Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon
|
|
- Snorre Bråten
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente, og inngår i pensum i faget RF5100 Lineær Algebra ved Westerdals Høyskole (tidl NITH) Innhold 1 Litt om matrisemultiplikasjon 1 11 Begrepet lineærkombinasjon 1 12 Matrisemultiplikasjon på søyle-form 2 13 Matrisemultiplikasjon på rad-form 2 2 Radoperasjoner uttrykt ved matrise-operasjoner 3 21 Tilfelle 1: Ombyttingsmatriser 3 22 Tilfelle (ii): Rad-kombinasjoner 5 3 Gauss-eliminasjon uttrykt ved matriser 6 31 Gjenbruk av radoperasjoner I 7 32 Gjenbruk av radoperasjoner II 8 4 Den inverse matrisen 10
2 1 Litt om matrisemultiplikasjon I dette kapittelet skal vi se At vi kan beskrive Gauss-eliminasjon ved hjelp av matrisemultiplikasjon At Gauss-eliminasjon kan hjelpe oss til å behandle matriser V ser på to matriser X og Y slik at matriseproduktet Y X er definert, dvs at antall søyler i Y er lik antallet rader i X Vi skriver opp X på søyle-og radform: Her er r i rad nr i X, mens x j er søyle nr j i X X er altså tydeligvis en n m-matrise, siden matrisen har n rader og m søyler 11 Begrepet lineærkombinasjon Før vi setter i gang med diskusjonen er det praktisk å etablere begrepet lineærkombinasjon Hvis x 1, x 2, x 3 er tre vektorer og k 1, k 2, k 3 er tre skalarer, så kalles kombinasjonen k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 for lineærkombinasjonen av x 1, x 2 og x 3 med koeffesienter k 1, k 2 og k 3 Her må vi huske på at det ikke er alle vektorer det gir mening å kombinere på denne måten: Det gir for eksempel liten mening å legge en vektor med 3 komponenter sammen med en vektor med 2 komponenter Vektorer som vi kan legge sammen noe uformelt sies å tilhøre samme vektorrom 1 Vi kan også snakke om villkårlige lineærkombinasjoner: Hvis x 1,, x n er vektorer som tilhører samme vektorrom og k 1,, k n er skalarer, så er k 1 x k n x n lineærkombinasjonen av x 1,, x n med koeffesienter k 1,, k n Denne lineærkombinasjonen ligger i samme vektorrom som x 1,, x n, pr definisjon av begrepet vektorrom 12 Matrisemultiplikasjon på søyle-form Her skriver vi X på søyleform: X = [ x 1 x 2 x n ] Dette lar oss fremstille matriseproduktt Y X på følgende måte: 1 Vektorromsbegrepet er vanligvis definert på en helt annen måte, men vi forbeholder oss retten til å bruke begrepet på en uformell måte her
3 Y X = [ Y x 1 Y x 2 Y x n ] Hvis du vil kontrollere at dette stemmer, kan du sjekke hva element i, j i denne matrisen blir, og sammenligne med den vanlige definisjonen av matriseproduktet Nøkkelobservasjon Matriseproduktet Y X fremkommer ved at vi bruker matrisen Y til å transformere hver enkelt søyle i X 13 Matrisemultiplikasjon på rad-form Her skriver vi opp Y på radform: Når vi også skriver X på rad-form, og så kan vi fremstille rad i i Y X slik: r 1 r 2 Y = r n r i = [ y i1 y i2 y in ] q 1 q 2 X =, q n r i X = y i1 q 1 + y i2 q y in q n Denne raden er altså en lineærkombinasjon av radene q 1,, q n i X, med koeffesienter y i1,, y in Nøkkelobservasjon Radene i matrisen Y er oppskrifter på hvordan vi skal danne radene i Y X som lineærkombinasjoner av radene i X
4 2 Radoperasjoner uttrykt ved matrise-operasjoner La oss si at vi skal løse et ligningsystem, og at vi har dannet koeffesientmatrisen X Når vi løser ligningssystemet, tillater vi oss å gjøre tre ulike operasjoner: (i) Bytte om to rader i X (ii) Erstatte en rad q i i X med en lineærkombinasjon aq i + bq j, der a 0 (iii) Skalere en rad i X med en skalar a 0 Legg merke til at denne operasjonen faller inn under tilfelle (ii), når vi setter b = 0 Vi har, i seksjon?? sett at det er en klar sammenheng mellom radoperasjoner og matrisemultiplikasjon Nå skal vi tydeliggjøre dette i de tre tilfellene over 21 Tilfelle 1: Ombyttingsmatriser Oppgave 1: Regn ut matriseproduktene (i) [ ] [ ] (ii) a b c (iii) Vi ser på dette som operasjoner på matrisen til høyre Beskriv kort hva som skjer med radene til denne matrisen 211 Teoretisk drøfting La oss si at vi ønsker å bytte om rad i med rad j i matrisen X, ved å gange med en matrise y 11 y 12 y 1k y 21 y 22 y 2k Y = y k1 y k2 y kk Hvis q k representerer rad k i X og q i representerer rad i i Y X, så har vi, som over n q i = y i1 q y ik q n = y ik q k Når vi krever at q i = q j, må alle y i1,, y ik = 0, unntatt y ij = 1 Når vi ser på rad j q j i Y X på samme måte, ser vi at y j1,, y jk = 0, unntatt y ji = 1 På tilsvarende måte kan vi overbevise oss om at de resterende elementene i Y må k=1
