Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Transkript

1 Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets regler. Oppgavesettet er på sider. Alle svar må begrunnes. Oppgave. Betrakt matrisen A = 0. a. Finn den reduserte trappeformen til A. b. Avjør om b = er i søylerommet Col(A). c. Finn den løsningen til ligningen A x =. d. Hva er rangen til matrisen A? e. Hva er dimensjonen til nullrommet Nul(A)? f. Avjør om b = (4,5) er i radrommet Row(A). g. Hva er dimensjonen til Row(A)? Fasit til oppgave. a. Finn den reduserte trappeformen til matrisen A. A =

2 b. Avjør om b = er i søylerommet Col(A). En vektor b Col(A) dersom systemet A x = b er konsekvent. Vi finner den reduserte trappeformen for den utvidede matrisen og konkluderer med at b Col(A) c. Finn den løsningen til ligningen A x =. Vi bruker den reduserte trappeformen til den utvidede matrisen og finner x =, x =. d. Hva er rangen til matrisen A? Rangen til matrisen A er lik dimensjon til Col(A) som er. e. Hva er dimensjonen til nullrommet Nul(A)? Fra rangteoremet vet vi at = dim ( Col(A) ) +dim ( Null(A) ) ( ). Siden dimensjonen til Col(A) er konkluderer vi med at dim Nul(A) = 0. f. Avjør om c = (4,5) er i radrommet Row(A). Vi kan skrive 4 r + 9 r = (4,5) der r og r er den henholdsvis første og den andre raden i A. Det viser at c = (4,5) Row(A). g. Hva er dimensjonen til Row(A)? Vi ser at den første raden og den tredje raden i A er( lineært avhengige ) og de to første radene er lineært uavhengige, som viser at dim Row(A) =. Oppgave.

3 a. Betrakt de lineære transformasjonene T : R R og S: R R 4 definert ved ( ) x T = x x x x, S y y +y y = y y y x +4x y y y +y +y Finn komposisjonstransformasjonen S T : R R 4. b La 0 < φ π. Vi lar R φ: R R være den lineære transformasjonen som roterer hver vektor i R om z-aksen med en vinkel φ mot urviserne. Finn standardmatrisen til R φ og finn bilde av vektoren v = (,,) under rotasjonen R φ, når φ = π. Fasit til oppgave. a. Betrakt de lineære transformasjonene T : R R og S: R R 4 definert ved ( ) x T = x x x x, S y y +y y = y y y x +4x y y. y +y +y Finn komposisjonstransformasjon S T: R R 4. Standard matrisen [T] til transformasjonen T er [T] = 0 4 og standard matrisen [S] til transformasjonen S er 0 [S] = 0 0. Da er matrisen til komposisjonstransformasjonen S T 0 [S T] = =

4 4 Vi konkluderer med at ( ) x (S T) = x ) 5x +4x+ = x 7x x x +x. 6x +x ( x b. La 0 < φ π. Vi lar R φ: R R være den lineære transformasjonen som roterer hver vektor i R om z-aksen med en vinkel φ mot urviserne. Finn standardmatrisen til R φ og finn bilde av vektoren v = (,,) under rotasjonen R φ, når φ = π.. Siden R φ dreier vektorer i xy-planet en vinkel ϕ mot urviseren får vi ved enkel trigonometri at R φ 0 = cosφ sinφ, R φ 0 = sinφ cosφ, R φ 0 0 = Det endelige resultatet blir at matrisen: cosφ sinφ 0 [R φ ] = sinφ cosφ svarer til rotasjonen R φ. Bildet av vektoren v = er vektoren w = + på grunn av at w = [R π ] cosφ sinφ 0 = sinφ cosφ 0 = Oppgave. Avjør om mengdene A og B er underrom av R. a. A = x y slik at x = y +, z = y, z

5 b. B = x y slik at x y +z = 0. z 5 Fasit til oppgave. a. A = x y slik at x = y +, z = y. z Siden origo 0 0 ikke er i A, er mengden A ikke et underrom av R. 0 b. B = x y slik at x y +z = 0 z. Origo 0 0 er i B. La x = x x B, y = y y B. Da er 0 x x x +x = 0 og y y +y = 0 etter definisjonen av B. Vi adderer x og y. Det gir vektoren z der: z = z z = x +y x +y. z x +y Av likninger ovenfor ser vi at: z z +z = (x +y ) (x +y )+(x +y ) = (x x +x )+(y y +y ) = 0+0 = 0 og det vil si at z = x + y B. Vi ser også at cx cx +cx = c(x x +x ) = c 0 = 0 = c x B. Oppgave 4. Betrakt matrisen M = 7 6. a. Finn alle egenverdiene til M. y

6 6 b. Finn en basis for hvert egenrommet. c. Er matrisen M diagonaliserbar? Hvis svaret er ja finn da den diagonale matrisen som svarer til M. Dersom svar er nei, forklar hvorfor matrisen M ikke er diagonaliserbar. Fasit til oppgave 4. a. Finn alle egenverdiene til M. Siden finner vi egenverdiene: det(a λi) = x(x x+6) λ = 0, λ = 6, λ = 6. b. Finn en basis for hvert egenrommet. La λ = 0. Vi finner at matrisen M er radekvivalent til matrisen 0 / Det medfører at løsningen til likningen M v = 0 er v = x / /. For å finne de andre egenvektorene løser vi matriselikningen x x = Da har vi at x = x +x og egenrommet V 6 for egenverdien λ = 6 er V 6 = x +x x = x +x 0 = span, 0 x 0 0 Så v = og v = 0. 0 x

7 b. Er matrisen M diagonaliserbar? Hvis svaret er ja finn da den diagonale matrisen som svarer til M. Dersom svar er nei, forklar hvorfor matrisen M ikke er diagonaliserbar. Matrisen M er diagonaliserbar fordi sum av dimensjoner av egenrommene er lik. Tilsvarende diagonal matrisen er Exercise 5. 7 La V være underrommet av R definert ved V = x x slik at x +x +x = 0. x a. Vis at a =, b = og c = er ortogonale. 0 b. Finn en ortonormal basis α = ( α, α, α ) fra systemet av vektorene a, b, c. c. Finn basisskiftematrisen M e α fra standard basisen e = ( e, e, e ) til basisen α. d. Regn ut M T e αm e α. e. Hvilke av vektorene a, b, c hører til V? f. La P : R R være projeksjon på V: P( x) = proj V ( x). Finn matrisen M α av den lineære transformasjonen P med hensyn på basisen α. Fasit til oppgave 5. a. Vis at a =, b = og c = er ortogonale. 0 Vi regner ut indre productet a b = +( )+0 = 0, a c = + = 0, b c = +0 = 0, som sier at a, b, c er ortogonale.

8 8 b. Finn en ortonormal basis α = ( α, α, α ) fra systemet av vektorene a, b, c. La / α = a = a / /, α = b = / /, α = c b 0 Systemet α = ( α, α, α ) er ortonormalt. c = / 6 / 6 /. 6 c. Finn basisskiftematrisen M e α fra standard basisen e = ( e, e, e ) til basisen α. / / / 6 M e α = / / / 6 / 0 / 6 d. Regn ut M T e α M e α. Me α T M e α = Me α M e α = fordi M e α er enortogonal matrise og derfor er Me α T = M e α. e. Hvilke av vektorene a, b, c hører til V? Vektorene b og c hører til V. f. La P: R R være projeksjon på V: P( x) = proj V ( x). Finn matrisen [P α ] av den lineære transformasjonen P med hensyn på basisen α. [P α ] =