K Konklusjonen er altså at [ 2a2 K + 1 2ab 2 2 2ab 2b [ 1 (a 2 b 2 ) 2ab a 2 + b 2 2ab a 2 b 2