5 være lik 0, unntatt diagonalelementene y ii som må være lik 1, siden q k = q k, når k i, j Eksempel: Hvis X har 4 rader, og vi ønsker å bytte om de to nederste radene, kan vi altså bruke matrisen Y 1 = Hvis X har 2 rader, som vi ønsker å bytte om, kan vi altså bruke matrisen [ ] 0 1 Y 2 = 1 0 Oppgave 2: Overbevis deg om at matrisene Y 1 og Y 2 gjør det teksten lover 212 Sidespor: Ombyttingsmatriser er reverserbare Hvis vi bytter om rad i med rad j to ganger, havner vi tilbake til utgangspunktet Hvis Y er matrisen for ombytting av rad i med rad j, og X er en hvilken som helst matrise med like mange rader som Y, så er Y (Y X) = X Hvis vi feks lar X være identitetsmatrisen I, så får vi Y (Y I) = Y Y = I Det vil si: Hvis vi ganger matrisen med seg selv, så sitter vi igjen med identitetsmatrisen Vi vil ofte uttrykke dette som at Y 2 = I Nøkkelobservasjon: Ombytting er en reversibel operasjon, og ombyttinger kan reverseres ved at de blir gjentatt Dette er kanskje ekstremt opplagt, men det er en viktig observasjon å ha med seg videre 22 Tilfelle (ii): Rad-kombinasjoner Oppgave 3: Regn ut matriseproduktene (i) [ ] [ ] 1 1 a 0 1 b (ii) q q q q 4 Her er a og b skalarer, mens q 1,, q 4 er rad-vektorer Beskriv så kort hva som skjer med radene i matrisene på høyre side av produktene
6 Hvis vi ønsker at rad i q i i Y X skal være lik aq i + bq j, så må rad i i Y se slik ut: [ 0 0 a 0 0 b 0 0 ] plass i plass j Altså: Element i er lik a, element j er lik b Resten er lik 0 Eksempel: Hvis X er en matrise med 4 rader, så vil feks matrisen Y = erstatte rad 2 i X med 2q 1 + 4q Sidespor: Radkombinasjonsmatriser er reverserbare La oss si at vi erstatter raden q i med kombinasjonen q i = aq i + bq j Denne operasjonen kan vi reversere ved å erstatte q i med kombinasjonen siden 1 a q i a b q j, 1 a q i a b q j, = 1 a (aq i + bq j ) b a q j = bq i + b a q j b a q j = q i Det betyr at hvis Y er matrisen som erstatter rad i med kombinasjonen aq i +bq j og Y er natrisen som erstatter rad i med kombinasjonen 1/aq i b/aq j, og vi gjør de to operasjonene etter hverandre, så vil Y (Y X) = X Dette betyr at Y Y = I Men, legg merke til at det er en uuttalt forutsetning her: Skalaren a må være forskjellig fra 0 Nøkkelobservasjon: Radkombinasjonsoperasjonen q i aq i + bq j er reversibel, under forutsetning av at a 0
7 3 Gauss-eliminasjon uttrykt ved matriser Gauss-eliminasjon kan forstås som en serie radoperasjoner, der hver enkelt operasjon kan beskrives ved hjelp av matriser: Utgangspunkt: X 0 = X Steg 1: X 1 = Y 1 X 0 = Y 1 X Steg 2: X 2 = Y 2 X 1 = Y 2 (Y 1 X) Steg 3: X 3 = Y 3 X 2 = Y 3 Y 2 Y 1 X Steg n: X n = Y n X n 1 = Y n Y n 1 Y 1 X Dette skal bety: Matrise Y 1 representerer den første radoperasjonen, mens Y 2 representerer den andre, osv Resultatet etter n operasjoner kan skrives som et matriseprodukt X n = (Y n Y n 1 Y 1 )X Dette viser at vi står overfor to likeverdige muligheter: Utføre en rekke radoperasjoner Multiplisere X med matrisen (Y n Y n 1 Y 1 ) Vi kan så å si si at (Y n Y n 1 Y 1 ) er et sammendrag av en serie radoperasjoner Oppgave 4: Se på ligningsystemene og (I) 2x + 3y = 2, x y = 4 (II) 2x + 3y = 1, x y = 3 Løs I ved å gjøre radoperasjoner på koeffesientmatrisen Skriv så opp de tilhørende matrisene Y 1, Y 2, Y n, og regn ut produktet A = Y n Y n 1 Y 1 Regn ut matriseproduktene A [ ] 2 4 A [ ] 1 3 Løs (II) ved å gjøre radoperasjoner
8 31 Gjenbruk av radoperasjoner I La oss se på et ligningsystem a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Dette kan skrives som en matriseligning Ax = b, der a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b n Hvis vi nå gjør en serie radoperasjoner på A 1 A A 1 A 2 A n = I = 1, 1 så får vi en tilsvarende sekvens av matriser Y 1, Y n slik at A 1 = Y 1 A, A 2 = Y 2 A 1 osv Hvis vi definerer så vil B = Y n Y n 1 Y 2 Y 1, BA = Y n Y n 1 Y 2 Y 1 A = A n = I Matrisen B kan vi nå bruke til å løse ligningen Ax = b Vi får siden BAx = Ix = x Ax = b BAx = Bb x = Bb, Konklusjonen er at vi kan bruke matrisen B til å løse ligningssystemet
