Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Transkript

1 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da for eksempel E 3459, er A 3, mens for eksempel A 3 3. Komplekse tall. Oppgave: inn samtlige løsninger av ligningen (A + ) 3, hvor A og er hentet fra studentnummeret ditt. Skriv svaret på polarform, altså enten som (r, θ) eller som re iθ.. Vektorer og Lineære ligninger (A + ) 3 r e i hvor r (A + ) 3 x 3 +2kπ i r e 3 hvor k,, 2 (A + ) e i 3 (A + ) e i 2π 3 (A + ) e i 4π 3 2. Oppgave: La u < A +,, > og v <, A, >, hvor sifrene er hentet fra studentnummeret ditt. (a) Regn ut w u v. inn lengen til w, og enhetsvektoren som peker i samme retning som w. (b) inn en ligning for planet gjennom Origo som er utspent av u og v. (c) inn en ligning for planet gjennom (, 2, 3) som er parallellt med planet i forrige oppgave. A + (a) w A o (A ) o (A + ) (A + )(A ) ( ) Enhetsvektoren i w s retning, e w får vi ved å dele w på lengden sin: e w <,, > A 2. w w <,,A2 > (A 2 ) 2 (b) Sett P <,, >. Ligningen for planet er da at P P <,, >, altså at x+y +z, og da altså: z. (c) Vi kan bytte ut P i utregningen over med <, 2, 3 >. En snarvei: Venstresiden av ligningen må være den samme. Setter vi inn en P vi vet er i det nye planet må vi få det som skal være på venstresiden. Vi bruker P <, 2, 3 > selv, og setter inn verdiene for x,y og z, og får z Oppgave: Når du tar A ganger x og legger sammen med ganger får du C. Når du tar D ganger x og legger sammen med E ganger får du. (a) Skriv opp som et system av lineære ligninger. (b) Skriv opp som en vektorligning. (c) Skriv opp som en matriseligning.

2 (d) Skriv opp den augmenterte matrisen til ligningen. (a) Ligningssystem: Ax + C Dx + E (b) Vektorligning: x [ A D + [ E [ C (c) Matriseligning: [ A D E [ [ x C (d) Augmentert matrise: [ A C D E 4. Oppgave: Sett opp de relevante ligningene og finn ved hjelp av dem ut om... [ [ [ C A (a) er en lineær kombinasjon av og. D E [ [ A (b) og er lineært avhengige. E asit: (a) Har denne ligningen en løsning, er vektoren en kombinasjon av de to andre. [ [ [ A C x + x D 2 E (b) Har denne ligningen en ikke-triviell løsning, altså en løsning hvor ikke både x og er, er de to vektorene lineært uavhengige. [ [ [ A x + x D 2 E 5. Oppgave: Er Span A C, D E R3? asit: Vi setter opp matrisen med de to vektorene som kolonnevektorer: A D E C Svaret på oppgaven over er ja hvis og bare hvis alle radene i trappeformen til denne matrisen inneholder en pivot. Men antallet pivoter kan ikke bli større enn 2. (inn selv trappeformen til matrisen med akurat dine tall, og sjekk dette.) Antall rader er 3. Så (minst) rad blir uten pivot-posisjon. Derfor kan ikke vektorene spenne ut R 3. 2

3 6. Oppgave: Har ligningen A A 2 A 3 x asit: Vi skriver på augmentert matriseform, og reduserer: A A 2 A A 3 ikke-trivielle løsninger? Vi ser at er en fri variabel, så ligningen har ikke-trivielle løsninger. 7. Oppgave: Skriv løsningen av [ x [ A på vektorform. asit: Vi skriver på augmentert matriseform, og løser [ [ 2 3 A 5A A Vi skriver om løsningen... som blir... x + 5A 2 + 2A x + 5A 2 + 2A er fri som blir... x + 5A 2 + 2A + 5A 2 2A. Differensialligninger 9. Oppgave: Løs differensialligningen y + (A )y A y asit: Vi får karakteristisk ligning r 2 + (A )r A, som har løsninger r A, r 2 Det gir oss generell løsning for differensialligningen: y(t) c e At + c 2 e t. Oppgave: Løs initialverdiproblemet y + y y E ; y() 3

4 asit: Dette er en ernoulli-ligning. (Se Kohler&Johnson, s.8-83). n E. Vi skal da sette v y E, og skrive om ligningen til (følg etter med egne tall)... dv + ( E )v E dt Dette er en vanlig. ordens lineær ligning. or å løse den finner vi integrerende faktor µ(t) e ( E )dt e ( E )t, og ganger på begge sider: Vi setter inn initialverdi y() : ( E )t dv e dt + ( E )e( E )t ( E )t v ( E )e ( ) e ( E )t v ( E )e ( E )t e ( E )t v e ( E )t + C ( E )t v(t) + Ce ( E y(t) ( + Ce )t) E ( E ( + Ce )) E ( + C) E + C C Da er løsningen på initialverdiproblemet y(t). Oppgave: Noen miljøteknikere måler gram av en radioaktiv substans i en prøve en dag. dager senere måler de den samme prøven, og finner ut at det er ACD gram igjen av substansen. (a) Hva er halveringstiden til substansen? (b) Hvor lang tid er det til det er gram igjen av substansen? asit: Dette er en oppgave som passer inn i malen til seksjonen Radoactive decay (KJ, s. 4). Vi får oppgitt at den generelle løsningen er (Jeg bruker her K i stedet for C, for ikke å blande med C fra studentnummeret.) Q(t) Ke kt Vi kjenner ikke K og k på forhånd. Men vi vet at Q(), så vi finner K ved at Q() Ke k K. Videre vet vi at Q(). Vi bruker dette: Ke k e k e k k ln ln k 4

5 (a) ormelen for halveringstid er oppgitt nederst på side 42 til å være Vi setter inn vår k og får (b) Dette er ligningen som for vår Q er τ ( e e ln τ ln 2 k ln 2 ln Q(t) ln t ) t ln t ln ln t ln 5