Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Transkript

1 Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon. b a b = a b = r r r r r a b = b fri a = + b b fri Vi får én fri variabel, og løsningen har følgelig dimensjon. c x + y = x y = 6

2 6 6 r r r r r 6 r r 6 r r r x = y = 6 Vi får ingen frie variable, og løsningen har følgelig dimensjon. Oppgave.. a x + y + z = x y + z = r r r r r r r r x + z = y z z fri x = z y = z z fri b Vi får én fri variabel, og løsningen har følgelig dimensjon. x + y z = x y + 5z = 5 r r r 7 r r 7 r r r 7 x + z = y 7 z = z fri x = z y = + 7 z z fri Vi får én fri variabel, og løsningen har følgelig dimensjon.

3 c x y + z = x y + z = r r r x y + z = y fri z fri x = + y z y fri z fri Vi får to frie variable, og løsningen har følgelig dimensjon. d x y + z = x y + z = 9 r 9 r r I rad får vi selvmotsigelsen = som betyr at det lineære ligningssystemet har ingen løsning. Oppgave.5. 5 A = 6 B = C = a A er x, B er x og C x. b Vi kan regne ut et matriseprodukt om antall kolonner i den første matrisen er likt antall rader i den andre matrisen. Det betyr at AB, CA og CB er definert. Produktene BA, AC og BC er ikke definert. Regner ut produktene som er definert: 5 5 AB = 6 = 9 + = CA = 5 6 = =

4 CB = = = + c For å regne ut M regner vi først ut A = AA: A = = = Vi får da: M = A + 7A = = Oppgave.6. a 5 7 = 5 7 = b = = Oppgave.6. a b 5 = +5 = 6+5 = = = 6+ 5 = 6 Oppgave.7. a

5 Sjekker determinanten: = = 7 Matrisen er inverterbar siden determinanten er ulik null. Finner inversen ved å utvide matrisen med identitetsmatrisen og radredusere den opprinnelige matrisen til identitetsmatrisen: [ ] [ r r r 7/ / ] r 7 r [ ] /7 /7 [ ] [ ] 6/7 /7 /7 /7 r /7 /7 r /7 /7 Inversmatrisen blir da det som står på høyre side: [ /7 ] /7 /7 /7 r +r r b Sjekker determinanten: = = Matrisen er inverterbar siden determinanten er ulik null. Finner inversen ved å utvide matrisen med identitetsmatrisen og radredusere den opprinnelige matrisen til identitetsmatrisen: [ ] r r [ Inversmatrisen blir da det som står på høyre side i dette tilfellet samme matrise: [ ] c 6 Sjekker determinanten: 6 = 6 = Matrisen er ikke inverterbar siden determinanten er null. ] 5

6 Oppgave.. a Vi ønsker å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen A = Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet: λ λ = λ λ = λ λ+ = λ λ 9 = Vi får da egenverdiene λ = og λ = 9. Finner egenvektorene for λ = : v v = v v Ligningene for første og andre komponent vil være lineært avhengige, så v v = v v = v Har én fri parameter. Ved å sette v = t får vi v = t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi : Finner egenvektorene for λ = 9: v v v = 9 v Ligningene for første og andre komponent vil være lineært avhengige, så v v = 9v v = v Har én fri parameter. Ved å sette v = t får vi v = t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi 9: b Vi ønsker å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen 7 A = 6

7 Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet: λ 7 λ = λ λ 7 = λ λ = Vi får da egenverdiene λ = og λ =. Finner egenvektorene for λ = : 7 v = v v v Ligningene for første og andre komponent vil være lineært avhengige, så v + 7v = v v = 7v Har én fri parameter. Ved å sette v = t får vi v = 7t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi : 7 Finner egenvektorene for λ = : 7 v v v = v Ligningene for første og andre komponent vil være lineært avhengige, så v + 7v = v v = Har én fri parameter. Setter v = t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi : c Vi ønsker å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen A = 5 Egenverdiene er nullpunktene til det karakteristiske polynomet: λ 5 λ = λ λ 5 = λ λ = Vi får da egenverdiene λ = og λ =. Finner egenvektorene for λ = : v = 5 v v v 7

8 Ligningene for første og andre komponent vil være lineært avhengige, så v = v v = Har én fri parameter. Setter v = t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi : Finner egenvektorene for λ = : v = 5 Ser på den nederste ligningen: v v v 5v + v = v v = 5 v Har én fri parameter. Ved å sette v = 5t får vi v = t. Totalt gir dette alle mulige egenvektorer til matrisen med egenverdi : 5 d Vi ønsker å finne egenvektorene og egenverdiene til matrisen A = For en diagonalmatrise er egenverdiene tallene på diagonalen. D.v.s. at vi har to sammenfallende egenverdier λ = λ =. Vi har Ax = x for alle x i R. Følgelig er alle vektorer i R egenvektorer for matrisen med egenverdi utenom nullvektoren.