9 Fortolkning Matrisen B er et sammendrag av de radoperasjonene som skal til for å omforme matrisen A til trappeformen I For å bestemme x, utfører vi de samme radoperasjonene på n 1-matrisen b Siden B er et sammendrag av disse radoperasjonene, holder det å regne ut Bb 32 Gjenbruk av radoperasjoner II Vi så over hvordan vi kunne ha veldig stor praktisk nytte av matrisen B = Y n Y n 1 Y 2 Y 1 Nå er vi på jakt etter en god algoritme for å regne ut B Algoritme 1 Definisjonen av B er nærmest en algoritme i seg selv: Utfør radoperasjoner, og skriv opp matrisene Y 1, Y 2,, Y n Gang deretter sammen matrisene, og bestem B = Y n Y n 1 Y 2 Y 1 Ulempen med denne algoritmen er at vi får veldig mange matriser å holde styr på, og at de fleste matriseelementene er lik enten 0 eller 1 Algoritme 2 Det er mulig å gjøre dette på en måte som er litt mer praktisk enn algoritme 1 Siden B = BI = (Y n Y n 1 Y 2 Y 1 )I, vet vi at B fremkommer ved å gjøre radoperasjonene representert ved Y 1,, Y n på I Dette gir oss følgende fremgangsmåte for å finne B: Utfør radoperasjoner for å forme A om til trappeformen I Når du bruker de samme radoperasjonene i den samme rekkefølgen på matrisen I, blir resultatet lik B Den mest praktiske fremgangmåten er å skrive opp en matrise med to blokker: [A I] Den første blokken er lik A, mens den andre blokken er identitetsmatrisen, dvs matrisen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [A I] = a n1 a n2 a nn 0 0 1
10 Når vi gjør radoperasjoner, får vi en sekvens [A I] = [A 0 B 0 ] [A 1 B 1 ] [A n B n ] = [I B] Oppsummert gir dette følgende fremgangsmåte for å bestemme matrisen B: Utfør radoperasjoner på matrisen [A I] til det venstre kvadratet kommer på trappeform Da er det matrisen B vi sitter igjen med i det høyre kvadratet Eksempel Se på matrisen A = Denne matrisen dukker feks opp i forbindelse med ligningsystemet y + z = 1, x + z = 2, x + y = 2 Nå skal vi finne den tilhørende matrisen B Det kan vi gjøre ved følgende rad-operasjoner: /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/2 I dette tilfellet ender vi altså opp med 1/2 1/2 1/2 B = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 4 Den inverse matrisen I diskusjonen over var B en matrise som fungerte som et sammendrag av radoperasjoner på en matrise a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn
11 bestående av koeffesientene på venstre side i et system av n ligninger i n ukjente Det som kjennetegner matrisen B er at a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n BA = I Det er mulig å bevise at også $B(ABA) = B(A(BA)) = (BA) Dette kan skrives som en matriseligning der Ax = b,
Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerForelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2
Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe
DetaljerRF5100 Lineær algebra Leksjon 2
RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013 I. LINEÆRE SYSTEM SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerØving 2 Matrisealgebra
Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerMatematikk og fysikk RF3100
DUMMY Matematikk og fysikk RF3100 Løsningsforslag, Øving 11 8mai 201 Tidsfrist: 18mai 201 klokken 1400 Oppgave 1 Obs: I denne oppgaven reperesenterer vi vektorer med 1 n-matriser, altså radvektorer I hele
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerOppgaver til seksjon med fasit
Oppgaver til seksjon 4.-4.5 med fasit Oppgaver til seksjon 4.. Finn alle løsningene til ligningssystemet x + y z = x + y z = x + y + z =. Finn alle løsningene til ligningssystemet x y + z = x y = 4 x +
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA20/MA620 Høsten 206 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med foreehold om feil Hvis du finner en ta kontakt med Karin Kapittel 2 a) ) A + B 2A B 2 + [ ] 3 3 7 7 c)
DetaljerVektorer og matriser
DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære
DetaljerLineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise
Lineære ligningssystem; Gauss-eliminasjon, Redusert echelonmatrise E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 19. september 2011 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med
DetaljerLineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning
Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerLineære ligningssystem og matriser
Lineære ligningssystem og matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 15, 2009 Lineære ligningssystem Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x 1,..., x n som kan
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerElementær Matriseteori
Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
Detaljertma4110 Matematikk 3 Notater høsten 2018 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland
tma4 Matematikk Notater høsten 8 Øystein Skartsæterhagen Morten Andreas Nome Paul Trygsland Innhold Introduksjon ii Lineære likningssystemer Gausseliminasjon 4 Vektor- og matriselikninger 8 4 Matriser
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerLineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
DetaljerPensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.
Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise
DetaljerDeterminanter til 2 2 og 3 3 matriser
Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A = er c d det(a) = a b c d = ad bc. 1 Determinanter til 2 2 og 3 3 matriser [ ] a b Determinanten til en 2 2-matrise A =
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerMA1201, , Kandidatnummer:... Side 1 av 5. x =.
MA1201, 05.10.2016, Kandidatnummer:... Side 1 av 5 Oppgave 1 Løs ligningssystemet S T S T 1 1 0 1 W X W X U2 1 1 V x = U5V. 1 0 2 1 x =. Oppgave 2 Regn ut: S T S T 1 2 1 1 1 W X W X U 3 0 1 V U0 1 V =
DetaljerRF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen
RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerNumerisk lineær algebra
Numerisk lineær algebra Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 29. Oktober 2007 Problem og framgangsmåte Vi vil løse A x = b, b, x R N,
DetaljerForelesning i Matte 3
Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008 Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære
DetaljerEksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerInverse matriser. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September, 2009
Inverse matriser E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September, 2009 Inverse 2 2 matriser En 2 2 matrise [ ] a b A = c d er inverterbar hvis og bare hvis ad bc 0, og da er [ ] A 1 1 d b
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA121/MA621 Høsten 216 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 2.3 1 b) c) d) 1 3 1 1 3 1 A I 2
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til
DetaljerLineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
DetaljerTMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerLineære likningssystemer
Lineære likningssystemer Mange fysiske problemer kan formuleres som lineære likningssystemer i vektorrommet, 1/19 Lu = f Lineær: betyr at virkningen av L på u + v er L(u + v) = Lu + Lv, og skaleres som
Detaljer6 Determinanter TMA4110 høsten 2018
6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til
DetaljerMa Linær Algebra og Geometri Øving 5
Ma20 - Linær Algebra og Geometri Øving 5 Øistein søvik 7. oktober 20 Excercise Set.5.5 7, 29,.6 5,, 6, 2.7, A = 0 5 B = 0 5 4 7 9 0-5 25-4 C = 0 5 D = 0 0 28 4 7 9 0-5 25 F = 6 2-2 0-5 25 7. Find an elementary
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerDAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert
DetaljerForelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018
Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerForelesning 10 Cramers regel med anvendelser
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerHvorfor er lineær algebra viktig? Linear
Lineær Algebra Hvorfor er lineær algebra viktig? Linear y = ax + b linje y = f(x) funksjon Taylor utvikling f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 + f(x) f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerObligatorisk innlevering 2 - MA 109
Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da
DetaljerEKSAMEN RF5100, Lineær algebra
Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
Detaljer100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)
ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med
DetaljerKap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9
Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt
DetaljerLineære likningssystemer, vektorer og matriser
Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om
DetaljerMAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09
MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,
Detaljer